第3讲效用最大化与支出最小化
(西方经济学)第3章效用论
02
通过实验模拟消费者的购买决策过程，验证其是否符合效用最
大化原则。
数学证明法
03
通过建立数学模型，运用数学工具证明效用最大化原则的正确
性。
效用最大化原则的应用
价格变化对消费者需求的影响
当商品价格发生变化时，消费者会根据效用最大化原则调整自己的购 买量。
收入变化对消费者需求的影响
当消费者收入发生变化时，也会根据效用最大化原则调整自己的购买 量。
用。
价格变化法
通过观察消费者对价格变化的 反应，来间接测量序数效用。
问卷调查法
通过问卷调查的方式，了解消 费者对不同商品组合的偏好程
度和排序。
序数效用论的应用
消费者行为分析
序数效用论可以用于分析消费者的购买行为和偏好，帮助企业更 好地了解市场需求和消费者需求。
市场细分
序数效用论可以用于市场细分，将消费者按照偏好程度进行分类， 针对不同类别的消费者提供不同的产品和服务。
(西方经济学)第3章效 用论
contents
目录
• 效用论概述 • 基数效用论 • 序数效用论 • 消费者行为理论 • 效用最大化原则
01
效用论概述
效用的定义
效用
效用与偏好相关
是指消费者从消费某种物品或服务中 得到的满足程度，是衡量消费者从消 费行为中获得的主观上的利得或利益。
消费者的偏好决定了他们对物品或服 务的效用评价，偏好不同导致效用评 价的差异。
企业可以根据消费者的需求和偏好，制定 合理的价格策略，以最大化销售量和利润 。
产品开发
营销策略
企业可以通过研究消费者的偏好和需求， 开发出更符合市场需求的产品和服务。
企业可以通过了解消费者的行为和心理， 制定更有效的营销策略，提高销售量和品 牌知名度。
第三讲 间接效用函数与支出函数
) • 包络定理：包络曲线 V ( 与曲线 于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代 数表达为：
f ( x1 , ) 相切
V f ( x , )1• 在 1处取值。此等式即为包络定理。
• 更加一般的，对于最优规划问题：
max
x
f ( x, ) g ( x, ) 0
前者是为达到既定的效用水平u选择最小的支出引出谢泼特定理前面已经证明和推导后者通过下面图形加以说明上图表示价格变动的替代效应的价格为斜率的支出线与以为斜率的支出线仍都与u相切表示以为斜率的支出线是最小支出表示以为斜率的支出线是最小支出
第一节 间接效用函数
• 一、间接效用函数的定义 • 直接效用函数：效用u ( x) 是消费计划 x x , x ,...x • 的函数。 v ( p, y ) u x ( p, y ) • 若 成立，则 v( p, y ) 就为间接效 用函数。
x ( a ), ( a )
f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) ....(2) a j ai
对最大值函数v(a )求关于a j的偏导数： v(a ) n f ( x(a ), a) xi (a ) f ( x(a), a) a j xi a j i 1 a j 返回一阶条件公式（），将第一个式子移项得： 1 f ( x(a ), a) g ( x(a ), a ) ( a ) xi xi 将此式代入求和项的方括中，并将v(a )的偏导数改写成：
性质1说明和证明
n R 表示价格的定义域，下标＋＋是指严格为正，
没有一维价格为零，n表示n维价格。R 表示收入的定义域，
n 收入可以为零。R R 表示预算集的定义域。性质1说明
《微观经济学》第三章经典需求理论
定义3.C.1 如果X上的偏好关系≥在极限下被保持，即 对于任意二元序列
{(xn ,
yn )}n1,
xn
yn, x
lim
n
xn,
y
lim
n
yn
我们有x≥y，则称该偏好关系是连续的。
等价表示：对于所有x，上等值集和下等值集均为闭 集。 证明这两个定义之间的等价性。 词典式偏好是不连续的。
y1
定义1.B.6 如果对于每个x，均有，对于任意
(0,1), y x, z x, y z y (1)z x
则称X上的偏好关系是严格凸的。 定义1.B.7 如果所有无差异集均通过射线的等比例 扩展联系在一起：即，若x~y，则对所有α≥0均 有αx~αy，则称 X RL上的单调偏好关系是位似 的。
注意：间接效用函数依赖于被选中的效用函数形式。 例3.D.2 效用函数 u(x1, x2 ) ln x1 (1 ) ln x2
习题
某消费者具有如下形式的效应函数
u(x1, x2 ) u(x1) x2
其中物品1是一个离散的物品，其可能的消费水平是 x1 0 or x1 1 假设u(0)=0，p2=1 该消费者具有何种类型的偏好；价格p1低于何种水平 时，消费者才会明确选择x1=1；其相关的间接效应 函数的代表形式是什么？
u(x( p, w)) w
u(x( p, w)) Dwx( p, w)
p Dwx( p, wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3.D.1 从C-D效用函数导出需求函数。L=2时，C-D 效用函数为 u(x1, x2 ) Ax1 x12 , A 0, (0,1) UMP问题是
作业3-效用最大化和支出最小化
第3次作业：效用最大化和支出最小化
1. 消费者的效用函数为1212(,)u x x ax bx =+，预算约束为1122p x p x y +=，请求解两种商品的马歇尔需求函数。
2．已知效用函数为1212(,)ln ln u x x x x =+，商品价格分别为1p 和2p 。
请写出消费者的支出最小化问题并求解希克斯需求函数。
3．当消费者的效用函数为12(,)u x x =
11p =，24p =，8I = （1）求消费者的需求量和效用水平
（2）当对消费者征收2元的总额税时，消费者的需求量变为多少？效用水平为多少？
（3）如果对第一种商品征收从量税，每单位商品征收1元，消费者的需求量变为多少？效用水平为多少？
（4）征收从量税时，税收总额为多少？与（2）问相比较，看有什么结论。
4．消费者的效用函数为1212(,)min(,4)u x x x x =，商品价格分别为1p 和2p ，请求解两种商品的马歇尔需求函数。
西方经济学 第3章 效用论PPT课件
三、商品的边际替代率
1．商品的边际替代率 商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：
M R S12 X2 X1
X
1
和
X
分别为商品1和商品2的变化量。
2
当商品数量的变化趋于无穷小时，商品的
边际替代率为：
M RS12
limX2
X X1 0
1
dX2 dX1
2．商品的边际替代率递减规律
商品的边际替代率递减规律和无差异曲线的形状
四、劣等品的替代效应和收入效应
五、吉芬品的替代效应和收入效应
商品价格变化所引起的替代效应和收入效应
商品类别
替代效应与 价格的关系
收入效应与 价格的关系
总效应与价 格的关系
需求曲线的 形状
正常品 反方向变化 反方向变化 反方向变化 向右下方倾斜
劣等品 反方向变化 同方向变化 反方向变化 向右下方倾斜 吉芬品 反方向变化 同方向变化 同方向变化 向右上方倾斜
2．关于货币的边际效用 在分析消费者行为时，通常假定货币 的边际效用是不变的。
3．消费者均衡
假定：消费者用既定的收入I 购买n 种商
品，P1、P2，...，Pn分别为n 种商品的数量， MU1、MU2，...，MUn分别表示n 种商品的 边际效用，则消费者效用最大化的均衡条件
用公式表示为：
P 1 X 1 P 2 X 2 ... P n X n I
只要保险公司的期望收益 pLS0， 保险公司就愿意接受这项投保业务。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
第3讲效用最大化与支出最小化
复习第2讲，消费者最优化2.1预算2.2偏好2.3效用2.4选择消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。
2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性预算线的斜率——机会成本。
2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序2.3效用：更简便的排序是用效用函数效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。
但是并非满足相切条件的解是最优解。
偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。
最优选择模型ch5买得到的组合：稀缺 排序：偏好无差异曲线ch3 效用函数 Ch4 边际替代率边际效用预算集 预算线预算约束Ch2 相切：选择ch5预算线斜率：商品1机会成本（边际成本）无差异曲线的斜率：商品1的主观价值（边际支付意愿。
保留价格）第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）3.1效用最大化3.2支出最小化3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系3.1效用最大化Max U＝U(x1, x2)S.t. P1 x1 + P2 x2 = ML=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0 (1)L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0 (2)L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0 (3)x1*=x1（p1，p2，M），x2*=x2（p1，p2，M）；这是马歇尔需求函数例子1：U(x1, x2)= x11/2 x21/2x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。
即马歇尔需求函数是零次齐次函数x1（tp1，tp2，tM）=t0x1（p1，p2，M）=x1（p1,p2,M）例子2：把马歇尔需求函数x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)代入U(x1, x2)= x11/2 x21/2得到最大的效用U*= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 mV= U*=V(p1,p2,m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m我们把V=V(p1,p2,m)称为间接效用函数，把U＝U(x1, x2)称为直接效用函数。
中级微观经济学第三讲
m3 m2 m1
x 1’ x1’’ x1’’’
x1*
完全替代
x2 MRS = -1
请画出X1的恩格尔曲线
请画出X2的恩格尔曲线
Slope = -p1/p2 with p1 < p2.
x* 20
收入提供曲线
x1
m * x 1 p 1
m
m
m = px
* 1 1
* x 2 0.
x1* Engel curve for good 1
消费者的理性行为是获得最大化效用。
最大效用水平间接地取决于购买商品 的价格以及消费者的收入。
U ( x1x2 ) x1x2
这是直接效用函数
maxU ( x1x2 ) x1x2
s.t.
p1 x1 p2 x2 I
L x1 x2 ( p1x1 p2 x2 I )
1 L 1 1 2 x1 2 x2 p1 0 x1 2 1 1 L 1 2 2 x2 x1 p2 0 x2 2
怎么得到需求曲线？ Fixed p2 and y. x2
p1
p1’’’ p1’’
p1’
x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x 1*
x1*(p1’’)
x1*(p1’’’)
x1*(p1’’)
x1*(p1’)
x1
普通物品(Ordinary Goods)
价格下降,需求量增加的商品
xi 0 pi
x* 2 bm . ( a b )p 2
x* 1
am . ( a b )p 1
练习
消费者的效用函数为U=X4Y3，则他在Y商品上 的支出占总支出的比例是多少？对Y的需求与 X的价格有什么关系？（北大2000研）
3高级管理经济学——效用最大化
7.需求函数
h (p, u) 希克斯需求函数（Hicks Demand Function）
也称补偿需求函数（Compensation Demand Function ）。
是指价格p下实现U的最小成本的商品需求束。
令
g(P, u) e(P, u) PX
g pi
x e( P,u)
pi
xi ( P* , m* ) hi ( P* , u* )
hi ( P* , u* )
e( P* ,u* ) pi
xi
(
P,
m)
v( P ,m ) / pi v( P ,m ) / m
严格偏好“ ”：
x y x y ,但不存在y x
无差异 “ ~ ”：
x ~ y x y , 且y x
个人偏好的理性假设
个人偏好的理性：偏好关系必须满足以下三 个基本假设
完备性：
对于所有的x, y ∈X，要么x y，要么y x，要么 两者同时成立。
传递性：
对于所有的x, y, z ∈X，如果x y ， y z ，则有 x z。
v(P, m) max u( x) e(P,u) minPX
s.t. PX m
s.t. u(X ) u
对偶的四个恒等式
e( p,v( p, m)) m
v( p,e( p, u)) u
xi ( p, m) hi ( p, v( p, m)) hi ( p, u) xi ( p, e( p, u))
5.间接效用函数的性质
性质1： v(P,m)对价格P是非增的。 即如果P’≥P，则有v(P’,m)≤ v(P,m) 类似地， v(P,m)对m是非减的。
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复习第2讲，消费者最优化
2.1预算
2.2偏好
2.3效用
2.4选择
消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。
2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性
预算线的斜率——机会成本。
2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好
无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序
2.3效用：更简便的排序是用效用函数
效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格
2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合
最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。
但是并非满足相切条件的解是最优解。
偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。
最优选择模型ch5
买得到的组合：稀缺 排序：偏好
无差异曲线ch3 效用函数 Ch4 边际替代率
边际效用
预算集 预算线
预算约束Ch2 相切：选择ch5
预算线斜率：商品1机会成本（边际成本）
无差异曲线的斜率：商品1的主观价值（边际支付意愿。
保留价格）
第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）
3.1效用最大化
3.2支出最小化
3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系
3.1效用最大化
Max U＝U(x1, x2)
S.t. P1 x1 + P2 x2 = M
L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)
L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0 (1)
L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0 (2)
L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0 (3)
x1*=x1（p1，p2，M），x2*=x2（p1，p2，M）；
这是马歇尔需求函数
例子1：
U(x1, x2)= x11/2 x21/2
x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)
如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。
即马歇尔需求函数是零次齐次函数
x1（tp1，tp2，tM）=t0x1（p1，p2，M）=x1（p1,p2,M）
例子2：
把马歇尔需求函数x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)
代入U(x1, x2)= x11/2 x21/2
得到最大的效用U*= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
V= U*=V(p1,p2,m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
我们把V=V(p1,p2,m)称为间接效用函数，把U＝U(x1, x2)称为直接效用函数。
间接效用函数相当于说，只要知道收入和价格，就知道相应的最大效用。
那么如果价格或收入发生变化，很容易得知导致效用的变化。
例子3：
U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
m=8，p1=1，p2=4，V=？，x1=？
m=8，p1+t=2，p2=4，V=？，x1=？税收tx1=？
m=8- tx1，p1 =1，p2=4，V=？x1=？
画图比较征收等额的商品税与所得税的影响p69
从量税：价格提高，（p1 +t）x1+p2 x2=m，政府税收t x1*
所得税：收入降低，p1x1+p2x2=m - t x1*，政府税收t x1*
对于单个消费者来说，征收相同税额，所得税优于从量税。
但是如果单个消费者不消费征税商品，那么他偏好从量税而不是所得
税。
例子4：
U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
-（ðV/ðp1）/（ðV/ðm）=?
补充：包络定理——值函数对参数的微分直接等于原函数对参数的微分。
V= U*=U[ x1*（p1，p2，M），x2*（p1，p2，M）]
=V (p1, p2, m)……值函数；
Max L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)……约束条件最大化的原函数；
ðV/ðp1= ðL/ðp1=-ζx1；
ðV/ðp1是说，如果价格变化1单位，效用会变化多少？如果在某一价格下，最优的商品购买量是x1，那么如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品可以少花1单位，收入总共多出了x1单位；每单位货币的效用为ζ。
于是，很直观的是，价格下降1单位，收入增加x1单位，效用增加了-ζx1单位。
如果价格上涨则相反。
ðV/ðp1= ðL/ðp2=-ζx2
ðV/ðm= ðL/ðm=ζ
-（ðV/ðp1）/（ðV/ðm）=x1*=(1/2) (m/p1)，
-（ðV/ðp2）/（ðV/ðm）=x2*=(1/2) (m/p2)
我们把-（ðV/ðp i）/（ðV/ðm）=x i*（p1，p2，M）称为罗伊恒等式。
利用该等式，知道间接效用函数，可直接得到马歇尔需求函数。
3.2支出最小化
Min e= P1 x1 + P2 x2
S.t. U(x1, x2)＝U
L= P1 x1 + P2 x2–θ(U(x1, x2)-U)
L’x1 = P1–θðU/ðx1 =0 (1)
L’x2 = P2–θðU/ðx2 =0 (2)
L’θ= U(x1, x2)-U =0 (3)
x1*=x1h（p1，p2，U），x2*=x2h（p1，p2，U）；叫希克斯需求函数，区别于马歇尔需求函数
满足MU1/ P1=MU2/ P2＝1/θ或MU1/ MU2 = P1 / P2
画图，区别效用最大化模型与支出最小化模型
把x1h（p1，p2，U），x2h（p1，p2，U）代入最小支出：
e*= P1 x1h（p1，p2，U）+ P2x2h（p1，p2，U）
e*= e（p1，p2，U）被称为支出函数，它告诉在既定价格条件下为了实现某一效用所需要的最小支出。
例子5：
求U(x1, x2)= x11/2 x21/2的支出函数
根据支出最小化模型得到：
x1h= p1-1/2p21/2 U，x2h= p11/2p2-1/2U,
e= p1 p1-1/2p21/2 U + p2 p11/2p2-1/2U=2 p11/2p21/2U
如果U=2, p1=1,p2=4, e=?
征税U=2, p1+t=2,p2=4, e=?
必须至少补贴多少钱，消费者才不会反对征税？
画图表示
例子6：
ð e（p1，p2，U）/ðp1=？
ð e（p1，p2，U）/ðU=？
根据包络定理
ð e（p1，p2，U）/ðp1= ð L/ðp1= x1*=x1h（p1，p2，U），
ð e（p1，p2，U）/ðp2= ð L/ðp2= x1*=x2h（p1，p2，U），
这叫谢泼德引理。
ð e（p1，p2，U）/ðp1=x1h
ðe/ðp1是说，如果价格变化1单位，最小支出会变化多少？很直观的是，如果在某一价格下，达到某一效用支出最小的商品购买量是x1h，那么如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品少花1单位货币，共节省x1h单位支出就可以达到原来的U。
如果价格上涨则相反。
ð e（p1，p2，U）/ðU= ð L/ðU= θ=1/ζ
3.3效用最大化与支出最小化：比较
例子：V=V(p 1, p 2, m)与e= e （p 1，p 2，U ）互为反函数 V=V （p 1, p 2, m ）= (1/2) p 1-1/2 p 2-1/2 m e= e （p 1，p 2，U ）=2 p 11/2p 21/2U 画图：
四个恒等式：
e= e （p 1，p 2，V （p 1，p 2，m ））=m V （p 1，p 2，e （p 1，p 2，U ））=U
x i （p 1，p 2，M ）=x i h （p 1，p 2，V （p 1， p 2， m ）） x i h （p 1，p 2，U ）=x i （p 1，p 2，e （p 1，p 2，U ））
希克斯需求不可观察，但是马歇尔需求是可以观察的
画图：
马歇尔需求函数，希克斯需求函数，边际替代率
Max U ＝U(x 1, x 2) S.t. P 1 x 1 + P 2 x 2 = M Min e= P 1 x 1 + P 2 x 2 S.t. U(x 1, x 2)＝U x 1=x 1*（p 1，p 2，M ） x 2=x 2*（p 1，p 2，M ） V=V(p 1, p 2,
m)
-（ðV/ðp i ）/（ðV/ðm ） =x i *（p 1，p 2，M ）
x 1*=x 1h （p 1，p 2，U ） x 2*=x 2h （p 1，p 2，U ）
e= e （p 1，p 2，U ）
ð e （p 1，p 2，U ）/ðp i =x i h （p 1，p 2，U ），
间接效用与
最小支出互为反函数。