反函数和反三角函数(最新)ppt课件
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反函数课件
利用微分方程研究反函数的性质
反函数的单调性
通过微分方程，我们可以研究反 函数的单调性。例如，如果一个 函数f(x)是单调递增的，那么它 的反函数g(x)也是单调递增的。
反函数的极值
利用微分方程，我们可以找出反 函数的极值点，并研究这些极值
点的性质。
反函数的曲线形状
通过求解微分方程，我们可以描 绘出反函数的曲线形状，进而研
02
利用对数函数性质，通过原函数 中的x和y互换位置，得到反函数
利用反函数的性质求反函数
原函数和反函数具有 相同的单调性
原函数和反函数具有 相同的值域和定义域
原函数和反函数具有 相同的奇偶性
反函数的应用
03
在解方程中的应用
01
定义域和值域的求解
在求解方程时，通过反函数可以方便地求出定义域和值 域，从而解决方程的求解问题。
最优化问题
利用反函数，可以求解一 些最优化问题，如最小成 本、最大利润等。
在实际问题中的应用
交通流量问题
通过反函数，可以求解交通流量 问题，如最短路径、最少时间等
。
人口流动问题
利用反函数，可以求解人口流动问 题，如最多人口、最少人口等。
经济问题
通过反函数，可以求解一些经济问 题，如最大利润、最小成本等。
04 反函数与导数的关系
导数与反函数的关系
导数表示函数在某一点的斜率，而反函数则表示函数在某一区间内的单 调性。导数可以用来研究函数的局部性质，而反函数则可以用来研究函 数的整体性质。
导数的存在意味着函数在某一点处具有切线，而反函数的定义域是原函 数的值域，因此反函数在某一点的导数可能不存在。
对于单调函数，其导数和反函数的导数互为相反数。
反函数和反三角函数(最新)
许多角。
2
2
正切函数 ytanx,x(,) 有反函数吗？ 有,因为它是一一对应函2数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 --
3.反正切函数
（1）定义：正切函数
ytanx(x( , )的反函数 22
叫反正切函数，记作 xarctany (本义反函数)
习惯记作 yarctanx(矫正反函数)
xR, y(
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
--
一、反函数
--
--
--
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsixn 2.反余弦函数 arccxos 3.反正切函数 arctaxn 4.反余切函数 arccoxt
--
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsina2,2.
--
（2）反正弦函数 yarc x,x s i [ 1 n , 1 ]的图象
与性质： ①定义域:[-1，1]。
②值域: [ , ]
22
y
③单调性: 是增函数。
yarcsinx,x [ 1 ,1 ],y [, ]
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
arccos
0
___2 ___(4)
arccos
1 2
__3____
2
(5) arccos( 1 ) __3 ____(6) arccos 2
2 2
__4 ______
(7) arccos(
2 2
)
3
__4 ______(8)
arccos
2
2
正切函数 ytanx,x(,) 有反函数吗？ 有,因为它是一一对应函2数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 --
3.反正切函数
（1）定义：正切函数
ytanx(x( , )的反函数 22
叫反正切函数，记作 xarctany (本义反函数)
习惯记作 yarctanx(矫正反函数)
xR, y(
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
--
一、反函数
--
--
--
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsixn 2.反余弦函数 arccxos 3.反正切函数 arctaxn 4.反余切函数 arccoxt
--
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsina2,2.
--
（2）反正弦函数 yarc x,x s i [ 1 n , 1 ]的图象
与性质： ①定义域:[-1，1]。
②值域: [ , ]
22
y
③单调性: 是增函数。
yarcsinx,x [ 1 ,1 ],y [, ]
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
arccos
0
___2 ___(4)
arccos
1 2
__3____
2
(5) arccos( 1 ) __3 ____(6) arccos 2
2 2
__4 ______
(7) arccos(
2 2
)
3
__4 ______(8)
arccos
高等数学课件：三角函数反三角函数
y 10
-2
5
0
-5
-10
2
4
2
x 6
(5) 正割函数 secx
y 6
4
2
-4 -2 0
-2
x 24 68
-4
-6
(6) 余割函数 cscx
y
6
Байду номын сангаас
4
2
-2 0
x
2
4
6
8
-2
-4
-6
5. 反三角函数(常用的四个)
(1) 反正弦函数 Arcsin x 主值 arcsinx [ , ]
22
(2) 反余弦函数 Arccos x
2
( 2 ) 双曲余弦 ch x = e x ex ( 偶函数 ) 2
( 3 ) 双曲正切
th
x
=
sh ch
x x
=
ex ex
ex ex
( 奇函数 )
sh x 和ch x的图形
y 3
2
y
=
1 2
ex
-1.5 -1
1
o
-0.5 -1
-2
-3
y = ch x
y = sh x
y
=
1 2
ex
x 0.5 1 1.5
2 1 x
arcshx 的图形
y
y = arcsh x
2
1
-4
-2
o
2
-1
x 4
-2
Arcch x 的图形 ( 主值 arcchx )
y 2
1
o
1
2
-1
-2
y = arcchx
-2
5
0
-5
-10
2
4
2
x 6
(5) 正割函数 secx
y 6
4
2
-4 -2 0
-2
x 24 68
-4
-6
(6) 余割函数 cscx
y
6
Байду номын сангаас
4
2
-2 0
x
2
4
6
8
-2
-4
-6
5. 反三角函数(常用的四个)
(1) 反正弦函数 Arcsin x 主值 arcsinx [ , ]
22
(2) 反余弦函数 Arccos x
2
( 2 ) 双曲余弦 ch x = e x ex ( 偶函数 ) 2
( 3 ) 双曲正切
th
x
=
sh ch
x x
=
ex ex
ex ex
( 奇函数 )
sh x 和ch x的图形
y 3
2
y
=
1 2
ex
-1.5 -1
1
o
-0.5 -1
-2
-3
y = ch x
y = sh x
y
=
1 2
ex
x 0.5 1 1.5
2 1 x
arcshx 的图形
y
y = arcsh x
2
1
-4
-2
o
2
-1
x 4
-2
Arcch x 的图形 ( 主值 arcchx )
y 2
1
o
1
2
-1
-2
y = arcchx
三角函数的反函数与反三角函数
三角函数的反函数与反三角函数在数学中，三角函数是一类广泛应用于几何学、物理学、信号处理等领域的函数。
它们能够描述角度与边长之间的关系，包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割六个基本三角函数。
然而，在实际问题中，我们有时需要求解与已知三角函数值相对应的角度，或者需要求解角度对应的三角函数值。
这就引出了三角函数的反函数与反三角函数的概念。
一、三角函数的反函数所谓三角函数的反函数，即是指正弦、余弦、正切函数的反函数。
这些反函数分别记作arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)，其中x属于函数的定义域。
1. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数是指对应于给定比值的弧度值或角度值。
正弦函数的定义域为[-1, 1]，因此反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
反正弦函数的图像关于y=x对称。
2. 反余弦函数（arccos）反余弦函数是指对应于给定比值的弧度值或角度值。
余弦函数的定义域也为[-1, 1]，因此反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
反余弦函数的图像关于y=x对称。
3. 反正切函数（arctan）反正切函数是指对应于给定比值的弧度值或角度值。
正切函数的定义域为全体实数，值域为(-π/2, π/2)。
反正切函数的定义域为全体实数，值域为(-π/2, π/2)。
反正切函数的图像关于y=x对称。
二、反三角函数反三角函数是指对应于给定比值的角度值。
反正弦函数、反余弦函数和反正切函数统称为反三角函数。
1. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
它表示对应于给定正弦值的角度值，通常用于解决求解角度的问题。
2. 反余弦函数（arccos）反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
它表示对应于给定余弦值的角度值，常用于几何问题和解三角形问题中。
3. 反正切函数（arctan）反正切函数的定义域为全体实数，值域为(-π/2, π/2)。
高中数学《反函数》 PPT课件 图文
3 y x 1 x 0
4
y
2x3 x1
xR, x 1
解析：①先判断一下决定这个函数的映射是不是一 一映射？ ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值 域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标：（1）对反函数概念的理解 （2）学会求函数的反函数
能力目标： （1）通过概念的学习，培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力 （2）通过在反函数的求解过程中，把握函数与方程的思想
德育、情感目标： （1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点 （2）在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学 生，在提供素材的环节中，鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与，逐步提升思维能力；对于 平时抽象思维较好的学生，应积极引导他们学 会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力，并教会学生学会通过观察、 分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法， 逐步练就“会学”的本领，从而使人人都能有 所收获，整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别； 2、函数的三要素是什么？
创设情境，揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射？是不是
一一映射？是不是函数？
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢？如
反函数PPT教学课件
学习要求： 1. 掌握反函数的概念 2. 会求一些简单函数的反函数
设A=R，B=R，映射 f : x y 2x 6
A x
f
?
x=?
B y 2x6
y
函数 y 2x 6( x R) 中，x是自变量，
y是x的函数，从函数 y 2x 6 中解出x,
得到 x y 3( y R)
2
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2__x_+_y_-4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-_2_y+__3_=_0__；
3x+y-5=0或x+3y-7=0 (3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；
函数 ,并指明定义域。
小结： 反函数的定义： 反函数的求法： 注意点：
1.反函数的定义域为原函数的值域；
2.反函数的值域为原函数的定义域。
作业：
P68-69习题2.4
1，2
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
y=k2x+b2
如果对于y在C中的任何一个值，通过x =
设A=R，B=R，映射 f : x y 2x 6
A x
f
?
x=?
B y 2x6
y
函数 y 2x 6( x R) 中，x是自变量，
y是x的函数，从函数 y 2x 6 中解出x,
得到 x y 3( y R)
2
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2__x_+_y_-4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-_2_y+__3_=_0__；
3x+y-5=0或x+3y-7=0 (3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；
函数 ,并指明定义域。
小结： 反函数的定义： 反函数的求法： 注意点：
1.反函数的定义域为原函数的值域；
2.反函数的值域为原函数的定义域。
作业：
P68-69习题2.4
1，2
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
y=k2x+b2
如果对于y在C中的任何一个值，通过x =
《高中数学《反函数》课件
奇函数的图像关于原点对称， 偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观 察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解 题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值 域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这 种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用 和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确 定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
高中数学《反函数》课件
（1） y x 1 （x≥0）
（2）
y
2x 3 x 1
（x≠1）
教师示范，学生归纳解题步骤：
1、互解；2、互换；3、确定定义域。
设计意图：
应用是加深理解概念最有效的途径，两道题均来自课
本，紧扣教材应当成为教与学的立足点，规范解题过程，深化
解题方法，培养基本技能，讲完例题之后，提出两个小问题，
意在加深对所学内容的理解，培养学生分析、思考问题的习惯。
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教学方法和手段
针对本节课概念抽象的特点，整节课将以启 发学生思考、分析、讨论为主。采用“从特殊到 一般”、“从具体到抽象”的方法，体现“对比 和联系”的思想方法，力求做到以创造发展为目 的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段， 以推理判断为特征。
采用多媒体教学手段，增大教学容量和感观 性。
的区别和联系。
1、以旧引新，揭示课题
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
平方
-1
1
1
-2
2
4
-3
3
9
A
B
A
B
对比举例：函数（1）y=2x x∈R 属于异元异像
函数（2）y=x 2 x∈R 属于异元同像
y 都是 x 的函数
提出问题：若将 y 作为自变量，x 是否是 y 的函数呢？
由函数（1）解得
x y 2
，x 是 y 的函数
讨论归纳、导入定义
由前面的特例可以看到：给定函数 y=f(x)定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)解 出得到x=φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值， x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式 子x=φ(y)就表示x是变量y的函数，把x=φ(y)叫 函数y=f(x)的反函数，
高中数学反函数和反三角函数(最新)
22
6
正弦函数 y sin x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数y sin x(x [ , ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 7
19
例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arccos 1
对
23
(2) arccos 1
32
错 1
3
(3) arccos 0 2k (k Z ) 错
2
(4) arccos( ) arccos
3
3
错
1
3
总结 y arccos x, x [1,1]
y [0，π]。 20
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
1
一、反函数
2
3
4
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsin x 2.反余弦函数 arccos x 3.反正切函数 arctan x 4.反余切函数 arc cot x
5
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
没有,因为他不是一一对应函数
(4)正弦函数y=sinx在 [ , ] 上有反函数吗？
22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？
6
正弦函数 y sin x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数y sin x(x [ , ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 7
19
例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arccos 1
对
23
(2) arccos 1
32
错 1
3
(3) arccos 0 2k (k Z ) 错
2
(4) arccos( ) arccos
3
3
错
1
3
总结 y arccos x, x [1,1]
y [0，π]。 20
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
1
一、反函数
2
3
4
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsin x 2.反余弦函数 arccos x 3.反正切函数 arctan x 4.反余切函数 arc cot x
5
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
没有,因为他不是一一对应函数
(4)正弦函数y=sinx在 [ , ] 上有反函数吗？
22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？
反函数与反三角函数
反函数与反三角函数
反函数与反三角函数
1
反函数与反三角函数
一、 反函数
函数 x 定义域 D 例如， 一对一函数 f
y
值域 W
f ( x) x3
y
y x3
g( x ) x 2
y
y x2
同样的y值 1
非一对一函数
o
x
1
o
图1-1(b)
1
x
x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 )
o
图1-3
y x2
x
y x
2 函数 y x , x 0与 y x 互为反函数.
6
反函数与反三角函数
二、反三角数函数 正弦函数
f ( x ) sin x
x
定义域 R
Байду номын сангаас
f
y
值域 [1,1] 不是一对一的
sin( 2n x ) sinx
f ( x ) sin x是一对一的， 当x , 时 ， 所以它有反函数. 2 2
y
y
1
O
y cos x
2
2 y arccos x
x
1 x
O x1
x
图1-5(a)
图1-5(b)
定义域： 1,1
值域： 0,
在定义域内单减.
cosarccosx x,
arccos( x ) arccosx, x 1,1
9
图1-6
10
反函数与反三角函数
反余切函数
y arc cot x
定义域： , 值域： 0, 在定义域内单减.
反函数与反三角函数
1
反函数与反三角函数
一、 反函数
函数 x 定义域 D 例如， 一对一函数 f
y
值域 W
f ( x) x3
y
y x3
g( x ) x 2
y
y x2
同样的y值 1
非一对一函数
o
x
1
o
图1-1(b)
1
x
x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 )
o
图1-3
y x2
x
y x
2 函数 y x , x 0与 y x 互为反函数.
6
反函数与反三角函数
二、反三角数函数 正弦函数
f ( x ) sin x
x
定义域 R
Байду номын сангаас
f
y
值域 [1,1] 不是一对一的
sin( 2n x ) sinx
f ( x ) sin x是一对一的， 当x , 时 ， 所以它有反函数. 2 2
y
y
1
O
y cos x
2
2 y arccos x
x
1 x
O x1
x
图1-5(a)
图1-5(b)
定义域： 1,1
值域： 0,
在定义域内单减.
cosarccosx x,
arccos( x ) arccosx, x 1,1
9
图1-6
10
反函数与反三角函数
反余切函数
y arc cot x
定义域： , 值域： 0, 在定义域内单减.
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②值域: [ , ]
22 ③单调性: 是增函数。
y
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
21
0.5
2 -1
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
-3
-2
-1
o
-0.5
1
1
2 2
x 3
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
1
一、反函数
2
3
4
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsin x 2.反余弦函数 arccos x 3.反正切函数 arctan x 4.反余切函数 arc cot x
5
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
这里的“arcsina ”是一个角的符号.
8
理解和掌握arcsin a( a 1)符号
① arcsin a 表示一个角
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsin
a
2
,
2
.
9
（2）反正弦函数 y arcsin x,x [1,1]的图象
与性质： ①定义域:[-1，1]。
2
2 2
__4______
(7) arcsin(
2 2
)
___4_____(8)
arcsin
3 2
__3____
(9) arcsin( 3 ) ___3_____
2
11
只有正弦（函4）数主已值知区三间角函[数值,求 角] 上的角才能用
反正弦表示
22
2
a
F
x4
x3
同一个三角函数值只对应一个角。 7
1.反正弦函数
（1）定义：正弦函数 y sin x(x [ , ]) 的反函数
22
叫反正弦函数，记作 x arcsin y
习惯记作 y arcsin x
x [1,1], y [ , ]
22 若x a [1,1],有y arcsin a,
许多角。
y
1
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
-1
余弦函数 y cos x(x [0, ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，
同一个三角函数值只对应一个角。 14
2.反余弦函数
（1）定义：余弦函数 y cos x(x [0, ]) 的反函数
叫反余弦函数，记作 x arccos y (本义反函数)
-2
2
O
E1
x=?
2x1
2
x2
y sin x, x [ , ] 22
-2
arcsina
12
例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arcsin 3
23 (2) arcsin 3
32
对 错 1
3
(3) arcsin1 2k (k Z)
只有余弦函数主值区 间[0，π]上的角才能 用反余弦表示
2
y cos x, x [0, ]
a
F
π
-2
x x O
E1
1
2
x2
x3
-arccosa -2 arccosa
2π-arccosa 2π+arccosa
19
例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arccos 1
对
23
(2) arccos 1
-2ห้องสมุดไป่ตู้
-1
-1
o 11
-0.5
2
3
x 4
-1
y=cosx,x∈[0，π]
yx
y∈[-1，1]
17
（3）熟记特殊值的反正弦函数值
(1)arccos1 __0____(2)arccos(1) ______
(3)
arccos
0
___2___(4)
arccos
1 2
__3____
习惯记作y arccos x(矫正反函数)
x[1,1], y [0, ]
若x a [1,1],有y arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
15
理解和掌握arccos( a 1) 符号
① arccos a 表示一个角
②这个角的范围是 0,
22
6
正弦函数 y sin x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数y sin x(x [ , ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
2 (5) arccos( 1) __3____(6) arccos
2
2 2
__4______
(7) arccos(
2 2
)
3 __4______(8)
arccos
3 2
_6_____
3 5
(9) arccos( ) __6______
2
18
（4）已知三角函数值求角
2
错
arcsin1
2
(4) arcsin( ) arcsin
3
3
错
1
3
总结 y arcsin x,x [1,1]
y
[
,
]
22
13
余弦函数 y cos x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
-1
-1.5
y x -2
2
10
（3）熟记特殊值的反正弦函数值
(1)
arcsin
1
__2____(2)
arcsin(1)
___2___
(3)
arcsin
0
__0____(4)
arcsin
1 2
__6____
(5)
arcsin(
1
)
___6___(6)
arcsin
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
没有,因为他不是一一对应函数
(4)正弦函数y=sinx在 [ , ] 上有反函数吗？
22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？
正切函数y=tanx在 ( , )上有反函数吗？
32
错 1
3
(3) arccos 0 2k (k Z) 错
即arccos0, .
16
（2）反余弦函数 y arccos x,x [1,1]的图 象与性质
①定义域： [-1，1]。
②值域: [0，π]。
③单调性:
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
4.5
4 y∈[0，π]
3.5 3
2.5
是减函数。
2
1.5
1
④有界函数
0.5
π
-4
-3