计算方法习题

《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题

1．14159.3的近似值3.1428，准确数位是（ 210 ）。

2．满足dbfcaf)(,)(的插值余项)(xR（ ))((!2)(bxaxf ）。 3．设)}({xPk为勒让德多项式，则))(),((22xPxP（52 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[）。 二、单选题 1．已知近似数,,ba的误差限)(),(ba，则)(ab（Ｃ ）。

A．)()(ba Ｂ．)()(ba Ｃ．)()(bbaa Ｄ．)()(abba 2．设xxxf2)(，则]3,2,1[f（ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４

3．设Ａ＝3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转（ Ｃ ）．

Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．6 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.

A．)(ho Ｂ．)(2ho Ｃ．)(3ho Ｄ．)(4ho 三、计算题

1．求矛盾方程组：2423212121xxxxxx的最小二乘解。

22122122121)2()42()3(),(xxxxxxxx， 由0,021xx得：9629232121xxxx， 解得149,71821xx。 2．用4n的复化梯形公式计算积分211dxx，并估计误差。 21697.0]217868581[81xdx，

9611612)(2MxR。

3．用列主元消元法解方程组：426453426352321321321xxxxxxxxx。 回代得：Tx)1,1,1( 4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x）。 因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

雅可比迭代公式为：,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1mxxxxxxxmmmmmmm。 取Tx)1,1,1()0(计算得： Tx)5.0,25.1,5.0()1(。

5．用切线法求0143xx最小正根（求出1x）。 ．因为0875.0)5.0(,01)0(ff，所以]5.0,0[*x，在]5.0,0[上，06)(,043)(2xxfxxf。由0)()(0xfxf，选00x，由迭代公式：

计算得：25.01x。 四、证明题 1．证明：若)(xf存在，则线性插值余项为：

1010),)((!2)()(xxxxxxfxR。

2. 对初值问题：1)0(10yyy，当2.00h时，欧拉法绝对稳定。 １．设))()(()()()(),)()(()(10110xtxtxktLtftgxxxxxkxR，有 xxx,,10为三个零点。应用罗尔定理，)(tg至少有一个零点，

!2)()(,0)(!2)()(fxkxkfg。

２．由欧拉法公式得：

00~1~yyohyynnn。

当2.00h时，则有 00~~yyyynn。欧拉法绝对稳定。 练习题第2套参考答案 一、填空题

1．71828.2e具有3位有效数字的近似值是（ 21102，）。

2．用辛卜生公式计算积分101xdx（ 11xx， ）。 3．设)()1()1(kijkaA第k列主元为)1(kpka，则)1(kpka（ 21x， ）。 4．已知2415A，则1A（ )(434)1(232)1(1313331mmmxaxaxaba , ）。 5．已知迭代法：),1,0(),(1nxxnn 收敛，则)(x满足条件（ 0()0fx ）。 二、单选题 1．近似数21047820.0a的误差限是（ C ）。

Ａ．51021 Ｂ．41021 Ｃ．31021 Ｄ．21021 ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR。 A．0detA Ｂ． )1(0detnkAk Ｃ．0detA Ｄ．0detA

３．已知Tx)5,3,1(，则1x（ B ）。 Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ ４．已知切线法收敛，则它法具有（ ．A ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次

５．设)}({xPk为勒让德多项式，则))(),((53xPxP（ B）。

Ａ．52 Ｂ．72 Ｃ．92 Ｄ．112 三、计算题 １．已知)(xf数表： )5.0(f近似值。 求抛物插值多项式，并求利用反插值法得 ２．已知数表： 求最小二乘一次式。 01014648614102aaaa，解得： 由方程组：013,6aa，所以xxg63)(*1。 ３．已知求积公式：)21()0()21()(21110fAfAfAdxxf。求210,,AAA，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。 10118881[]0.4062282910113dxIx， 21|()|0.001321216768MRf 。 ４．用乘幂法求410131014A的按模最大特征值与特征向量。 因为 所以：112233224,(,,0)223,(0,1,0)222,(,,0)22TTTXXX ５．用予估－校正法求初值问题：1)0(2yyxy在4.0)2.0(0x处的解。 应用欧拉法计算公式：nnnyxy1.12.01 ，1,0n，10y。 计算得121.1,1.23yy。 四、证明题 １．设)(A是实方阵Ａ的谱半径，证明：AA)(。 1．因为A=(A-B)+B,AABB， 所以ABAB， ０ １ ２ －２ ０ ４ ０ １ ２ 1 3.2 4.8 又因为B=(B-A)+A, BBAA 所以BABAAB

２．证明：计算)0(aa的单点弦法迭代公式为：nnnxcacxx1，,1,0n。 因为计算5a等价求50xa的实根， 将54(),'()5fxxafxx代入切线法迭代公式得： 51441(4),0,1,...55nnnnnnxaaxxxnxx

。

《计算方法》练习题二 练习题第3套参考答案 一、填空题

1．近似数30.6350010a的误差限是（210 ）。

2．设|x|>>1,则变形1xx（ ()1G， ）,计算更准确。

3．用列主元消元法解：121223224xxxx，经消元后的第二个方程是（ 111nnnnxxanxxx),2,1(n， ）。 4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则(1)3mx ( 1.2， )。 5．已知在有根区间[a,b]上,'(),''()fxfx连续且大于零，则取0x满足（ 2(,)22nnnnfxyk ），则切线法收敛。 二、选择题 1．已知近似数a的()10/0ra，则3()ra（ c ）。 A. 10/0 B. 20/0 C. 30/0 D. 40/0 2．设{()}KTX为切比雪夫多项式，则22(().())TXTX（b ）。

A.0 B4. C.2 D. 

3．对6436A直接作三角分解，则22r（ d ）。 A. 5 B. 4 C.3 D. 2 4．已知A=D-L-U，则雅可比迭代矩阵B=（ c ）。 A. 1()DLU B. 1()DLU C. 1()DLU D. 1()DUL 5．设双点弦法收敛，则它具有（ a）敛速。 A. 线性 B.超线性 C.平方 D. 三次 三、计算题

1．已知()fx数表

值法求()0fx在[0，2]的根。 用插223sin0.5828510，

222()0.5821052400R。

2．已知数表 求最小二乘一次式。

2．222(,)(4)(3)(26)xyxyxyxy，由0,0xy 得6219235xyxy，解得：474,147xy。 3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分102dxx，并估计误差。 3．由221110482n解得3n，取n=3， 复化梯形公式计算得：1011661[]0.4067262783dxx。

4．用雅可比法求310130003A的全部特征值与特征向量。

4．120112011201231201100110012101210011 回代得：(1,1,1)TX

X 0 1 2 y -4 -2 2

X 0 1 2 3 y 2.8 9.2 15.2 20.8