第三章 时域法 稳态误差
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—5稳态误差
2020年9月6日6时59分
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一、稳态误差的定义
系统的误差e(t)一般定义为输出量的希望值与 实际值之差。系统误差的定义有两种形式： （1）系统误差（从输出端定义） (s) Cr (s) C(s)
Cr(s)为系统输出量的希望值，其定义为E(s)=0时系 统的输出，C(s)为输出量的实际值。
（2）作用误差（从输入端定义）E(s) R(s) B(s) 作用误差就是给定输入R(s)与主反馈信号B(s)之差。
§ 3-6 控制系统的稳态误差
系统的稳态分量反映系统跟踪输入信号的准 确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差描述。在 系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能 指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形式 有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种 传动机械的间隙、摩擦等因素有关。
本章只讨论由于系统结构、参数及外作用等因 素所引起的稳态误差。 ➢ 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差） ➢ 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）
式中
1 er (s) 1 G(s)H (s)
称为给定输入作用下系统的误差传递函数。
应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系 统的稳态误差。
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ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
lim
s0
s
1
1 G(s)H(s)
R(s)
1
lim s
R(s)
s0 1 G开 (s)
稳态误差可表示为ess1 1 Kp因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差取决于
系统的稳态位置误差系数。
2020年9月6日6时59分
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对于0型系统，v=0
自动控制原理第三章时域分析法
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
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一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
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1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
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1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
第三章 时域分析方法
1 1 1 a s s a
常见拉氏变换
1 拉氏变换的定义 2 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
F(s) f (t) e ts dt
0
f (t)
F(s)
1
1s
B
y( )
tr tp
ts t
总结：
1.5 1 0. 5 B
B
y( )
tr tp
ts t
0
1、峰值时间和上升时间反映了系统的初 始快速。 2、调节时间反映了系统的整体快速性。 3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系 统的平稳性。 4、稳态误差反映了系统的调节精度。
拉普拉斯逆变换的几种方法
拉氏反变换 （1）反演公式
稳态误差余差是反映控制系统精度的重要技术指标一般常用阶跃斜坡或抛物线输入信号测试稳态误差控制系统的设计任务之一就是尽量减小稳态误差3414上式表明偏差与输入信号有关还与系统的结构及参数有关
第三章 控制系统的时域分析方法
本章主要介绍：
1、一阶、二阶和高阶系统在典型输入信号下的过 渡过程 2、系统过渡过程的质量指标的分析（静态和动态 的误差分析） 3、系统稳态误差分析 4、系统稳定性的判据
T 2T 3T 4T 5T
t＝3T时, y(3T)＝0.95 5% t＝4T时, y(4T)＝0.982 2%
t＝5T时, y(5T)＝0.993…
0
t
y( t ) y( ) 误差 ＝ 100% y( )
说明：
1、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差是零，
e( ) x ( ) y( ) 0
第三章 控制系统的时域分析—5稳态误差
m
∏(Τ s + 1)
i =1 i
j =1 n
=0
1 ess = =∞ Kv 对于1型系统 ν 型系统， 对于 型系统， =1
Kv = lims ⋅
s→0
K∏(τ j s + 1) s∏(Τ s + 1) i
i =1 j =1 n−1
m
=K
2012年5月20日10时10分
1 1 ess = = Kv K
上式是确定给定稳态误差的一个基本公式。 上式是确定给定稳态误差的一个基本公式。 它表明，在给定输入作用下， 它表明，在给定输入作用下，系统的稳态误差与 系统的结构、参数和输入信号的形式有关， 系统的结构、参数和输入信号的形式有关，当系 统给定输入的形式确定后， 统给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取 决于以开环传递函数描述的系统结构。 决于以开环传递函数描述的系统结构。
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系统误差与作用误差之间的关系： 系统误差与作用误差之间的关系：
E(s) ε (s) = H(s)
可见， 可见 ， 两种定义对非单位反馈系统是存在差 异的， 异的 ， 但两种定义下的误差之间具有确定的 关系， 即误差ε(s)可以直接或间接由 可以直接或间接由E(s)来确 关系 ， 即误差 可以直接或间接由 来确 从本质上看， 定 。 从本质上看 ， 它们都能反映控制系统的 控制精度。 控制精度。
称为给定输入作用下系统的误差传递函数。 称为给定输入作用下系统的误差传递函数。 给定输入作用下系统的误差传递函数 应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系 统的稳态误差。 统的稳态误差。
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1 ess = lim e(t ) = lim sE(s) = lim s ⋅ ⋅ R(s) t →∞ s→0 s→0 1+ G(s)H(s) 1 = lim s ⋅ ⋅ R(s) s→0 1+ G开(s)
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
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4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
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3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
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3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
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参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
稳态误差
ess
1
1
H (0) 1 K p
对于单位反馈系统，
e ss ss
1 1 K p
, K p G ( 0)
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第三章 时域分析法 稳态速度误差（偏差）系数
Static velocity error constant
ess
1
1
H (0) K a
对于单位反馈系统， ess ss
1 Ka
, K a lim s G ( s )
s 0
2
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第三章 时域分析法 结论
当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态 误差取决于系统的开环传递函数。
s 0
2
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第三章 时域分析法
xi(t) xo(t)
I型系统
G( s ) H ( s ) K ( 1 s 1)( 2 s 1)( m s 1) s(T1 s 1)(T2 s 1)(Tn v s 1)
xo(t) 0
t
1 1 K p 0
II型系统的单位加速度响应
K p lim G ( s) H ( s)
s 0
ss
K v lim sG ( s) H ( s)
s 0
ss
ss
1 Kv
1 Ka
0
1 K
K a lim s G ( s) H ( s) K
第三章 时域分析—稳态误差
4.线性系统稳态误差分析误差，稳态误差的概念稳态误差的计算减小和消除稳态误差的方法4.1 稳态误差()()()R s H s C s −lim ()e t →∞0lim ()lim ()e s sE s s R s →=Φ传递函数时间常数形式121222112211(1)(21)1)(21)m m i ke k k n n j e e e j l s s s s T s T s ττζττζ====Π+Π++Π+Π++（0()v kG s s =111()k G s +无扰动下的稳态误差01lim ()1()ss s ke s R s G s →=+01lim ()1s sR s k sν→=+利用终值定理，计算稳态误差系统按照其开环传递函数中含有的积分环节的个数 型系统 型系统I 型系统（1）阶跃输入时稳态误差0001lim ()lim lim 1()1()ss s s s k k A Ae sE s sG s s G s →→→===++0,,1p ss Ak k e kν===+p1,,0p ss k e ν≥=∞=01lim s A ksν→=+为位置误差系数4.2 稳态误差的计算（2）斜坡输入时稳态误差20001lim ()lim 1()lim ()ss s s kk s B Ae sE s s G s s s sG s →→→===++0,0,v ss k e ===∞1,,v ss Bk k e kν===0lim s k s sν→lim ()v k k sG s =令为速度误差系数2,,0v ss k e ν≥=∞=0输入信号系统型数/A s2/A s3/A s1ss pA e k =+vk ∞∞∞/aA k 稳态误差小结输出位置上的误差；系统开环增益；稳态误差趋于无穷的含义；不适用于干扰系统；可用叠加原理。
例3-4-1移动机器人的驾驶控制系统11s()1k G ssτ=+（3）扰动作用下稳态误差计算12N(s)1()G (s)H(s)G s +212()()()()()G s N s G s G s H s −g 2012()lim ()1()()()ss s G s e s N s G s G s H s →−=+g g例3-4-2 输入为阶跃信号R (s )=1/s ，扰动信号N （s )=1/s 。
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1. 已知某系统的结构图如图1所示，求误差传递函数()/()E s R s 及在单位斜坡信号()r t t =
(0)t ≥作用下的稳态误差。
(北航2011年《控制工程综合》考研真题，原题10分)。
()
R s ()
C s -
1
1
s +()
E s s
5
2s 1s
-
图1.系统结构图
2. 假设某单位反馈系统的开环传递函数为
100
()(0.11)
G s s s =
+
试求当输入信号为2
()12r t t t =++时，系统的稳态误差。
厦门大学《自动控制原理》课程作业
航空航天学院 航 空 系 2018年级 航空 专业
主讲教师： 董一巍 作业内容：（第七讲）稳态误差
3. (北京交通大学2010年《控制理论》考研真题，原题15分)某系统结构图如图2所示，
求：
图2.系统结构图
(1). 当0a =，8K =时，，确定系统的阻尼比ξ、无阻尼自振频率n ω和单位斜坡输入作用下系统的稳态误差。
(注：本题按输入端定义误差：()()()e t r t c t =-)；
(2). 在保证0.7ξ=和在单位斜坡输入时系统的稳态误差为0.25ss e =的条件下，确定参数a 及前向通道增益K 。
4. 已知单位反馈系统的开环传递函数如下
()(0.11)(0.51)
K
G s s s s =
++
试求位置误差系数p K ，速度误差系数v K ，加速度误差系数a K 。
并确定输入()2r t t =时，系统的稳态误差()ss e ∞。