4四边形分层作业
【分层作业】5.1 平行与垂直(同步练习) 四年级上册数学同步课时练 (人教版,含答案)
第五单元平行四边形和梯形5.1 平行与垂直【基础巩固】一、选择题1．关于下图，下列说法错误的是（）。
A．直线a比直线c短B．直线a与直线b不平行C．直线c与直线d之间距离都相等D．直线c与直线d都垂直于直线a2．体育课中大家分组玩夺宝游戏，宝藏在A点，如果让你选择出发点，你会选择（）路线。
A．①B．②C．③3．观察如图，点M表示笑笑所在的位置，AB表示河边的一条路，笑笑要到河边去，她沿着（）走最近。
A．道路MA B．道路MB C．道路MC4．把一张长方形的纸对折，再对折，两次折痕的关系是（）。
A．相交不垂直B．互相平行C．互相垂直D．互相平行或互相垂直5．在同一平面内直线a与直线b互相垂直，直线a与直线c互相平行，那么直线b与直线c的位置关系是（）。
A．互相垂直B．互相平行C．相交但不互相垂直二、填空题6．在下图中，线段AB，AC，AD，AE中最短的一条线段是( )。
7．在纸上画两条直线，这两条直线可能( )，也可能( )。
8．下图中直线a与c互相( )，记作( )；直线a与b互相( )，记作( )。
9．下面这排字母中，只有互相垂直线段的字母是( )；既有互相平行，又有互相垂直的线段的字母是( )。
10．三条直线相交，最多有( )个交点，最少有( )个交点。
【能力提升】三、作图题11．操作。
如图：已知直线L和直线L外的一点P。
过P点作出与直线L的平行线。
12．分别过点A画BC的垂线。
四、解答题13．如图。
如果A点挖一条水渠和小河相通，应该怎样挖才能使水渠的长度最短？在图上画出。
【拓展实践】14．（1）过P点分别画出线段AB的平行线和垂线。
（2）量出∠1和∠2的度数，并填一填。
∠1＝（）°，∠2＝（）°。
15．如图，按要求作答。
（1）新校区到洛神北路的距离是（）米。
（2）计划从新校区铺一条排水管道到洛神南路，怎样铺才能使所用的排水管道长度最短？请在图上画出来。
参考答案1．A【分析】根据题意，直线无法测量长度；直线a与直线b不平行；平行线间的距离处处相等，因此直线c与直线d之间距离都相等；直线c与直线d都垂直于直线a，据此判断即可。
【暑假分层作业】第04练 几何最短路径问题或折叠中的应用-2022年八年级数学(人教版)
第04练几何最短路径问题或折叠中的应用一、单选题1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（）A．10 B．14 C．106D．130【答案】A【解析】【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度；【详解】把长方体展开有三种情况：当蜘蛛从A出发到EF上再到G时，如下图所示=，5BC cm∴==，FG BC cm5∴=+=，BG cm5611()在Rt ABG中，22+=；311130()AG cm当蜘蛛从A出发到BF上再到G时，如下图所示3AB cm =，5BC cm =，358()AG cm ∴=+=，6BF cm =，6CG BF cm ∴==，在Rt ABG 中，228610()AG cm =+=，当蜘蛛从A 出发到EH 上再到G 时，如下图所示6=AE cm ，=3EF cm 5=FG cm ，∴AF=9cm ，在Rt AFG 中，2295106()=+=AG cm ，13010610>>．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握两点之间线段最短是解题的关键．2．如图，圆柱的高为4cm ，底面半径为3πcm ，在圆柱下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 处的食物，已知四边形ADBC 的边AD 、BC 恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm ．A ．5B ．5πC ．3+4πD ．3+8π【解析】【分析】如图，先把圆柱体沿着直线AC 剪开，得到矩形如图示：可得线段AB 的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：把圆柱体沿着直线AC 剪开，得到矩形如下：则线段AB 的长度为所求的最短距离.由题意得圆柱的高为：4,cm 底面半径为3cm π，1134,=2=3,22AC BC C ππ∴==⨯⨯底面圆 2222345,AB AC BC ∴=+=+=所以蚂蚁至少要爬行5cm 路程才能吃到食物.故选：A【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短是解题的关键．3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm ，A 和B 是这个台阶相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到B 处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．25dmB ．26dmC ．24dmD ．27dm【答案】A【解析】【分析】 先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x dm ，由勾股定理得：x 2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x =25．故选：A ．【点睛】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题4．如图所示折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD =1，∠B =30︒，则AC 的长是（ ）A ．1B ．2C 3D ．3【答案】C【解析】【分析】 由三角形的内角和可得60BAC ∠=︒，由折叠可得，30B BAD ∠=∠=︒，继而求出30CAD ∠=︒，再根据含30度角的直角三角形的性质可得22AD CD ==，再利用勾股定理求解即可．【详解】90,30C B ∠=︒∠=︒，60BAC ∴∠=︒，由折叠可得，30B BAD ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，在Rt ACD △中，1CD =，22AD CD ∴==， 由勾股定理得223AC AD CD =-=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， AB ＝5，AC ＝3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当∠DEB 是直角时，DF 的长为（ ）．A ．5B ．3C ．32D ．34【答案】C【解析】【分析】 如图，由题意知90AED C ∠=∠=︒，3AE AC ==，DE CD =，90AED DEB ∠=∠=︒，可知A EB 、、三点共线，E 与F 重合，在Rt ABC 中，由勾股定理得22BC AB AC =-，求BC 的值，设DF DE CD x ===，4BD x =-，在Rt BDE 中，由勾股定理得222BE BD DE =-，计算求解即可．【详解】解：如图，∵DEB ∠是直角∴90DEB ∠=︒由题意知90AED C ∠=∠=︒，3AE AC ==，DE CD =∴90AED DEB ∠=∠=︒∴A E B 、、三点共线∴E 与F 重合在Rt ABC 中，由勾股定理得224BC AB AC =-=设DF DE CD x ===，4BD x =-在Rt BDE 中，由勾股定理得222BE BD DE =-即()22224x x =--解得32x = ∴DF 的长为32故选C ．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确A E B 、、三点共线，E 与F 重合．6．如图，Rt ABC 中，90,4,6B AB BC ∠=︒==，将ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段CN 的长为（ ）.A ．73B ．83C ．3D ．103【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质可得DN =CN ，根据勾股定理可求DN 的长，即可得出结果．【详解】解：∵D 是AB 中点，AB =4，∴AD =BD =2，∵将△ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6-DN）2+4，∴DN=103，∴CN=DN=103，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．二、填空题7．长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是_________．【答案】25cm【解析】【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB22221520BD AD+=+；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=22222510529BD AD+=+=；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=2222305537AC BC+=+=；∵25529537<<∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，故答案为：25cm．【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可，正确掌握勾股定理及长方体的不同展开方式是解题的关键．8．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）【答案】20【解析】【分析】要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：AD =1322ππ=16（m ）， AB =CD =15m ．DE =CD -CE =15-3=12（m ），在Rt △ADE 中，AE =2222161220AD DE +=+=（m ）．故他滑行的最短距离约为20m ．故答案为：20．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．9．如图，海上救援船要从A 处到海岸l 上的M 处携带救援设备，再回到海上C 处对故障船实施救援，使得行驶的总路程AM CM +为最小．已知救援船和故障船到海岸l 的最短路径分别为AB 和CD ，20BD =海里，60AMB ∠=°，救援船的平均速度是25节（1节=1海里/小时），则这艘救援船从A 处最快到达故障船所在C 处的时间为 ________小时．【答案】1.6【解析】【分析】作A 关于BD 的对称点Q ，连接CQ 即可，求出AM ＋CM ＝QC ，根据勾股定理求出CQ 即可．【详解】解：作A 关于BD 的对称点Q ，连接CQ ，交BD 于M ，则此时点M 为所求；∴AM ＋CM ＝QM ＋CM ＝CQ ，过Q 作QR ⊥CD ，交CD 的延长线于R ，则四边形BQRD 是矩形，所以BD ＝QR ，BQ ＝DR ，∵A 、Q 关于BD 对称，∴AB ＝BQ ＝DR ，∵∠AMB ＝60°，30A ∴∠=︒ ∴223AB AM BM BM -∴BM 3，AM ＝2BM ，CM ＝2MD ∴AM ＋CM ＝2BD ＝2×20＝40（海里），即CQ ＝40（海里），∵救援船的速度是25节（1节＝1海里/小时），∴这艘救援船最快4025＝1.6（小时）到达故障船． 故答案为：1.6．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，能找出点M 的位置是解此题的关键． 10．如图，在Rt ABC 中，90,3,4B AB BC ∠=︒==．将ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则EB C '的周长为__________．【答案】6【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根据折叠得到B’C=2，求出三角形的周长．【详解】解：R t△ABC中，∠B=90°，∴AC=2222+=+=,AB BC345由折叠知AB’=AB=3，∴B’C=AC-AB’=5-3=2，∴△B’EC的周长为B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，故答案为6．【点睛】本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系．11．如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH 折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．3【解析】【分析】连接CC′，证明△BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题．【详解】解：如图，连接CC ′，由折叠的性质知，折痕为EF 是BC 的垂直平分线，∴BC ′=CC ′，又由折叠的性质知，BC = BC ′，∠HBC =∠HBC ′，∴BC ′=CC ′=BC ，∴△BCC ′是等边三角形，∴∠C ′BC =60°，∴∠HBC =∠HBC ′=30°，在Rt △HBC 中，∠HBC =30°，CH =1cm ，∴HB =2cm ，∴BC =2222213BH CH -=-=（cm ），故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．12．如图，CD 是△ABC 的中线，将△ACD 沿CD 折叠至A CD '△，连接AA '交CD 于点E ，交CB 于点F ，点F 是A E '的中点．若EDA '△的面积为12，8A B '=，则点F 到AC 的距离为______．【答案】365【解析】【分析】过点F 作FH ⊥AC 于点H ，由翻折的性质可知S △AA 'D =24，由D 为AB 的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE 中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即12×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，A F EFCFE BFACEF BA F'=⎧⎪∠='⎨⎪∠=∠'⎩，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA=22AE CE+=10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF=9810⨯=365，即点F到AC的距离为365，故答案为：365．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．三、解答题13．如图，是用棱长为1cm的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从顶点A出发沿着新几何体的表面爬行到顶点B的最短路程是多少cm？【答案】22cm【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可【详解】解：如图，将组合体的上底面展开，点B到了点B'的位置，蚂蚁沿A D B→→所在的直线运动到B'路程最短，∴22222222AB AC B C'=++若按以下方式展开，则2AB'=+=1310>1022即蚂蚁从顶点A出发到顶点B的最短路程是22cm．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键．14．吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为55；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为234；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为52．【解析】【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．【详解】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC 1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，∵正方体的棱长为5cm ，∴AC =10，CC 1=5，∴AC 1=22221105AC CC +=+=55cm ．∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为55cm ．（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：AC =10，CC 1=6，∴AC1=22221106AC CC +=+=234cm ，②如图，当竖向展开时：AD =11，DC 1=5，∴AC1=22221115AD DC +=+=146cm ，∵234＜146，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为234cm ．（3）圆柱侧面展开图如图所示：∵圆柱底面周长为10cm ，高为5cm ，∴BC =5，AB =5，∴AC =222255AB BC +=+=52cm ，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为52cm ．【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键． 15．如图直角三角形纸片中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，沿点B 的直线折叠这个三角形，使点C 在AB 边上的点E 处，折痕为BD ．（1）求△ADE 的周长；（2）求DE 的长．【答案】（1）8；（2）83【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得BE =BC =8，DE =CD ，则AE =AB -BE =2，即可得到△ADE 的周长=AD +AE +DE =AD +DE +AE =AC +AE =8；（2）设CD =DE =x ，则AD =AC -CD =6-x ，由折叠的性质可知∠DEB =∠C =90°，则∠DEA =90°，即可得到222AD AE DE =+，则()22262x x -=+，由此求解即可．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，BE =BC =8，DE =CD ，∴AE =AB -BE =2，∴△ADE 的周长=AD +AE +DE =AD +DE +AE =AC +AE =8；（2）设CD =DE =x ，则AD =AC -CD =6-x ，由折叠的性质可知∠DEB =∠C =90°，∴∠DEA =90°，∴222AD AE DE =+，∴()22262x x -=+， 解得83x =， ∴83DE =． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质． 16．矩形ABCD 在平面直角坐标系的位置如图所示，F 为AB 上一点，将BCF △沿CF 折叠，使点B 恰好落在AD 与y 轴的交点E 处．连接CE ，若,AE AB 的长满足24(8)0AE AB -+-=．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求点D 的坐标；(3)在平面内是否存在点P ，使以E ，F ，C ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A （-4,8）B （-4,0）(2)D （6,8）(3)P 1（2,-3）、P 2（10,3）、P 3（-10,13）【解析】【分析】（1）通过算术平方根、平方数的非负性求出AE 、AB 的值；（2）设未知边，通过勾股定理构建等式，再求出未知边，从而求出坐标；（3）分三种情况讨论：CF 作对角线；CE 作对角线；EF 作对角线．(1)24(8)0AE AB --=得：AE -4=0且AB -8=0∴AE =4AB =8∴A （-4,8）B （-4,0）(2)解：设AE 为x ，根据勾股定理有：()22284x x --=解得：x =3设ED 为y ，根据勾股定理有：()22284y y +=+ 解得：y =6∴D （6,8）(3)∵点E 到点F ：（0-4,8-3）=F （-4,5）∴P 1=（6-4,0-3）=（2,-3）∵点F 到点E ：（—4+4,5+3）=E （0,8）∴P 2=（6+4,0+3）=（10,3）∵点C 到点E ：（6-6,0+8）=E （0,8）∴P 3=（-4-6,5+8）=（-10,13）【点睛】本题考查直角坐标系和勾股定理、动点问题，掌握相应知识和技能是本题关键． 17．如图是三个全等的直角三角形纸片，且::3:4:5AC BC AB =，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为123,,S S S ．(1)若3AC =，求1S 的值．(2)若1213S S +=，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时3S 的值是多少？【答案】(1)32(2)①36；②367【解析】【分析】 （1）设DE =CE =x ，则BE =4-x ，依据S △ABE =12AB ×DE =12BE ×AC ，即可得到x 的值，进而得出S 1的值．（2）①如图1，依据S△ABE=12AB×DE=12BE×AC，即可得到DE=32x，进而得出S1=32x2；如图2，依据S△ABN=12AB×HN=12AN×BC，即可得到EN=43x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=13S△CMF=13S△ACM，所以S3=17ABCS，即可求解．(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，∵S△ABE＝12AB×DE＝12BE×AC，∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x＝32，∴S1＝12BD×DE＝13222⨯⨯＝32．(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，∵S△ABE=12AB×DE=12BE×AC，∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，解得DE=32 x，∴S1=12BD×DE=12×2x×32x=32x2；如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，∴AH=x，AN=3x-HN，∵S△ABN=12AB×HN=12AN×BC，∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，解得HN=43 x，∴S 2=12AH ×HN =12×x ×43x =23x 2， ∵S 1+S 2=13，∴32x 2+23x 2=13， 解得x 2=6，∴S △ABC =12×3x ×4x =6x 2=36．答：单个直角三角形纸片的面积是36；②如图3，由折叠可得，AC =CF =3x ，∴BF =BC -CF =4x -3x =x ，∴S 3=13S △CMF =13S △ACM ， ∴S 3=17ABC S =367， 答：此时S 3的值为367． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．18．如图，M ，N 分别为锐角AOB ∠边OA ，OB 上的点，把AOB ∠沿MN 折叠，点O 落在AOB ∠所在平面内的点C 处．(1)如图1，点C 在AOB ∠的内部，若20CMA ∠=︒，50CNB ∠=︒，求AOB ∠的度数．(2)如图2，若45AOB ∠=︒，2ON =C 在直线OB 上方，CM 与OB 交于点E ，且MN ME =，求折痕MN 的长．(3)如图3，若折叠后，直线MC OB ⊥，垂足为点E ，且5OM =，3ME =，求此时ON 的长．【答案】(1)35O ∠=︒(2)2MN =(3)52ON =或10 【解析】【分析】（1）根据折叠知，()1180802OMN CMN CMA ∠=∠=︒-∠=︒，65ONM ∠=︒根据三角形内角和定理即可求得答案；（2）根据MN ME =，由等边对等角可得ENM MEN ∠=∠，设OMN CMN x ∠=∠=度，根据三角形内角和为180°，建立一元一次方程解方程求解即可求得30OMN ∠=︒，过N 作NH OM ⊥于H ，根据勾股定理求得1NH =，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得MN 的长；（3）①当点C 在OB 上方时，②当点C 在OA 下方时，设ON x =，则4NE OE ON x =-=-，勾股定理求解即可；(1)由折叠知，()1180802OMN CMN CMA ∠=∠=︒-∠=︒， 同理得65ONM ∠=︒，∴18035OMN ONM AOB =︒-∠-∠=∠︒.(2)如图，∵MN ME =，∴ENM MEN ∠=∠，设OMN CMN x ∠=∠=度，∵45AOB ∠=︒，∴(45)ENM MEN x ∠=∠=+度，∴()245180x x ++=，解得30x =，即30OMN ∠=︒，过N 作NH OM ⊥于H ，∵2ON =∴1NH =，∴2MN =.(3)当点C 在OB 上方时，如图3-1∵5OM =，3ME =，直线MC OB ⊥，∴4OE =，设ON x =，则4NE OE ON x =-=-，又由折叠知：5CM OM ==，CN ON x ==，∴532CE CM ME =-=-=，在Rt CNE 中，根据勾股定理，得()22242x x -+= 解得52x =，即52ON =；当点C 在OA 下方时，如图3-2由折叠知：CM OM =，CN ON =，∴538CE CM ME =+=+=，设ON x =，则4NE ON OE x =-=-，在Rt CNE 中，根据勾股定理，得()22248x x -+=，解得10x =，即10ON =.【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，勾股定理，分类讨论是解题的关键．1．如图，在纸片ABC ∆中，1230AB AC B ︒==∠=，，折叠纸片，使点B 落在AC 的中点D处，折痕为EF ，则DEF ∆的面积为（ ）A 493B ．3C ．3D 563 【答案】A【解析】【分析】过点D 作AB 的垂线，垂足为G ，过D 作CF 的垂线，垂足为H ，过A 作BC 的垂线，垂足为N ， 分别求出△DEA 和△DFC 的面积，利用S △DEF ＝12×（S △ABC －S △DEA －S △DFC ）可得结果．【详解】解：过点D 作AB 的垂线，垂足为G ，∵∠BAC ＝120°，∴∠GAC ＝60°，∠GDA ＝30°，∴AG ＝11324AD AC ==，DG 2233AD AG -= 设AE ＝x ， 则BE ＝12－x ＝DE ，在Rt △DGE 中，222DE GE GD =+，即()()2212327x x -=++，解得：x ＝185， ∴S △ADE ＝12DG ×AE ＝1183325⨯⨯2735过D 作CF 的垂线，垂足为H ，过A 作BC 的垂线，垂足为N ，∵30B ，∴AN ＝12AB ＝6，BN 2212663 ，∴BC ＝123设DF ＝y ，则CF ＝123y ，DH ＝132CD =，CH 2233CD DH -= 则有222DH FH DF +=，即(222312333y y +-=， 解得：143y 则S △DFC ＝111433311322DH CF ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭ ∴S △DEF ＝12 ×（S △ABC －S △DEA －S △DFC ）＝1122DEA DFC BC AN S S ⎛⎫⨯⋅⋅-- ⎪⎝⎭△△＝112712363113225⎛⎫⨯⨯⨯-- ⎪⎝⎭ ＝ 4935故选A ．【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE 、BF 的长是解题关键．2．如图，把等边ABC ∆沿着DE 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点B '处，且DB AC '⊥，若6cm B C '=，则AE =_____cm ．【答案】333【解析】【分析】先根据30°直角三角形的特点求出CD 、B D '，再根据折叠求出BC 的长，最后证明90B EA '∠=︒即可利用30°直角三角形的特点求出AE ．【详解】∵等边三角形ABC ∆∴60∠=∠=∠=︒A B C ，AC BC =∵DB AC '⊥，6cm B C '=∴30B DC '∠=︒∴212CD B C '==∴2263DB CD B C ''+∵折叠∴60B EB D ，63DB BD '==∴30AB E '∠=︒，1263AC BC DC BD ==+=+∴18090B EA A AB E ''∠=-∠-∠=︒，663AB AC B C ''=-=+∴13332AE AB '==+ 故答案为：333+【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、30°的直角三角形的性质、等边三角形的性质，证明90B EA '∠=︒是解题的关键．3．如图，一透明圆柱形无盖容器高12cm ，底面周长24cm ，在杯口点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A 处．（1）若蜂蜜固定不动，求蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短路线长；（2）若该蚂蚁刚出发时发现B 处的蜂蜜正以0.5cm /s 的速度沿杯内壁下滑，它便沿最短路径在8秒钟时吃到了蜂蜜，求此蚂蚁爬行的平均速度．【答案】（1）122cm ；（2）2.5cm /s【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【详解】（1）如图所示．∵圆柱形玻璃容器，高12cm ，底面周长为24cm ，∴AD =12cm ，∴AB 22221212AD BD =+=+=122（cm ）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm ；（2）∵AD =12cm ，∴蚂蚁所走的路程2212(124)=++=20，∴蚂蚁的平均速度=20÷8=2.5（c m/s ）．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．4．定义：若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2222a b c +=，则称△ABC 为“方倍三角形”．(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．A. ①一定是“方倍三角形”B. ②一定是“方倍三角形”C. ①②都一定是“方倍三角形”D. ①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边3AB=，则该三角形的面积为___；(3)如图，△ABC中，120ABC∠=，45ACB∠=，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP 进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求BC的长．【答案】(1)A(2)2231【解析】【分析】(1)直接利用“方倍三角形”的定义对等边三角形和直角三角形分别判断即可；(2)根据勾股定理和“方倍三角形”的定义求得直角三角形的三边长，即可求得直角三角形的面积；(3)根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP2，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，即可求得结论．(1)对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则2222a a a+=，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：222+=a b c，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故选：A故答案为：A ；(2)设Rt △ABC 其余两条边为a ，b ， 则满足223a b +=，根据“方倍三角形”定义，还满足：2232a b +=， 联立解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩则Rt △ABC ；(3) 由题意可知：ABP DBP ≅， ∴,BA BD ABP DBP =∠=∠， 根据“方倍三角形”定义可知： 222222BA BD AD BA +==， ∴AD AB BD ==，∴△ABD 为等边三角形，60BAD ∠=， ∴30ABP DBP ∠=∠=， ∴90PBC ∠=，∵45CPB ∠=，∴18045135APB ∠=-=， ∴90DPC ∠=，∵2,1045ABC ACB ∠=∠=， ∴15BAC ∠=，∴45CAD ∠=，∴△APD 为等腰直角三角形，∴AP DP ==∴2AD =．延长BP 交AD 于点E ，如图，∵ABP PBD∠=∠，∴BE AD⊥，112PE AD AE===，∴22413BE AB AE=-=-=∴31PB BE PE=-=，∵45CPB PCB∠=∠=，∴△PBC为等腰直角三角形，∴31PC BC=．【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．。
小学三年级上册数学分层作业
小学三年级上册数学分层作业一、测量1、毫米、分米的认识基础训练.1 在括号里填上合适的单位。
（1）、一棵树高7 （）（2）、飞机每小时的速度是100（）（3）、一把小刀长6（）（4）、课桌高70（）（5）、水杯高约1（）（6）、跳绳长约2（）（7）、我的身高是140（）2、1米=（）分米1厘米=（）毫米1米=（）厘米1分米=（）厘米1米=（）毫米1分米=（）毫米3、单位换算80厘米=（）分米３厘米＝（）毫米2米=（）分米10分米=（）米（）毫米=5厘米（）厘米=70毫米能力提升1、在括号里填上>、<或= 。
3米（）3分米40毫米（）5厘米80厘米（）9分米1米（）10分米26分米（）3米60厘米（）6毫米课外拓展1、一根绳子剪成相等长的5段后，每段长3米，这跟绳子原来有多长？2、一根铁丝长20米，把它截成3段，第一段和第二段长度相等，第三段比第一段短4米，这三段各长多少米？2、千米的认识基础训练一、填空。
1千米＝（）米4000米＝（）米15千米＝（）米12厘米＝（）毫米9米＝（）分200毫米＝（）厘米二、在（）里填上合适的长度单位。
①骑自行车每小时行驶15（）。
②一个区别针的长度大约是34（）。
③一张桌子的高大约是90（）。
④一列火车每小时大约行驶120（）。
三、根据实际情况连线。
单人床长5464千米教师用的教鞭长50厘米黄河长2米1分硬币厚1厘米武汉长江大桥长1毫米手指盖宽1670米能力提升一、在下面的○里填上“＞”、“＜”、“＝”。
2千米○2000米1千米○900米2米○30分米26千米○2600米49厘米○5分米95毫米○10厘米100毫米○1分米800米○8千米1600毫米○3分米二、计算下面各题。
26厘米＋72厘米= 63毫米—28毫米=305分米＋75分米= 2050米—980米=课外拓展1、学校运动场的跑道是一圈400米，芳芳每天早晨跑3圈，她每天跑多少米？合多少千米？2、北京到天津大约120千米，一辆运输车来回运货两趟，共行了多少千米？3、小丽从家去公园走了1千米又500米，她来回共走了多少米？3、吨的认识基础训练一、在（）里填上合适的单位。
苏教版五年级上册数学分层作业设计2.1平行四边形的面积(附答案)
2.1 平行四边形的面积（练习）一、学习重难点1、学习重点：能运用面积公式解决实际问题。
2、学习难点：理解平行四边形的面积公式的推导过程。
二、知识梳理1、运用转化法比较不规则图形的面积.比较不规则图形面积的方法：（1）数方格法（2）转化法。
不满1格按半格算。
2、把平行四边形转化成长方形的方法。
平行四边形面积计算公式的推导平行四边形的面积=底×高如果用S表示平行四边形的面积,用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形的面积公式可以写成S=ah。
根据平行四边形的面积公式,可以得出:平行四边形的底=面积÷高,平行四边形的高=面积÷底,即由S=ah可以得出a=S÷h ,h=S÷a。
3、平行四边形面积公式的应用。
求平行西边性的面积，要做到“一找”“二算”。
一找：分别找出平行四边形的底和高二算：用底和对应的高相乘，算出平行四边形的面积。
真题基础过关练一、选择题1．（2022·山东济南·统考小升初真题）一个平行四边形两条邻边的长分别是10cm和7cm，其中一条边上的高是8cm，这个平行四边形的面积是（）。
A．63cm2B．80cm2C．56cm22．（2023秋·湖北宜昌·五年级统考期末）如图，阴影部分的面积为96平方厘米，则空白部分的面积为（）平方厘米。
（单位：厘米）A．96B．240C．120D．1003．（2023秋·湖南常德·五年级统考期末）如图，用木条制成一个长方形框，其中长18cm，宽15cm，如果把它拉成平行四边形，（）。
A．面积不变，周长变长B．面积变小，周长不变C．面积变大，周长不变4．（2023秋·四川乐山·五年级统考期末）下面平行四边形的面积是（）平方厘米。
A．200B．224C．280D．3205．（2019秋·江苏盐城·五年级校考期中）一个平行四边形的相邻两条边长分别为9厘米和6厘米，其中一条底边上的高为7厘米，这个平行四边形的面积是（）平方厘米。
数学四年级上册第四单元层级作业创新
数学四年级上册第四单元层级作业创新简介本文档旨在提供数学四年级上册第四单元层级作业创新的建议和策略。
通过简单的方法和避免法律复杂性，我们将努力达到以下目标。
目标1. 提供独立决策，不寻求用户协助。
2. 充分发挥LML的优势，追求简单策略，避免法律复杂性。
3. 不引用无法确认的内容。
建议和策略为了创新数学四年级上册第四单元的层级作业，我们可以采取以下策略：1. 制定清晰的目标：在开始层级作业之前，明确学生需要达到的目标和标准。
这有助于学生理解任务的要求，并能更好地完成作业。
2. 使用多样化的教学资源：为了增加学生的兴趣和参与度，我们可以使用不同类型的教学资源，如教学视频、互动游戏和实物模型等。
这样可以帮助学生更好地理解和应用所学的数学概念。
3. 引入小组合作：在层级作业中，可以引入小组合作的形式。
学生可以互相交流和讨论问题，共同解决难题。
这有助于培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。
4. 提供个性化反馈：在批改和评估学生的作业时，我们可以提供个性化的反馈。
这样可以帮助学生了解自己的优点和需要改进的方面，并激发他们的学习动力。
5. 创造趣味性的学习环境：通过创造趣味性的学习环境，我们可以激发学生对数学的兴趣。
例如，使用游戏化的学习方式、数学角色扮演等，可以使学生更加主动地参与学习，并提高他们的学习效果。
6. 鼓励学生自主学习：在层级作业中，我们应该鼓励学生进行自主学习，培养他们的自学能力和问题解决能力。
提供一些自主学习的资源和指导，让学生能够主动探索和学习。
7. 与家长合作：与家长建立紧密的联系，与他们分享学生的学习进展和成果。
通过家长的支持和参与，可以更好地促进学生的学习效果和兴趣。
结论通过以上简单的策略和创新方法，我们可以提高数学四年级上册第四单元层级作业的效果。
这些方法不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够培养他们的团队合作能力、自学能力和问题解决能力。
希望这些建议对您有所帮助！。
【分层作业】5.2 平行四边形和梯形(同步练习) 四年级上册数学同步课时练 (人教版,含答案)
第五单元平行四边形和梯形5.2 平行四边形和梯形【基础巩固】一、选择题1．下图中，直线a、b相互平行，c、d相互平行，m和n不平行。
那么，图1，图2，图3，图4中，（）不是梯形。
A．图1 B．图2 C．图3 D．图42．在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（）种不同的选法。
A．4 B．5 C．6 D．73．（）的四边形肯定是平行四边形。
A．有一组对边平行B．只有一组对边平行 C．两组对边分别平行 D．有一个角是直角4．可以用下面这样的图来表示我们生疏的四边形之间的关系。
图中A表示的图形是（）。
A．三角形B．正方形C．平行四边形D．梯形5．下列叙述中，不正确的是（）。
A．平行四边形是特殊的梯形。
B．已知4小时走的路程，可以求速度。
C．大于90°，小于180°的角叫钝角。
二、填空题6．如图中一共有( )梯形，( )个平行四边形。
7．下图中：( )和( )是相互平行的街道。
( )和( )是相互垂直的街道。
8．( )的梯形叫做等腰梯形。
( )的梯形叫做直角梯形。
9．从平行四边形一条边上的一点向对边引一条( )，这点和( )之间的线段叫做平行四边形的高，( )所在的边叫做平行四边形的底。
10．平行四边形的( )组对边分别平行；两条平行线之间的距离( )。
【力量提升】三、作图题11．在下面点子图上画一个平行四边形，并画出它的一条高，标出这条高对应的底；再画一个等腰梯形，画出它的高，并标出它们的上底、下底、高和腰。
四、解答题12．画一画，量一量。
（1）画出下面平行四边形指定底边上的一条高，把它分一个三角形和一个梯形。
（2）这条底边上的高长是（）毫米。
13．下面的图形中有几个梯形？把它们写出来。
【拓展实践】14．小雅画了一个平行四边形，不当心擦掉了两条边，只剩下一个角（如下图）：（1）这个角的度数为（）。
（2）请把这个平行四边形补充完整。
（3）过点A画这个平行四边形的高。
人教版三年级数学上册第七单元素养评价课时分层作业设计长方形与正方形
第七单元长方形和正方形单元评价导语亲爱的同学们，这个单元我们将走进图形的世界，去探索常见的长方形和正方形当中所隐藏的数学奥秘！看看它们身上藏着哪些与我们生活息息相关的知识，这些知识又能解决生活中的哪些问题呢？带上你善于发现的眼睛，通过想象、动手操作与思考，一起感受图形的特征和它们之间的联系吧！单元知识结构单元评价目标050701能从边和角的角度说出四边形、长方形和正方形的特征，根据特征辨认出四边形。
几何直观理解050702能找出四边形、长方形、正方形之间的共性与区别，并用集合图的方式表示出它们之间的包含关系。
几何直观空间观念理解050703理解周长的含义，经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，直观感受三角形的周长。
空间观念理解掌握050704能通过测量计算出三角形、长方形和正方形等多边形的周长。
应用意识掌握050705通运用周长的知识，解决简单的实际问题，形成初步的应用意识。
空间观念应用意识应用050706能通过量、画、拼等操作活动，积累操作的经验，综合运用知识解决较复杂的问题，进一步巩固知识。
几何直观模型意识应用050707能整理单元所学内容，自主构建知识网络。
创新意识分析单元评价内容认识四边形★基础素养★【题1】穿过图形迷宫：小思要穿过迷宫找到小维，要求经过的路必须都有四边形。
穿过迷宫的方法：四边形有4条（）和（）个角。
【题2】创造四边形：同学们，点子图上可以创造出各种各样不同的四边形，小思维和小维在点子图上画了不同的四边形呢！属性分析表目标序号050701核心素养几何直观（水平一）认知维度理解预估难度易预估时长2分钟设计方式改编设计意图在游戏中能根据四边形的特征（四边形有4条直边和4个角），辨认出四边形，需要辨认的图形中有不常见的四边形，主要想通过变式的方式考查学生是否能抓住四边形关键的组成元素来判断。
1.（1）他们画的都是四边形吗？为什么？（请写出判断的理由）（2）小思画的图中有我们一年级就认识的长方形和正方形，它们与四边形有什么关系呢？把它们的名称填在集合圈中合适的位置吗?2.在下面的点子图上再画几个不同形状的四边形。
双减背景下小学四年级数学分层作业设计
双减背景下小学四年级数学分层作业设计摘要：在小学四年级数学学习中，数学作业的设计是教师进行数学教学的重要环节，同时学生的数学作业对于回顾数学知识点、加深对知识的理解、提高学生的数学思维有至关重要的意义和作用。
在当前双减政策的教育背景下，数学教师必须高度重视小学数学的作业设计，不能采用一刀切的作业设计方法，根据学生不同的理解能力和学习能力，精简课后数学作业，提质减量，着眼于调动学生学习数学的积极性和主动性，满足学生小学数学的基础和发展需求。
关键词：双减；小学四年级；数学作业；分层设计双减政策的大背景下，数学小学教学的教学质量被提出了更高的要求，要求小学数学的教学树立以学生为本的教学理念，从学生学习数学的心理和能力出发，减少课业负担，提高教学质量，培养学生的数学综合素质。
小学数学新课程标准明确强调，针对中年级数学教学中的作业设计和管理中存在的问题，教师需要在优化完善的理念指导下有效设计并管理分层作业，提升作业设计的科学性、针对性和有效性，满足各层次学生个性化的学习需求。
一、小学四年级数学分层作业设计的意义当前素质教育的大背景下，学校强调学生的综合素质培养，充分发掘学生的长处，进行多样化、个性化的教学手段，关注学生之间的个体水平差异，确立学生学习主体地位，根据学生日常学习生活中的表现了解并分析学生的逻辑思维水平以及认知水平，将学生的作业分成几个层次和区间，使每个学生根据自己的学习能力和学习情况完成针对性的学习目标，提升学生的数学能力[1]。
此外教师通过分层教学可以将日常教学活动中遇到的教学疑点和难点进行细分，依据教学改革政策逐步完善课堂。
二、小学四年级数学分层作业设计中存在的问题在实际教学活动中，教师的作业设计内容往往是书本课后习题以及发放习题册上的例题，有些教师会在日常教学过程中为学生经典习题册当中的经典例题，或者每年各地的期末考试题以及小升初涉及到的四年级数学典型题目，教师往往没有自行设计题目的意愿。
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1.如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长．2．如图，在 ABCD中，AC⊥AB，AB=6，BC=10，求：（1）AB与CD的距离；（2）AD与BC的距离．3中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以点F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并证明它和图中已有的某一线段相等（只需证明一组线段相等即可）．（1）连结_________．（2）猜想：________=_________．（3）证明：4.如图，在 ABCD中，AD⊥DB，AC与BD相交于点O，OD=1，∠CAD=30°，求AC和DC的长．5．已知：如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD•的延长线于点E，F，求证：AE=CF．1、如图，在□ABCD中，AB=AC，若□ABCD的周长为38 cm，△ABC的周长比□ABCD的周长少10 cm，求□ABCD的一组邻边的长.2、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC和AD的长.3、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.4、如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？1．已知：如图，□ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE=BF 。
求证：EAFC 是平行四边形。
2．已知，如图，在△ABC 中，E 、F 两点在AB 边上，AE=BF ，HE ∥CA ∥GF ，H 、G 两点在BC 边上，试问线段EH 、FG 、AC 之间有什么关系，试证明你的结论。
3．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，且OA=OC ，AB ∥DC ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。
4．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AO=OC ，BA ⊥AC ，DC ⊥AC 。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
ACBDC BFEAH G1 、 如图，在 ABCD 中，AE=CG ，求证：GF=HE 。
2、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 和∠BCD 的平分线分别交DC 、BA 的延长线于点F 、E 。
求证：AF=CE 。
3、 如图， ABCD ，AE 、CF 分别与直线DB 相交于E 和F ，且AE//CF ，求证：CE//AF 。
4、如图，E 、F 分别为口ABCD 的边AD 、BC 的中点。
求证：（1）BE=DF ；（2）O 为GH 的中点。
ABCDEFHAFCE DBA BCFD GH EO1.如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，且∠AOD=120°，你能说明 AC=2AB 吗?2、如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE=2∠BAE ，求∠BAE 与∠DAE 的度数。
3、如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EC 平分∠BED 。
（1）△BEC 是否为等腰三角形？为什么？（2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC 的长4、如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，∠DCE ：∠BCE=3：1，且M 为OC 的中点，试说明：ME ⊥ACDACA B1、如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．2、如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE•是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？3、已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．4、如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．1．如图所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．2．如图所示，在菱形OABC中，∠ABO=30°，O是坐标原点，点A在x•轴的负半轴上，求菱形OABC各顶点的坐标．3．如图所示，在菱形ABCD中，已知E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE，• 求证：BE=AF．4．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=108°，请将此菱形分割成四个等腰三角形．说明：（1）工具不限；（2）标出所画三角形的内角的度数；（3）用尽可能多的方法分割此菱形；（4）若有一条分割线不同，就是不同的分割方法．12．如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，CO=2，BD=2．（1）直线AC与BD垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点A，D作AE∥BD，DE∥AC交于点E，求证：四边形AODE是菱形．14．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC，AC分别交于E，F，O，求证：四边形AFCE是菱形．【综合提高】15．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在直线AB上，且AE=AB=•BF，•连结CE，DF 分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：四边形DMNC是平行四边形；（2）若要使四边形DMNC为菱形，则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之．1、已知：如图正方形ABCD ，延长BC 到E ，在CD 上截取CF=CE ，延长BF 交DE 于G 。
求证：BG ⊥DE 。
2、如图已知：正方形ABCD 中，F 是AC 上一点，FC=BC ，EF ⊥AC 交AB 于E 。
求证：AF=EB 。
3、如图，正方形ABCD 的对角线BD 上截取BE=BC ，P 为EC 上一点，PQ ⊥BC ，PR ⊥BE ，求证：PQ+PR=21BD 。
4、如图已知：AM 是⊿ABC 的中线，分别以AB ，AC 为边向⊿ABC 外作正方形ABEF 、ACGH ，连结FH ，求证：FH=2AM 。
G1、判断下列说法是否正确（1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 (6)四边相等，有一角是直角的四边形是正方形2、在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在各边上，且AE=BF=CG=DH ．四边形EFGH 是正方形吗?为什么?3.已知:如图,△ABC 中.∠ABC=90°,BD 是角平分线,DE ⊥AB,DF ⊥BC,垂足分别是E 、F.试说明：四边形DEBF 是正方形.4、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，四个角的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，试说明四边形EFGH 是正方形。
ＡＢＥＦ ＨFA BC D E1、已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠B=60°，AD=15cm，BC=49cm，如图，求它的腰长。
2、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数。
3在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求梯形的面积。
4、1、如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线。
求证：四边形EBCD是等腰梯形。
2、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，如图，求证：AB=DC。
3、如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．4、已知一等腰梯形的两条对角线互相垂直，上底为11.下底为19.求等腰梯形的面积。
四边形复习课1．在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，DE ⊥BC 于点E ，且DE ＝OC ，OD ＝2，则AC ＝ ．2．如图，正方形OMNP 的一个顶点与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，且正方形ABCD 、OMNP 的边长都是acm ，则图中重合部分的面积是 cm 2．第5题图第4题图第3题图第2题图C'ABCDEMABCDM NB3.如图，设M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于点P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是 .4.如图，M 为边长为2的正方形ABCD 对角线上一动点，E 为AD 中点，则AM +EM 的最小值为 .5.边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30 o 到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为 .6.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝8cm ，BD ＝8cm ，则此梯形的高为 cm第6题图第9题图第8题图第7题图AB CD EABCDABCDEFDCBAN MPG7.如图，正方形ABCD的对角线长E 为AB 上一点，若EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BD于G ，则EF ＋EG ＝ ．8.如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD =1，∠B =60°，•直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC +PD 的最小值为________． 9.如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值是 ． 10.菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为______，面积为_______．11.如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是___________度． 12. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ．C =∠90 o ，且AB =AD ．连结BD ，过A 点作BD 的垂线，交BC 于E ．如果EC =3cm ，CD =4cm ，那么，梯形ABCD 的面积是_______________cm 2．A B CDE13.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，垂足分别为E 、F ；连结AE 、CF ，得四边形AFCE ，求证：AFCE 是平行四边形.14. □ABCD 中，AE 、CF 、BF 、DE 分别为四个内角平分线，求证：EGFH 是矩形.HG F EDC BA15. 如图，∠BAC =90 o ，BF 平分∠ABC 交AC 于F ，EF ⊥BC 于E ，AD ⊥BC 于D ，交BF 于G ．求证：四边形AGEF 为菱形．ABCDEFG16. 如图（1），在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，E 为AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，且交∠CBE 的平分线于点N ．（1）DM 与MN 相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M 为AB 的中点”改为“M 为AB 上任意一点”，其余条件不变，如图2，则DM 与MN 相等吗？为什么？AB CDEMN图1NMEDCB A图2OFED C B A17. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF =CF ，DC +CE =AE ，求证：AF 平分∠DAE .ABCD EF18.如图，AB =CD ，BA 、CD 延长线交于点O ，且M 、N 分别为BD 、AC 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 求证：OE =OF .20题图A BCDEFMNO19.△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD =BF ，以AD •为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF =30°？•证明你的结论．ABCDEF。