1.2 计量地理学中的数学方法
计量地理总结
计量地理学的数学方法主要应用方面：分布型分析、相互关系分析、分类研究、网络分析、趋势面分析、空间相互作用分析、系统仿真研究过程模拟与预测研究、空间扩散研究、空间行为研究、地理系统优化调控研究、地理系统的复杂性研究。
地理数据的类型包括：空间数据：用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件及地理过程产生、存在和发展的地理位置、区域范围及空间联系。
属性数据：用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件、地理过程的有关属性特征。
属性数据：数量标志数据：间隔尺度数据比例尺度数据品质标志数据：有序数据、二元数据、名义尺度数据地理数据的基本特征：数量化、形式化与逻辑化、不确定性、多种时空尺度、多维性P28-32统计学计算公式及例题相关分析是揭示地理要素之间相互关系的密切程度。
而地理要素之间相互关系密切程度的测定，主要是通过对相关系数的计算与检验来完成的。
相关系数的计算公式：p47-48秩相关系数：又称等级相关系数，或顺序相关系数,是将两要素的样本值按数据的大小顺序排列位次，以各要素样本值的位次代替实际数据而求得的一种统计量。
偏相关系数定义：在多要素所构成的地理系统中，先不考虑其他要素的影响，而单独研究两个要素之间的相互关系的密切程度，这称为偏相关。
用以度量偏相关程度的统计量，称为偏相关系数。
偏相关系数的性质①偏相关系数分布的范围在-1到1之间；②偏相关系数的绝对值越大，表示其偏相关程度越大；③偏相关系数的绝对值必小于或最多等于由同一系列资料所求得的复相关系数，即 R1·23≥|r12·3|。
复相关系数：反映几个要素与某一个要素之间的复相关程度。
复相关系数的性质①复相关系数介于0到1之间，即②复相关系数越大，则表明要素（变量）之间的相关程度越密切。
复相关系数为1，表示完全相关；复相关系数为0，表示完全无关。
③复相关系数必大于或至少等于单相关系数的绝对值。
最小二乘法，P59趋势拟合方法平滑法：移动平均法、滑动平均法、指数平滑法趋势线法：直线型趋势线、指数型趋势线、抛物线型趋势线自相关性判断时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。
《现代地理学中的数学方法》第3章 1 2相关分析方法 回归分析方法
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、地理相关程度的度量方法 • 计量地理学中用不同的指标来度量不同类型的地理相关的程度。 • （一）简单直线相关程度的度量 • 一般情况下，当两个地理要素间为直线相关时，需要分析其相关程度和
相关方向。所谓相关程度指两者关系的密切程度，而相关方向可分为正 相关与负相关。前者指两个要素间呈同方向变化，而后者相反。这两者 可用一个共同的指标度量，就是相关系数。 • 1. 一般常用的相关系数(r)计算公式 • 其中，
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• （三）多要素相关与相关矩阵 • 对于多个地理要素，则可计算出各要素两两之间的相关系数，并构成相
关矩阵。 • 例3：现给出世界上自然植被的生产量与水热资源的原始地理数据（表5
－3），利用相关系数公式得到其相关矩阵，形式如下所示：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
– 地理回归分析的主要内容包括：
• 1. 由一组地理数据确定这些要素间的定量数学表达式，即回归模型； • 2. 利用回归模型，根据自变量的值来预测或控制因变量的取值。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、一元地理回归模型的建立
– 一元地理回归是要解决两个要素间的定量关系。由于两个要素之间 的数量关系类型的差别，一元地理回归包括线性回归模型和非线性 回归模型分述如下：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 3. 一元线性地理回归模型的效果检验 • 当一元线性地理回归模型求出来以后，它的效果如何，它所揭示的地理
规律性强不强，用它来进行地理预测精度如何？所有这些问题都需要进 一步作出分析。 • （1）回归模型估计的误差 • 由线性回归模型所得到的y的估计值往往与实测值y不完全一致，它们之 间的误差称为估计误差，以标准差的形式表示为 • 在实际地理问题中，只要比较S与允许的偏差即可。
地理学中的数学方法
地理学中的数学方法题型：（成绩=80％卷面+20％平时）名词解释4—5′/题共20′简答计算（2选1）综合分析题：数学方法的实际应用一、名词解释：常用的统计指标（标准差、方差、均值、中位数......）相关分析、回归分析、聚类分析、主成分分析、层次分析......二、简答：1、简述相关系数的种类2、地理数据一般水平（平均值、中位数、众数......）离散程度（极差、方差、标准差......）3、数据标准化的方法4、某数学方法的一般步骤三、计算题（2选1）给出一个案例，根据所学设计怎样解决实际问题，会用什么方法、可能得到什么结果。
四、综合题地理学中数学方法的应用一、名词解释1、标准差也称为均方差，是方差的平方根。
标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式。
标准差越高，表示实验数据越离散，也就是说越不精确；反之，标准差越低，代表实验数据越精确方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。
主要用于度量随机变量和均值之间的偏离程度。
方差越大，说明数据波动越大。
中位数（Median）：即一组数据按升序排序后，处于中间位置上的数据值。
如评价社会的老龄化程度时，可用中位数。
众数（Mode）：即一组数据中出现次数最多的数据值。
如生产鞋的厂商在制定各种型号鞋的生产计划时应该运用众数。
2、相关分析从狭义的角度来看，相关分析以现象之间是否相关、相关的方向和密切程度为主要研究内容，它不区别自变量与因变量；不关心关系的表现形式。
从广义的角度来看，相关分析就是研究两个或两个以上变量之间相关方向和密切程度大小以及用一定函数关系来表达现象相互关系的方法。
3、回归分析是在相关分析的基础上，具体描述因变量对自变量的线性依赖关系的形式。
即寻找能够清楚表明变量间相关关系的数学表达式，并根据这个表达式进行估计预测。
4、聚类分析是统计学中研究“物以类聚”问题的多元统计分析方法。
聚类分析是根据地理变量的属性或特征，按照其亲疏程度或相似性，在没有先验知识的情况下，采用数学方法将它们自动分类，最后得到一个能反映个体或站点之间、群体之间亲疏关系的分类系统。
计量地理学
相关分析目的：揭示地理要素之间相互关系的密切程度。
实际操作：第一步，我们应该主观列出一些影响Y的一些X，选择相关分析的方法，如果只是两个要素之间的关系，我们采用简单相关，秩相关的方法，如果要是想研究多个要素之间的关系，我们可以采用偏相关和复相关的方法。
第二步，绘制散点图判断是否线性相关，进行正态性检验（检验方法：选用SPSS中的正态性检验功能，样本数>50选用K-S，<50选用S-W，sig值<0.05非正态，>0.05正态）。
第三步，计算相关系数。
如果正态性检验通过，我们就可以进行简单相关的分析（使用SPSS计算其Person 相关系数，绝对值越接近1表示相关性越强），正态性检验没有通过，选用秩相关的方法（秩相关是将两要素的样本值按数据的大小顺序排列位次，以各要素样本值的位次代替实际数据而求得的一种统计量）（使用SPSS软件计算Spearman系数）。
第四步，对所求系数进行显著性检验。
（|r|>rα，p<α，拒绝零假设，表示他们相关性显著。
其中P在SPSS中是P值下的Sig值，小于0.05拒绝零假设，大于0.05承认零假设。
r（相关系数）在实际中可以用查表法进行检验，注意其中f=n-2，这里容易出错误！）偏相关检验方法：常使用t检验的方法。
（|t|> tα， p<α，拒绝零假设，表示他们相关性显著。
需要自己计算t=偏相关系数/根号下(1-偏相关系数的平方)*根号下（n-m-1）,n是样本数，m是自变量个数。
）*复相关系数检验方法：常使用F检验的方法。
（f> fα, p<α，拒绝零假设，表示他们相关性显著。
）回归分析目的：找出影响Y的影响源X，对以后的发展进行预测。
实际操作：第一步，如果只是研究两个变量之间的相关关系，我们可以选用一元线性回归模型，绘制散点图，选择线形回归还是非线性回归，如果是非线性那么我们化为线性进行参数结算，线性直接进行计算。
计量地理学2PPT课件
地理数据的采集、处理及其与数学方法、地理 信息系统、地理计算学之间的相互关系图:
▪ 地理数据的渠道来源 :
① 来自于观测、测量部门的有关专业数据。
1. ② 来自于统计年鉴、统计公报中的有关自然资源及社会
地
经济发展数据。
理 ③ 来自于有关单位或个人的不定期的典型调查数据、抽
数
样调查数据。
据 ④ 来自于政府公报、政府文件中的有关数据。
的 ⑤ 来自于档案、图书等文献资料中的有关数据。
第二章 地理数据及其采集与处理
2011/03
第二章地理数据及其采集与处理
地理数据的类型 地理数据的基本特征，
地理数据的采集与处理 地理数据的统计处理
两个概念：
空间数据：用于描述地理实体、地理要 素、地理现象、地理事件及地理过程产 生、存在和发展的地理位置、区域范围 及空间联系。
属性数据：用于描述地理实体、地理要 素、地理现象、地理事件、地理过程的 有关属性特征。
从时间尺度上来看，描述地理过程的各种地理数据 具有多种时间尺度，如历史年代、天、月、季度、 年等。
多维性
对于一个地理对象的具体意义要从空间、属性、时间三个方面 综合描述。
空间方面，需要描述该地理对象所处的地理位置和空间范围， 一般需要2～3个变量 ；
属性方面，需要描述该地理对象的具体内容，至少需要1个以 上，多则需要十几个、甚至几十个变量 ；
空间数据的表达：
点——由一个独立的坐标点（x，y）定位，是 空间上不可再分的几何实体 。
计量地理学
系统动力学 地理系统的仿真、模拟和预测。
控制论
用于地理过程、地理系统的调控研究。
信息论
用于各种地理信息的分析、处理。
突变论
用于有关突发性地理现象、地理事件的研究。
灰色系统方法 灰色地理系统的分析、建模、控制与决策研究。
（三）其他数学方法
网络分析 层次分析法 模糊数学方法 分形理论 小波分析
用于交通网络、通讯网络、河流水系等地理网络的 研究。
2学时 3学时 14学时 6学时 4学时 4学时 4学时 4学时 4学时 4学时 4学时 1学时
➢ 系统仿真研究，如世界模型。
➢ 土地利用结构与布局优化。
研究对象
3、区域研究 均质区域与功能区域 强调区际之间的关系和区域空间组织
如跨流域调水，城市圈研究，城市规划，区域合 作。
二、研究内容 ——地理学应用中的各种数学方法
（一）数理统计与地统计学方法 （二）系统分析方法 （三）其他数学方法
1、定义：
计量地理学：是研究运用数学方法和计算机等
现代技术手段，对地理现象、地理过程进行定量 化研究，以揭示地理现象发生、发展的内在机制 及演化规律，进行地理系统预测及优化调控的学 科。
实验数据 调查数据 统计数据
……
数据 整理
理 地理现象的规律
论 分
地理事物发生发 展的过程
析
应 地理事物的时空分
（一）数理统计与地统计学方法
数学方法
用途
概率论
用于地理现象、地理要素的随机分布研究。
抽样调查
用于地理数据的采集和整理。
相关分析
分析地理要素之间的相关关系。
回归分析
拟合地理要素之间的数量关系、预测发展趋势。
1.2 计量地理学中的数学方法
二、几种常用的统计指标与参数
描述地理数据一般水平的指标
描述地理数据分布的离散程度的指标 描述地理数据分布特征的参数
（一）描述地理数据一般水平的指标
• 平均值 反映了地理数据一般水平。计算方 法: ① 未分组的地理数据
表2.4.2
地块 编号 面积 /hm2 1 2 3 4 5
某农场各农田地块的面积
6 7 8 9 10 11 12 平均值 中位 数 52.5 众 数 50
12
83
50
35
55
50
72
40
85
29
65
75
54.25
应按照未分组数据计算其平均值、 中位数和众数，计算结果见上表最后三 列。
例2:表2.4.3给出了中国西部地区某城市2000年家 庭月收入的抽样调查结果，试计算其平均值、中 位数和众数。
表2.5.1
某地区农户家庭经营性纯收入水平及其构成
2004 1999 占总收入的 比重/% 42.82 2.25 10.34 3.45 6.91 2.57 8.09 17.42 6.15 100
部门代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计
产业部门 种植业 林业 畜牧业 渔业 工业 建筑业 运输业 商饮服务业 其他 家庭经营纯 收入
图2.4.4
标准峰度系数的三种情形
三、应用实例：中国大陆省份人均 GDP的变异系数
我们知道变异系数测度的是地理数据分布 的相对差异。 为了分析中国大陆经济发展的省际差异及 其演 化 过程 ， 我们首 先把 1978 － 2002 年各省 （直辖市、自治区）的GDP数，按照可比价格进 行折算，再除以人口数，计算出按照可比价衡 量的人均GDP数据，然后再用公式（2.4.13）计 算变异系数，结果如图2.4.5。
计量地理学
计量地理学1、计量地理学：它是一门在研究中结合计算机技术、信息技术等，采用数学方法定量化解决地理问题的学科。
2、地理数据：就是用一定的测度方式描述和衡量地理对象的有关量化标志。
是对地理问题进行定量化描述和研究的基础，是一切数学方法在地理学中应用的先决条件。
3、间隔尺度数据：这种数据，是以有量纲的数据形式表示测度对象在某种单位（量纲）下的绝对量。
4、比例尺度数据：这种数据，是以无量纲的数据形式表示测度对象的相对量。
5、有序数据：当测度标准不是连续的量，而是只表示其顺序关系的数据，则称其为有序尺度或等级尺度数据。
6、二元数据：即用0、1两个数据表示地理事物、地理现象或地理事件的是非判断问题。
7、名义尺度数据：即用数字表示地理实体、地理要素、地理现象或地理事件的状态类型。
8、洛伦兹曲线：意大利统计学家洛伦兹，首先使用累计频率曲线研究工业化的集中化程度。
9、集中化指数：是一个描述地理数据分布的集中化程度指数。
10、回归分析方法：就是研究要素之间具体数量关系的一种强有力的工具，运用这种方法能够建立反映地理要素之间具体数量关系的数学模型，即回归模型。
11、时间序列：也叫时间序列或动态数列，是要素的数据按照时间顺序变动排列而形成的一种数列，它反映了要素随时间变化的发展过程。
12、空间数据主要用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件及地理过程的产生、存在和发展的地理位置、区域范围及空间联系。
13、属性数据主要用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件、地理过程的有关属性特征，包括数量标志数据与品质标志数据两种14、秩相关系数又称等级相关系数，或顺序相关系数,是将两要素的样本值按数据的大小顺序排列位次，以各要素样本值的位次代替实际数据而求得的一种统计量。
15、聚类分析，亦称群分析或点群分析，它是研究多要素事物分类问题的数量方法。
其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
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i 1 n
变异系数表示地理数据的相对变化（波动） 程度，其计算公式
S 1 Cv 100% x x ( xi x ) 2 n 1 100%
（2.4.13）
例如：对于表2.4.2中的数据，分别计算极差、 离差、离差平方和、方差、标准差、标准差的 无偏估计，以及变异系数。
表2.4.2
地块编号 面积/hm2 1 12 2 83 3 50 4 35
某农场各农田地块的面积
5 55 6 50 7 72 8 40 9 85 10 29 11 65 12 75 平均值 54.25 中位 数 52.5 众 数 50
步骤 ： (1)按照公式（2.4.7）计算极差
R 85 12 73
离差
i
i
（2.4.7）
指每一个地理数据与平均值的差，计算公式为
离差平方和
di xi x
（2.4.8）
它从总体上衡量一组地理数据与平均值的离散程 度，其计算公式为
d2
(x
i 1
n
i
x)
（2.4.9）
• 方差与标准差 方差是从平均概况衡量一组地理数据与平 均值的离散程度。方差计算公式为
1 xi x g1 i 1 n
n
3
（2.4.14）
g1<0，表示负偏，即均值在峰值的左边；g1>0，表 示正偏，即均值在峰值的右边；g1=0，表示对称分 布（如下图）。
图2.4.3
偏度系数的三种情形
• 峰度系数 它测度了地理数据在均值附近的集中程度，其 计算公式为标准正态分布的峰度系数 g2 =0； g2>0， 表示地理数据分布的集中程度高于正态分布； g2<0， 表示地理数据分布的集中程度低于正态分布（图 2.4.4）。 4 n 1 xi x （2.4.15） 3 g2 i 1 n
多目标规划
非线性规划 动态规划 网络分析 层次分析法
用于研究有关规划与决策问题。
用于研究有关规划与决策问题。 用于有关多阶段地理决策问题的求解。 用于交通网络、通讯网络、河流水系等地理网 络的研究。 用于有关多层次、多要素战略决策问题的分析。
风 险 型 决 策 分 用于各种风险型地理决策问题的分析。 析法
众数
众数就是出现频数最多的那个数,计算 方法分为以下两种情况: ①未分组的地理数据，可以根据每一 个数据出现的频数大小直接确定众数。 ②对于已经分组的地理数据，中位数 的计算步骤如下： 确定频数最多的组为众数所在组。 按以下公式计算众数
1 M0 L d 1 2 2 M0 U d 1 2
第2节 计量地理学中的数学方法
数学方法
概率论
用途
用于地理现象、地理要素的随机分布研究。
抽样调查
相关分析 回归分析 方差分析 主成分分析
用于地理数据的采集和整理。 分析地理要素之间的相关关系。
拟合地理要素之间的数量关系、预测发展趋势。 研究地理数据分布的离散程度。 用于地理数据的降维处理及地理要素的因素分析 与综合评价。
第5节 地理数据分布的集中化 与均衡度指数
罗伦次曲线与集中化指数
ห้องสมุดไป่ตู้
基尼系数
锡尔系数
（一）罗伦次曲线 绘制罗伦次曲线实例
（1）将表2.5.1各产业部门的收入及其占总收 入比重（百分比），从大到小重新排序； （2）从大到小，逐次计算累计百分比； （3）以自然序号为横坐标(x)，累计百分比为 纵坐标(y)；以（部门代码，累计百分比）为坐标点， 连成一个上凸的曲线（图2.5.1和图2.5.2），即罗 伦次曲线。
(3) 计算众数 , 先确定众数所在组，再按 照公式（2.4.5）或（2.4.6）计算众数。
显然，众数所在组应该在第二组。
众数M0 =3 476.19 （元）。
（二）描述地理数据分布离散程度的指标
•
极差 指所有数据中最大值与最小值之差,计算公式为
R max {xi } min{xi }
•
用于有关地理系统、地理过程的组织与演化 问题研究。
用于有关地理系统、地理过程的自组织问题 研究。 用于灰色地理系统的分析、建模、控制与决 策研究。
系 统 动 力 学 方 用于对地理系统的仿真、模拟和预测。 法 分形理论 小波分析 人工神经网络 遗传算法 用于有关地理实体的形态及要素分布形态的 自相似机理研究。 用于多层次、多尺度、多分辨率的地理时空 过程的时频分析。 用于有关地理模式的识别、地理过程机制的 自学习及预测等。 用于复杂的非线性地理问题的计算。
表2.4.2
地块 编号 面积 /hm2 1 2 3 4 5
某农场各农田地块的面积
6 7 8 9 10 11 12 平均值 中位 数 52.5 众 数 50
12
83
50
35
55
50
72
40
85
29
65
75
54.25
应按照未分组数据计算其平均值、 中位数和众数，计算结果见上表最后三 列。
例2:表2.4.3给出了中国西部地区某城市2000年家 庭月收入的抽样调查结果，试计算其平均值、中 位数和众数。
1 n x xi n i 1
(2.4.1)
② 分组的地理数据
x
fx
i i 1 m
m
i
f
i 1
(2.4.2)
i
• 中位数
① 对于未分组的地理数据，样本数n为奇数时， 中位数是位置排在第(n+1)/2位的数据；样本数n为偶 数时，中位数是排在中间位置的两个数据的平均值。 ②分组的地理数据，中位数的计算方法: 确定中位数所在的组位置,按下述公式计算中位数
(2)按照公式（2.4.8）计算离差，结果见表 2.4.4。
表2.4.4
序号 面积 1 12 2 83 3 50 4 35 5 55
地理数据的离差
6 50 7 72 8 40 9 85 10 29 11 65 12 75
离差
-42.25
28.75
-4.25
-19.25
0.75
-4.25
17.75
-14.25
(2.4.5) (2.4.6)
或
在式(2.4.5)和 (2.4.6)中:
M0代表众数；
L为众数所在组的下限值；
U为众数所在组的上限值； ∆1为众数组频数与下一组频数之差； ∆2为众数组频数与上一组频数之差； d为众数所在组的组距。
例1：表2.4.2给出了某农场各农田地块的面积， 试计算其平均值、中位数和众数。
时间序列分析 用于地理过程时间序列的预测与控制研究。
聚类分析 判别分析
趋势面分析
用于各种地理要素分类、各种地理区域划 分。 用于判别地理要素、地理单元的类型归属。
用于拟合地理要素的空间分布形态。
协方差与变异函 用于研究地理要素的空间相关性及空间分 数 布的数量规律。 克立格法 马尔可夫过程 线性规划 投入产出分析 用于地理要素分布的空间局部估计与局部 插值。 用于研究随机地理过程、预测随机地理事 件。 用于研究有关规划与决策问题。 用于产业部门联系分析、劳动地域构成分 析、区域相互作用分析。
图2.4.5 1978—2002年中国大陆省份人均GDP的变异系数
从图2.4.5中可以看出，在1978—2002年 期间，人均GDP的变异系数，以1990年为转折 点，呈现出一个 U 形曲线。即：人均 GDP 的变 异系数，在 1978—1990 年期间基本上呈现下 降趋势，而在 1990—2002 年期间则基本上呈 现上升趋势。 这说明，在 1978—1990 年期间，中国大 陆经济发展的省际差异，基本上呈缩小趋势， 而 1990—2002 年期间则基本上呈扩大趋势。 这一变化与国家宏观经济政策变动的时间、 趋势大体一致。
30.75
-25.25
10.75
20.75
(3)按照公式（2.4.9）计算离差平方和
d d i 5 666.25
2 12
(4)按照公式（2.4.10）计算方差
i 1
2
(5)按照公式（2.4.11）计算标准差 (6)按照公式（2.4.12）计算标准差的无偏估计
S
1 2 d 472 .19 12
6 000～7 000
7 000～8 000 8 000～9 000 合 计
100
50 30 2130
2 050
2 100 2 130 —
180
80 30 —
解题步骤:
(1)用公式（2.4.2）计算平均数
x =3 899.06（元）
(2)计算中位数。先确定中位数所在 组的位置，再按照公式（2.4.3）或者 （2.4.4）计算中位数 Me =3 588.46（元）
非 确 定 型 决 策 用于各种非确定型地理决策问题的分析。 分析法
模糊数学方法
控制论 信息论 突变论
用于各种模糊地理现象、地理过程、地理决策 和系统评价研究。
用于地理过程、地理系统的调控研究。 用于各种地理信息的分析、处理。 用于有关突发性地理现象、地理事件的研究。
耗散结构理论
协同学 灰色系统方法
σ 2 472.19 21.73
(7)按照公式（2.4.13）计算变异系数
Cv S 100 % 0.418 4 x
d2 21.729 9 12 1
（三）描述地理数据分布特征的参数
• 偏度系数 测度地理数据分布的不对称性情况，刻画以平 均值为中心的偏向情况，计算公式为
表2.4.3
家庭月收入/元
2 000～3 000 3 000～4 000 4 000～5 000 5 000～6 000
中国西部地区某城市2000年家庭月收入的 抽样调查结果