第四节 广义积分84页PPT
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第五章 第4节广义积分
+
= ∞.
故原反常积分发散. 故原反常积分发散
13
例4 计算反常积分 ∫0 解
3
dx ( x − 1)
2 3
.
瑕点 x =1
(x − 1) 1 dx = lim 1−ε dx ∫0 ∫0 2 = 3, 2 ε →0 + 3 (x ( x − 1) 3 (x − 1) 3 dx = lim 3 dx = 3 ⋅ 3 2 , ∫1 ∫ 2 2 ε → 0 + 1+ ε 3 (x − 1) ( x − 1) 3
dx . 1 + x2
= lim [arctan x ]a+ lim [arctan x ]0
0 b a → −∞ b → +∞
= − lim arctan a + lim arctan b
a → −∞ b → +∞
− π + π = π . = − 2 2
5
2 例3 计算反常积分 ∫π
x 1+ x
2
+∞
2
−∞
=____； dx =____；
19
5 、广义积分 ∫
1
xdx
2
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
f ( x ) 在无穷区间[a ,+∞ ) 上的反常积分 ， 记作 上的反常积分，
= ∞.
故原反常积分发散. 故原反常积分发散
13
例4 计算反常积分 ∫0 解
3
dx ( x − 1)
2 3
.
瑕点 x =1
(x − 1) 1 dx = lim 1−ε dx ∫0 ∫0 2 = 3, 2 ε →0 + 3 (x ( x − 1) 3 (x − 1) 3 dx = lim 3 dx = 3 ⋅ 3 2 , ∫1 ∫ 2 2 ε → 0 + 1+ ε 3 (x − 1) ( x − 1) 3
dx . 1 + x2
= lim [arctan x ]a+ lim [arctan x ]0
0 b a → −∞ b → +∞
= − lim arctan a + lim arctan b
a → −∞ b → +∞
− π + π = π . = − 2 2
5
2 例3 计算反常积分 ∫π
x 1+ x
2
+∞
2
−∞
=____； dx =____；
19
5 、广义积分 ∫
1
xdx
2
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
f ( x ) 在无穷区间[a ,+∞ ) 上的反常积分 ， 记作 上的反常积分，
广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
高等数学课件5第四节 反常积分ppt
lim
t b
t a
f
(
x
)
dx
b
a
f (x) 在 [a , b) 上的反常积分(或瑕积分).
这时称反常积分
收敛;
否则, 称反常积分 发散.
定义6. 设函数 f ( x)在[a, b]上除点c (a c b)外连续,
点 c 为f (x)的瑕点.
若 瑕 积 分ac
f
(
解:
原式
1 p
0
td(e
pt
)
1 p
([te
pt
]0
e
0
pt dt )
a
udv
[uv]a
a
vdu
1 p
( lim te t
pt
0
[
1 p
e
pt
]0
)
0
1 p2
( lim e
t
pt
1)
1 p2
.
定义2. 设 f ( x)在(, b)上连续.
b
f
( x) dx
lim
t
tb
f
( x) dx
若极限存在,则称无穷限积分
2
1)3
]13
1
1
lim 3( x 1)3+ 3 3 3 4 lim 3( x 1)3
x1
x1
3(1 3 4 ).
例12.
讨
论
反
常
积
分
1 1
dx x2
的
收
敛
性.
解:
lim
x0
1 x2
,
x
0是
1 x2
的瑕点.
广义积分
b
a
f ( x )dx
此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散.
a
b b
3.定义 设 f ( x ) 在 [a, c) (c, b] 上连续,并且
lim f ( x ) ,如果 f ( x )dx和 f ( x )dx
c b
xc
a
c
同时收敛,则称它们的和为函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的瑕积分. 记作:
例10 求
3
1
x 1 x3
0
dx.
1 3
1 解 令 x t 则 x t dx t dt 3 1 2 6 1 1 x t 1 3 t dt 1 0 1 x 3 dx 0 3 2 (1 t ) 1 1 t (1 t ) dt 0 t (1 t ) 3 3 1 1 ( )( ) 1 2 1 1 1 2 . ( , ) 3 (1) 3 3 2 2
2
即瑕积分发散.
总结
定义及以下两个特殊广义积分: 无穷积分 1
1 dx p x
p 1 时收敛, p 1 时发散.
瑕积分
1
0
1 dx ( p 0) p x p 1 时收敛, p 1 时发散.
三. 函数 定义 广义积分 (r ) 0 x e dx (r 0)
1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3
dt
2 2 ln 2
即广义积分收敛,值为 2 2 ln 2.
例5.讨论广义积分 0
解
1 i 因 xlm p 0 x
1
1 dx ( p 0) 的敛散性. p x
《第三章积分学》PPT课件
（一）、原函数
定义 设函数 f ( x )在区间I上有定义， 若存在函数F ( x )，
使对x I , 有 F ( x ) f ( x )
或
dF ( x ) f ( x )dx
成立，
2
则称F ( x )是 f ( x )在区间I上的一个原函数。
例1
（1）f(x) = 3 x 求下列函数的原函数：
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C ; sin x (10) sec x tan xdx sec x C ;
(11) csc x cot xdx csc x C ;
x a x (13) a dx C; ln a
(12) e dx e C ;
第三章、积分学
• • • • • • 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的计算—换元积分法 分部积分法 第三节 定积分 第四节 广义积分 第五节定积分应用
第一节 不定积分的概念与性质
• • • • 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质 四、基本积分公式
2 dx
1 cos x 1 解：原式 dx ( x sin x ) C 2 2
例10 求 tan 2 xdx
解：原式 (sec x 1)dx sec2 xdx dx
2
tan x x C
1 例11 求 2 dx 2 sin x cos x
易见, sin x C 也是g( x )的原函数。
问题： 1.什么样的函数原函数存在？
2.原函数存在的条件下，原函数是否唯一？ 若不唯一，它们之间有什么联系？
原函数存在定理
§5.4 广义积分
b
f (x)dx F(x)
F(b) F()
f (x)dx F(x)
F() F()
其中 F () lim F (x)
x
例3 证明积分 cos xdx 发散. 0
证： cos xdx lim
b
cos xdx
lim (sin x b )
lim
sin b
0
b 0
b
0 b
1
例4. 讨论广义积分 1
a
lim
0 a 2 x 2 0 0
dx
lim
arcsin
x
a
.
a 2 x 2 0
a0 2
注：在形式上也可采用牛顿—莱布尼兹公式的记法.
1
练习. 讨论广义积分
dx
的敛散性.
解
f
(x)
1 x2
1 x 2
在 [1,1]上除点
x
0 外连续，且lim x0
1 x2
1 dx
1 x 2
0 dx 1 x 2
y
解
exdx lim
b exdx
lim
(e x
b
)
0
b 0
b
0
1 y ex
lim (1 eb ) 1.
A
b
o
x
1
例2.计算 1 x2 dx
解
1
1 x
2
dx
0
1
1 x
2
dx
1 0 1 x2 dx
lim a
01 a 1 x2 dx
lim b
b 0
1
1 x
2
dx
f (x)dx 收敛的充要条件为 P(x) f (t)dt a
广义积分
§2.4 广义积分一、主要知识点和方法1、基本概念和性质设()f x 在[,)a +∞上有定义，且b a ∀>，()f x 在[,]a b 上可积，定义()d l i m ()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰ ，称为无穷（广义）积分。
类似有()d lim ()d bbaa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰，()d ()d ()d ccf x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰且与c 无关。
这些积分统称为无穷积分。
当上述定义中右端的极限存在时，称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。
对于()d ()d ()d c cf x x f x x f x x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个无穷积分都收敛时，称()f x dx +∞-∞⎰收敛，否则称为发散。
()f x 在[,)a b 上有定义，在点b 的任何邻域内无界（称b 为瑕点），若对任何a c b <<，()f x 在[,]a c 上可积，定义()d lim ()d bcaac bf x x f x x -→=⎰⎰，称为无界函数广义积分，也称以b 为瑕点的瑕积分。
类似地也有以区间左端点为瑕点的瑕积分。
又当c 是()f x 在[,]a b 内的唯一瑕点时，定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰。
当定义中右端的极限存在时，称瑕积分收敛。
对于瑕积分()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个瑕积分都收敛时，称()d baf x x ⎰收敛。
无穷积分和瑕积分统称为广义（反常）积分。
由此可见，广义积分的敛散性就是变动限积分的极限存在性，从而可归结为函数极限来讨论。
设0a >，由定义立即得到：1d p ax x+∞⎰当1p >时收敛，当1p ≤时发散；1d apx x ⎰当1p <时收敛，当1p ≥时发散。
第四节 广义积分
1
lim t0 t
dx x2
tl im 0[x1]t1tl im 0[x1]1t
lim (11)lim (11)
t t 0
t 0
t
如果忽视了被积函数在积分区间内有瑕点
而作出
1 dx 1 x2
[
1 x
]11
2
就全错了。
1 ln x
y
1
y
1
பைடு நூலகம்
1 x2
x
ln x 1
(6) 1 x 2 d x
解： 1lnxx21dx1(1lnx)d(1x)
[1xlnx]1
1dx 1x x
xl im 1xlnx1[1x]1
1 lim 110
x x
y
x
x
(1
)dxa
0
x2 a2
(8)
dx
2a (x2 a2)32
(a0)
解：令 xasect d xasecttantd t
则
dx
π2
1 asecttantdt
2a(x2a2)32 π3a3tan3t
1 a2
π π
2 3
cos tdt sin 2 t
t0
1 t0
1 t0
⑶
1 d x
1 x 2
t
50
t2
50 40
解：被积函数 1 在区 x2
间 [1,1]上有无穷间断
点 x0，
f (x)
0 4
5
30 20 10
2
0
2
x
4 5
1
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y
1
y
1
1 x2
x
ln x 1
(6) 1 x 2 d x
解： 1lnxx21dx1(1lnx)d(1x)
[1xlnx]1
1dx 1x x
xl im 1xlnx1[1x]1
1 lim 110
x x
y
2
解：
dx
2(1 1 )dx
x(x1) x x1
lim
2 1 (
1
)dx
x a a
x1
lim[ln a
xx1]a2
ln2limln a ln2 a a1
(5) 解：
d x
1 x 2
1 dxx22
1 sin
t
π π
2
3
2 3 3a 2
(9) e x s in x d x
0
解：由于 e x s in x d x e x s in x e x c o s x d x
e xs in x e xc o s x e x d c o s x
0 (1 xe e xx)2dxx l im [1x ee xxln(1ex)]ln2
lim [xex xxln(1ex)]ln2 x 1ex
lim[ x ln ex ]ln2 x 1ex 1ex
xl im ex 1lnxl im 1+ ee xxln2ln2
a
显然，无穷限广义积分是积分上限函数 概念与函数极限概念的“复合”。
在无穷限广义积分收敛时， 它具有与定积分相同的基本性质 和计算方法。
【例题】计算下列广义积分
⑴
xe xd x
0
b
b
b
解： xexdxxexd(x)xdex
0
0
0
[xex ]b0
b
exdx
区间 ( a , b ] 上函数 f ( x ) 连续，取 t a ，如果
极限
b
lim f ( x )d x
t a t
存在，表明函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ] 上的广义
故 e x s i n x d x e x ( s i n x c o s x ) e x s i n x d x
得 exsinxdxex(sinxcosx)C
2
0 exsinxdxxl im sinx2 ex cosx1 21 2
0
0
b
xexdxlimxexdxlim (b1 )eb1
b
b
0
0
所以广义积分 x e x d x 发散。
0
(3)
xe x2dx
0
解： b xex2dx1bex2d(x2) 1 (1 eb2 )
0
20
2
b
xex2dx lim
xex2dx
lim
1 (1eb2
)
b
2 b
0
0
1
11
2
lim b
eb2
2
y
y xe x2
x
0 xe x2 dx 1
2
xe x2 dx 1
0
2
2 dx
(4) x( x 1)
x
y
ln
x 1 x2
(7) (1
x
)dx
0
x2 a2
x
d(x2a2)
解： (1
)dx(dx
)
0
x2a2
0
2x2a2
[x
x2
a2]0
alim(x x
x2a2)
alim a a xx x2a2
y
y 1 x x2 a2
O
b
lim f ( x )d x 称为函数 f ( x) 在无穷区间[a,)
b a
上的广义积分，记为
b
f (x)dxlim f(x)dx b
a
a
如果此极限存在，称广义积分 f ( x ) d x 收敛。
a
如果极限不存在，称广义积分 f ( x ) d x 发散。
第四节
广义积分 函数
b
前面讨论的定积分 f ( x ) d x 事实上存
在两个前提：
a
⑴ 积分区间 [a, b] 是有限的；
⑵被积函数 f ( x)在区间[a, b]上是有界的。
但在许多实际问题中却会超越这两 条限制，需要在这两个方面拓宽定积分 的概念。
一、无穷区间上有界函数的广义积分
设函数 f ( x) 在无穷区间 [a,) 上有定 义，ba ， f ( x) 在区间 [a, b] 上可积，极限
1
1 b eb
0
b
xexdxlim xexdx b
0
0
1
lim
b
1 b eb
1 lim 1 e b b
1
故
xexdx 1
0
y
y xex
x
⑵
xe xd x
0
b
b
解： xexdx[xex]b 0exdx(b1)eb1
y
y
xe x (1 e x )2
O
x
0
xex (1ex)2
dx
ln2
二、瑕点 有限区间上无界函数的广义积分
如果函数 f ( x ) 在点 a的任一邻域内都 无界，那么点 a称为函数 f ( x ) 的瑕点（无 界间断点）。
无界函数的广义积分称为瑕积分。
设点 a为函数 f ( x ) 的瑕点，在半开半闭
y
y ex sinx
O
x
(10)
0
(1
xe x ex
)2
dx
解：
(1xeexx)2dx
d(1ex) x(1ex)2
xd( 1
1 ex
)
ex
x
d
( 1
e
x
)
xex 1ex
ex dx 1ex
1xeexx ln(1ex)C
x
x
(1
)dxa
0
x2 a2
(8)
dx
2a (x2 a2)32
(a0)
解：令 xasect d xasecttantd t
则
dx
π2
1 asecttantdt
2a(x2a2)32 π3a3tan3t
1 a2
π π
2 3
cos tdt sin 2 t