八年二次根式、勾股定理综合复习经典复习过程
人教版八年级数学下册课件勾股定理复习课(课2)
c
（1）如果∠A和∠B是邻补角，那么∠A+∠B=180〫.
重难点3：勾股定理逆定理的应用
Ca B
知识梳理
3. 勾股定理逆定理的应用
② 实质：由“数”到“形”的转化； ③ 应用：判定一个三角形是否为直角三角形.
知识梳理
4. 勾股数
勾股数
正整数
判断一组数是不是勾股数的步骤： 看、找、算、判.
重点解析
反走私艇 B 离走私艇 C 12 海里，若走私艇 C
从边的方面判断：如果已知条件与边有关系，则可以通过勾股定理的逆定理进行判断.
两个角都是40〫
重点解析
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论. 2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
重点解析
重难点2：勾股定理的逆定理
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是， 请指出哪个角是直角. （1）在△ABC中，∠A=25〫、∠B=65〫； 解：（1）在△ABC中，因为∠A=25〫、∠B=65〫，所以 ∠C=180〫-∠A-∠B=90〫，所以这个三角形是直角三角形. ∠C是直角.
重点解析
重难点4：勾股数
判断下列各组数是不是勾股数：
深化练习
1.在△ABC中，∠A、 ∠B 、 ∠C的对边分别是a、b、c，下列判断 错误的是（ B ）.
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
深化练习
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形. 解析：因为∠C- ∠B=∠A，所以 ∠C=∠B+∠A. 因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 ∠C+∠C=180〫. 解得：∠C=90〫，所以△ABC是直角三角形.
八下二次根式、一元二次方程、勾股定理复习讲义
数学学科辅导讲义教学内容勾股定理·一元二次方程·二次根式（复习）教学过程知识详解【二次根式·知识梳理】1、二次根式的概念一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式；（1）对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数（2）是非负数，即大于等于0.【易错点】（1）二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义；9=3，但3不是二次根式，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”（3）是二次根式，虽然4.二次根式的运算（a ≥0，b ≥0）； （a ≥0，b>0）二次根式加减时，可以先将二次根式化成__最简二次根式___，再将___被开方数相同__的二次根式进行合并。
【一元二次方程·知识梳理】 一、一元二次方程的解法二、一元二次方程根的判别式 1.根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况由24b ac -来决定。
我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。
通常用“∆”来表示，即∆=24b ac -。
2.根的判别：一般地，方程20(0)ax bx c a ++=≠，当∆＞0时，有两个不相等的实数根；a ac b b x aacb b x 24,242221---=-+-=当∆＝0时，有两个相等的实数根；;221a bx x -==当∆＜0时，没有实数根.三、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax ²+bx+c=0（a 、b 、c 是常数且a≠0）的两根为x1、x2，(b ²-4ac ≥0 ) 则有“韦达定理”：a bx x -=+21 (两根之和）a c x x =⋅21(两根之积） 典例：.设a ，b 是方程x 2+2x-2018=0的两个实数根,则a 2+a-b 的值为 ( )A.2017B.2018C.2019D.2020四、一元二次方程的应用列方程解应用题的基本步骤:1、审：弄清题意，找出题中的等量关系;2、设：用字母表示题中的所求量;3、列：根据等量关系列出方程;4、解：解出方程，并根本实际意义进行检验;5、答：回答题中所问;①增长率问题②面积问题③分式方程④销售问题【勾股定理·知识梳理】一．求线段长求线段长1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；特殊三角形比例关系图1中，图2中，等面积法求高勾股定理与角平分线结合已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD勾股定理与折叠问题结合直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，C△ABE=AB+BC=9+12=21网格与勾股定理辅助线构造直角三角形（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长二．勾股定理与最短距离1. 画出立体图形的展开图2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离分类思路图示正方体1. 画出平面展开图2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解长方体长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解圆柱B点应该在侧面展开图的中间线上缠绕多圈1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合2.长方体：展开侧面，连接A、B 两点即可典型例题二次根式题型一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：（1）（2）（3）（4）题型二二次根式的非负性的应用例1 已知m，n为实数，且满足,求6m-3n的值题型三二次根式性质的应用例1 把根号外面的因式移入根号内， = ( )A． B.C． D.例2，a的取值范围是( )A．a≤2 B. a≥2C．a≠2 D. a＜2题型四二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式：题型五二次根式的运算（1）（2）（3）一元二次方程增长率问题1.某厂四月份生产零件100万个,第二季度共生产零件282万个.设月平均增长率为x,那么x满足的方程是()A.100(1+x)2=282B.100+100(1+x)+100(1+x)2=282C.100(1+2x)=282D.100+100(1+x)+100(1+2x)=2822、小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期后共取得5145元.设这种储蓄的年利率为x，则能列出方程____________________.面积问题例1.有一块面积为150米2的长方形场鸡场的一边靠墙（墙长18米），另一边用竹篱笆围成，如果竹篱笆长35米,鸡场的长与宽各是多少？变式、有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形鸡场，设鸡场的宽AB为x厘米，面积为S平方米。
勾股定理及二次根式综合复习（含答案）
勾股定理及⼆次根式综合复习（含答案）勾股定理及⼆次根式复习⼀、知识梳理：（⼀）勾股定理：1、勾股定理定义：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅勾：直⾓三⾓形较短的直⾓边股：直⾓三⾓形较长的直⾓边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三⾓形的三边长a ，b ，c 有下⾯关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
2. 勾股数：满⾜a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；5,12,13 3. 判断直⾓三⾓形：如果三⾓形的三边长a 、b 、c 满⾜a 2+b 2=c 2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
（经典直⾓三⾓形：勾三、股四、弦五）其他⽅法：（1）有⼀个⾓为90°的三⾓形是直⾓三⾓形；（2）有两个⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形。
⽤它判断三⾓形是否为直⾓三⾓形的⼀般步骤是：（1）确定最⼤边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直⾓的三⾓形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三⾓形为钝⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三⾓形为锐⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）4.注意：（1）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半（2）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半。
（3）在直⾓三⾓形中，如果⼀条直⾓边等于斜边的⼀半，那么这条直⾓边所对的⾓等于30°。
5. 勾股定理的作⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边；（2）已知直⾓三⾓形的⼀边，求另两边的关系；（3）⽤于证明线段平⽅关系的问题；（4）利⽤勾股定理，作出长为n 的线段. （⼆）⼆次根式：1.⼆次根式的概念：形如a （a≥0）的式⼦叫做⼆次根式（⼆次根式中，被开⽅数⼀定是⾮负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）2.最简⼆次根式：同时满⾜：①被开⽅数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开⽅数中不含能开得尽⽅的因数或因式．这样的⼆次根式叫做最简⼆次根式． 3. 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫同类⼆次根式． 4．⼆次根式的性质：①a a ≥≥00（）②()a a a 20=≥（）③a aa aaa a200==>=-<||（）（）（）④ab a b a b=?≥≥（，）00⑤babaa b=>≥（，）005．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有⼆次根式的代数式相乘，?若它们的积不含⼆次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.⼆次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．7.使分母不带根号（分母有理化）常⽤⽅法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。
八年级数学二次根式初步专题复习
y
20 ，求 y 的值．
2
25
y
【答案： 16 】
练 11． 化简 a 1 2a a2 【答案：当 a 1 时 ，原式 2a 1 ；当 a 1 时，原式 1 ．】
a 3b 练 12． 已知 a b 4 2 ， a b 2 2 ，求 a
bb a
【答案： 6 6 ．】
练 13． 若 x， y 是实数，且 y
练 5． 已知 x 1，化简 ( x 4)2 【答案： 6 3x 】
( x 1)2
x2 6x 9 ．
练 6． 将下列各二次根式化成最简二次根式：
（ 1） 3a5 ； （ 3） a3 (x y)2 (x y)( x y 0) ；
ab3
（2）
(b 0) ；
4
p2
（4）
( p q 0) ．
pq
【答案： a2 3a ; b ab ; a x y
不符合最简二次根式的条件
1 11
1，
，
x
m2
m4 不符合最简二次根式的条件
2．】
例 12、把下列各式化为最简二次根式：
（ 1） 32 ；
3
（2）
；
49
（ 3） 0.12 ；
1 （4） 9 ；
3
（ 5）
45
；
(m n)3
11 （6） ab a4 b4 ．
【答案：（ 1）4
2 ；（ 2）
3 ；（ 3）
例 9、 如果 a 0, a 0 ，求 (b a 4)2 b
【答案： 3】
(a b 1)2 的值．
例 10、计算：
（ 1）
1
1 2
0
3
( 2)2 ；
八年级--数学《勾股定理》学习复习计划的要点计划归纳
八年级--数学《勾股定理》学习复习计划的重点计划概括
八年级数学《勾股定理》复习重点概括
八年级数学《勾股定理》复习重点概括
1.勾股定理内容：
假如直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那
么 a2+b2=c2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方。
2.勾股定理的 ` 证明：
勾股定理的证明方法好多，常有的是拼图的方法
3.用拼图的方法考证勾股定理的思路是：
(1)图形进过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面
积不会改变 ;
(2)依据同一种图形的面积不一样的表示方法，列出等式，
推导出勾股定理。
4.勾股定理的合用范围：
勾股定理揭露了直角三角形三条边之间所存在的数目关系，
它只合用于直角三角形，关于锐角三角形和钝角三角形的三边
就不拥有这一特点。
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【八年级数学《勾股定理》复习重点概括】。
八年级数学下册期中专题复习学案(二次根式,勾股定理,平行四边形)(有答案)【精品】
《第十六章二次根式》专题复习知识结构图重难点 1 二次根式有意义的条件例1．若式子m＋1＋(m－2)0有意义，则实数m的取值范围是( ) A．m＞－2 B．m＞－2且m≠1C．m≥－1 D．m≥－1且m≠2【方法指导】1．使得式子x4－x有意义的x的取值范围是( )A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜42.要使式子x＋3x－1＋(x－2)0有意义，则x的取值范围为．3．使代数式1x＋3＋4－3x有意义的整数x有．重难点2 二次根式的非负性例2. 若a－1＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于( )A．－2 B．0 C．1 D．2【方法指导】这类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0，从而构造方程求未知数的值，通常利用的非负数有：(1)||x≥0； (2)x2≥0； (3)x≥0.针对练习：4．若a ＋b ＋5＋|2a －b ＋1|＝0，则(b －a )2 020＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－52 020 D ．52 0205．已知y ＝x －4＋4－x ＋2，则 xy的值为 ．6．已知|a －5|＋b ＋3＝0，那么点P (a ，b )在第 象限． 7.已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：()()b a b a ---++22123.重难点3 二次根式的运算例3．计算：()22331312-+⨯-【方法指导】二次根式的运算中，多项式乘法法则、除法法则以及乘法公式仍然适用． 针对练习： 8．计算： （1）4821319125+- （2）()()2222336-++- （3）()()362546322÷++-重难点 4 与二次根式有关的化简求值例4. 先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--y x x y xy x xy x x y 1122222，其中32,32-=+=y x .将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算． 针对练习：9．先化简，再求值：12212122++-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---a a a a a a aa ，其中2=a .重难点 5 与二次根式有关的规律探究例5．先阅读，再解答：由()()()()235353522=-=-⋅+可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中的根号，例如：()()23232323231-=-+-=+，根据以上运算请完成下列问题：(1)2019-2017(填“＞”或“＜”)； (2)利用你发现的规律计算下面式子的值：()12019201820191341231121+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++．针对练习：10.观察下列各式：514513,413412,312311=+=+=+,…，请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表示出来： ．《第十七章 勾股定理》专题复习。
八年二次根式、勾股定理综合复习经典知识讲解
学习过程一、知识点复习讲解1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）==a a25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222a b c+=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明0 （勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形， 化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用cba HG F EDCBAbacbac cabcab a bc cbaE D CBA①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角 边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C二、例题精析与课堂运用 第一部分：二次根式【例题】【历年考点例析】 考点1、无理数知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。
初二二次根式复习教案
二次根式复习教案一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质；2、熟练进行二次根式的乘除法运算；3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算；4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
二、重点难点重点：含二次根式的式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.三、考点剖析（占5-10分）1. 根式的意义；2. 根式的混合计算；3. 根式的化简、因式分解（结合完全平方公式）。
四、教学过程（一）本章知识回顾1. 二次根式：式子< a （a >0）叫做二次根式。
（当a >0时，•• a >0；当a >0时, -a在实数范围内有意义。
）2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3. 同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
-a ( a > 0)_ 〈0( a =0)； (2) a 2 = a = - a ( a v 0)5.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：Jab = ^a ・\/b ( a >0,b >0)； ；a =兰但启o b >0\ b vb '(二)例题讲解例题1.』81的算数平方根是 _______ ，平方根是例题3.因式分解，化简4.二次根式的性质:— 2(1)( 、.a ) =a ( a >0)；(1) a , b 为非负数分解a-b (2) 6+2 42 +7例题4. X取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：（根式的意义）(3)^27 + ./^；!己知g n为实数，且满足m = ——T求6m-知的值. 例题5.变式题型-4a + 4 -4a 十3例题6.设a、b为实数，且满足 2 2a b —6a—2b+10=0，求b的值变式已知实数a, b满足.a • 5 • |b-6 |=0,求a-b的值。
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八年二次根式、勾股定理综合复习经典学习过程一、知识点复习讲解1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）==a a25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222a b c+=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”0 （形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形， 化简得证３.勾股定理的适用范围cba HG F E DCB Abacbac cabcab a bccbaED CBA勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C二、例题精析与课堂运用 第一部分：二次根式【例题】【历年考点例析】 考点1、无理数知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。
知识特点：常见的无理数：1、π以及π的有理数倍数。
2、2、3、5； 3、2．01001000100001…………考查题型1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。
（08年自贡市）分析：-1的绝对值是1，所以，小于－1的数的绝对值一定要大于1，只要符合 这一点，就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。
解：小于－1的有理数-4、-5等等，小于－1的无理数-2、-3、-5等等。
2、从实数－2，－31，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（）A. －31，0 B. л，4 C. －2，4 D. －2，л（08年湖北省宜昌市）分析：根据常见的无理数，可以发现只有-2和π是无理数，因此，选项D 是正确的。
3、如图1所示，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有523π7 ，，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．（08嘉兴市）、分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，后根据无理数的定义，作出判断。
（图1）解：（1）仔细观察上面的四个数，不难发现B 、D 是无理数，A 和C 是有理数，结果列表如下：（2）仔细观察上表，一共有12种可能性，期中都是无理数的可能性有2种，因此，两个数都是无理数的概率为：61122。
考点2、平方根 知识回顾：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫做a 的平方根。
记作±a 。
读作“正负根号a ” 知识特点：（1）被开方数a ，满足的关系式是：a ≥0；（2）平方根x 与被开方数a ，满足的关系式是：x=±a ； （3）被开方数a 与平方根x ，满足的关系式是：a= x2= （±a）2= a2= （-a）2；（4）两个平方根之间满足的关系式是：a+（-a）=0，即两个平方根互为相反数，所以，他们的和为0. 如下说法都是正确的：（）①a的平方根是±a；②a是a的平方根；③-a是a的平方根；④±a是a的平方根；其中a是非负数。
此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。
考查题型4、2的平方根是（）A．4 B C．D．（08年南京市）分析：根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“±”来体现“两个”。
5、9的算术平方根是A. ±3B. 3C. －3D. 3（08恩施自治州）分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项A、C都是不正确的；因为，32=9，所以，9的算数平方根是3。
6、化简：4=（）A．2 B．－2 C．4 D．－4（08年甘肃省白银市）分析：理解4的意义是解题的关键。
4的意义实际上就是求正数4的算术平方根，所以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于4，这样只有选项A符合要求。
7、。
(08年安徽省)分析：因为，（-4）2=16的意义是求正数16的算数平方根，因为，42=16=4.考点3、二次根式知识回顾：知识特点：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式。
1、被开放数a是一个非负数；2、二次根式a是一个非负数，即a≥0；3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0.考查题型7,则x的取值范围是A.x>-5B.x<-5C.x≠-5D.x≥-5 (08常州市)分析：在这里二次根式的被开方数是x+5意义, 必须满足条件：x+5≥0，所以，x≥-5，因此，选项D是正确的。
8、若20a -=，则2a b -= ．（08年遵义市）分析：因为，|a-2|和3-b 都是非负数，并且它们的和是0， 所以，|a-2|=0且3-b =0，所以，a=2，b=3， 所以，a 2-b=4-3=1.9、若实数x y ，2(0y -=，则xy 的值是 (08年宁波市)分析：因为，2+x 和2)3(-y 都是非负数，并且它们的和是0，所以，2+x =0且2)3(-y =0，所以，x=-2，y=3，所以，xy=-23. 考点4、二次根式的化简与计算 知识回顾：二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
知识特点：二次根式的加减运算：a m +b m =（a+b ）m ，（m ≥0）； 二次根式的乘法运算：a .b =ab ，( a ≥0, b ≥0)；二次根式的除法运算：a ÷b =b abba=，( a ≥0, b ＞0)；二次根式的乘方运算：2)(a =a ，( a ≥0)；二次根式的开方运算：2a =⎩⎨⎧-≥00,a ＜a a a ， 考查题型10、下列计算正确的是（ ）A ．=B =C 3=D 3=-（08年聊城市） 分析：这就是二次根式化简的综合题目，23与42的被开方数不相同，所以，它们不是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，A 是错误的；因为，22222482=⨯=⨯=，所以，B 也是错误的；因为，27÷3=39327==÷，所以，C 是正确的； 根据二次根式的开方公式，得到D 是错误的。