2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题五高考热点追踪(五)
2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题三 高考热点追踪(三)
1．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是________． [详细分析] 根据题意并结合二次函数的性质可得： a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n 2－292n ＋3 ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋3＋8418， 所以n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108． [答案] 1082．(2019·南京、盐城高三模拟)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于________．[详细分析] 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，a 2＝0或3．又由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1S 4．若a 2＝0，则S 1＝S 2＝a 1≠0．S 2＝S 4＝a 1，a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝0，a 3＝0，则d ＝0，故a 2＝0舍去；若a 2＝3，则S 1＝3－d ，S 2＝6－d ，S 4＝12＋2d ，(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )(d ≠0)，得d ＝2，此时a 10＝a 2＋8d ＝19．[答案] 193．已知log 3x ＝－1log 23，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝________．[详细分析] 由log 3x ＝－1log 23⇒log 3x ＝－log 32⇒x ＝12．由等比数列求和公式得x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝x （1－x n）1－x ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ．[答案] 1－12n4．(2019·淮阴质检改编)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和为________．[详细分析] 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝⎛⎭⎫1＋12＝1 512． [答案] 1 5125．(2019·盐城市高三第三次模拟考试)已知正项数列{a n }满足a n ＋1＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 4＋…＋1a n ＋a n ＋1＋1，其中n ∈N *，a 4＝2，则a 2 019＝______． [详细分析] a n ＋1＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a n ＋a n ＋1＋1，所以n ≥2时，a n ＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a n －1＋a n ＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝1a n ＋1＋a n (n ≥2)，所以a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ≥2)，a 22 019＝a 24＋(2 019－4)×1＝2 019，所以a 2 019＝ 2 019．[答案] 2 0196．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．[详细分析] a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝4（n ＋1）（n ＋2）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2， 所求的前n 项和为4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝2nn ＋2． [答案]2nn ＋27．秋末冬初，流感盛行．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．[详细分析] 由于a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ， 所以a 1＝a 3＝…＝a 29＝1，a 2，a 4，…，a 30构成公差为2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 29＋a 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255．[答案] 2558．(2019·辽宁五校协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________．[详细分析] 依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15．因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480．[答案] 4809．(2019·苏锡常镇四市高三调研)设公差为d (d 为奇数，且d >1)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－9，S m ＝0，其中m >3，且m ∈N *，则a n ＝________．[详细分析] 由条件得(m －1)a 1＋（m －1）（m －2）2d ＝－9，ma 1＋（m －1）m 2d ＝0，消去a 1得，m －1m ＝－9－（m －1）（m －2）2d －m （m －1）2d，整理得(m －1)d ＝18，因为d 为奇数，且d >1，m >3，m ∈N *，故d ＝3，m ＝7，从而a 1＝－9，故a n ＝3n －12．[答案] 3n －1210．(2019·高三年级第一次模拟考试)若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n ＝12，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m 成立，则m 的最小值为______． [详细分析] 在a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3中令n ＝1，得a 3－a 2＝a 2－a 1＝3，因为a 1＝0，所以a 2＝3，a 3＝6．又a 4n a 4n －1＝12，所以a 4＝12a 3＝3．由a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3得a 4n ＋3－a 4n ＋2＝a 4n ＋2－a 4n ＋1＝3，又由已知得a 4n ＋1＝12a 4n ，所以a 4n ＋2＝12a 4n ＋3，所以a 4n ＋3＝a 4n ＋2＋3＝12a 4n ＋6，a 4n ＋4＝12a 4n ＋3＝14a 4n ＋3，所以a 4n ＋4－4＝14(a 4n －4)，所以{a 4n －4}是首项为－1，公比为14的等比数列，所以a 4n ＝4－14n －1<4，a 4n －1＝2a 4n ＝8－24n －1<8，a 4n －2＝a 4n －1－3＝5－24n －1<5，a 4n －3＝a 4n －2－3＝2－24n －1<2．综上，a n <8，因为对任意n ∈N *都有a n <m ，所以m ≥8，所以m 的最小值为8．[答案] 811．(2019·淮安质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＋S n ＝An 2＋Bn ＋1(A ≠0)． (1)已知数列{a n }是等差数列，求B －1A的值；(2)若a 1＝32，a 2＝94，求证：数列{a n －n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．[解] (1)因为{a n }是等差数列， 所以可设a n ＝a 1＋(n －1)d ， a n ＋S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1＋d 2n ＋(a 1－d )， 可得A ＝d 2，B ＝a 1＋d2，a 1－d ＝1，所以B －1A ＝a 1＋d 2－1d 2＝3d 2d2＝3．(2)分别令n ＝1，2得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝A ＋B ＋1＝3，2a 2＋a 1＝4A ＋2B ＋1＝6，解得⎩⎨⎧A ＝12，B ＝32．于是a n ＋S n ＝12n 2＋32n ＋1，a n ＋1＋S n ＋1＝12(n ＋1)2＋32(n ＋1)＋1，相减得a n ＋1－(n ＋1)＝12(a n －n )．又a 1－1＝12≠0，故数列{a n －n }是等比数列．所以a n －n ＝⎝⎛⎭⎫12n，则a n＝n ＋12n． 12．(2019·镇江市高三调研考试)已知n ∈N *，数列{a n }的各项均为正数，前n 项的和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a 2n －1＋a 2n ．(1)如果数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)如果对任意n ∈N *，S n ＝a 2n ＋n2恒成立，求数列{a n }的通项公式；(3)如果S 2n ＝3(2n －1)，数列{a n a n ＋1}为等比数列，求数列{a n }的通项公式． [解] (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3（1－3n ）1－3＝3（3n －1）2．(2)由2S n ＝a 2n ＋n 得，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋n －1， 则2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n ＋n －(a 2n －1＋n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1，(a n －1)2－a 2n －1＝0，(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1－1)＝0， 故a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1．(*)下面证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立． 事实上，因为a 1＋a 2＝3，所以a n ＋a n －1＝1不恒成立；若存在n ∈N *，使a n ＋a n －1＝1，设n 0是满足上式的最小正整数，即an 0＋an 0－1＝1，显然n 0＞2，且an 0－1∈(0，1)，则an 0－1＋an 0－2≠1，则由(*)式知，an 0－1－an 0－2＝1，则an 0－2＜0，矛盾．故a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立，所以a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立．因此{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ． (3)因为数列{a n a n ＋1}为等比数列，设公比为q ，则当n ≥2时，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q ．即{a 2n －1}，{a 2n }分别是以1，2为首项，q 为公比的等比数列，故a 3＝q ，a 4＝2q ． 令n ＝2，有S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋q ＋2q ＝9，则q ＝2．当q ＝2时，a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2×2n －1＝2n ，b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝3×2n －1，此时 S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．综上所述，a n＝⎩⎨⎧2n －12，当n 为奇数，2n 2，当n 为偶数．13．(2019·南京、盐城高三模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)．(1)求p 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ．若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．[解] (1)由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p 2，由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2．又p ≠0，所以p ＝－12．(2)由a n ＝(－1)nS n ＋⎝⎛⎭⎫－12n， 得⎩⎨⎧a n ＝（－1）nS n ＋⎝⎛⎭⎫－12n，①an ＋1＝－（－1）n S n ＋1＋⎝⎛⎭⎫－12n ＋1，②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n(－a n ＋1)＋12×⎝⎛⎭⎫－12n．当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×⎝⎛⎭⎫12n，所以a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n ＋1，当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×⎝⎛⎭⎫12n，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×⎝⎛⎭⎫12n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n ＋2＋12×⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n ．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n ＋1，n 为奇数，n ∈N *，12n ，n 为偶数，n ∈N *．(3)证明：A n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14n ，14n ，由于b 1≠c 1，则b 1与c 1一正一负，不妨设b 1>0，则b 1＝14，c 1＝－14，则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n≥14－⎝⎛⎭⎫242＋343＋…＋n 4n ． 设S ＝242＋343＋…＋n4n ，则14S ＝243＋…＋n －14n ＋n4n ＋1， 两式相减得34S ＝242＋143＋…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－⎝⎛⎭⎫14n －11－14－n 4n ＋1 ＝748－112×14n －1－n 4n ＋1<748． 所以S <748×43＝736，所以P n ≥14－⎝⎛⎭⎫242＋343＋…＋n 4n >14－736＝118>0． 因为Q n ＝c 1＋2c 2＋3c 3＋…＋nc n ≤－14＋S <－14＋736＝－118<0，所以P n ≠Q n ．14．(2019·苏锡常镇四市高三调研) 已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *．(1)若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和，若12S n <S n ＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3)若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)的公差．[解] (1)由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，所以34<x <3，x2<4<2x ，得x ∈(2，3)．(2)因为12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，所以12q n －1<q n <2q n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12>0，q n －1（q －2）<0，所以q ∈⎝⎛⎭⎫12，2．又12S n <S n ＋1<2S n ，而当q ＝1时，S 2＝2S 1，不满足题意； 当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－q n ＋11－q <2·1－q n 1－q，①当q ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）>－1，q n（2q －1）<1，即⎩⎪⎨⎪⎧q （q －2）>－1，q （2q －1）<1，得q ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ②当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n（q －2）<－1，q n （2q －1）>1，即⎩⎪⎨⎪⎧q （q －2）<－1，q （2q －1）>1，无解，所以q ∈⎝⎛⎭⎫12，1． (3)设数列a 1，a 2，…，a k 的公差为d ，因为12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1，所以12[1＋(n －1)d ]<1＋nd <2[1＋(n －1)d ]，n ＝1，2，…，k －1．所以⎩⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）>－1，d （2－n ）<1，所以d ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1． 因为a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，所以S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， 所以d ＝240－2k k 2－k ，所以240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，得k ∈(15，239)，k ∈N *．所以k 的最小值为16，此时公差d ＝1315．。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
2020年江苏省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
所以 f x max f 0 1， 又当 x 1时， f x 0 ，当 x 1 时， f x 0 ，
画出函数 f x 的图象，要使函数 f x 的图象与 y a 有两个不同的交点，则 0 a 1，
即实数的取值范围为 (0,1) .
22. （ 1）∵
，∴
∴曲线 C 的直角坐标方程为
， ．
∵直线 l 的参数方程为
已知直线 l 的参数方程为
为参数，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建建
立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
．
（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程；
5
（ 2）若直线
与曲线 C 交于点 不同于原点，与直线 l 交于点 B，求
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
2 号， 11 号， 17 号， 18 号，共有
人，其中还学习历史的组合只有 17 号，共 10 人
所以样本中选择学习生物且学习政治的学生共有
人，
其中还学习历史的有
人，
设既学习生物和政治还学习历史的 2 人为 ，其他 3 人为 ，
则从中任选 3 人的基本事件有：
，
，
共 10 种，
7
其中符合题意的基本事件共有 9 种. 由古典概型可得，这 3 人中至少有一人还学习历史的概率为
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合 M {( x, y) | x, y为实数 , 且 x2 y 2 2} , N {( x, y) | x, y 为实数 , 且 x y 2} ,
06、2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：专题一 高考热点追踪(一) Word版含答案
高考热点追踪(一)函数中的新定义问题用数学符号或文字叙述给出一个新定义，利用这个新定义和已学过的知识解决题目给出的问题，叫新定义题．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．(2019·无锡市高三上学期期末考试)若函数f (x )在[m ，n ](m ＜n )上的值域恰好是[m ，n ]，则称[m ，n ]为函数f (x )的一个“等值映射区间”．下列函数：①y ＝x 2－1；②y ＝2＋log 2x ；③y ＝2x －1；④y ＝1x －1，其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有________个．【解析】 根据新定义可知，存在唯一一个“等值映射区间”的函数与另一函数y ＝x 的图象有两个交点，且在[m ，n ](m ＜n )上的值域恰好为[m ，n ]，可见两函数在[m ，n ]上均单调递增．对于①y ＝x 2－1，根据新定义可得，x 2－1＝x ，方程有两个解，即函数y ＝x 2－1与函数y ＝x 的图象有两个交点，但在同一增区间上只有一个交点，故①不满足题意；对于②y ＝2＋log 2x ，根据新定义可得，2＋log 2 x ＝x ，方程有两个解，即函数y ＝2＋log 2x 与函数y ＝x 的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故②满足题意；对于③y ＝2x －1，根据新定义可得，2x －1＝x ，方程有两个解，即函数y ＝2x －1与函数y ＝x 的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故③满足题意；对于④y ＝1x －1，根据新定义可得，x 2－x ＝1(x ≠1)，方程有两个解，即函数y ＝1x －1与函数y ＝x 的图象有两个交点，但y ＝1x －1不单调递增，故④不满足题意．所以存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个．【答案】 2[名师点评] 创新题型在高考中常出现，考查学生对新定义的理解能力，只有明确新定义的实质，才能使问题得以解决．不等式恒成立问题的解题策略恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面谈谈解决此类问题的常用方法．一、反客为主——更换主元有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定式，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果．对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒负，则x 的取值范围为________． 【解析】 设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）<0，g （2）<0即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0． 解得7－12<x <3＋12． 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12 [名师点评] 当一个题中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数使问题获得解决．二、分离参数——巧妙转化有些问题，是需要将参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧视作为新函数，则可以将问题转化为新函数的最值问题．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(十))已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a ．令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t ≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510． 【答案】 (－∞，21510][名师点评] 若对于x 取值范围内的任何一个数都需要f (x )≥g (a )恒成立，则g (a )≤f (x )的最小值；若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f (x )≤g (a )恒成立，则g (a )≥f (x )的最大值．三、变量替换——避繁就简根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果．此法应用往往简便快捷，可以避开烦琐的运算．(2019·宁波质检)当x ∈(0，1)时，不等式41－x≥m －1x 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ．设f (x )＝1x ＋41－x＝1－x ＋4xx （1－x ）＝3x ＋1－x 2＋x ，令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1，4)，f (x )可化为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝9t －t 2＋5t －4＝9－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5，因为t ∈(1，4)，所以5>t ＋4t ≥4，0<－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5≤1，9－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5≥9， 即f (x )∈[9，＋∞)， 故m 的最大值为9． 【答案】 9[名师点评] 本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新．四、数形结合——以“形”代算数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，x 2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【解析】 由图形可知，0<a <1， 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，x 2<log a x 恒成立， 所以log a 12≥⎝⎛⎭⎫122，所以a ≥116，又因为0<a <1，所以116≤a <1．【答案】 ⎣⎡⎭⎫116，1[名师点评] 以“形”代算，虽然有一定的技巧性，但通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上．1．(2019·常州期末)曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线方程为________．[解析] y ′＝1＋sin x ，故曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线的斜率为2．由点斜式方程可得切线方程为2x －y －π2＝0．[答案] 2x －y －π2＝02．函数y ＝1－2x 的定义域为集合A ，函数y ＝ln(2x ＋1)的定义域为集合B ，则A ∩B ＝________．[解析] 由1－2x ≥0得x ≤12，故A ＝⎝⎛⎦⎤－∞，12，由2x ＋1>0得x >－12，故B ＝⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，故A ∩B ＝⎝⎛⎦⎤－12，12． [答案] ⎝⎛⎦⎤－12，12 3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x(0≤x ≤2)的值域为________．[解析] 因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x(0≤x ≤2)是减函数，又知⎝⎛⎭⎫130＝1，⎝⎛⎭⎫132＝19，从而值域为⎣⎡⎦⎤19，1． [答案] ⎣⎡⎦⎤19，14．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．[解析] 原不等式等价于：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0，x 2＋2x －3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2或x ＞0，－3≤x ≤1，所以不等式的解集是{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}． [答案] {x |－3≤x ＜－2或0<x ≤1}5．(2019·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 3x ，x >0，3－log 2（－x ），x <0，则f (3)＋f (－2)＝________．[解析] f (3)＋f (－2)＝(2＋log 33)＋(3－log 22) ＝2＋12＋3－12＝5．[答案] 56．已知函数f (x )为奇函数，函数f (x ＋1)为偶函数，f (1)＝1，则f (3)＝________． [解析] 因为f (x )为奇函数且f (x ＋1)为偶函数，故f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，即f (3)＝－1．[答案] －17．(2019·深圳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点，则∠B 的范围是________． [解析] 由题意得f ′(x )＝x 2＋2bx ＋a 2＋c 2－ac ，Δ＝4b 2－4a 2－4c 2＋4ac ＞0， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac <12，则∠B 的范围是⎝⎛⎭⎫π3，π．[答案] ⎝⎛⎭⎫π3，π8．若a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．[解析] 由已知等式得2a ＋2b ＋1＝2ab ＋2a ＋b 2＋b ，从而，a ＝b －b 2＋12b， a ＋2b ＝b －b 2＋12b ＋2b ＝12＋32b ＋12b ≥12＋234＝23＋12，当且仅当32b ＝12b时等号成立，故有最小值23＋12．[答案]23＋129．(2019·淮安调研)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 由于f ′(x )＝1＋1（x ＋1）2>0，因此函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以x ∈[0，1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1． 根据题意可知存在x ∈[1，2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1，2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1，2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94．[答案] ⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 10．(2019·南京、盐城高三模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________．[解析] 由不等式f (x )≤0恒成立可得f (x )max ≤0．f ′(x )＝1x ＋e －a ，x ＞0，当e －a ≥0，即a ≤e时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 趋近于＋∞，f (x )趋近于＋∞，此时f (x )≤0不可能恒成立；当e －a ＜0，即a ＞e 时，由f ′(x )＝0得x ＝1a －e，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a－e)－1－b ≤0，则b ≥－ln(a －e)－1，又a ＞e ，所以b a ≥－ln （a －e ）－1a ，a ＞e ，令a －e ＝t＞0，则b a ≥－ln t －1t ＋e ，t ＞0．令g (t )＝－ln t －1t ＋e ，t ＞0，则g ′(t )＝ln t －e t（t ＋e ）2，由g ′(t )＝0得t ＝e ，且当t ∈(0，e)时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减，当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增，所以g (t )min ＝g (e)＝－1e ，即b a ≥－ln t －1t ＋e≥－1e ，故b a 的最小值为－1e ．[答案] －1e11．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(九))2018年6月，国家发改委发布了《关于完善国有景区门票价格形成机制降低重点国有景区门票价格的指导意见》，推动了旅游业的转型升级和健康发展．某景区积极响应指导意见，拟实行门票新政，将每张50元的景区门票价格降低来吸引更多的游客，以增加门票的收入，同时投入资金对景区进行升级改造，实现由门票经济向产业经济的转型升级，提高门票收入之外的旅游收入的增加值．据市场调研，若每张门票的价格降低x 元，则每年的门票收入增加值为p (x )万元，且满足p (x )＝－25x 2＋ax －5(5≤x ≤50)；若景区的升级改造投入10x 万元，则每年旅游收入的增加值为q (x )万元，且满足q (x )＝bx －20ln x25．已知2017年该景区的游客量为1 000人，且q (25)＝270．(1)求a ，b 的值并将该景区实行门票新政后景区年收入的净增加值表示为x 的函数； (2)求该景区实行门票新政后景区年收入的净增加值的最大值．(注：年收入的净增加值＝门票年收入增加值＋门票年收入之外的旅游收入的增加值－升级改造投入费用)[解] (1)设景区实行门票新政后景区年收入的净增加值为f (x )万元．由题意知2017年的门票收入为50×1 000＝50 000(元)，则p (50)＝－5，所以p (50)＝－25×502＋50a －5＝－5，可得a ＝20．由q (x )＝bx －20ln x25及q (25)＝270得25b －20ln 1＝270，所以b ＝545，所以f (x )＝p (x )＋q (x )－10x ＝1045x －25x 2－20ln x25－5(5≤x ≤50)． (2)f ′(x )＝1045－45x －20x ＝－4x 2＋104x －1005x ＝－4（x －1）（x －25）5x(5≤x ≤50)，显然f (x )在[5，25)上单调递增，在(25，50]上单调递减，所以f (x )max ＝f (25)＝265．答：该景区实行门票新政后景区年收入的净增加值的最大值为265万元． 12．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知函数f (x )＝x ln x －x ． (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)令g (x )＝f (x )－m2(x 2－2)(m ∈R )，若函数g (x )在(0，＋∞)内有两个不相等的极值点x 1和x 2，且x 1<x 2．①求实数m 的取值范围；②已知λ>0，若不等式e 1＋λ<x 1·x λ2恒成立，求实数λ的取值范围．[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ，令f ′(x )＝ln x <0，得0<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为(0，1)．(2)①依题意，函数g (x )＝x ln x －m 2x 2－x ＋m 的定义域为(0，＋∞)，所以方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内有两个不相等的实根，即方程ln x －mx ＝0在(0，＋∞)内有两个不相等的实根，所以函数y ＝ln x 与函数y ＝mx 的图象在(0，＋∞)内有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示，若令过原点且切于函数y ＝ln x 图象的直线斜率为k ，只需0<m <k ．设切点为A (x 0，ln x 0)，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，又k ＝ln x 0x 0，所以1x 0＝ln x 0x 0，解得x 0＝e ，于是k ＝1e ，所以0<m <1e．②e 1＋λ<x 1·x λ2等价于1＋λ<ln x 1＋λln x 2．由①可知x 1，x 2分别是方程ln x －mx ＝0的两个根，即ln x 1＝mx 1，ln x 2＝mx 2， 所以原不等式等价于1＋λ<mx 1＋λmx 2＝m (x 1＋λx 2)，因为λ>0，0<x 1<x 2，所以原不等式等价于m >1＋λx 1＋λx 2．由ln x 1＝mx 1，ln x 2＝mx 2作差得，ln x 1x 2＝m (x 1－x 2)，即m ＝ln x 1x 2x 1－x 2，所以原不等式等价于lnx 1x 2x 1－x 2>1＋λx 1＋λx 2，因为0<x 1<x 2，原不等式恒成立，所以ln x 1x 2<（1＋λ）（x 1－x 2）x 1＋λx 2恒成立．令t ＝x 1x 2，t ∈(0，1)，则不等式ln t <（1＋λ）（t －1）t ＋λ在t ∈(0，1)上恒成立．令h (t )＝ln t －（1＋λ）（t －1）t ＋λ，又h ′(t )＝1t －（1＋λ）2（t ＋λ）2＝（t －1）（t －λ2）t （t ＋λ）2，当λ2≥1时，可知当t ∈(0，1)时，h ′(t )>0，所以h (t )在t ∈(0，1)上单调递增，又h (1)＝0，所以h (t )<0在t ∈(0，1)上恒成立，符合题意．当λ2<1时，可见当t ∈(0，λ2)时，h ′(t )>0，当t ∈(λ2，1)时，h ′(t )<0，所以h (t )在t ∈(0，λ2)上单调递增，在t ∈(λ2，1)上单调递减，又h (1)＝0，所以h (t )在t ∈(0，1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1＋λ<x 1·x λ2恒成立，只需λ2≥1，又λ>0，所以λ≥1．13．(2019·南京模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (x ＞0)的图象与直线y ＝4相切于点M (1，4)． (1)求y ＝f (x )在区间(0，4]上的最大值与最小值；(2)是否存在两个不等正数s ，t (s <t )，使得当s ≤x ≤t 时，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的值域是[s ，t ]？若存在，求出所有这样的正数s ，t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9．所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ．令f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝0，解得x ＝1或x ＝3．当x 变化时，f ′(x )，f (x )在区间(0，4]上的变化情况如下表：32(2)由s ，t 为正数，知s >0，故极值点x ＝3不在区间[s ，t ]上．(ⅰ)若极值点x ＝1在区间[s ，t ]上，此时0<s ≤1≤t ＜3(s <t )，在此区间上f (x )的最大值是4，不可能等于t ，故在区间[s ，t ]上没有极值点；(ⅱ)若f (x )＝x 3－6x 2＋9x 在[s ，t ]上单调递增， 即0＜s ＜t ≤1或3＜s ＜t ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （s ）＝s ，f （t ）＝t ，即⎩⎪⎨⎪⎧s 3－6s 2＋9s ＝s ，t 3－6t 2＋9t ＝t ．解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2或s ＝4，t ＝2或t ＝4，不符合要求；(ⅲ)若f (x )＝x 3－6x 2＋9x 在[s ，t ]上单调递减，即1<s <t <3，则⎩⎪⎨⎪⎧f （s ）＝t ，f （t ）＝s ．两式相减并除s －t ，得(s ＋t )2－6(s ＋t )－st ＋10＝0，① 两式相除，可得[s (s －3)]2＝[t (t －3)]2，即s (3－s )＝t (3－t )，整理并除以s －t ，得s ＋t ＝3，②由①、②可得⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝3，st ＝1，即s ，t 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，即s ＝3－52，t ＝3＋52，不合要求．综上所述，不存在满足条件的s ，t ．14．(2019·江苏省高考名校联考)已知直线y ＝x e 是曲线f (x )＝ax 2e x 的切线．(1)求函数f (x )的解析式．(2)记F (x )＝f (x )－x ＋1x ，试问函数F (x )在(0，＋∞)上是否存在零点x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈N ？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．(3)用min{m ，n }表示m ，n 中的较小者，设函数g (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （x ），x －1x (x ＞0)，若函数h (x )＝g (x )－tx 2在(0，＋∞)上单调递增，试求实数t 的最大值．[解] (1)由题意得f ′(x )＝2ax ·e x －ax 2·e x e 2x ＝ax （2－x ）e x， 设切点为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x 1ey 1＝ax 21e x 1ax 1（2－x 1）e x 1＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝1e a ＝1， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2e x ． (2)由(1)得F (x )＝x 2e x －x ＋1x ，则F ′(x )＝x （2－x ）e x －1－1x 2， 显然，当x ≥2时，F ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，F ′(x )＝－（x －1）2＋1e x －1－1x 2＜－1x 2＜0， 故F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又F (1)＝1e ＞0，F (2)＝4e 2－32＜0， 所以F (1)·F (2)＜0，由零点存在性定理可知，F (x )在(0，＋∞)上存在零点x 0，且x 0∈(1，2)，故k ＝1．(3)由(2)可知，当0＜x ≤x 0时，F (x )≥0，即f (x )≥x －1x， 当x ＞x 0时，F (x )＜0，即f (x )＜x －1x． 故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ，x ∈（0，x 0]f （x ），x ∈（x 0，＋∞），从而h (x )＝⎩⎨⎧x －1x －tx 2，x ∈（0，x 0]x 2e x －tx 2，x ∈（x 0，＋∞）， 则h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x 2－2tx ，x ∈（0，x 0]x （2－x ）e x －2tx ，x ∈（x 0，＋∞）．又在(0，＋∞)上，h ′(x )≥0恒成立，当x ∈(0，x 0]时，由h ′(x )＝1＋1x 2－2tx ≥0得t ≤12⎝⎛⎭⎫1x ＋1x 3， 所以t ≤12⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 30． 当x ∈(x 0，＋∞)时，由h ′(x )＝x （2－x ）e x －2tx ≥0得t ≤2－x 2e x， 记u (x )＝2－x e x ，则由u ′(x )＝x －3e x 可知当x ＝3时，u (x )min ＝－1e 3， 从而t ≤－12e 3． 综上所述，实数t 的最大值为－12e 3．。
2020年江苏高考数学第二轮考前专题精选含解析
2020年江苏高考数学考前专题精选含解析高考冲刺专题(一)1. 已知1，a 1，a 2，16成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，16成等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为 417 . 解析：因为1，a 1，a 2，16成等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋16＝17.因为1，b 1，b 2，b 3，16成等比数列，所以b 22＝1×16且1，b 2，16同号，所以b 2a 1＋a 2＝417. 2. 已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比q 等于 12 .解析：设公差为d(d ≠0)，则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12. 3. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝ 64 .解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列.又a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.4. 已知x>0，y>0，x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，那么（a 1＋a 2）2b 1b 2的最小值是 4 . 解析：因为a 1＋a 2＝x ＋y ，b 1b 2＝xy ，所以（a 1＋a 2）2b 1b 2＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时取等号. 5. 在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝解析：由题意得2×12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0，则a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9（1＋q ）a 7（1＋q ）＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2.6. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝ 8 .解析：当公比q ＝1时，2×9a 1＝3a 1＋6a 1，则a 1＝0，舍去；当公比q ≠1时，2×a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q，所以 2q 6＝1＋q 3.又a 2＋a 2q 3＝a 2(1＋q 3)＝2a 2q 6，即2a 8＝a 2＋a 5，从而m ＝8.7. 已知等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n . 若log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a n （S 4m ＋1）＝9，则1n ＋4m 的最小值是 52 . 解析：由题设知a n ＝2×3n －1，S 4m ＋1＝2（1－34m ）1－3＋1＝34m ，所以12a n (S 4m ＋1)＝34m ＋n －1.又log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a n （S 4m ＋1）＝9，所以4m ＋n －1＝9，即4m ＋n ＝10，所以1n ＋4m ＝110(4m ＋n)(1n ＋4m )＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋4n m ＋4m n ≥52，当且仅当4n m ＝4m n ，即m ＝n ＝2时等号成立.8. 设数列{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n项和. 若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为 －12 .解析：由题意得S 22＝S 1S 4，且S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋d ，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ，d ＝－1，所以a 1＝－12.9. 在等差数列{a n }中，已知首项a 1＞0，公差d ＞0.若a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为 200 .解析：由a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100得2a 1＋d ≤60，2a 1＋3d ≤100，a 1＞0，d ＞0.由线性规划的知识得当5a 1＋a 5＝6a 1＋4d 过点(20，20)时取最大值200.10. 已知数列{a n }满足a 1＝43，2－a n ＋1＝12a n ＋6(n ∈N *)，则∑n i ＝11a i ＝ 2×3n －2－n 4 . 解析：条件化为1a n ＋1＝3a n ＋12，即1a n ＋1＋14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋14，所以1a n ＝3n －1－14，故∑n i ＝11a i＝1－3n 1－3－n 4＝2×3n －2－n 4. 11. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项，求数列{a n }，{b n }的通项公式.解析：设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则⎩⎨⎧5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，所以等比数列{b n }的公比q ＝3，所以b n ＝3n .12. 已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和.(1) 若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(2) 在(1)的条件下，设c n ＝a n b n，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.解析：(1) 若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，①所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1).②由②－①得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2.③当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，④由③－④得(n －1)a n ＋1＋(n －1)a n －1＝2(n －1)a n ，即a n ＋1＋a n －1＝2a n .又由2S 1＝a 1＋2得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(2) 由(1)得c n ＝n ＋1n ，对于任意n ∈N *，若存在k ≠n ，t ≠n ，k ≠t ，k ，t ∈N *，使得c n＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t ，即1＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t ，即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n （k ＋1）k －n ，取k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，所以对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和c n 2＋2n ＝（n ＋1）2n 2＋2n使得c n ＝c n ＋1·c n 2＋2n . 13. (1) 若数列{a n }是等差数列，a 1＝10，S n 是其前n 项和，且S n －10≤S n ＋1≤S n ＋10(n ∈N *)，求公差d 的取值集合；(2) 若b 1，b 2，…，b k 成等比数列，公比q 是大于1的整数，b 1＝10，b 2≤20，且b 1＋b 2＋…＋b k ＞2 017，求正整数k 的最小值.解析：(1) 由S n －10≤S n ＋1≤S n ＋10，得－10≤a n ＋1≤10， 所以－10≤10＋nd ≤10，所以－20n ≤d ≤0对任意的n ∈N *恒成立，所以d ＝0，所以公差d 的取值集合为{0}.(2) 因为b 1＝10，b 2＝10q ≤20，所以q ≤2.又公比q 是大于1的整数，所以q ＝2，所以b 1＋b 2＋…＋b k ＝10（1－2k ）1－2＝10(2k －1)>2 017， 所以2k >202.7.又因为k 是正整数，所以k ≥8，即正整数k 的最小值为8.高考冲刺专题(二)1. 在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ n （n ＋1）2＋1 . 解析：由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1. 2. 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 1n .解析：方法一：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1×a n －2，…，a 2＝12a 1，累乘得a n ＝1×12×23×…×n －1n ＝1n .方法二：因为a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －1n －2×…×1＝1n . 3. 在数列{a n }中，若a n ＋1＝2a n ＋3，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 2n ＋1－3 .解析：由题意得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2，所以数列{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.4. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 3×2n －1－2 .解析：由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，所以数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1－a n ＝3×2n －1，当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，所以a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足).5. 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则数列{a n }的通项公式a n ＝ 4－1n Ｗ.解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n . 6. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n ≥2)，则S n ＝ 1n .解析：依题意得S n －1－S n ＝S n －1·S n (n ≥2)，整理得1S n－1S n －1＝1.又1S 1＝1a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1S n＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝1n .7. 已知函数f(x)由下表定义：若a 1＝5，a n ＋1＝f(a n )(n ＝1，2，…)，则a 2 017＝ 5 .解析：a 2＝f(a 1)＝f(5)＝2，a 3＝f(a 2)＝f(2) ＝1，a 4＝f(a 3)＝f(1)＝4，a 5＝f(a 4)＝f(4)＝5，可知数列{a n }是周期为4的周期数列，所以a 2017＝a 4×504＋1＝a 1＝5.8. 对于正项数列{a n }，定义H n ＝n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“蕙兰”值，现知数列{a n }的“蕙兰”值为H n ＝1n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝ 2－1n .解析：由题意得n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝1n，即a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2①，所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)2②，①－②得na n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1，所以a n ＝2－1n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1，也满足此通项公式，所以a n ＝2－1n .9. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ 4n －13＋n （1＋n ）2. 解析：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1，所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，所以a n ＋1－（n ＋1）a n －n＝4，所以数列{a n －n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n ，所以S n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝1×（1－4n ）1－4＋n （1＋n ）2＝4n －13＋n （1＋n ）2. 10. 若数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则a n ＋2＋a n ＝ (－1)n (2n －1)＋2n ＋1 .解析：由a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＝(－1)n a n ＋1＋2n ＋1＝(－1)n ·[(－1)n －1a n ＋2n －1]＋2n ＋1＝－a n ＋(－1)n (2n －1)＋2n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋2n ＋1.11. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *).(1) 求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 求数列{a n }的通项公式.解析：(1) 由a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).又a n ＋1≠0，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即数列{a n ＋1}为等比数列. (2) 由(1)知a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n (n ∈N *).(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列； (2) 设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n .解析：(1) 由a 1＝S 1＝2－3a 1，得a 1＝12.因为S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n ， 所以S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1(n ≥2)， 于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－(2n ＋1)a n ， 整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2). 又a 11＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列. (2) 由(1)知a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝n 2n ， 代入S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n ，得S n ＝2－n ＋22n . 设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋22n 的前n 项和为A n ， 则A n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，则12A n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，两式相减得 12A n ＝32＋122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1＝2－n ＋42n ＋1，故A n ＝4－n ＋42n ，所以T n ＝2n －A n ＝n ＋42n ＋2n －4.13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝（n ＋1）a n 2，且a 1＝1. (1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 令b n ＝ln a n ，是否存在k(k ≥2，且k ∈N *)，使得b k ，b k ＋1，b k ＋2成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 的值；若不存在，请说明理由.解析：(1) 方法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（n ＋1）a n 2－na n －12，即a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1的常数数列，所以a n n ＝1，即a n ＝n (n ∈N *).方法二：同方法一，得(n －1)a n ＝na n －1(n ≥2).同理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以2na n ＝n (a n －1＋a n ＋1)，即2a n ＝a n －1＋a n ＋1，所以数列{a n }成等差数列.又由a 1＝1，得a 2＝S 2－a 1，即a 2＝2，所以公差d ＝2－1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)＝n (n ∈N *).方法三：同方法一，得a n a n －1＝n n －1(n ≥2)， 所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×…×32×21×1＝n ，当n ＝1时，a 1＝1，也满足a n ＝n ，所以a n ＝n (n ∈N *).(2) 假设存在k (k ≥2，k ∈N *)，使得b k ，b k ＋1，b k ＋2成等比数列，则b k b k ＋2＝b 2k ＋1.因为b n ＝ln a n ＝ln n ，所以b k b k ＋2＝ln k ·ln(k ＋2)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln k ＋ln （k ＋2）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln （k 2＋2k ）22<⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln （k ＋1）222＝[ln(k ＋1)]2＝b 2k ＋1，这与b k b k ＋2＝b 2k ＋1矛盾. 故不存在k (k ≥2，k ∈N *)，使得b k ，b k ＋1，b k ＋2成等比数列.高考冲刺专题(三)1. 在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于 4 .解析：由题意得a 4a 5＝2×5＝10，所以数列{lg a n }的前8项和S ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg (a 1·a 2·…·a 8)＝lg (a 4a 5)4＝4lg (a 4a 5)＝4lg 10＝4.2. 数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋23＋…＋2n －1，…的前n 项和S n ＝ 2n ＋1－n －2 .解析：所求数列的通项公式为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以其前n 项和为S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.3. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2 016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2 016＝ 0 Ｗ.解析：设q 为等比数列{a n }的公比，则a n ＋2a n q ＋a n q 2＝0，即q 2＋2q ＋1＝0，所以q ＝－1，所以a n ＝(－1)n －1×2 016，所以S 2016＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2015＋a 2016)＝0.4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k ＝ 2n n ＋1. 解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝1，d ＝1，则a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，∑n k ＝11S k ＝21×2＋22×3＋…＋2n （n －1）＋2n （n ＋1）＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ×12n 的前n 项和S n ＝ 2－121－n 2n . 解析：S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ①，12S n ＝1×14＋2×18＋3×116＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1②， ①－②得12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －n 2n ＋1＝2－12n －1－n 2n . 6. 已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2， 当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝ 100 .解析：由题意得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.7. 一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项为 18 .解析：据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，所以a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n(a 1＋a n )＝234，所以n ＝13，所以a 1＋a 13＝2a 7＝36，所以a 7＝18.8. 设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则∑100k ＝1a k a k＋1的值为 100101 .解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1a n ＋1－1a n ＝1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n ，故a n ＋1a n ＝1（n ＋1）n ＝1n －1n ＋1，因此∑100k ＝1a k a k＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋(12－13)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 9. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，有2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为 9 .解析：因为2S n ＝a 2n ＋a n ，所以2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，两式相减，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ，即a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n ＝0，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.又因为数列{a n }为正项数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1.令n ＝1，可得a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ， 所以b n ＝1n n ＋1＋（n ＋1）n＝（n ＋1）n －n n ＋1[n n ＋1＋（n ＋1）n ][（n ＋1）n －n n ＋1]＝（n ＋1）n －n n ＋1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 所以T n ＝1－1n ＋1， 所以T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为 20 .解析：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以公比q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得a 1（1－q 6）1－q －2a 1（1－q 3）1－q ＝5，从而得a 11－q＝5－q 6＋2q 3－1＝5－（q 3－1）2<0， 故1－q<0，即q>1，故S 9－S 6＝a 1（1－q 9）1－q －a 1（1－q 6）1－q＝5－q 6＋2q 3－1×(q 6－q 9)＝5q 6q 3－1.令q 3－1＝t>0，则S 9－S 6＝5（t ＋1）2t ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立.11. 数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.(1) 求a 1，a 2的值；(2) 是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1) 由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，所以a 2＝9.因为9＝2a 1＋22＋1，所以a 1＝2.(2) 假设存在实数t ，使得数列{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，即2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )， 所以4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，所以4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ， 解得t ＝1，即存在实数t ＝1，使得数列{b n }为等差数列.(3) 由(1)(2)得b 1＝32，b 2＝52，所以b n ＝n ＋12，所以a n ＝b n ·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1.S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①所以2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n .② 由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ＋n＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1， 所以S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.12. 已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和.解析：(1) 设数列{a n }的公比为q .由已知得1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1， 所以a 1×1－261－2＝63，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2) 由题意得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即数列{b n }是首项为12，公差为1的等差数列.设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2. 13. 已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立.(1) 若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2) 若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1<13成立，求正实数b 1的取值范围.解析：(1) 因为A n ＝n 2，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n －1.因为对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立，所以b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是等差数列，公差为1，首项为2，所以B n ＝2n ＋n （n －1）2×1＝12n 2＋32n . (2) 由B n ＋1－B n ＝a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，可得b n ＋1＝2b n ，所以数列{b n }是等比数列，且公比为2，所以b n ＝b 1·2n －1，a n ＝B n ＝b 1（2n －1）2－1＝b 1(2n －1)， 所以b n ＋1a n a n ＋1＝b 1·2n b 21（2n －1）（2n ＋1－1）＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1， 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1 ＝1b 1[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)] ＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1<13成立， 所以b 1>3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1，所以b 1≥3.高考冲刺专题(四)1. 如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n ≥2)的第2个数是 n 2－n ＋22. 解析：设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，累加得a n ＝n 2－n ＋22. 2. 同样载质量的若干辆汽车运送一批货物，若同时投入运送，24小时可以全部送完这批货；若每隔相同的时间投入一辆车，而且每辆车投入运送后要工作到全部货物运完，已知最后所有的车辆都投入了运送，且第一辆车工作的时间是最后一辆车的5倍，这种运送方式持续的时间共为 40 小时.解析：每辆车隔相同的时间投入使用，那么它们的工作时间t 1，t 2，…，t n 构成了一个等差数列，且有t 1＝5t n .因为全部同时投入运送时，24小时运完，那么每辆车的工作效率为124n ，所以有124n ·t 1＋124n ·t 2＋…＋124n ·t n ＝1.由上面的分析可知⎩⎨⎧t 1＝5t n ，124n （t 1＋t 2＋…＋t n ）＝1，即⎩⎨⎧t 1＝5t n ，124n ·t 1＋t n 2·n ＝1，得t 1＝40，所以这种运送方式共持续了40小时. 3. 为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…依此类推，到第十层恰好将大理石用完，共需大理石 2 046 块.解析：设共用去大理石x 块，则各层用大理石块数分别为：第一层：x 2＋1＝x ＋22；第二层：x －x ＋222＋1＝x ＋24；第三层：x －x ＋22－x ＋242＋1＝x ＋28；…；第十层：x －x ＋22－x ＋24－…－x ＋2292＋1＝x ＋2210，组成首项为x ＋22，公比为12，项数为10的等比数列，所以x ＝x ＋22＋x ＋24＋…＋x ＋2210，解得x ＝2 046.4. 1991年，某内河可供船只航行的河段长1 000千米，但由于水资源的过度使用，造成河水断流，从1992年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二，则到2000年，该内河可行驶的河段长度为 1 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫239 千米. 解析：设a 1＝1 000，a n ＝2a n －13，则数列{a n }为等比数列，a n ＝1000×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，所以到2000年，该内河可行驶的河段长度为a 10＝1 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫239千米. 5. 一位个体户在一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%，每月需交所得税为该月所得金额(含利润)的10%，每月生活费和其他开支为3 000元，余额作为资金全部投入再营业.如此继续，到这一年底，这位个体户还清银行贷款后，纯收入一共还有 69 886 元.(银行贷款的年利率为25%，精确到1元)解析：设第n 个月底余额为a n ，由于a 1＝(1＋20%)×105－(1＋20%)×105×10%－3×103＝1.05×105，a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n (1＋20%)×10%－3×103＝1.08a n －3×103，则a n ＋1－3.75×104＝1.08(a n －3.75×104).设a n －3.75×104＝b n ，b 1＝6.75×104，则数列{b n }为等比数列，所以b n ＝b 1×1.08n －1，a n ＝6.75×104×1.08n －1＋3.75×104，a 12≈1.948 86×105，还贷后纯收入为a 12－105×(1＋25%)＝69 886(元).6. 某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，则每年应还 3 255 元.(精确到1元)解析：设贷款利率为r ，贷款金额为A 元，每年等额归还x 元，第n 年还清，所以贷款A 元，到第n 年连本带利应还A(1＋r)n 元，则有数列模型：(1＋r)n A ＝x[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)＋1]，即(1＋r)nA ＝x·（1＋r ）n －1r ，于是x ＝Ar （1＋r ）n（1＋r ）n －1.将r ＝0.1，A ＝20 000，n ＝10代入得x ＝20 000×0.1×1.1101.110－1，所以x ≈3 255元，故每次应还3 255元.7. 某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，则2000年底该城市人均住房面积为 5.48 平方米.(精确到0.01) 解析：1991年、1992年、…、2000年住房面积总数成等差数列{a n }，a 1＝6×500＝3 000，d ＝30，a 10＝3 000＋9×30＝3 270.1991年、1992年、…、2000年人口数成等比数列{b n }，b 1＝500， q ＝1.01，b 10＝500×1.019≈546.8，所以2000年底该城市人均住房面积为3 270546.8≈5.98平方米.8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连结等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连结正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小的正方形的边长为 132 .解析：由题意得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，n＝10，所以最小的正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2210－1＝132. 9. 从盛有盐的质量分数为20%的2kg 盐水的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，(1) 第5次倒出的1kg 盐水中含盐多少千克？(2) 经6次倒出后，一共倒出多少千克盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解析：(1) 由题意得每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则a 1＝0.2，a 2＝12×0.2，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×0.2. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1×0.2， a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－1×0.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×0.2＝0.012 5(kg ). (2) 由(1)得数列{a n }是等比数列，且a 1＝0.2，q ＝12，所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝0.2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝0.393 75(kg ).经过6次倒出后，还剩盐0.4－0.393 75＝0.006 25(kg )，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.006 25÷2＝0.312 5%.10. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年(2004年)起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年为第一年)的利润为500⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 万元(n 为正整数). (1) 设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式；(2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解析：(1) 依题设，A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n －10n 2；B n ＝500[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ]－600＝500n －5002n －100. (2) B n －A n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫500n －5002n －100－(490n －10n 2)＝10n 2＋10n －5002n －100＝10[n(n ＋1)－502n －10].易得函数y ＝x(x ＋1)－502x －10在区间(0，＋∞)上为增函数，当1≤n ≤3时，n(n ＋1)－502n －10≤12－508－10<0；当n ≥4时，n(n ＋1)－502n －10≥20－5016－10>0，所以当且仅当n ≥4时，B n >A n ，故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1) 用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2) 若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解析：(1) 由题意得a 1＝2 000×(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1×(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ，a n ＋1＝a n ×(1＋50%)－d ＝32a n －d.(2) 由(1)知a n ＝32a n －1－d(n ≥2)，即a n －2d ＝32(a n －1－2d)，所以{a n －2d}是以3 000－3d 为首项，32为公比的等比数列，则a n ＝(3 000－3d)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋2d. 由题意a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d)＋2d ＝4 000， 解得d ＝1 000（3m －2m ＋1）3m －2m， 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m －2m ＋1）3m －2m时，经过m(m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向中国建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1 000人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还中国建设银行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还中国建设银行贷款.(1) 若公寓收费标准定为每个学生每年800元，到哪一年可偿还中国建设银行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每个学生每年的最低收费标准是多少元(精确到1元)？(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4)解析：(1) 设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓管理处每年收费总额为1 000×800＝80(万元)，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1， 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1，所以1.05n ≥1.734 3.两边取对数整理得n ≥lg 1.734 3lg 1.05≈0.239 10.021 2≈11.28，所以取n ＝12(年)，所以到2014年底可全部还清贷款.(2) 设每个学生每年的最低收费标准为x 元，因到2010年公寓共使用了8年，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500×(1＋5%)9，化简得(0.1x －18)×1.058－11.05－1≥500×1.059， 所以x ≥10⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋25×1.05×1.0581.058－1≈10×⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋25×1.05×1.477 41.477 4－1≈10×(18＋81.2)＝992(元)，故每个学生每年的最低收费标准为992元.高考冲刺专题(五)1. 判断下面结论是否正确.(1) 如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )(2) 两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线. ( )(3) 两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于点A，并记作α∩β＝A. ( )(4) 平面ABC与平面DBC相交于线段BC. ( )(5) 经过两条相交直线，有且只有一个平面. ( √ )(6) 没有公共点的两条直线是异面直线. ( )解析：根据平面与直线的公理可知如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故(1)正确，(2)(3)错误；平面ABC与平面DBC相交于直线BC，(4)错误；经过两条相交直线，有且只有一个平面，故(5)正确；两条直线平行，它们没有公共点，但共面，故(6)错误.2. 下列命题中正确的是①④.(填序号)①平面α∩β＝l，直线a⊂α，a∩l＝A，直线b⊂β，b∩l＝B，点A与点B不重合，则a与b不可能共面；②空间两组对边分别相等的四边形为平行四边形；③空间角α与β的两边分别平行，α＝70°，则β＝70°；④空间直线a∥b∥c，则a，b，c确定的平面个数为1或3；⑤分别与两条异面直线a，b同时相交的两条直线必定异面.解析：对①，若a与b共面，则a∥b或a与b相交.若a∥b，则a∥β.因为平面α∩β＝l，直线a⊂α，所以a∥l，这与a∩l＝A矛盾.若a与b相交于点B，则点A与点B重合，这与点A与点B不重合矛盾，所以a与b不可能共面，故①正确；对于②，空间四边形的两组对边分别相等，该四边形不一定是平行四边形，故②错误；对于③，空间角α，β的两边分别平行，α＝70°，则β＝70°或110°，故③错误；对于④，若a，b，c在同一平面内，则可确定1个平面；若不在同一平面内，则可确定3个平面，故④正确；对于⑤，分别与两条异面直线a，b同时相交的两条直线不可能平行，但可以共面，故⑤错误.3. 在图中，G、N，M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，下图中直线GH、MN是异面直线的图形有②④Ｗ.(填序号)解析：由题意可得图①中GH与MN平行，图②中GH与MN异面，图③中GH与MN相交，图④中GH与MN异面，故选②④.4. 下列命题中正确的是③④.(填序号)①若∠ABC＝θ，直线a∥AB，b∥BC，则a，b所成角为θ；②若直线a，b与直线c所成的角相等，则a∥b；③若直线a∥b，且直线b与c所成的角为θ，则a，c所成的角也为θ；④若直线a，b与直线c所成的角不相等，则a，b不平行.解析：①中a与b所成的角还可以是180°－θ；②中a，b可能不在同一平面内.5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是③.(填序号)①EF与CC1垂直；②EF与BD垂直；③EF与A1C1异面；④EF与AD1异面.解析：因为E是AB1的中点，则E是A1B的中点，EF是△A1BC1的中位线，所以EF∥A1C1，所以③错误；因为CC1⊥A1C1，AC⊥BD，AC∥A1C1，所以EF⊥CC1，EF⊥BD，所以①②正确；因为EF与AD1不平行也不相交，所以EF与AD1异面，所以④正确.6. 给出下列命题：①若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；②若直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点；③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④设a ，b ，c 是三条不同的直线，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c. 其中，假命题的序号是 ②③④ .(填序号)解析：②中a 与平面α还可能相交，有一个公共点；③中两平面还可能相交；④中b 与c 还可能相交或异面.7. 给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内.其中真命题为 ③ Ｗ.(填序号)解析：对于①，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交，错误；对于②，两条异面直线不可以确定一个平面，错误；对于④，在正方体中，从同一个顶点出发的三条直线不共面，错误8. 已知在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC ＋BD)； ②MN>12(AC ＋BD)；③MN ＝12(AC ＋BD)；④MN<12(AC ＋BD).其中正确的是 ④ .(填序号)解析：结合题意，画出图形，取BC 的中点O ，连结MO ，NO ，MN.因为M ，N 分别AB ，CD 的中点，所以MO ＝12AC ，NO ＝12BD.因为△OMN 中，MO ＋NO>MN ，所以MN<12(AC ＋BD).9. 如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过点E 、F 、G 的平面交AD 于点H.(1) 求AH ∶HD ；(2) 求证：EH 、FG 、BD 三线共点.解析：(1) 因为AE EB ＝CF FB ＝2，所以EF ∥AC.因为EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以EF ∥平面ACD.又EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，所以EF ∥GH ，所以AC ∥GH ，所以AH ∶HD ＝CG ∶DG ＝3∶1.(2) 由(1)知EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，所以EF ≠GH ，所以四边形EFGH 为梯形.令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH.因为EH ⊂平面ABD ，所以P ∈平面ABD.因为P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以P ∈平面BCD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，所以EH，FG，BD三线共点.10. 如图是以AB＝4，BC＝3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面.已知AE＝5，BF＝8，CG＝12.(1) 作出截面EFGH与底面ABCD的交线l.(2) 截面四边形EFGH是否为菱形？请证明你的结论.(3) 求DH的长.解析：(1) 如图，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，连结PQ得直线l，则l即为所求.(2) 因为平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，故EF∥GH.同理，FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形.又EF2＝AB2＋(BF－AE)2＝25，FG2＝BC2＋(CG－BF)2＝25，所以EF＝FG＝5，故四边形EFGH为菱形.(3) 过点E作EB1⊥BF，垂足为B1，则BB1＝AE＝5，所以FB1＝3.过点H作HC1⊥CG，垂足为C1，则C1H＝EB1.因为EF＝HG，所以Rt△HC1G≌Rt△EB1F，所以GC1＝FB1＝3，所以DH＝CC1＝9.高考冲刺专题(六)1. 已知两条异面直线平行于同一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是 ② .(填序号)①平行；②垂直；③斜交；④不能确定.解析：设a ，b 为异面直线，a ∥平面α，b ∥平面α，直线l ⊥a ，l ⊥b.过a 作平面β∩α＝a′，则a ∥a′，所以l ⊥a′.同理过b 作平面γ∩α＝b′，则l ⊥b′.因为a ，b 异面，所以a′与b′相交，所以l ⊥α.2. 关于不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 异面；④ ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β. 其中正确命题的序号是 ① .解析：①m 与平面β没有公共点，正确；②直线n 可能在平面β内，错误；③m 与n 也可能相交或平行，错误；④m 与平面β还可能平行或m 在平面β内，错误.3. 在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是 平面ABD 与平面ABC .解析：取CD 的中点E ，连结AE ，BE ，则EM AM ＝EN BN ＝12，所以MN∥AB，所以MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.4. 已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，给出一组条件：①α∥β，②a⊂β，③a⊄α，④a∥b，⑤b⊂α.则由①②或③④⑤组合可得a∥α.(填序号)解析：因为α∥β，a⊂β，所以a∥α，所以由①②可得a∥α.因为a∥b，a⊄α，b⊂α，所以a∥α，所以由③④⑤可得a∥α.5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，E为A1B1的中点，过E，C1，C三点作一截面，则截面的面积为5a22Ｗ.解析：截面是过A1B1中点E的矩形，长为EC1＝52a，宽为CC1＝a，则截面的面积为5a2 2.6. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点.试在平面A1CD中画出与BC1平行的直线，所画直线为ODＷ.解析：如图，连结AC1交A1C于点O，连结OD，则OD即为所求直线.7. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则点M满足条件M∈线段FH(答案不唯一)时，有MN∥平面B1BDD1.解析：因为F，H分别为C1D1，CD的中点，所以FH∥DD1.又因为N为BC的中点，所以NH∥BD.因为FH∥DD1，FH⊄平面BDD1B1，DD1⊂平面BDD1B1，所以FH∥平面BDD1B1.同理可得NH∥平面BDD1B1，又因为NH，FH⊂平面HNF，NH∩FH＝H，所以平面HNF∥平面BDD1B1.若点M在线段FH上，则MN⊂平面HNF，所以MN∥平面B1BDD1.8. 给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点，能确定直线l在平面α外的条件的序号是①或③Ｗ.解析：由直线与平面的位置关系可知，①或③可以确定直线l在平面α外.9. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AD，AB 的中点.(1) 求证：EF∥平面CB1D1；(2)求证：D1E，B1F，AA1三条直线交于一点.解析：(1) 连结BD.因为E ，F 分别为AD ，AB 的中点，所以EF ∥BD.因为BD ∥B 1D 1，所以EF ∥B 1D 1.因为B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，所以EF ∥平面CB 1D 1.(2) 因为EF ∥BD 且EF ＝12BD ＝12B 1D 1，所以四边形EFB 1D 1是梯形.令D 1E ∩B 1F ＝O ，则O ∈D 1E.又D 1E ⊂平面AA 1D 1D ，所以O ∈平面AA 1D 1D.同理O ∈平面AA 1B 1B.因为平面AA 1B 1B ∩平面AA 1D 1D ＝AA 1，所以O ∈AA 1，所以D 1E ，B 1F ，AA 1三条直线交于一点.10. 如图，在五面体ABCDEF 中，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，EF ∥BC ，且EF ＝12BC ，求证：FO ∥平面CDE.解析：取CD 的中点M ，连结OM ，EM.因为O 是矩形ABCD 的对角线的交点，M 为CD 的中点，所以OM ∥BC 且OM ＝12BC.又EF ∥BC 且EF ＝12BC ，所以EF∥OM且EF＝OM，所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM.又FO⊄平面CDE，EM⊂平面CDE，所以FO∥平面CDE.11. 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，BE⊥PC，垂足为E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使得EF∥平面PAD.解析：过点E作EG∥CD，交PD于点G，连结AG，在AB上取点F，使得AF＝EG，连结EF.因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以FE∥AG.又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD，所以F即为所求的点.因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥BC，所以PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋PA 2.设PA ＝x ，则PC ＝2a 2＋x 2.由PB·BC ＝BE·PC 得a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，所以x ＝a ，即PA ＝a ，所以PC ＝3a.又CE ＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 2＝33a ， 所以PE PC ＝23，所以GE CD ＝AF AB ＝23，即AF ＝23AB.故F 是AB 上靠近点B 的一个三等分点.高考冲刺专题(七)1. 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ④ .(填序号)①AB ∥m ；②AC ⊥m ；③AB ∥β；④AC ⊥β.解析：①因为m ∥α，m ∥β，α⊥β，α∩β＝l ，所以m ∥l.因为AB ∥l ，所以AB ∥m ，故正确；②因为m ∥l ，AC ⊥l ，所以AC ⊥m ，故正确；③因为AB ∥l ，l ⊂β，AB ⊄β，所以AB ∥β，故正确；④当C ∈l 时，AC ⊥β；当C ∉l 时，AC 与β不垂直，故不一定成立.2. 不在平面α内的直线a ，b 在α上的射影为相交直线，则a 与b 的位置关系为 相交或异面 .3. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是③.(填序号)①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.解析：①②④m与平面α可能平行、相交或m在平面α内；对于③，若m⊥β，n⊥β，则m∥n.又因为n⊥α，所以m⊥α.4. 如果直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有无数条.解析：当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a 是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.5. 已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题是④.(填序号)①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a，b相交，则α，β相交；④若α，β相交，则a，b相交.解析：因为a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，若a∥b，则a⊥α且a⊥β，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得α∥β，故①正确；若α⊥β，则a∥β或a⊂β，所以a⊥b，故②正确；若a，b相交，则a，b不平行，则α，β也不平行，则α，β相交，故③正确；若α，β相交，则a，b既可以是相交直线，也可以是异面直线，故④错误.6. 如图，空间中有两个正方形ABCD和ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，那么以下四个命题中正确的个数是3Ｗ.①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE是异面直线.解析：由AD⊥DC，AD⊥DE，易证AD⊥平面CDE，所以AD⊥CE.又MN是△ACE的中位线，故MN∥CE，所以AD⊥MN，因此①③正确；对于②，因为MN∥CE，从而可得MN∥平面CDE，正确；由③可知④错误.7. 若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直.其中假命题的序号是①③④.解析：平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面，①为假命题；垂直于同一平面的两条直线平行，②为真命题；③中n可以。
2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习 集合与常用逻辑用语 专题强化 精练提能(5页)
1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－3x －4≥0}，则A ∩(∁R B )＝______．[解析] 由B ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，得∁R B ＝{x |－1<x <4}，又A ＝{－2，2}，所以A ∩(∁R B )＝{2}．[答案] {2}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________． [答案] 任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．[解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．[答案] 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<34．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________． ①∃x ∈R ，x ＋1x ＝2； ②∃x ∈R ，sin x ＝－1； ③∀x ∈R ，x 2>0； ④∀x ∈R ，2x >0．[解析] 对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．[答案] ①②④5．已知U ＝R ，A ＝{1，a }，B ＝{a 2－2a ＋2}，a ∈R ，若(∁U A )∩B ＝∅，则a ＝______．[解析] 由题意知B ⊆A ，所以a 2－2a ＋2＝1或a 2－2a ＋2＝a ．当a 2－2a ＋2＝1时，解得a ＝1；当a 2－2a ＋2＝a 时，解得a ＝1或a ＝2．当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a ＝2时，满足题意．所以a ＝2．[答案] 26．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a <0； 所以－3≤a ≤0． [答案] －3≤a ≤07．(2019·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．[解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]． [答案] (0，1)∪(－∞，－1]8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P ＝{x |x ≤a }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，若P ∩Q ＝Q ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，得Q ＝{1，2}，又P ∩Q ＝Q ，所以a ≥2，即实数a 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．[解析] 由题意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1， 所以sin θ＝1．所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12．[答案] 1210．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x ≠0，x ∈R ，则“2x <1”是“3x >9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 由2x <1得x >2或x <0．由3x >9得x >2，所以由“3x >9”可以得“2x <1”，反之却无法得到，所以“2x <1”是“3x >9”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)[解析] 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ．故填②． [答案] ②12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”．[解析] 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．[答案] ③13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x ＋a ·4x <0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________．[解析] 变形得a <－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋14x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋14，令t ＝12x ，则a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题， 所以a ≥－6，故实数a 的最小值为－6． [答案] －614．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．[解析] 法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2．故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1．z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，显然该集合中共有3个元素．[答案] 3。
2020江苏高考数学二轮微专题 巩固强化
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总分!,!分!建议用时!#$*!分钟
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姓名!!!!!!!!!!班级!!!!!!!!!!学号!!!!!!!!!!得分!!!!!!!
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"-% 给出以下四个结论!
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命题'若$!'($'3&"#则$&3(的逆否命题为'若$33#则$!'($'33"(*
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2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题三高考热点追踪(三)
1
＋ 1， 两式相减得 an＋1－ an＝
1
(n≥ 2)， 所以 a2n＋1 －a2n＝ 1(n≥ 2)， a22 019＝
an－1＋ an
an＋1 ＋ an
a24＋ (2 019 － 4)×1＝ 2 019， 所以 a2 019＝ 2 019 ．
[答案 ] 2 019
1＋ 2＋ 3＋…＋ n
1
6．已知数列 { an} 满足 an＝
S2，S4 成等比数列可得 S22＝ S1S4．若 a2＝ 0，则 S1＝ S2＝ a1≠0．S2＝S4＝ a1，a2＋ a3＋ a4＝ 3a3 ＝0，
a3＝ 0， 则 d＝ 0，故 a2＝ 0 舍去；若 a2＝3， 则 S1＝3－ d，S2＝ 6－ d，S4＝12＋ 2d，(6－ d)2＝ (3
－ d)(12＋ 2d)(d≠ 0)， 得 d＝ 2， 此时 a10＝ a2＋ 8d＝ 19．
所以 a1＝ a3＝ … ＝ a29＝ 1，
-2-
n
，则数列
的前 n 项和为 ________．
anan＋ 1
1＋ 2＋3＋ … ＋ n n＋ 1
[详细分析 ] an＝
n
＝ 2，
1
4
＝
＝4
anan＋1 （ n＋ 1）（ n＋ 2）
1
1
－
n＋ 1 n＋ 2
，
所求的前 n 项和为
11 11
1
1
4
2－
3＋
3－
4＋
…
＋
－ n＋1
n＋Leabharlann 2＝411 2－ n＋ 2
1－
1 2
1 ＝ 1－ 2n．
1 [答案 ] 1－ 2n
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所以 a2＝ b2， 故双曲线 Γ的离心率为 2．
[答案 ] 2 7．(2019 ·南京四校第一学期联考 )已知圆 C： (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝4，若直线 l ：3x＋ 4y＋ m ＝ 0 上存在点 P，过点 P 作圆 C 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，∠ APB＝ 60°，则实 数 m 的取值范围是 ________．
[详细分析 ] 连结 OA，OP，在直角三角形 OAP 中 ，OP＝2OA＝ 2．又 OP∈[ OM － 1，OM
2a2－ 8a＋ 7≤ 0
＋ 1] ， 即 1≤OM ≤3， 所以 1≤ a2＋ (a－ 4)2≤ 9， 化简得
，
2a2－ 8a＋ 15≥ 0
解得
2－
2≤ a≤ 2＋ 2
2 2．
[答案 ] [2 －
43x2－ 4y2＝ 1．
因为 c＝
34＋14＝ 1，故双曲线的右焦点为 (1，0)，即抛物线的焦点为 (1，0)，所以 p＝ 2，
x＝－ 1 是抛物线的准线 ，因为点 M 到 y 轴的距离为 d1， 所以到准线的距离为 d1＋ 1， 设抛物
线的焦点为 F ，则 d1＋ 1＝ |MF |，所以 d1＋ d2＝ d1＋ 1＋ d2－ 1＝ |MF |＋ d2－ 1，焦点到直线 l 的距
1．(2019 ·苏州期末
)双曲线
x2－
________．
2
2
[详细分析
]
令
x2－
y 4
＝
0，
得
y＝ ±2x， 即为双曲线
x2－
y 4
＝1
的渐近线方程．
[答案 ] y＝ ±2x
22
2．(2019 ·南京、盐城模拟
)椭圆
x 4
＋
ym＝
1
的一条准线方程为
y＝ m，则 m＝ ________．
M 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为 ________．
[详细分析
]
x2 a2－
4
y2＝
1
的右顶点坐标为
(a， 0)， 一条渐近线为
x－ 2ay＝ 0．由点到直线的
距离公式得 d＝
|a| ＝ 1＋ 4a2
43，解得
a＝ 23或 a＝－
3 2 (舍去 )，故双曲线的方程为
直线 x－ 2y＋ 2＝ 0 与 y 轴的交点为 (0， 1)， 即为椭圆的顶点 ， 故 b＝ 1．
2
故 a2＝ b2＋ c2＝ 5， 椭圆方程为
x 5
＋
y2＝
1．
[答案 ]
x2＋ y2＝ 1 5
4．已知双曲线
C
：
x2 a2－
4y2＝
1(
a
＞
0)
的右顶点到其一条渐近线的距离等于
43，抛物线 E：
y2＝ 2px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合，直线 l 的方程为 x－ y＋ 4＝ 0，在抛物线上有一动点
[详细分析 ] 圆 C 的圆心 C(1， － 2)， 半径 r＝ 2．连接 PC， AC， 则在 Rt△PCA 中 ， ∠APC
＝ 30°， AC＝ 2，所以 PC＝ 4，这样就转化为直线 l 上存在点 P， 且点 P 到圆心 C 的距离为 4，
-2-
|1－0＋ 4|
离 d3＝
＝
2
5 ＝
2
5
2
2，
而
|MF
|＋
d
2≥
d
3＝
5
2
2，
所以
52 d1＋ d2＝ |MF |＋ d2－ 1≥ 2 － 1．
[答案 ]
5 2
2－
1
-1-
5．(2019 ·南京、盐城高三模拟 )已知圆 O： x2＋ y2＝ 1，圆 M ： (x－ a)2＋ (y－ a＋ 4)2＝ 1．若 圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得∠ APB＝ 60°，则实数 a 的 取值范围为 ________．
x2 y2 a2－ b2＝ 0，
联立
22
xy a2－b2＝ 0， xc＋ by＝ 1，
消去
y得
11 a2－ c2
x2＋
2 cx－
1＝
0，
即
ab2c2 2x2＋
2 c
x－
1＝
0
，
设
A ( x1，
y1 )， B(x2，y2)，
则
x1 ＋x2＝－
2a2c
2
b
，
2a2c 因为线段 AB 中点横坐标为－ c， 所以 x1＋x2＝－ b2 ＝－ 2c，
m
[详细分析 ] 焦点在 y 轴上 ，
＝m， m＝ 5．
m－ 4
[答案 ] 5
x2 y2 3．(2019 ·太原调研 )直线 x－2y＋ 2＝ 0 过椭圆 a2＋ b2＝ 1 的左焦点
F1 和一个顶点
B，则椭
圆的方程为 ________．
[详细分析 ] 直线 x－ 2y＋ 2＝ 0 与 x 轴的交点为 (－ 2，0) ，即为椭圆的左焦点 ， 故 c＝ 2．
2， 2＋ 2
22]
6．在平面直角坐标系
xOy 中，若双曲线
x2 y2 Γ：a2－ b2＝ 1(a>0，b>0)的渐近线为
l 1，l2，直线
l：xc＋ by＝ 1 分别与 l 1，l2交于 A，B，若线段 AB 中点横坐标为－ c，则双曲线 Γ的离心率为 ________．
[详细分析
]
依题意
l 1， l2 的方程为