5-6-7 节) 静电场的环路定理 电势能
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静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
04静电场的环路定理 电势
R
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
静电场的环路定理
解：1) 用迭加法，各点在o点的电势
V1 V2 V3 V4
V0 4V1 q 4 0 r
q
4 0 r 28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
A
o
q0Vo 28.8 1011 J
o F l q0 E l q0 E l d d d
6
即：a、b两点的电势差 = A/q0
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
U
A q(V V )
(e )(U )
R2
R1
1 mv 2 0 2 即 eU 1 mv 2 2
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields 电场力 → 高斯定理 → 有源场 电场力做功 → 环路定理 → 无旋场 一、静电场力做功
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0 受到电场力 F q0 E 的作用。当q0在电场中的位 移为 dl 时，电场力 F 做功： dA F dl q0 E dl 在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达 b点，电场力做的总功为 a A F dl q0 E dl q0 E dl L L L 电场强度 E 沿路径L的线积分 A E dl 积分取决于电场强度 E 的分布 L q0
o
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
P
VP Vi ( P )
i
V1 V2 V3 V4
V0 4V1 q 4 0 r
q
4 0 r 28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
A
o
q0Vo 28.8 1011 J
o F l q0 E l q0 E l d d d
6
即：a、b两点的电势差 = A/q0
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
U
A q(V V )
(e )(U )
R2
R1
1 mv 2 0 2 即 eU 1 mv 2 2
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields 电场力 → 高斯定理 → 有源场 电场力做功 → 环路定理 → 无旋场 一、静电场力做功
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0 受到电场力 F q0 E 的作用。当q0在电场中的位 移为 dl 时，电场力 F 做功： dA F dl q0 E dl 在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达 b点，电场力做的总功为 a A F dl q0 E dl q0 E dl L L L 电场强度 E 沿路径L的线积分 A E dl 积分取决于电场强度 E 的分布 L q0
o
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
P
VP Vi ( P )
i
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
大学物理电场的环路定理及电势的计算
0
qr
3
(r R ) (r R )
4 0 r
E
令 U 0 ，沿径向积分
1 r
2
U外
P
E 外 d r q 1 r
o
4
r
qr dr
0
r
3
R
r
4 0 r
U外
q 4 0 r
E dr
R
1 r
R
a
E dl
零势点
Ecosdl
a
注意： • 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 一般,场源电荷有限分布:选 U 0 场源电荷无限分布:不选 U 0 许多实际问题中选 U 地 球 0
[例一] 点电荷 q 场中的电势分布
r E
o
P
解： E
L L
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理
E dl 0
L
路径上各点的总场强
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了 静电场是保守力场.
凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场.
三. 电势能 W
由 A保 E P W
b
A静 电 力 q 0
a
E dl (W b W a ) W a W b
dq 4 0 r
dU
4 r d r
2
4 0 r
rd r 0
R2
由叠加原理：
r
R2
R1
o P
U
dU
5、电势
b rb q ra
r+dr
r
v dl
q a
0
r r r r dA = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl = q0 Edl cos θ = q0 Edr
第一章 静电场的基本规律 5
q0从a移动到 的过程中电场力做的总功为： 移动到b的过程中电场力做的总功为 移动到 的过程中电场力做的总功为：
A = ∫ dA = ∫ q0 Edr
r r r r
q 4πε 0 r
2
dr =
q
q 4πε 0 r
dr = q 4πε 0 R
16
2.当r<R 时 当
V =∫
∞ r r r r
r r ∞ r ∞ R ∞ r E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dr = ∫ Edr = ∫ 0dr + ∫
R
4πε 0 r
2
第一章 静电场的基本规律
例2：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
b
= A1 + A2 + L + An
第一章 静电场的基本规律 7
qn qn q0 q1 q1 q2 q2 A= − + − + L + − 4πε 0 ra1 rb1 ra 2 rb 2 ran rbn
λ 由高斯定理知场强为： 解：由高斯定理知场强为： E = 2πε0r
方向垂直于带电直线。 方向垂直于带电直线。
若仍然选取无穷远为电势零点， 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将 为无限大而失去意义。 为无限大而失去意义。 点为电势零点， 因此可以选取某一距带电直导线为r0的p0点为电势零点， 点的电势为： 则距带电直线为r 的p点的电势为： P v v P′ v v P v v 0 0 r P VP = E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl P P P′ P0 P v v P 0 0 P′ = 0 + ∫ E ⋅ dl = ∫ Edl
静电场的环路定理和电势
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理
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第五章 静电场
9
常见的触电形式
（1）单线触电 （2）双线触电
3）高压电弧触电4）跨步电压触电
2013-7-8
10
物理学
第五版
三. 静电场力的功 (1) WAB q (2)
5-7 电势
AB
E dl
EpA EpB qU AB q(VA VB )
将电荷q0由A移至B点的过程中，电场力的功等 于q0与这两点的电势差的乘积。
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.60210 J
第五章 静电场
11
19
物理学
第五版
四 电势的计算
1.点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
q
5-7 电势
E
er
r
令 V 0
V
r
qdr E dl r 2
4πε0 r
只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
物理学
第五版
5-6 静电场的环路定理
电势能
二
q0 E dl q 0
ABC
静电场的环路定理
E dl
ADC
q 0 ( E dl
ABC
E dl ) 0
CDA
B
D
C
E
E dl 0
+ + + + + + + + + + + +
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
-
+
第五章 静电场
29
二 电场强度与电势梯度
单位正电荷从A 到B 电场力的功
V
E l El cos θ V
(1) 电场强度E在位移上的 分量为 El E cos
V V
V E cos θ l
A
E1
V1 V2 Vn Vi
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和
2013-7-8 13
n
i 1
物理学
第五版
5-7 电势
电势叠加原理：
点电荷系电场中任一点的电势， 等于各个点电荷单独存在时在该点 处的电势之代数和。
第五章 静电场
14
物理学
第五版
5-7 电势
q2 r1
讨论：能否选 V 0 ?
第五章 静电场
23
物理学
第五版
5-7 电势
E
2 π ε0 r
（1）
无限长带点直导线只是一个理想模型，对导线附 近的点而言导线可以看成无限长。当r比较大时， 这个理想模型的假设不再成立。所以再选择无穷 远作为零势能点，在积分过程中，离导线比较远 的地方场强取（1）式不再合适。
En El
V V
dV E en dln
dV 大小 E dl n
dl
l
B
A
El
V dV El lim l 0 l dl
E
II
I
结论：电场中给定点的电场强度沿某一方向的分 量，等于这一点电势沿该方向变化率的负值。
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
dV El dl
dl dln
dV En dl n
下图有错？
V
第五章 静电场
7
物理学
第五版
5-7 电势
电势零点的选取： (1)有限带电体以无穷远为电势零点， 实际问题中常选择地球电势为零.
VA
A
E dl
VA A E pA
q0
B
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
EpB VB
E
第五章 静电场
8
物理学
第五版
某点的电场强度与通过该点的等势面垂直.
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
规定：任意相邻的两等势面之间的电势差相等。
即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小 点 电 荷 的 等 势 面
dl2 dl1
E2 E1
dl1
dl2
28
第五章 静电场
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
两平行带电平板的电场线和等势面
q x 0，V0 4πε0 R
V
q 4 πε0 R
q x R，VP 4πε0 x
dl
r
R
q 4πε0 x 2 R 2
x
o x
o
x
P
x
第五章 静电场
18
物理学
第五版
5-7 电势
均匀带电薄圆盘轴线上的电势 dq 2πrdr 1 R 2πrdr 2 2 V 0 x 2 r 2 2ε0 ( x R x) 4πε0
V
Q 4 π 0 R
Q 4π 0 r
R
o
rA
A
rB
B
r
o
R
r
第五章 静电场
22
物理学
第五版
5-7 电势
例3 “无限长”带电直导线的电势. 解
rB VP E dr r rB
令 VB 0
dr r 2 π ε0 r rB ln 2 π ε0 r
o
rB
B
P
r r
零参考点
A
E dl
已知在积分路径上 E 的函数表达式 有限大带电体，选无限远处电势为零.
（2）利用点电荷电势的叠加原理
1 dq V 4πε0 r
此计算公式，已选定无限远处为电势零点
第五章 静电场
16
例1 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上. 求环轴线上距环心为x处的点P的电势.
q V 4 πε0 r
第五章 静电场
12
5-7 电势
（2）点电荷系
E E1 E2 ....... En VA E dl
A
q1
r1
E3
q2
r2
E2
q3
A
r3
A
A
E1 dl E2 dl ... En dl
d
4 π ε0 r
cos
第五章 静电场
25
E EX
d
4 π ε0 r
cos
dl
sin
2 π ε0 r
sin
2 π ε0 r
l
oθ
α
B
r
当r比较大时，α→0
2 π ε0 r
无限长”带电直导线
当r比较大的时候，E
2 π ε0 r
不再近似成立
4πε0 r
第五章 静电场
rA
A
1
q0从A到B的过程中 F 作功：
B qq 0 W F dl e dl 2 r A 4πε r 0
B
er dl er dl cos dr
rB
rB
l dr d
E
qq0 W 4πε0
定义: A点电势为 VA EpA / q0
EpA
零参考点
q0
VA A EpA
B
rA
E pB VB
VA
零参考点
rA
E dl
E
1）电场中某点的电势，等于将单位正电荷从该点移 至电势零点的过程中，电场力做的功。
2013-7-8 6
物理学
第五版
课本中电势的推导过程(略) B WAB q0 E dl ( EpB EpA )
rB
第五章 静电场
20
物理学
第五版
5-7 电势
0 r R 解 E Q rR 4ε r 2 0 rB Q rB dr （1） r R VA VB E dr rA 4πε0 rA r 2 Q 1 1 ( ) 4πε0 rA rB
（2） r R
l
A
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
静电场是保守场
4
第五章 静电场
物理学
第五版
三
电势能
5-6 静电场的环路定理
电势能
静电场是保守场，静 电场力是保守力. 静电 场力所做的功就等于电 荷电势能增量的负值.
B E pB A E pA
E
WAB EpA EpB (EpB EpA )
二. 电势差
5-7 电势
U0
U AB VA VB
A
U0 B E dl E dl E dl
B A
将单位正电荷从A移到B时电场力作的功
几种常见的电势差（V）
生物电 10-3 普通干电池 1.5 汽车电源 12 家用电器 110或220 高压输电线 已达5.5105 闪电 108109
令
EpB 0
EpA
B
A
q0 E dl
零参考点
A
q0 E dl
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上等于把 它从该点移到零势能处静电场力所作的功.
第五章 静电场
5
5-7
一
电势 电势差 电势的计算
即单位正电荷在该 点所具有的电势能
电势
q0 E dl
9
常见的触电形式
（1）单线触电 （2）双线触电
3）高压电弧触电4）跨步电压触电
2013-7-8
10
物理学
第五版
三. 静电场力的功 (1) WAB q (2)
5-7 电势
AB
E dl
EpA EpB qU AB q(VA VB )
将电荷q0由A移至B点的过程中，电场力的功等 于q0与这两点的电势差的乘积。
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.60210 J
第五章 静电场
11
19
物理学
第五版
四 电势的计算
1.点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
q
5-7 电势
E
er
r
令 V 0
V
r
qdr E dl r 2
4πε0 r
只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
物理学
第五版
5-6 静电场的环路定理
电势能
二
q0 E dl q 0
ABC
静电场的环路定理
E dl
ADC
q 0 ( E dl
ABC
E dl ) 0
CDA
B
D
C
E
E dl 0
+ + + + + + + + + + + +
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
-
+
第五章 静电场
29
二 电场强度与电势梯度
单位正电荷从A 到B 电场力的功
V
E l El cos θ V
(1) 电场强度E在位移上的 分量为 El E cos
V V
V E cos θ l
A
E1
V1 V2 Vn Vi
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和
2013-7-8 13
n
i 1
物理学
第五版
5-7 电势
电势叠加原理：
点电荷系电场中任一点的电势， 等于各个点电荷单独存在时在该点 处的电势之代数和。
第五章 静电场
14
物理学
第五版
5-7 电势
q2 r1
讨论：能否选 V 0 ?
第五章 静电场
23
物理学
第五版
5-7 电势
E
2 π ε0 r
（1）
无限长带点直导线只是一个理想模型，对导线附 近的点而言导线可以看成无限长。当r比较大时， 这个理想模型的假设不再成立。所以再选择无穷 远作为零势能点，在积分过程中，离导线比较远 的地方场强取（1）式不再合适。
En El
V V
dV E en dln
dV 大小 E dl n
dl
l
B
A
El
V dV El lim l 0 l dl
E
II
I
结论：电场中给定点的电场强度沿某一方向的分 量，等于这一点电势沿该方向变化率的负值。
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
dV El dl
dl dln
dV En dl n
下图有错？
V
第五章 静电场
7
物理学
第五版
5-7 电势
电势零点的选取： (1)有限带电体以无穷远为电势零点， 实际问题中常选择地球电势为零.
VA
A
E dl
VA A E pA
q0
B
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
EpB VB
E
第五章 静电场
8
物理学
第五版
某点的电场强度与通过该点的等势面垂直.
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
规定：任意相邻的两等势面之间的电势差相等。
即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小 点 电 荷 的 等 势 面
dl2 dl1
E2 E1
dl1
dl2
28
第五章 静电场
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
两平行带电平板的电场线和等势面
q x 0，V0 4πε0 R
V
q 4 πε0 R
q x R，VP 4πε0 x
dl
r
R
q 4πε0 x 2 R 2
x
o x
o
x
P
x
第五章 静电场
18
物理学
第五版
5-7 电势
均匀带电薄圆盘轴线上的电势 dq 2πrdr 1 R 2πrdr 2 2 V 0 x 2 r 2 2ε0 ( x R x) 4πε0
V
Q 4 π 0 R
Q 4π 0 r
R
o
rA
A
rB
B
r
o
R
r
第五章 静电场
22
物理学
第五版
5-7 电势
例3 “无限长”带电直导线的电势. 解
rB VP E dr r rB
令 VB 0
dr r 2 π ε0 r rB ln 2 π ε0 r
o
rB
B
P
r r
零参考点
A
E dl
已知在积分路径上 E 的函数表达式 有限大带电体，选无限远处电势为零.
（2）利用点电荷电势的叠加原理
1 dq V 4πε0 r
此计算公式，已选定无限远处为电势零点
第五章 静电场
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例1 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上. 求环轴线上距环心为x处的点P的电势.
q V 4 πε0 r
第五章 静电场
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5-7 电势
（2）点电荷系
E E1 E2 ....... En VA E dl
A
q1
r1
E3
q2
r2
E2
q3
A
r3
A
A
E1 dl E2 dl ... En dl
d
4 π ε0 r
cos
第五章 静电场
25
E EX
d
4 π ε0 r
cos
dl
sin
2 π ε0 r
sin
2 π ε0 r
l
oθ
α
B
r
当r比较大时，α→0
2 π ε0 r
无限长”带电直导线
当r比较大的时候，E
2 π ε0 r
不再近似成立
4πε0 r
第五章 静电场
rA
A
1
q0从A到B的过程中 F 作功：
B qq 0 W F dl e dl 2 r A 4πε r 0
B
er dl er dl cos dr
rB
rB
l dr d
E
qq0 W 4πε0
定义: A点电势为 VA EpA / q0
EpA
零参考点
q0
VA A EpA
B
rA
E pB VB
VA
零参考点
rA
E dl
E
1）电场中某点的电势，等于将单位正电荷从该点移 至电势零点的过程中，电场力做的功。
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第五版
课本中电势的推导过程(略) B WAB q0 E dl ( EpB EpA )
rB
第五章 静电场
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物理学
第五版
5-7 电势
0 r R 解 E Q rR 4ε r 2 0 rB Q rB dr （1） r R VA VB E dr rA 4πε0 rA r 2 Q 1 1 ( ) 4πε0 rA rB
（2） r R
l
A
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
静电场是保守场
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第五章 静电场
物理学
第五版
三
电势能
5-6 静电场的环路定理
电势能
静电场是保守场，静 电场力是保守力. 静电 场力所做的功就等于电 荷电势能增量的负值.
B E pB A E pA
E
WAB EpA EpB (EpB EpA )
二. 电势差
5-7 电势
U0
U AB VA VB
A
U0 B E dl E dl E dl
B A
将单位正电荷从A移到B时电场力作的功
几种常见的电势差（V）
生物电 10-3 普通干电池 1.5 汽车电源 12 家用电器 110或220 高压输电线 已达5.5105 闪电 108109
令
EpB 0
EpA
B
A
q0 E dl
零参考点
A
q0 E dl
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上等于把 它从该点移到零势能处静电场力所作的功.
第五章 静电场
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5-7
一
电势 电势差 电势的计算
即单位正电荷在该 点所具有的电势能
电势
q0 E dl