物理方程有定解的线性边界条件的分类
三类典型的数学物理方程
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
数学物理方程及其定解问题
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
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第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
材料力学边界条件
材料力学边界条件边界条件在材料力学中起到非常重要的作用，它们是物理现象或力学问题的解决方案的关键要素之一、边界条件确定了在研究区域边界上发生的物理过程和影响。
在材料力学中，常见的边界条件包括：1.位移边界条件：位移边界条件是指物体在边界上的位移情况。
常见的位移边界条件有固定边界条件、自由边界条件和摩擦边界条件等。
固定边界条件是指物体在其中一边界上的位移被限制为零，即该边界上的点不能发生位移。
自由边界条件是指物体在其中一边界上的位移没有任何限制，即该边界上的点可以自由运动。
摩擦边界条件是指物体在其中一边界上的位移受到边界面上的摩擦力所限制。
2.力边界条件：力边界条件是指物体在边界上受到的外力情况。
常见的力边界条件有固定力边界条件和自由力边界条件等。
固定力边界条件是指物体在其中一边界上受到的外力为零，即该边界上没有外力作用。
自由力边界条件是指物体在其中一边界上受到的外力没有任何限制，即该边界上的外力可以自由作用。
3.应力边界条件：应力边界条件是指物体在边界上的应力情况。
常见的应力边界条件有固定应力边界条件和自由应力边界条件等。
固定应力边界条件是指物体在其中一边界上的应力被固定为其中一个值，即该边界上的应力受到限制。
自由应力边界条件是指物体在其中一边界上的应力没有任何限制，即该边界上的应力可以自由变化。
边界条件的选择需要根据具体问题的要求和实际情况进行确定。
通常情况下，边界条件需要满足力学平衡条件、位移连续条件和应力连续条件等。
同时，边界条件的选择也需要考虑到物体的边界特性，比如是否有固定边界、自由边界或者摩擦边界等。
边界条件的正确选择对于力学问题的解决至关重要。
不恰当的边界条件会导致计算结果的不准确甚至错误。
因此，在进行模拟和计算时，需要仔细分析和确定边界条件，并考虑到实际问题的特点和要求。
总之，材料力学边界条件是研究区域边界上发生的物理过程和影响的要素，其正确选择对于解决力学问题具有重要作用。
在选择边界条件时，需要考虑到力学平衡、位移连续和应力连续等方面，以获得准确的计算结果。
数学物理方程(很好的学习教材)
数学物理方程(很好的学习教材)
二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
数学物理方程(很好的学习教材)
四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
数学物理方程(很好的学习教材)
u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
三类边界条件可以统一地写成
定解问题问题的分类数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。
根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题：定解条件仅有初值条件；边值问题：定解条件仅有边值条件；混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。
35分离变量理论(,)(,)(,)(,)(,)0xx yy x y a x y u b x y u c x y u d x y u e x y u ++++=考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程：试确定方程如下形式的解：()()u X x Y y =将该解代入方程可得：aX Y bXY cX Y dXY eXY ′′′′′′++++=8有界弦的自由振动问题（齐次方程的混合问题）研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：()()()()()()()()()20, 0,0,0, ,00;,0, ,0, 0.tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩在求解常微分方程时，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用给定条件确定通解中的积分常数。
对于如上定解问题，这中做法一般情况下是行不通的。
原因在于通常很难求出偏微分方程的通解。
解决这一问题的办法是直接求满足定解条件的特解。
10相应地，边界条件变为：()()()()()()()()0000,00,0u t X T t u l t X l l t X X T ==⎫⎪⇒⎬===⎧=⎪⎭⎪⎨⎪⎩这样就得到如下常微分方程：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩该常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。
15本征值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。
弹性力学-边界条件
yx
x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy
由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0
h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
x x l
dy Fx ,
xy x l
dy Fy ,
x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
弹性力学4-物理方程、边界条件
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
应力边条件较为复杂，比较常用，需要说明的几点： 1.应力边界条件中的面力和应力具有不同的正负号规 定，且分别作用于通过边界点的不同面上。
这两种方法应用见后面的例子。
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
例2.1：悬臂梁受力如图，试写出其上、下两边应
力边界条件。
p
上表面：y h l 0 , m 1
x
2
q y
xy yh 2 0
y yh 2 p
下表面：y h
(l x m xy )s fx (s)
2
l 0 , m 1
应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，则由 边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应 力与面力的关系式。可将[P13式(2-3）]应力分量px和py
分别用面力分量 fx (s), fy (s) 代替可得：
(l x m xy )s fx (s)
(l xy m y )s f y (s)
(l xy m y )s f y (s) xy yh 2 q
y yh 2 0
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
例2.2：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水 坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。
右侧面： x cos xy sin 0 xy cos y sin 0
混合边界条件：
一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如 式（2-14）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力 边界条件，如式（2-15）； 另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即 两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力 边界条件，课本图2-7。
数学物理方法第七章2013
4
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、等
7.1 数学物理方程的导出
导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。
波动方程的导出
5
（一）均匀弦的微小横振动
设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附 近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律 弦的横振动 u( x, t )
x
x dx
相对伸长量：
u( x dx , t ) u( x , t ) u dx x
10
u( x , t )
u( x dx, t )
胡克定律：
dL
f YS
dL L
Y：杨氏模量，
u 杆的dx一段相对伸长 x u f YS YSux x
f
L
S
运动方程： 杆dx两端的相对伸长不同，应力也不同
T （u x
x dx
ux
x
） F ( x , t )dx ( dx )utt
单位质量所受 外力，力密度
9
受迫振动方程
utt a 2 uxx f ( x, t )
（二）均匀杆的纵振动
设：均匀细棒(杆)，沿杆长方向作微小振动 u(x,t): 平衡时坐标为x 的点在t 时刻沿x 方向的位移。 求：细杆上各点的运动规律 研究对象：取一不包含端点的小段（x, x+dx）,并设杆的 横截面积为S，密度为 ，杨氏模量为Y，该小段在t时刻 的伸长量u(x+dx,t)-u(x,t)
扩散现象：系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出 现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。
数学物理方法1-1数学物理方程及其定解条件资料讲解
9
教学基本要求
掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法；
熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等；
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
14
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
由
cos12
4
2! 4!
略去 和 ' 的所有高于一次方的项时，就有
cos1, cos' 1 u
T'
代入式 T c o s T 'c o s' 0
便可近似得到： T T '
M'
'
ds
M
gds
T
在u方向弧段 M M ' 受力总和为
N
N'
O
x
x dx
x
TsinT'sin'g d s,
其中， gds 是 M M ' 的重力。
第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
数学物理方法 名词解释
第一章1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。
边界条件又有Dirichlet边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann条件,也称第二类边界条件、Robin边界条件，第三类边界条件。
P3-42.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。
又分有初始问题（Cauchy问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。
对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。
P113.定解问题的适定性从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准：⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。
⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。
⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。
定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。
P124.Dirichlet、Neumann定解问题定解条件只有Dirichlet条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet定解问题。
定解条件只有Neumann条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann定解问题。
5.热传导Fourier定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。
对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx)其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A为传热面积，单位为m2, t为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。
6.Hooke弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即，则三维热传导方程变为，此方程为Poisson方程。
特别地，若f(x,y,z)=0，即，则为Laplace方程。
Poisson方程或Laplace方程统称为位势方程。