高三基础知识天天练3-1. 数学 数学doc人教版

第3模块 第1节
[知能演练]
一、选择题
1．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为
( )
A ．－
55 B.255 C ．－255 D ．－12
答案：A
2．点P (tan2007°，cos2007°)位于 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解析：∵2007°＝360°×6－153°， ∴2007°与－153°的终边相同， ∴2007°是第三象限角， ∴tan2007°>0，cos2007°<0. ∴P 点在第四象限，故选D. 答案：D
3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在
( )
A ．x 轴上
B ．y 轴上
C ．直线y ＝x 上
D ．直线y ＝－x 上
解析：由角α的余弦线长度为1分析可知，角α的终边与x 轴重合，故选A. 答案：A
4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有
( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．c <a <b
D ．a <c <b
解析：∵a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1，∴a <0，b >0，c <0.又∵sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，∴c <a <b .故选C.
答案：C 二、填空题
5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π
3
弧长到达Q 点，则Q 点
的坐标为________．
解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得，P 点按逆时针方向转过的角度为α＝2π
3
，所
以Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即(－12，3
2)．
答案：(－12，3
2
)
6．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角β
3
的终边相同的角为
________________________．
解析：∵β＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，∴β3＝k ·120°＋20°，k ∈Z .又β
3
∈[0°，360°)，∴0°≤k ·120°
＋20°<360°，k ∈Z ，∴－16≤k <176，∴k ＝0,1,2.此时得β
3
分别为20°，140°，260°.故在[0°，360°)
内，与角β
3
终边相同的角为20°，140°，260°.
答案：20°，140°，260° 三、解答题
7．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π
2
，π)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：∵θ∈(π
2，π)，∴－1<cos θ<0，
∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，
故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－4
3.
8．(1)确定tan(－3)
cos8·tan5
的符号；
(2)确定lg(cos6－sin6)的符号．
解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式>0.
(2)∵6为第四象限角，∴cos6>0，sin6<0，故cos6－sin6>0.
∵(cos6－sin6)2＝1－2sin6cos6＝1－sin12>1(12是第四象限的角)，∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0.
[高考·模拟·预测]
1．已知点P (sin 3π4，cos 3π
4
)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
( )
A.π4
B.3π4
C.5π4
D.7π4
解析：由sin 3π4>0，cos 3π
4
<0知角θ在第四象限，∵tan θ
＝cos
3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.
答案：D
2．已知sin α＝45，cos α＝3
5
，则角2α所在的象限是
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解法一：由sin α＝45，cos α＝35知2kπ＋π4<α<2kπ＋π2，∴4kπ＋π
2
<2α<4kπ＋π(k ∈Z )，角2α
所在的象限是第二象限，选择B.
解法二：由sin α＝45，cos α＝35易得sin2α＝2425，cos2α＝－7
25
，∴角2α所在的象限是第
二象限，选择B.
答案：B
3．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y
x
的值为________．
解析：y
x
＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.
答案：－ 3
4．若角α的终边落在射线y ＝－x (x ≥0)上，则sin α
1－sin 2α
＋1－cos 2αcos α＝________.
解析：由定义知，sin α＝－22，cos α＝2
2
，则原式＝0.
答案：0
5．借助单位圆解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0
2cos x －1>0.
解：由⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0，
2cos x －1>0，即
⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0，cos x >12，分析正弦函数线和余弦函数线，如右图所示，由三角函数线可得x 满足的条件为 ⎩
⎪⎨⎪⎧
2kπ≤x ≤2kπ＋π，2kπ－π3<x <2kπ＋π3(k ∈Z )．此交集恰好为图形中的阴影交错部分，由数形结合可得2kπ≤x <2kπ＋π
3
(k ∈Z )．
[备选精题]
6．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．
(1)求sin(α＋π
6
)的值；
(2)若点P 、Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ ＝4，求△POQ 面积最大时，点P 、Q 的坐标．
解：(1)由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13，故sin(α＋π6)＝223×
3
2
＋13×12＝1＋266
. (2)设P (a,0)，Q (b,22b )(a >0，b >0)．
在△POQ 中，因为PQ 2＝(a －b )2＋8b 2＝16， 即16＝a 2＋9b 2－2ab ≥6ab －2ab ＝4ab ， 所以ab ≤4.所以S △POQ ＝2ab ≤4 2.
(当且仅当a ＝3b ，即a ＝23，b ＝23
3
时取得等号)．
所以△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为P (23，0)，Q (233，46
3
)．。