第三章 扭转
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材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
第三章 扭转
46
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
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T
T
O
O
空心轴与实心轴的比较 相同外半径的实心与空心轴，其最大应力相同。
但对空心轴而言，其空心部分假如有材料的话，承
受的是低应力，材料没有得到充分的利用，效率不 高。
§3.5 圆轴扭转时的变形
一、圆轴扭转时的变形
T d dx GI P
T dx 0 GI P
l
扭转角
Tl GI P
IP
对空心圆轴
d4
32
4
0.1d 4
IP
D 32
4
d
4
0.1 D
4
4
d
4
d 令 ，则有 D
IP
D
32
1 0.1D 1
4 4
四、强度计算
圆截面上任意一点切应力 T ρ
r
T IP
切应力具有最大值
max
Tmax WP [ ]
WP
D3
16
（ 1 4）
1 3
16Tmax D 4 1 ） [ ] （
代入数值得： D 0.0226m
② 由刚度条件校核刚度
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
离开截面
[例1] 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功 率PB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 PA= 4KW ， PC= 6KW，试计算该轴的扭矩。 B A C x 解：先计算外力偶矩
M A 9550 PA 4 9550 76.4 Nm n 500
dA
Tபைடு நூலகம்
图所示选取积分微元，有
o
T ρdA
A
将应力应变关系方程代入上式得
d d T G dA G A dx dx
A
dA
2
T ρ IP
I P dA 仅与构件横截面的几何形状
A
2
与尺寸有关，是杆件的固有性质， 称为极惯性矩。
对实心圆轴
1500 16 D1 0.0531m 6 5110 实心轴与空心轴的面积比即为重量比，其比值为
3
A2 ( D d ) 4 6.87 0.31 2 A1 D1 4 22.2
2 2
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%， 其减轻重量、节约材料是非常明显的。
G
剪切弹性模量(GN/m2)
E G 2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何关系
dx
M
dx
M
R
T
R
变形前横截面的形状与尺寸
变形后横截面的形状与尺寸
实验现象： 两横截面之间的距离在变形前后没有变化； 横截面本身的形状、半径没有变化，只是相 对于轴的轴线发生了转动。
Tmax
d 90 2 2.5 0.944 D 90 3 D3 90 4 4 3 WP 1 1 0.944 29400mm
16 16
从而
d D
max
T 1500 51MPa 9 WP 29400 10
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m
Tmax 702N m
(3) 强度校核
max
Tmax 702 WP 0.2 0.0453 38.8 106 Pa 38.8MPa [ ] 40MPa
圆轴扭转的平面假设： 等直圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形
后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为
直线；且相邻两截面间的距离不变。 由平面假设得出的结论： 1、圆轴横截面上没有正应力； 否则轴就会伸长
否则半径就会变化 2、沿横截面半径方向没有正应力； 3、横截面上离轴线等距离的点的应力是相同的。
MA
PB 10 M B 9550 9550 191 Nm n 500
P 6 M C 9550 C 9550 114 .6 Nm n 500
x
T1
M
T2
X
0
Mc
T1 M A 0
计算扭矩：
AB段 BC段 T1设为正的 T2设为正的
M
X
0, T2 MC 0
(4) 刚度校核:
Tmax 180 702 180 max 9 4 GI P 80 10 0.1 0.045 3.14 1.23 m 2 m [ ]
满足强度和刚度条件。
[例6] 长为L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如 图，若杆的内外径之比为 =0.8 ， G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[′]=2º /m ，试校核此杆的 刚度，并求右端面转角。 解：①设计杆的外径
MB I
MC
II M
III
A
MD
B I
C II
解： 1.外力偶矩计算
A
III D
M A 1170 N m M B M C 351 N m M D 468 N m
2.扭矩计算 对BC段
MB I
M C II M A
III
MD
T1 M B 351N m
对AC段
二、刚度计算
为了描述扭转变形的剧烈程度，引入单位长度扭转角的概念
T GI P l
单位
rad / m
或
/m
那么，刚度条件为
max
Tmax T 180 max max GI P GI P
[ 例 5] 一传动轴，已知 d=45cm ， n=300r/min 。主动轮输入功率 PA=367kW, 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 的 功 率 PB=147kw ， PC=PD=11kW 。轴的材料为 45 钢， G=80103MPa ， =40MPa ， ′=2/m，试校核轴的强度和刚度。 (1) 计算外力偶矩
d3
16
0.2d
4
3
空心圆截面 WP
D3
16
1 0.2D 1
3 4
d D
[例3] 由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm，壁厚 t=2.5mm ，材料为 45 钢。使用时的最大扭矩为 Tmax=1.5kNm 。 如材料的[τ]=60MPa，试校核AB轴的扭转强度。 Tmax 解：由 AB 轴的截面尺寸 计算抗扭截面模量
x
B'
圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶 矩作用； 力偶矩方向沿圆杆的轴线；
横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生 相对转动。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算 1、直接计算
2、按输入功率和转速计算
输入功率：P(kW)
M 转速：n (转/分)
1分钟输入功：
第三章 扭转
§ 3.1 扭转的概念和实例 § 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 § 3.3 纯剪切 § 3.4 圆轴扭转时的应力 § 3.5 圆轴扭转时的变形 § 3.7 非圆截面杆扭转的概述
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
汽车方向盘
丝锥攻丝
扭转变形的特点
Mn
A' A g
Mn
B j
W 60N1000 60000N
1分钟M 作功：
W M M 2n 1 2nM
W W'
P N m M 9550 n
单位
若功率单位为马力，而1马力 =735.5Nm/s，则有
M 7024
N 马力 n rpm
N m
二、扭矩和扭矩图 1、扭矩的概念
C
H
H
C
A
D
D
二、物理关系
G
T
d ρ G G dx
截面某点的应力方向的确定
o
其方位垂直于该点到截面圆心
的连线 ( 径向应力对截面扭矩没有 贡献) 应力绕截面圆心的转向与该截 面的扭矩的转向相同 ( 因为扭矩就
是截面应力对截面圆心产生的矩)
三、静力关系 因为扭矩就是截面应力 对截面圆心产生的矩，如右
(否则横截面的形状就会发生变化)
m
dx
n
o2
M
o1
B
A
C C d D D m n
o1
M
dx
o2
r
F
G
G
d
由右图分析，并考虑到小变 形假设，可得变形几何关系
CC rd tan BC dx GG d ρ tan ρ FG dx
B
E
PA 36.7 9550 1170N m n 300 P 14.7 TB 9550 B 9550 468N m n 300 P 11 TC TD 9550 C 9550 351N m n 300 TA 9550
(2) 画扭矩图，求最大扭矩 用截面法求得AB、AC、CD各段的扭矩分别如图所示
M
z
0 ，得
Me 2 r r
Me 2 r 2
二、切应力互等定理
从图(c)的横截面取出一个单 元体。 各个截面上只有切应力没有 正应力的情况称为纯剪切。 将(d)图投影到铅垂坐标平面，
得到一个平面单元。