第3课时 异面直线所成的角
异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
(完整word版)异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， 连QH ，可知△GQH 为直角三角形）， HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为61。
解法二：（向量法） 分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
B A CDF E B 1 A 1 D 1 C 1GH S R PQ 1则点A 1的坐标为（0，2，2），点E 的坐标为（1，0，1），点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为（2，1，1）； 所以向量1EA 的坐标为（-1，2，1），向量B 1的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ满足cos θ||||1111F B EA ⋅=222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(-++⋅++--⨯+⨯+⨯-=-61。
异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。
下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。
一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。
垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。
2.两条垂直的直线称为互相垂直。
3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。
求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。
若点积为0，则两条直线是垂直的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。
如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。
二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。
斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。
2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。
求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
可以使用向量的点积或夹角公式求解。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。
2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。
求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
如果夹角为0度，则两条直线是平行的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。
异面直线所成角定义
异面直线所成角定义1. 什么是异面直线？异面直线是在三维空间中的直线，它们既不共面也不互相平行。
2. 异面直线的性质异面直线上的任意两条线段，它们之间的夹角都是锐角、直角或钝角。
我们可以利用向量和点的坐标进行计算，来确定异面直线所成的角的类型。
2.1 向量判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s其中(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)为两条直线的方向向量。
两条异面直线不共面，即方向向量(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)不互相平行。
2.2 利用点坐标判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s设点P1(x1, y1, z1)为直线L1上的一点，点P2(x2, y2, z2)为直线L2上的一点。
若点P1和点P2不在一条直线上，则直线L1和直线L2异面。
3. 异面直线所成的角的定义异面直线L1和L2上的点A和B，它们与两条直线的交点分别为C和D，连接线段AD和BC。
定义：异面直线L1和L2所成的角是线段AD和BC之间的夹角。
4. 异面直线所成角的计算方法异面直线L1和L2所成的角，可以通过两条直线的方向向量来计算。
设L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。
计算方式：cosθ = |a1a2 + b1b2 + c1c2| / √(a1^2 + b1^2 + c1^2) *√(a2^2 + b2^2 + c2^2)其中，|a1a2 + b1b2 + c1c2|表示两个向量的点积的绝对值。
通过求解得到的角的余弦值，我们可以判断异面直线所成的角是锐角、直角还是钝角。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
异面直线所成的角的两种求法
异面直线所成的角的两种求法,求异面直线所成的角是初学立几的同学遇到的第一个难点。
难在何处？ 下面介绍两种求法，与大家共磋商。
一．传统求法--------找、作、证、求解。
求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。
平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。
平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。
例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.解 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝21AB ＝62， HE ＝21，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123.∴ sin∠EHG＝22,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。
例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。
（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。
因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=21 BC ，FG∥AD，且FG=21AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。
由BC=AD 知EG=GF=21AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。
异面直线所成的角求法课件
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
向量法是求解空间几何角的一种常用方法。通过向量的点积和叉积运算，可以求解出两个向量之间的 夹角，从而得到空间几何角的大小。
三角函数法
三角函数法也是求解空间几何角的一种常用方法。通过构造直角三角形或者利用三角函数的性质，可 以求解出空间几何角的大小。这种方法通常适用于一些比较简单的空间几何图形。
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入Βιβλιοθήκη 面直线的定义定义不在同一个平面上的两条直线称 为异面直线。
判定定理
平面内一点和平面外一点的连线 ，与平面内不经过该点的直线是 异面直线。
03
几何法求解异面直线所成角
平行线间距离与夹角关系
平行线间距离
两平行线间的距离是一个定值，等于其中一条直线上任取一点到另一条直线的垂 线段长度。
夹角关系
两异面直线分别与第三条直线相交，所得到的两个夹角相等或互补。因此，可以 通过求解其中一个夹角来得到异面直线所成的角。
利用平行线间距离求解异面直线所成角步骤
根据夹角判断异面直线所成的 角是锐角还是钝角。
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
解析
异面直线所成角
异面直线所成角概念&性质：在三维空间中，当两条直线不在同一个平面上时，它们所成的角称为异面直线所成角。
异面直线所成角与二维平面中直线所成角有着一定的区别。
在二维平面中，直线之间只能是相交或平行，而在三维空间中，两条直线可能相交，也可能平行，因此在考虑两条异面直线所成角的问题时，需要考虑两条直线是否平行，如果平行则不存在所成角。
我们可以通过斜线与平面的关系来确定两条直线是否平行，具体方法有以下两种：1. 方向向量法：设异面直线L1和L2分别由向量a1和a2表示，判断直线是否平行可以通过检查两个向量的数量积是否为零。
当a1·a2=0时，L1和L2平行。
2. 法向量法：设L1过点P1(x1, y1, z1)，方向向量为a1=(a, b, c)；L2过点P2(x2, y2, z2)，方向向量为a2=(d, e, f)。
设L1所在平面的法向量为n1=(m, n, p)，L2所在平面的法向量为n2=(q, r, s)。
要判断L1和L2是否平行，可以检查两个法向量的数量积是否为零，即m·q + n·r + p·s=0。
如果两条异面直线不平行，则它们所成的角可以通过以下步骤计算：1. 找到两条直线的公共点，并将其命名为点O。
2. 分别取一条直线上的两个点，分别命名为A和B；再分别取另一条直线上的两个点，分别命名为C和D。
其中，A、C在直线L1上，B、D在直线L2上。
3. 计算向量OA和OD的数量积，记为a，计算向量OB和OD的数量积，记为b。
则两条直线所成的角θ可通过以下公式计算：θ= arccos(a / |OA|·|OD|) = arccos(b / |OB|·|OD|)。
4. 由于计算角度时需要使用反余弦函数arccos，所以角度θ的范围在[0, π]之间。
结论：异面直线所成角是三维空间中的一个重要概念，在几何学和物理学中起着重要的作用。
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第三课时 异面直线所成的角
一、学习目标：
1.了解等角定理的内容，会用数学符号和图形表示等角定理。
2.理解异面直线所成角的定义。
3.能在空间几何体中找出异面直线所成角，并会求简单的异面直线所成角。
二、学习重点; 理解异面直线所成角的定义。
三、学习难点：能在空间几何体中找出异面直线所成角，并会求简单的异面直线所成角。
四、导学过程：
（一）.请同学们认真阅读教材第46页到第47页的内容，回答下列问题：
1. 等角定理：在初中，我们在平面几何中学习过“如果一个角的两边与另一个角的两边
分别平行，那么这两个角相等或互补”。
空间中仍然成立。
(1)语言叙述：空间中如果两个角的两边_______________，那么这两个角___________。
(2)数学符号：在/
/
/
BAC B A C ∠∠和中，若/
/
//AB A B ,/
/
//AC A C ，则_______________
或_______________。
(3)图形表示：根据下面四个图形，总结在________条件下，两个角相等；在________
条件下，两个角互补。
B 1
B
B'
B
2.两条直线夹角的定义：
(1)语言叙述：平面内两条直线相交成4个角，其中______________。
(2)数学符号：______________________________________________。
(3)图形表示：
3.异面直线a 与b 所成角的定义：
(1)语言叙述：已知两条异面直线a 、b ，经过空间_______________，把_______________。
(2)数学符号： (3)图形表示：
(4) 异面直线所成角的实质是：在给定的几何体中，首先要找出特殊的点，其次过这个点作一条直线或两条直线的平行线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，最后放在三角形最好是直角三角形中求。
4.两条直线互相垂直的定义：
(1)语言叙述：如果两条异面直线所成的角是____________。
(2)数学符号：两条直线互相垂直的异面直线a 与b ，记作____________。
(3)图形表示：
a /
（二）例题讲解;
例 1.(1) 如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，有没有两条棱所在的直线是互相垂直
的异面直线？
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直， 那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
(3) 垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
例2.如图，已知正方体////
ABCD A B C D -。
(1)哪些棱所在的直线与直线/
BA 是异面直线？
(2)直线/
BA 与直线/
C C 的的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线/
AA 垂直？
A B
C
A 1
B 1
C 1
D 1
D
C'
C
A'
A
B
A
B
C
例3、如图所示，空间四边形ABCD 中，AC BD = ,AC BD ⊥,E,F 分别是AB ，CD 的中点，求 EF 和AC 所成的角。
例4、在正方体1111ABCD A BC D 中，E,F 分别是AD ,CD 的中点，求异面直线1BD 与EF 所成的角。
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D 1
D
（二）通过以上问题的回答，你发现(1)哪些问题很明白__________________。
（2）哪些问题不明白__________________。
请与同学讨论。
（3）与同学讨论后，_______问题明白了。
_______问题不明白，请提供给老师。
（三）请同学们归纳本节课的知识。
（四）自主测评：
1、如果/
/
//OA O A ,/
/
//OB O B ,那么/
/
/
AOB A O B ∠∠和_________________。
2、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，
AB =
AD =12AA = 求(1)BC 和11AC 所成的角是多少度？
(2)1AA 和1BC 所成的角是多少度？
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D 1
D。