第一章 1.1 第一课时 两个计数原理及其简单应用
人教版 选修2-3数学 1.1.1《两个计数原理及简单应用》ppt课件
解析：按照可能脱落的个数分类讨论．若脱落 1 个，则有 (1)，(4)2 种情况；若脱落 2 个，则有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)， (4,2)， (4,3)6 种情况； 若脱落 3 个， 则有(1,2,3)， (1,2,4)， (2,3,4)， (1,3,4)4 种情况；若脱落 4 个，则有(1,2,3,4)1 种情况．综上， 共有 2＋6＋4＋1＝13 种情况．故选 C.
【思路启迪】 (1)完成的事是从三个班级中选一名学生任 学生会主席；(2)完成的事是从(1)、(2)班男生中或(3)班女生中 选一名学生任体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分 类，利用分类加法计数原理求解．
【解】
(1)选一名学生任学生会主席有 3 类不同的选法：
第一类，从高二(1)班任选一名，有 50 种不同的方法； 第二类，从高二(2)班任选一名，有 60 种不同的方法； 第三类，从高二(3)班任选一名，有 55 种不同的方法． 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50＋60＋55＝165 种．
问题思考：如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步 能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步.
要 点 导 学
要点一 分类加法计数原理
1.“做一件事，完成它可以有 n 类办法”，这是对完成这 件事的所有办法的一个分类．分类时，要注意满足两条基本原 则：(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； (2)分别 属于不同两类的两种方法是不同的方法．
已知 a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 可表示多少个不同的圆．
【思路启迪】 依题意知方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 表示以 (a，b)为圆心，半径为 r 的圆，a 取自 3、4、6 中的一个数，b 取自 1、2、7、8 中的一个数，r 取自 8、9 中的一个数，a、b、 r 三个量中只要其中一个取值不同就表示不同的圆，解答本题 可按 a、b、r 的取值顺序，利用分步乘法计数原理解决．
两个计数原理课件
排列组合问题练习
总结词
通过排列组合问题的练习，学生可以加深对计数原理的理解，掌握排列和组合的计算方法。
详细描述
排列组合问题是计数原理的重要应用之一，通过这类问题的练习，学生可以学习到如何对问题进行分类和分步， 从而应用计数原理进行计算。
概率计算问题练习
总结词
概率计算问题练习有助于学生掌握概率的基本计算方法，理解概率与计数原理的关系。
分步计数原理广泛应用于计算机科学 、运筹学、生产调度等领域，用于解 决不同分步问题。
在应用分步计数原理时，需要确保各 个步骤之间是相互独立的，即每个步 骤的结果不影响其他步骤的实施。
两个计数原理的异同点
相同点
分类计数原理和分步计数原理都是用于解决计数问题的基本原理，都涉及到将问 题分解为更小的部分，并分别计算每部分的方法数，最后通过加法或乘法得到总 的方法数。
02
分类计数原理应用
分类计数原理广泛应用于组合数学、 概率论、统计学等领域，用于解决不 同分类问题。
03
分类计数原理注意事 项
在应用分类计数原理时，需要确保各 个分类之间是互斥的，即每个事件不 能同时属于多个分类。
分步计数原理
分步计数原理定义
分步计数原理应用
分步计数原理注意事项
分步计数原理也称为乘法原理，是指完成一件 事情，需要分成$n$个步骤，第一步有$n_1$种 不同的方法，第二步有$n_2$种不同的方法， 第$n$步有$n_n$种不同的方法，则完成这件事 情共有$N=n_1times n_2times...times n_n$ 种不同的方法。
条件概率
条件概率是概率论中的一个重要概念，可以使用分步计数原理来解释和计算。在条件概率 中，我们关注某个事件在另一个事件发生的前提下的概率，可以通过分步计数原理来计算 。
【原创】人教A版选修2-3：第一章 1.1 第一课时 两个计数原理及其简单应用
2 名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比 赛有 2 种选法．
∴共有 6＋6＋4＋2＝18 种选法．
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利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么， 即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几 种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出 示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规 律． (3)综合问题一般是先分类再分步．
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利用分类加法计数原理计数时的解题流程
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分步乘法计数原理的应用
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[典例] 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整数， 则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数； (2)三位数的偶数． [解] (1)三位数有三个数位， 百位 十位 个位
故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法； 第 3 步，排百位，从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法．依 据分步乘法计数原理， 共有 4×3×2＝24 个满足要求的三位数．
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法二：按主力与非主力，分两步安排． 第一步，安排 3 名主力队员在第一、三、五位置上，有 6 种方 法， 第二步，安排 7 名非主力队员中的 2 名在第二、四位置上，有 7×6 种方法． 由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为 6×7×6＝252.
《两个计数原理》课件
例题演练
- 一家公司有5名员工，其中2名男性和3名女性， 公司要选出一名发言人，那么有多少种不同的选 择方案？
加法原理
活动A 是 否 否
活动B 否 是 否
活动C 否 否 是
某购物中心为了吸引顾客，推出了3个活动，每个顾客只能选其中一个参加，假设有100名顾客来到购 物中心，那么最多有多少人能参加活动？
乘法原理
1
定义
- 什么是乘法原理理？
- 一支乐队有4名演奏者和3支乐器， 演奏者必须担任其中的一项，那么有
多少种不同的演奏方案？
加法原理
定义
加法原理是指在一系列互斥的事件中，每个事件 都有若干种可能的选择，那么所有事件的选择方 案的总数等于每个事件选择方案数的总和。
《两个计数原理》PPT课 件
在数学中，有两个重要的计数原理，分别是乘法原理和加法原理。
乘法原理
定义
乘法原理是指在多个事件中，每个事件都有若干种可能的选择，那么所有事件的选择方案的 总数等于每个事件选择方案数的乘积。
例题演练
如果一位参赛者需要有3个不同的场馆训练，场馆共有4个，那么有多少种不同的训练方案？
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高中数学第1章计数原理1.1基本计数原理一新人教B版选修2
第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法. 故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不 同的方法.
规律方法 应用分类加法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件 事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事. (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而 不需要再用到其他的方法.即各类方法之间是互斥的，并列 的，独立的.
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？ 解 确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成： 第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法； 第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法. 由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数 为3×2＝6.
规律方法 应用分步乘法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题 目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过 几步才能完成这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了， 才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成.即各 步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行 .
结果.
解 树形图如图1，试验一共有以下9种
等可能的结果：
红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、
图1
蓝红、蓝黄和蓝蓝.
(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一个
球，看一下颜色.请画出树形图，并写出所有可能的结果.
解 如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因
此第二次摸时只有从黄、蓝两个球中摸一个.
同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都
只有两种可能.
所以，树形图如图2，试验一共有以下6种等可能的结
[预习导引] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
《两个计数原理》课件
概率计算问题
概率的基本性质
概率具有非负性、规范性、可加性等基本性质，用于描述随机事件发生的可能性。
概率计算方法
通过列举法、古典概型、几何概型等方法计算概率。
分步计数原理在概率计算问题中的应用
将复杂事件分解为若干个简单事件的组合，利用分步计数原理计算每个简单事件发生的概率，然后根据 概率的加法原则和乘法原则计算出复杂事件发生的概率。
04
两个计数原理的实例分析
排列组合实例
总结词
通过具体实例，理解排列与组合的概念及计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如不同颜色球的不同排列方式、不同组合的彩票中奖 概率等，来解释排列与组合的基本概念，以及如何使用计数原理进行计算。
概率计算实例
总结词
通过实例掌握概率计算的基本方 法。
详细描述
选择分步计数原理
当问题涉及多个独立步骤，且需要按照顺序逐步计算每一步 的数量时，应选择分步计数原理。例如，计算排列数时，需 要按照顺序计算从n个不同元素中取出k个元素的所有排列数 。
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感谢聆听
05
总结与思考
两个计数原理的异同点
相同点
两个计数原理都是用来解决计数问题，特别是涉及多个独立事件 的问题。
不同点
分类计数原理是针对完成某一任务的不同方式进行计数，而分步 计数原理则是针对完成某一任务的不同步骤进行计数。
两个计数原理的应用范围
分类计数原理
适用于问题涉及多种独立的方式或方法，需要分别计算每一种方式或方法的数量 ，然后求和得到总数。
分步计数原理的适用范围是：当完成 一个任务时，需要分成几个有序的步 骤，并且各个步骤之间有相互影响。
两个计数原理的对比
第1章 1.1 两个基本计数原理
1.1 两个基本计数原理1．掌握分类计数原理与分步计数原理．(重点)2．会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 分类计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种．( )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．( )【解析】 (1)× 在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．(2)√ 在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．(3)√ 由分类计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．(4)√ 根据分类计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种)．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√教材整理2 分步计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(2)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个．( )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．( )【解析】 (1)√ 因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．(2)× 因为在分步计数原理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．(3)√ 因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．(4)× 因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步计数原理共有34种不同的夺冠情况．【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]分类计数原理 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】 (1)按所选组长来自不同年级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．【自主解答】 (1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．(2)法一 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二 按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．1．应用分类计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．2．利用分类计数原理解题的一般思路[再练一题]1．(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．【解析】 (1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．【答案】 (1)3 (2)15分步计数原理 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】 根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理．【自主解答】 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．1．应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．2．利用分步计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．[再练一题]2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．由分步计数原理，得2×3＝6种．[探究共研型]两个计数原理的辨析探究1汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】 “完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】 要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事．探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类计数原理和分步计数原理求解吗？你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？【提示】 5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐．利用分步计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．由分步计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事． 有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．【自主解答】 第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．1．能用分步计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．利用分步计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．[再练一题]3．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】 (1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分类计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步计数原理，共有10×12＝120种取法．[构建·体系]1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．【解析】 由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．【答案】 82．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种. 【导学号：29440000】【解析】 分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师有3种选法；第二步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．【答案】 93．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有______种．【解析】 第1名学生有4种选报方法；第2,3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.【答案】 644．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)【解析】 分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)．根据分类计数原理得，共有方案48＋48＝96(种)．【答案】 965．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】 (1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 。
高中数学第一章计数原理11第1课时两个计数原理作业课件北师大版选修23
3．满足 x＋y≤5 的正整数数组(x，y)共有( A )
A．10 个
B．9 个
C．8 个
D．5 个
解析：由分类加法计数原理知共有 4＋3＋2＋1＝10(个)．
4．因式(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bm)(c1＋c2＋…＋ck)展开后 的项数为( B )
A．n＋m＋k
B．n×m×k
C．2n＋2m＋2k D．n2＋m2＋k2
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中 选出一人参赛，由分步计数原理得共有不同的报名方法 63＝216 种．
——能力提升——
14．(5 分)已知 A，B 是两个非空集合，定义 A⊕B＝{x|x＝a＋b，
a∈A，b∈B}为集合 A，B 的“和集”．若 A＝{0,1,2}，B＝{1,2,3,4}，
解析：因展开后没有可合并的同类项，故项数为 n×m×k.
5．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数
成等比数列，这样的等比数列的个数为( D )
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：公比 q＝2 时，有 1,2,4；2,4,8.公比 q＝3 时，有 1,3,9.公比 q＝32时，有 4,6,9.以上共 4 个，反过来也有 4 个，即 4,2,1；8,4,2；9,3,1； 9,6,4.所以等比数列的个数为 8.
解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印 刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既 会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分 为三类：
第一类：2 人全不被选出，即从只会排版的 3 人中选 2 人，有 3 种选法；只会印刷的 2 人全被选出，有 1 种选法，由分步乘法计数原 理知共有 3×1＝3 种选法．
1.1 两个基本计数原理
两个基本计数原理一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能够利用两个基本计数原理解决一些简单的计数问题。
2、过程与方法：经历由实际问题归纳概括出两个基本计数原理。
体验发现数学、应用数学的过程。
3、情感态度价值观：体会数学源于实际并应用于实际的道理，提高学生学习数学、研究数学的兴趣。
二、教学重、难点1、教学重点：如何从实际问题中总结得出两个基本计数原理，并应用原理更加方便的解决实际问题。
2、教学难点：如何正确选择计数原理解决问题。
三、教学过程教师活动教学过程学生活动同学们还记不记得我们高中数学第一个知识点讲的是什么？集合计数在我们生活中是广泛存在的，那么我们如何计数？如何更好地计数？这节课我们就一起来学习两个简单的计数方法。
假期要到了，同学们是想外出旅游呢，还是想回家呢？不管是外出还是回家，都要面临一个问题，那就是乘车。
（一）引入思考：2元集合A={aa21、}的子集有多少个？n元集合A={a1、aa n2⋯⋯}}的子集有多少个？总结：这就是我们数学上的一类问题，计数问题。
（二）讲新问题一：从重庆到贵州，可坐直达火车火车和直达汽车，火车有2个班次，汽车有3个班次，那么从重庆到贵州共有多少种不同的方法？思考对于一般情况，如果完成一件事有n 类不同方案呢？强调：分类加法的核心在于：将解决问题的方案分类，每一类中的每一种方法都能直接完成这件事。
我们知道，重庆有很多特产，回家呢，我想给我家人买一些重庆的特产回去。
从重庆坐直达车可以到贵州，但是呢，车费比较贵，如果去武隆转车的话会节约大概一半的车费分析：1、要我们完成的事情是什么？2、完成这个事情有几类方法？3、每类方法能否独立完成这件事情？4、每类方法中分别有几种不同的方法？5、完成这件事情共有多少种不同的方法？2+3=5 种思考：你能举出类似的例子吗？总结：都是为了完成一件事。
完成一件事情，有两类不同方案第1类方案有m种不同方法第2类方案有n种不同方法那么，完成这件事情共有m+n种不同方法。
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练习2
在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但 不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋，现在从 7 人中选 2 人分别 参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
法 2 解：按选参加象棋比赛的学生分类，共有两种方法： （1）在只会下象棋的 3 人中选参加象棋的人： 选参加象棋比赛的学生有 3 种选法，再选参加围棋的有 4 中选择，所以共有 3×4=12 种 （2）在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选参加象棋的人： 选参加象棋比赛的学生有 2 种选法，再选参加围棋的有 3 中选择，所以共有 2×3=6 种 所以共有 12+6=18 种。
事．
(√)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是
各不相同的．
(√ )
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中
任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完
成后，这件事情才算完成．
(√)
2．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班一次班
会，则不同的选法种数为( B )
m1 m2 m3
m1m2m3m4 mn
分类加法计数原理的应用
[ 典例 1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的
两位数的个数为___3_6______．
[解析] (1)法一：根据题意，将十位上的数字按 1，2，3， 4，5，6，7，8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两 位数分别是 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个．
法二：按主力与非主力，分两步安排． 第一步，安排 3 名主力队员在第一、三、五位置上，有 6 种方法， 第二步，安排 7 名非主力队员中的 2 名在第二、四位置上，有 7×6 种方法．由分步 乘法计数原理，得不同的出场安排种数为 6×7×6＝252.
两个计数原理的简单综合应用
[典例 4]某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中 放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有 30 封，乙箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星， 再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？ 28800
第一课时 两个计数原理及其简单应用
本 章 在 实 际 生 活 中 的 应 用
[新知初探]
1．分类加法计数原理
2．分步乘法计数原理
点睛
区别一 区别二
两个原理的区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
每类方法都能独立完 任何一步都不能独立 成这件事．它是独立 完成这件事，缺少任
的、一次的且每次得到 何一步也不可，只有
思考：
(1)34 , (2)53
复习回顾
1．分类加法计数原理
2．分步乘法计数原理
利用分类加法计数原理计数时的解题流程 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么， 即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几 种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出 示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规 律． (3)综合问题一般是先分类再分步．
的是最后结果，只需一 各步骤都完成了才能
种方法就完成
完成这件事
各类方法之间是互斥 各步之间是相互依存 的、并列的、独立的 的，并且既不能重复，
也不能遗漏
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相
同．
(×)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
典例2
分步乘法计数原理的应用
[ 典例 3] 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整 数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数； 十位 个位 故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法； 第 3 步，排百位，从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法．依 据分步乘法计数原理， 共有 4×3×2＝24 个满足要求的三位数．
练习2
在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但
不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋，现在从 7 人中选 2 人分别
参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
18
法 1 解：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的 3 人中选或在既会下象
棋又会下围棋的 2 人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的 2 人中
选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选．互相搭配，可得四类不同的选法． 从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名只会下围棋的学生中选
1 名参加围棋比赛有 3×2＝6 种选法； 从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋
的学生中选 1 名参加围棋比赛有 3×2＝6 种选法； 从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋
解：①若幸运之星在甲箱中抽取， 则有 30×29×20＝17 400 种不同的结果； ②若幸运之星在乙箱中抽取， 则有 20×19×30＝11 400 种不同的结果． 故共有 17 400＋11 400＝28 800 种不同结果．
利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么， 即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几 种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出 示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规 律． (3)综合问题一般是先分类再分步．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
[ 典例 1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的
两位数的个数为___3_6______．
法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位是 9，则十位可以是 1,2,3，…，8 中的一个，故共有 8 个； 个位是 8，则十位可以是 1,2,3，…，7 中的一个，故共有 7 个； 同理，个位是 7 的有 6 个； …… 个位是 2 的有 1 个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
A．6
B．5
C．3
D．2
3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一
条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为( C )
A．7
B．64
C．12
D．81
4．一个袋子里放有 6 个球，另一个袋子里放有 8 个球，每个球各 不相同，从两个袋子里各取一个球，共有__4_8___种不同的取法．
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主 力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、
四位置，求不同的出场安排共有多少种？ 252
解：法一：按出场次序，第一位置队员的安排有 3 种方法，第二位置队员 的安排有 7 种方法，第三位置队员的安排有 2 种方法，第四位置队员的安 排有 6 种方法，第五位置队员的安排只有 1 种方法． 由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为 3×7×2×6×1＝252.
[ 典例 3] 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整
数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
(2)分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 2,4 中选 1 个，有 2 种方法； 第 2 步，排十位，从余下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法； 第 3 步，排百位，只能从余下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法． 故共有 2×3×2＝12 个三位数的偶数．
[ 变式] 1.若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数， 那么这样的两位数有多少个？ 25
解：当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个． 当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个． 当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个． 同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个， 当个位数字是 0 时，共 9 个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．
[ 变式] 2. 用 1,2,3 这 3 个数字可以写出没有重复数字的整数___1_5____个．
解析：分三类：第一类为一位整数，有 3 个； 第二类为两位整数，有 12,21,23,32,13,31，共 6 个； 第三类为三位整数，有 123,132,231,213,321,312，共 6 个， ∴共写出没有重复数字的整数 3＋6＋6＝15 个．