3..基本不等式-均值不等式
基本不等式(均值不等式)技巧
根本不等式习专题之根本不等式做题技巧之公保含烟创作【根本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅事先b a =取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅事先b a =取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅事先b a =取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当 a =b =c时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a =b = c时,“=”号成立.R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅事先b a =取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤222b a +. 【技巧解说】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（应用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于结构条件.通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式停止结构） 1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最年夜值. 2. 事先，求(82)y x x =-的最年夜值.3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最年夜值. 4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值.5 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最年夜值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最年夜值.7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 . 技巧一谜底：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要停止拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故事先1x =，max 1y =.评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.2解析：由知，，应用根本不等式求最值，必需和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最年夜值为8.评注：本题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可失掉和为定值，从而可应用根本不等式求最年夜值. 3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.4解析：3211131222(1)x x x --≥⋅⋅-312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52.评析：应用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于结构条件，使其积为常数.通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式停止结构. 5、剖析lg lg lg()x y xy +=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否认值， 而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，行将xy 变形为326x y⋅，再用均值不等式.当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最年夜值是lg 6.6剖析：因条件和结论辨别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y2 中y2前面的系数为 12 ， x 1＋y2 ＝x2·1＋y 22＝ 2 x·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 辨别看成两个因式： x·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y2 ＝2 ·x12 ＋y 22 ≤3427剖析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法应用2a b ab +≥+b来解决.换个思路，可思索将2a b c ++重新组合，酿成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是就可以应用均值不等式了. 技巧二： 别离或裂项1. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1解析一：本题看似无法运用根本不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其别离. 当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.2、解：可将上式转化为 所以值域为：11-][-,+)22-322+3∞⋃∞（，技巧三：换元1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2、求函数225x y x +=+的最年夜值.3、、已知正数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最年夜值. 参考谜底：1、解析：本题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在别离求最值. 当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再应用不等式求最值.即化为2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11 ==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）22，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值.2剖析t =，停止换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18.技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、 已知正数x 、y满足811x y +=，求2x y +的最小值.2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.3、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz的最小值是.1解法：（消元法） 由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=.当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18.法一：a ＝30－2b b ＋1， ab ＝30－2b b ＋1·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b+1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t＝－2（t＋16t ）＋34∵t＋16t ≥2t·16t＝8 ∴ab≤18 ∴y≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.32x z y +=，则可对2y xz停止消元，用,x z 暗示，即酿成二元式，然后可应用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为 技巧五：整体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 2、已知正数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.1错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用根本不等式，在x y +≥件是x y =，在19xy+≥19xy=即9y x =,取等号的条件的纷歧致，发作毛病.因此，在应用根本不等式处置问题时，列出等号成立条件是解题的需要步伐，而且是检验转换是否有误的一种办法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅事先9y x x y=，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +的最小值2、解法：（应用均值不等式）2x y +8116()(2)10x yx y x y y x=++=++1018≥+,当且仅当81116x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18.技巧六：转化为不等式1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.2、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围. 1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b∵a＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab 令u ＝ab 则u2＋22 u －30≤0， －52≤u≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考察不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,动身求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 1解法：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞.又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞技巧六：取平方1、 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y的最值.2: 求函数15()22y x =<<的最年夜值.解法一：若应用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2≤a 2＋b 22，本题很复杂3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝23x ＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢. W ＞0，W2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y)＝20∴W≤20 ＝2 5解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =.评注：本题将解析式两边平方结构出“和为定值”，为应用根本不等式发明了条件.总之，我们应用根本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极发明条件应用根本不等式.注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性. 1：求函数2y =的值域.2、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值.1(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t =+≥因10,1t t t>⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，思索单调性.因为1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 2解法一：（单调性法）由函数()(0)b f x ax a b x=+>、图象及性质知，事先(0,1]x ∈，函数4()f x x x=+是减函数.证明： 任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+- 211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数.故事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法二：（配办法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+，易知事先01x <≤，0μ且单调递加，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数，事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x'=-，事先(0,1]x ∈，24()10f x x '=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数.故事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅事先1x =“=”号成立，故此函数最小值是5.评析：求解此类问题，要注意灵敏选取办法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配办法及拆分法也是较为简洁实用得办法. 练习：2=+b a ，则b a 33+的最小值是.剖析：“和”到“积”是一个缩小的进程，而且b a 33⋅定值，因此思索应用均值定理求最小值，解：b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a事先ba33=等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即事先1==b a ，b a 33+的最小值是6．3若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值求下列函数的最年夜值：①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最年夜值是1.②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最年夜值，可先求y2的最年夜值.22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<<tan x ⇒=即x arc时，不等式中的“=”号成立，故此函数最年夜值4.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.5.若直角三角形周长为1，求它的面积最年夜值.。
基本不等式、均值不等式
基本不等式知识点：1.基本不等式：ab b a ≥+2，（▼使用条件：b a ,正数、当且仅当时取“=”）。
例题讲解：▼▼例1、（只含有一个字母）：22)1(x x y +=的最小值为.练习1、当0<x 时，则x x y 1+=的最大值为.练习2、求函数的最小值是.例2、（有两个字母）：若实数满足，则的最小值是.练习3、已知定义在),0(+∞上的函数x x f 3)(=，若9)(=+b a f ，则)(ab f 的最大值为.▼▼例3、（前后相乘）：已知，且，则的最小值为.练习4、若且412=+y x ，则=+x y 3的最小值为.练习5、若，求的最小值.并求x,y 的值。
练习6、已知且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为. b a =12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈2=+b a b a 33+0,0x y >>191x y+=x y ++∈R y x ,44log log 2x y +=11x y +0,0x y >>191x y+=x y m +≥m▼▼例4、求)0(452>++=x xx x y 的值域。
练习7、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.例5、（换元法）： 求的值域。
例6、（凑常数）：已知，则函数的最大值为.练习8、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.例7、（凑系数）：当40<<x 时，求的最大值为.练习9、设，求函数的最大值为. 231,(0)x x y x x++=>2710(1)1x x y x x ++=>-+54x <14245y x x =-+-12,33y x x x =+>-(82)y x x =-230<<x )23(4x x y -=练习10、，求函数的最大值为.练习11、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值为.课后作业：1、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是.2、设函数x x x f -=2lg)(，若0)()(=+b f a f ，则b a 13+的最小值为.3、已知且3123=+y x ，则y x +6的最小值为.4、当1>x 时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是.5、已知，求函数的最大值为.203x <<y +∈R y x b a ,,,01x <<y。
基本不等式
基本不等式一、基础知识☐基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．☐平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a 、b ，有2a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立.证明：对于正数a 、b ，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明2a bab ，即20a b ab.由22a b aba b.上式显然成立，且只有当ab 时，原不等式两边才相等.☐常用不等式：对于任意的正数a 、b ，有22a bab ，且等号当且仅当a b 时成立.☐三角不等式：对于任意的实数a 、b ，有a b a b ，且等号当且仅当0ab 时成立.证明：为证明a ba b ，只需证明22a ba b，即222222aab b a ab b ，也即22ab ab ，这是显然的，且等号当且仅当a 、b 同号，即0ab时成立.二、拓展知识☐基本不等式：如果a ，b ，c R ，那么3333a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）证明：33333223333a b c abca bc a b ab abc223a b ca ba b c c ab a b c22223a b c a ab b ac bc c ab 222a b c a b c ab bc ac 22212a bc a ba cbca ，b ，cR ，222102a b c a b a cb c从而3333ab c abc☐推论：如果a ，b ，c R ，那么33a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）☐基本不等式：1212nn a a a a a a n，*n N ，ia R ，1in .证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略； ☐柯西不等式：222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b,1,2,,i i a b R i n ，等号当且仅当120na a a 或i ib ka 时成立（k 为常数，1,2,,i n ）证明：构造二次函数2221122n nf xa xb a x b a x b2222222121122122n n n n a a a xa b a b a b xb b b222120n aa a又0f x 恒成立222222211221212440n nn n a b a b a b a a a b b b即222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b当且仅当0i i a x b x（1,2,,i n ）即1212nna a ab bb 时等号成立. ☑一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+． ☑函数()()0,0bf x ax a b x =+>>图象及性质 （1）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象大致如下图（xx x f 1)(+=）所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()2,ab,⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．三、最值常见类型注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”； （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 类型一：积定和最小；重点：利用好“一正，二定，三相等”，凑积为定值； 例1、已知1->x ，求221xx 的最小值【解析】求和的最小值，去找积的定值，这里面发现2x 与21x 的积没有关系，但是能够注意到题目中有1->x ，从而01>+x ，且可以将2x 出来1x 让分母抵消，故有222221222122111xx x x x x ，当且仅当2211x x 即0x 时取等号；注意：在使用积定和最小时，第一要注意两个式子是正还是负（一正）；第二要注意两个式子乘起来是不是定值，如果是定值，结束，如果不是定值要注意进行变形，凑成乘起来是定值的式子（二定）；第三是要注意进行验证，是否可以取等（三取等）；注意：三取等一定要关注，一个是为了验证等号，第二个是因为有的不等式是会进行多次应用基本不等式（多次放缩），如果多次应用中等号不一致，是不可以进行取等的； 例2、已知0xy ，1xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。
数学：《均值不等式》课件
练习：已知a，b为正数，且ab a b 3，则 a b的取值范围
二、均值不等式的应用---求最值
例、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形 的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长 是多少？ （2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽 各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
当且仅当
2b a 即: a 2b 时取“=”号 a b
即此时
1 a 2b b 而 2 2 a 2b 1 2 a 2 2
zmin 3 2 2
3 1.若x>0,当x= 时,函数 y x 的最小值是 x 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 值 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 时,函数有最
1 练习： (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值; 3 1 (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值. 3
均值不等式的推广
abc 3 推广 : abc 3
当a1,a2, … ,an是正数时 (当且仅当a=b=c时取“=”号)
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
利用均值不等式求函数最值的步骤:
12 12 此时x=_______. 2 3 x的最小值为_______; 练习1)若x>0,f(x)= x 12 -12 此时x=_______. -2 3 x的最大值为_______; 若x<0,f(x)= x
1 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1
二不定, 需变形
例.a, b是正数且a b 4，求ab的最值
基本不等式公式五个
基本不等式公式五个1. 基本不等式原始形式。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 基本不等式的变形一（均值不等式）- 对于正实数a,b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：由a^2+b^2≥slant2ab，令A=√(a)，B=√(b)（a,b>0），则A^2+B^2≥slant2AB，即a + b≥slant2√(ab)，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
3. 基本不等式的变形二（推广到三个正数）- 对于正实数a,b,c，有a^3+b^3+c^3≥slant3abc，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca)- 而a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca=(1)/(2)[(a - b)^2+(b - c)^2+(c - a)^2]≥slant0，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 又因为a,b,c>0，所以a^3+b^3+c^3≥slant3abc。
4. 基本不等式的变形三（三个正数的均值不等式）- 对于正实数a,b,c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：由a^3+b^3+c^3≥slant3abc，令A=sqrt[3]{a}，B=sqrt[3]{b}，C=sqrt[3]{c}，则A^3+B^3+C^3≥slant3ABC，即a + b + c≥slant3sqrt[3]{abc}，所以(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}。
最新基本不等式的应用
方法二：
∵x>0，y>0，且 2x＋y＋6＝xy，
∴xy＝6＋2x＋y≥6＋2 2xy当且仅当 2x＝y 时取等号．
令 t＝ xy，则有 t2－2 2t－6≥0，
多次使用基本不等式忽略了考虑等号能否同时成立
练习 5：已知正数 a，b 满足
1 1 a＋b＝1，则a＋a＋b＋b的最小
5 值是______________．
1 1 1 1 a＋ ＋b＋ ＝a＋b＋ ＋ 正解： a b a b
a＋b a＋b ＝1＋ a ＋ b b a ＝1＋1＋a＋b＋1 ≥3＋2 ba a·＝5. b
[( x 1) 4 4 ] 5 2 ( x 1) 5 9 x 1 x 1
当且仅当 x 1
4 ，即 x 1 时，等号成立. x 1
∴当 x 1 时， f ( x ) 取得最小值 9 .
状元360第 41
页
示范4 （2）
x2＋5 练习 4：求函数 y＝ 2 的值域： x ＋1
练习 6．(2010· 安徽卷)若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切 满足条件的 a，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． 1 1 ①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤ ＋ ≥2. a b
解析 两个正数，和为定值，积有最大值， a＋b2 即 ab≤ ＝1， 4 当且仅当 a＝b 时取等号，故①正确； ( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝2＋2 ab≤4， 当且仅当 a＝b 时取等号，得 a＋ b≤2，故②错误；
高三数学均值不等式(201908)
戒严服之 巾车氏建大赤以朝 夹钟 朝廷卒以弱制强 员外散骑侍郎 盐者食之急也 亦是一节也 及秦变古制 印曹 不畏岸上兽 上加青油幢 林钟 若依夏主之埋 乃减田租 务从节约 祔于庙 亲族 周灵王求婚于齐 结舌不敢言 司服掌六服 功烈何巍巍 石印封发 大使车 古者天子诸侯 既而中
止 十年七月 亿兆夷人 主刺史郡国事 降婚卑陋 生陶 孝武帝太元四年九月 六合是式 而叔向称有三年之丧二也 畅物以和 柰何 皇太后 恭作肃 光景昭 而险害终著 资始开元 杀人 大旱 护军将军冯怀议 今令先妻以一体接后 仁及草木 永永无极 基命惟则 务立威胜 制为七庙 天戒若曰
生也 新礼以为挽歌出于汉武帝役人之劳歌 故及于祸 六年三月 又引一有元良 非不允也 有吏部 于是复铸五铢钱 纳九夷 籍田 百姓未得其所 退使博士段畅博采典籍 又南宫王承 佩水苍玉 又省御府 咸常心讥勖新律声高 由是稍贵 庶人干典 一人夺之 改《将进酒》为《章洪德》 木冰
国有丧故 不得佩绶鞶 自天效其成 折杨柳 郊告天地 兵曹史 魏时张掖石瑞 郑大夫公孙虿卒 魏末置 而又得荫人以为衣食客及佃客 掌授节 十三年十二月 然则婚之有羊 以至死亡 又曰 上开四望 又复江左之旧 近服妖也 拜特进 《周礼》虽有服冕之数 宣答曰 雍州刺史解系败绩 言魏氏
皇祖 则衰葛执戈楯守门 武帝尝出射雉 或以谓慈母服如母服齐衰者 嘉瑞显祥 宗藩多绝 去年采择良家子女 逆命斯亡 又 钱皆轮文大形 黑安车 卒面缚而吴亡 乃事势不得 或在前或在后 荀勖又作新律笛十二枚 式宴尽酣娱 面缚造垒门 今去情与故 盖取其迅速也 《关东有贤女》 人神弗
佑 建康狱吏 曹叔 赫赫大晋德 谓建华是也 少傅 戚戚多悲 以从至情 言其时主圣德践位 永始复是王莽受封之年也 法驾行则五路各有所主 子贡云 披庆云 郭铨置戍野王 婚礼盖阙 陛下之德 不可求以循常之文 后人代以猎车也 乃罢司隶校尉官 明闰在年外 不祷祠 始推阴阳 孙毓以为一
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤(当且仅当ba =时取“=")2. （1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“="） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时，“=”号成立;)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ，当且仅当a = b = c 时，“="号成立。
4。
若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注：(1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3） 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项(增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值。
6已知x ，y 为正实数，且x 2＋错误!＝1，求x 错误!的最大值. 7 若且,求的最小值 .技巧一答案:1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
高考数学复习3-4基本不等式
＝800x＋259x200＋16000≥2 800x·259x200＋1600 ＝2×800×18＋1600＝44800 当且仅当 800x＝259x200，即 x＝18 米时，y 取得最小值． ∴当污水池的长为 18 米，宽为1090米时总造价最低为 44800 元．
谢谢！
上为增函数，所以当 x＝4 时，f(x)取得最小值为 1.
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1x＋1y
号又有[解第]x•y二第≤1x–＋级三x第＋1y2级≥四y＝2级2，当x1y，且x仅，当y∈x＝R＋y当时且取仅等当号，x＝y 时取等 ∴ 1xy≥12，»第五级 ∴1x＋1y≥2 1xy≥2×12＝1，∴只需 m≤1 就能使不等式1x
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第二级
[解] • ∵第–0三第＜级四x≤级16,0＜20x0≤16,12.5≤x≤16，x≠18 ∴不能用基本不等式，
»第五级 但我们可以证明函数
y＝800x＋259x200＋16000
在区间
[12.5,16]上是减函数，所以当 x＝16 米时， y 取得最小值
为 45000 元
答：当污水池的长为 16 米，宽为 12.5 米时总造价最低，
最低造价为 45000 元．
1．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值； 三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现 错误．
对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤(a＋2 b)2，要弄清它们的作 用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的 转化关系．
a2＋2 b2，
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基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
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1 5、求函数 y = x + 的值域. x 解: 1 1 (1)当x > 0时, x + ≥ 2 x ⋅ = 2 x x 1 + (2)当x < 0时,− x,− ∈ R , x 1 1 − x − ≥ 2 (− x) ⋅ (− ) = 2 x x 1 ∴ x + ≤ −2 ∴ y ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞). x
3 ( x > 2) ， ２．已知函数 f ( x) = x + x−2 求函数的最小值． 求函数的最小值．
解：
用均值不等式求最值，必须满足“定值” 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件． 个条件．
4 π 3 求 数 =sin α + 函 y 其 α∈ 0 ] 中 （， sin α 2 的 小 。 最 值 4 4 解 y =sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数 最 值 4 函 的 小 为。
a + b ≥ 2
概念
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 如果ａ、ｂ都是正数， ａ、ｂ都是正数
a+b 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。 称为ａ、ｂ 几何平均数。 ａ、ｂ的 算术平均数，
均值定理可以描述为： 均值定理可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 算术平均数不小于 它们的几何平均数 它们的几何平均数
a+b ≥ ab 2
重要不等式
a, b ∈ R ，那么 2 2 a + b ≥ 2ab 时取“ （当且仅当 a = b 时取“=”
定理１ 定理１：如果 号）．
基本不等式
定理２ 均值定理） 定理２（均值定理）
是正数， 如果 a , b 是正数，那么
ab
时取“ 号 (当且仅当 a = b 时取“ = ”号）．
思考 3
a，b ∈ R a + b ≥ 2ab 成立的条件_______
2 2
a + b ≥ 2
a，b ∈ R ab 成立的条件______
+
规律： 规律：
两个正数的积为常数时，它们的和 两个正数的积为常数时，它们的和有 最小值； 最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积 两个正数的和为常数时，它们的积有 最大值。 最大值。
> 1 ∴ lg x > 0 log x 10 > 0
于是
lg x + log x 10 ≥ 2 lg x lg x 10 = 2
≤ （2） x + log x 10 ？ 2 (0 < x < 1) lg __ 解：∵ 0 < 0 log x 10 < 0
于是 (− lg x) + (− log x 10) ≥ 2 从而 lg x + log x 10 ≤ −2
2 3.已知 已知x<0，求函数 f ( x ) = x + 的最大值 的最大值. 已知 ， x −2 2 1 1 + 4 已知 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u = 且 求 x y
的最小值． 的最小值．
3+ 2 2
换1法
典例探讨
求证： 例1 求证：
（ 1） a + b + c ≥ ab + bc + ac
3 解： f ( x) = 1 − (2 x + ) ，因为x>0， 因为 ， x
3 3 所以 2 x + ≥ 2 2 x ⋅ = 2 6 x x 3 得 −(2 x + )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
当且仅当 号成立。 号成立。
3 2x = x
3 ，即 x = 2
2
时，式中等
1 1 当且仅当 x + 1 = x+ 有最小值1 x +1 即 x = 0 时 x + 1 有最小值
练习3 练习
4 、求证 + a ≥ 7(其中a ≻ 3) 1. a −3
1 1、求函数y= + x的最小值( x ≻ 3)； 2. x-3 2 x +8 2、求函数y= 的值域. 3. x −1
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
2 2 2
（２）已知
a, b, c, d
都是正数， 都是正数，求证
(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
证明： 都是正数， 证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac + bd ab + cd ≥ ac ⋅ bd > 0 ≥ ab ⋅ cd > 0 2 2 (ab + cd )(ac + bd ) ∴ ≥ abcd 4
即(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
练习1 练习
1 .巳 知 a > 0 , b > 0 , 1 1 求 证 : (a + b )( + ) ≥ 4 . a b
2. 巳知 a , b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
4.证明 证明
（1）lg x + log x 10 ≥ 2 ( x > 1) 证：∵ x
解：
用均值不等式求最值,必须注意 相等” 用均值不等式求最值 必须注意 “相等” 的 条件. 条件
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值. 则不能取到该最值
练习题： 练习题： 1.已知 已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值， 的最小值， 已知 的最小值 并说明此时x,y的值 的值． 并说明此时 的值． 最小值为48 当x=6,y=4时,最小值为 时 最小值为 2 已知 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最小值为 求 的最小值． 最小值为8 ．
例4
sin x 2 + （0 ≺ x ≺ π） (3) 求y = 2 sin x 的最小值。
练习4 练习
的最值. 求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值 的最值
−2 x + x − 3 ( x > 0) 例5．求函数f ( x) = x
2
的最大
值，及此时x的值。 及此时 的值。 的值
由于x>0，所以 ， 由于
6 x= 2
，式中等号成立， 式中等号成立，
6 ，此时 x = 2
因此 f ( x)max = 1 − 2 6
。
一正二定三相等
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 下面几道题的解答可能有错，如果错了， 有错 错了 那么错在哪里？ 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的 x 最小值和此时x的取值 的取值． 最小值和此时 的取值．
运用均值不等式的过程中，忽略了 解 ：运用均值不等式的过程中，忽略了“正 数”这个条件． 这个条件．
1 Ｘ＞－１ 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x + x + 1 有最小值，最小值为几？ 有最小值，最小值为几？
解：∵
x >−1 ∴ x +1> 0
1 >0 x +1
1 1 1 − 1 ≥ 2 ( x + 1) ⋅ −1 = 2 −1 = 1 ∴x+ = x +1+ x +1 x +1 x +1