一阶线性微分方程的解法
第七章 第4节 一阶线性微分方程
y x ,
2
y,
2
dz dx
4 x
z x ,
2
4 x x 解得 z x C , 即 y x C . 2 2
2
17
例3
1.
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 yy 2 xy xe
2 x
2
;
解
y xy
1 ( 1 )
a 2 x C ( ln x) 2
将 z y 1 代入 , 得原方程通解:
a 2 y x C ( ln x) 1 2
16
例 2 求方程
dy dx
1 2
4 x
y x
2
y 的通解.
4 x
2
解 两端除以 y ，得
令 z
1 dy y dx
Q (x) y
dx 为 v ( x ), ln y v ( x )
P ( x ) dx ,
.
4
即 y e
v( x)
e
P ( x ) dx
.
P ( x ) dx
非齐方程通解形式 y u ( x ) e
与齐方程通解相比: C u ( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
2
13
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy dx P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的解法
一、 一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解 令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得 以uxy代入上式，得
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
一阶线性微分方程及其解法
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题 设出所求未知函数,确定初始条件。 分析问题,设出所求未知函数 确定初始条件 设出所求未知函数 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 建立微分方程。 3. 确定方程类型 求其通解. 确定方程类型,求其通解 求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而 即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 ） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式 ） dx 2）解法 常数变易法 ） 3）通解公式 ）
一阶线性微分方程通解
一阶线性微分方程通解
一阶线性微分方程形式为：
其中，P(x),Q(x)均为x的已知函数，Q(x)称为自由项。
一阶，指的是方程中关于 y 的导数是一阶导数。
线性，指的是这个方程简化后的每一项关于y、y' 的次数为0或1。
当自由项Q(x)≡0时，方程为 y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。
当自由项Q(x)≠0时，方程为 y'+P(x)y=Q(x)，这时称方程为一阶非齐次线性微分方程。
一、一阶齐次线性微分方程的解法
齐次线性微分方程的形式：
此方程实质是可分离变量的微分方程，分离变量后为
两边积分，得
求得通解为：
二、一阶非齐次线性微分方程的解法
非齐次线性微分方程的一般形式：
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，这种方程的解法为：（详细解法）
1.求出其对应的齐次线性微分方程 y'+P(x)y=0 的通解
2.将原一阶非齐次微分方程改写为
两边积分，得
即
因为积分
中的被积函数含有未知函数 y，因此还不能说得到了方程的解．但是，由于y是x的函数，则上面这个积分的结果最终是x的函数．故可设
从而有
再求未知函数C(x)．因为上面的y是原方程的解，所以上面的y应满足原方程，将y及它的导数y'
代入原方程，得
即
两边积分，得
便得方程的通解公式为
或者
上式右端第一项是对应的线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程的一个特解．因此，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．
在应用时可直接使用上述公式。
一阶线性微分方程
通解求法
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出 对于一阶齐次线性微分方程： 其通解形式为： 其中C为常数，由函数的初始条件决定。 一阶非齐次线性微分方程 对于一阶非齐次线性微分方程： 其对应齐次方程:解为： 令C=u(x)，得: 带入原方程得： 对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：
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一阶线性微分方程
数学学科概念
01 定义
目录
02 通解求法
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导 数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。
定义
形如（记为式1）的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里 假设，是x的连续函数。
求解一阶线性微分方程的方法
求解一阶线性微分方程的方法对于一阶线性微分方程，
)()(x q y x p dx
dy =+有如下的一般求解方法（摘自普林斯顿大学微积分读本）：1将包含y 的部分放在左边，包含x 的部分放在右边，然后两边除以dy/dx 的系数得到一个标准形式的方程
)()(x q y x p dx
dy =+2两边乘积分因子，我们称其为f(x)，它由
积分因子⎰=dx
x p e x f )()(给出，这里不需要为指数上的积分+C ，左边变为))((y x f dx
d ，其中f(x)为积分因子，用这个新的左边重写方程()()()()()()()()()p x dx
p x dx p x dx p x dx p x dx dy e e p x y e q x dx
d e y e q x dx ⎰⎰⎰+=⎰⎰=3两边积分，这次必须在右边+C
()()()()()()=()dx C p x dx p x dx p x dx p x dx d e y e q x dx
e y q x e ⎰⎰=⎰⎰+⎰4两边再除以积分因子f(x)来解出y.
()()()()=()dx C
1
(()dx C)p x dx p x dx p x dx p x dx e y q x e y q x e e ⎰⎰+⎰=+⎰⎰⎰。
一阶线性微分方程的解与应用
一阶线性微分方程的解与应用一阶线性微分方程是微积分学中的重要内容，广泛应用于各个科学领域，特别是物理学和工程学。
它们的解法相对简单，且具有丰富的实际应用价值。
本文将介绍一阶线性微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。
我们的目标是找到其解y(x)。
首先，我们可以将这个方程变形为dy/dx = -P(x)y + Q(x)。
接下来，我们使用一个重要的积分技巧——乘积法则。
将方程两边同时乘以一个称为积分因子的函数μ(x)，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
为了使得左边能够变成一个恰当微分，我们需要选择一个适当的积分因子μ(x)。
一种常见的选择是μ(x) = exp[∫P(x)dx]，即取积分因子为P(x)的指数函数形式。
这样，原方程变为d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)。
对上述方程两边同时积分，我们得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常量。
最后，我们将μ(x)代回方程中，得到y(x) = exp[-∫P(x)dx] [∫μ(x)Q(x)dx + C]。
至此，我们已经得到了一阶线性微分方程的解的通解形式。
通过选取不同的积分因子和积分常数C，我们可以得到不同的特解，满足具体条件的问题。
二、一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用实例：1.增长与衰减问题：对于一些与时间有关的增长或衰减过程，可以建立一阶线性微分方程描述其变化规律。
比如，放射性元素的衰变过程、细胞的增殖过程等。
2.电路问题：电路中的电流、电压的变化可以用一阶线性微分方程来描述。
对电路中的各个元件进行建模时，可以利用该方程求解电流或电压的变化。
3.人口动态问题：人口学中的人口增长与迁移等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来研究。
一阶线性微分方程及其解法
2）解法 常数变易法
3）通解公式
y
e
P(
x )dx
[
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
C
]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
齐次的 通解
非齐次 的特解
关于通解公式要注意：
P(x)dx
y e ( Q(x)eP(x)dxdx C)
只表示某一 个函数
解 分离变量 d y ex d x, y
两端积分
dy y
ex
d
x
ln y ex C1,
C
y Ceex为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用: 衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其
它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变 的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中 铀含量M(t)随t的变化规律
,即
x yu
，故 dx u y du
dy
dy
代入得：
1 eu
u
y
du dy
1
u
0
这是关于变量u与x的可分离变量方程，
分离变量 ，并两边积分，得：
1 u
eu eu
du
1 dy y
故
ln(u eu ) ln y ln c
x
所以，原方程通解为 ：ye y x c
五、小结
解 v d M kM, (k 0)
dt
变量分离
dM kdt M
(这里显然有 d M 0) dt
两端积分 ln M kt lnt
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一阶线性微分方程的解法摘 要： 本文给出一阶线性微分方程与贝努利方程的一种有别于现行教材的解法。
同时给出一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+在条件()()()Q x kP x Q x dx =⎰下的解，文章简化了微分方程求解的常数变易法。
一、一阶线性微分方程1 一阶微分方程的常用解法—常数变易法 对于一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=(1.1)我们所使用的《高等数学》教材中，都介绍了同一种解法—常数变易法。
即先求出(1.1)所对应的齐次方程 ()0y P x y '+=(1.2) 的通解：()P x dxy Ce -⎰= (1.3)（其中C 为任意常数），然后将通解(1.3)中的任意常数变易为待定函数()C x得到 ()()P x dxy C x e -⎰= (1.4)为了确定函数()C x ，把(1.4)代人方程（1.1），整理得：()()()C x e P x dx Q x '-=⎰在求出 ()C x ，()1()()P x dxC x Q x e dx C ⎰=+⎰1C 为任意常数，将求出的()C x 的表达式代回（1.4）中，就得到了方程(1.1)的通解：()()(())P x dxP x dxy e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ (1.5)这里将任意常数仍写为C 。
这是现行课本上所介绍的微分方程求解的常数变易法，它相当简洁，掌握起来也觉得得心应手。
但问题在于，人们往往又觉得它过于巧妙，不仅会问：你怎么想到把任意常熟C变易为待定函数()C x 呢？为了解决这一问题，1我从另一角度用常数变易法来求解一阶线性微分方程(1.1),可以从这种解法中部分的回答上述的疑问。
[收稿日期]:[作者简介]:朱灵科..(1981---).男,汉族.甘肃省庄浪人. 陇东学院数学系数学教育04级专科(1)班学生.设(1.1)的通解为 ()()y u x v x = (1.6) 则 y u v uv '''=+ (1.7) 将(1.6) (1.7)代人(1.1)，整理得：(())()u v u v P x v Q x ''++= (1.8)令()0v P x v '+=，这是一个可分离变量方程，也就是方程(1.1)所对应的齐次方程，求出其中一个特解，()1()P x dx v x e -⎰=代人到(1.8)，则有()()P x dxu e Q x -⎰'=，求出其通解：()()()P x dxu x Q x e dx C ⎰=+⎰所以，(1.1)的通解为：1()()y u x v x =()()(())P x dxP x dxe C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ (1.5)显然，这与通常的常数变易法所得的结果是相同的，但不会使我们感到解法过于巧妙。
例1 求方程222x dyxy xe dx-+=的通解。
解 令其通解为 ()()y u x v x =， 则 y u v uv '''=+ 代人方程后整理得2(2)2x v v u v vx xe -''++= (1.9)令 20v vx '+= 解得21()x v x e -=，代回(1.9)得即：2V x '=2u x c ∴=+因此，原方程的通解为：22()x y x c e -=+其中c 为任意常数。
2 给出一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+ 在条件()()()Q x kP x Q x dx =⎰下的解，简化了常数变易法。
一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+ (2.1)这里(),()P x Q x 是连续函数，是微分方程中一类重要的可积类型，它对应的齐次线性方程为()dyP x y dx= (2.2)其通解为()p x dxy ce ⎰=对(2.1)通常用常数变易法，得其通解为()()()p x dxp x dx y ce Q x e dx c ⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 即()()()()p x dxp x dxp x dxy ce e Q x e dx -⎰⎰⎰=+⎰(2.3)显然，(2.3)式的第一项是(2.2)的通解，第二项是(2.1)的一个特解，这样(2.1)的通解就等于(2.2)的通解与(2.1)的一个特解之和，从而(2.1)的求解的关键就是求出它的一个特解0y 。
由(2.3)知，()()()0p x dxp x dx y e Q x e dx -⎰⎰=⎰是(2.1)的一个特解，但积分()()p x dx Q x e dx ⎰⎰一般不易计算。
从而总结出在()()()Q x kp x Q x dx =⎰条件下，一阶线性方程的特解及其通解公式，从而简化了常数变易法。
定理 1 设 ()()()Q x kp x Q x dx =⎰，且1k ≠，则(2.1)有一个特解()()011Q x y k P x =- 从而通解()()()11p x dxQ x y ce k P x ⎰=+- (2.4)证明：由(2.3)知()()()0p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰=⎰是(2.1)的一个特解，现设()()()Q x kp x Q x dx =⎰，1k ≠，由分部积分法，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0p x dxp x dxp x dxp x dx p x dxp x dx p x dxp x dx p x dx p x dx p x dxy e Q x e dx ke p x Q x dxe dxke Q x dx d e ke e Q x dx Q x e dx k Q x dx ke Q x e dx ------⎰⎰=⎛⎫⎰⎰= ⎪⎝⎭⎛⎫⎰⎰=- ⎪⎝⎭⎡⎤⎰⎰⎰=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()0Q x ky P x =-+ 所以()()()01Q x k y P x -=-故()()011Q x y k P x =- 从而(2.1)的通解为(2.4)。
当1k =时，不能像定理1那样推求0y ，经研究，我们得到了一个形式很完美的特解。
定理 2 设()()()Q x P x Q x dx =⎰，则(2.1)的一个特解为()()0y P x dx Q x dx =⎰⎰从而，其通解为 ()()()p x dxy ce P x dx Q x dx ⎰=+⎰⎰(2.5)证明：因()()()()()()()()()()()0dy P x Q x dx Q x P x dx dxP x Q x dx P x Q x dx P x dx P x y Q x =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ 故()()0y P x dx Q x dx =⎰⎰是(2.1)的一个特解，从而其通解为(2.5)。
更进一步，我们很容易将定理1，定理2，结论推广为 定理3 设()()()1,,f x C P x Q x C ∈∈，微分方程()()()()dyf y P x f x Q x dx'=+ （1）当 ()()()Q x kp x Q x dx =⎰，1k ≠时通解为()()()11p x dx Q x y ce k P x ⎰=+- （2）当 ()()()Q x kp x Q x dx =⎰时，通解为()()()p x dxy ce P x dx Q x dx ⎰=+⎰⎰下边举例说明定理得应用，所有例题均选自参考文献[1]。
例 1 （P31例2）求方程22dy y dx x y=-的通解。
解：原方程不三未知量y 的线性方程，先改写为2dy x y dx y=- (2.6)把x 看作未知函数，y 看作自变量，它是一阶线性方程。
对应齐次线性方程2dy x dx y= 通解为 2x cy =又 ()()2,P y Q y y y==- 且()()()()212Q y y y dy Q y dy P x =-=-=⎰⎰ 由定理2知，(2.6)有特解()220212ln ln 2x dy y dy y y y y y ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰ 例2（P32例3）求方程26dy yxy dx x=-的通解。
解：这是2n =的贝努利（Bernoulli ）方程。
令1Z y -=则2dz dyy dx dx =- 代入原方程，得6dz z x dx x =-+ (2.7)其对应齐次线性方程 6dz z dx x=- 通解为 6cZ x=又 ()()6,P x Q x x x=-=且()()()21163Q x x xdx Q x dx P x =-=-=-⎰⎰ 由定理1知()()2011813Q x x Z P x ==--是(2.7)的一个特解。
从而其通解为268c x Z x =+代回原变量y ，得通解为2218c x y x =+或688x x c y -= 另外，显然0y =也是原方程的解。
3 给出一阶线性微分方程的一个推广 （1）众所周知，一阶线性微分方程 ()()y P x y Q x '+=(3.1)的通解为()()()p x dx p x dx y ce Q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (3.2)本文将(3.1)加以推广，并得到其通解公式。
定理 一阶微分方程()()()()y P x f y Q x g y '+=(3.3)若满足条件()()()dyf y ag y g y =⎰（0a ≠为常数）那么(3.3)的通解为()()()()()p x dx a p x dxf y ae Q x e cg y -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (3.4)证明 一：（变量代换法）作变换：()()f y u vg y =⋅ 其中,u v 都是x 的函数。
两边关于x 求导，则f y u v uvg '⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭u v uv y f g ''+'∴='⎛⎫ ⎪⎝⎭代入(3.3)()()()()u v uv P x u vg y Q x g y f g ''++⋅='⎛⎫ ⎪⎝⎭()()u v uv P x u v Q x f g g ''+∴+⋅='⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()()dyf y ag y g y =⎰()f dy ag g y ∴=⎰，两边关于y 求导， f g a g '⎛⎫∴= ⎪⎝⎭故 ()()u v uv aP x u v aQ x ''++⋅=()()()u aP x u uv aQ x ''∴++=令 ()0u aP x u '+=这是一阶齐次线性方程，取其一个特解()a p x dxu e -⎰= 代入上式，则 ()uv aQ x '=()()a p x dxu aQ x e ⎰'∴=∴()()()()a p x dxa p x dxv a Q x e dx ac a Q x e dx c ⎰'=+⎛⎫⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()()f y uvg y ∴= ()()()p x dx a p x dxae Q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰故(3.3)的通解为()()()()()p x dx a p x dxf y ae Q x e dx cg y -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 推论 若()()1,1,g y a f y y ===方程(3.3)即方程(3.1)，此时(3.4)即(3.2)。