2.2一元二次方程的解法4
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法教学设计
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第2章《一元二次方程》的2.2节《一元二次方程的解法》是本章的重要内容。
本节内容通过介绍一元二次方程的解法，使学生能够灵活运用各种方法解一元二次方程，为后续学习二元一次方程组、不等式组等知识打下基础。
本节课的内容包括：一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）、解的判断（判别式）、方程的根与系数的关系等。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了方程与不等式的基础知识，对一元一次方程的解法有了一定的了解。
但一元二次方程的解法相对复杂，需要学生能够灵活运用数学知识，找到解决问题的方法。
此外，学生需要掌握一元二次方程的判别式，以判断方程的解的情况。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法（公式法、因式分解法），能够灵活运用各种方法解一元二次方程。
2.过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）。
2.难点：判别式的计算及应用，方程的根与系数的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.讲授法：讲解一元二次方程的解法，引导学生思考，解答学生的疑问。
3.小组合作学习：分组讨论，培养学生的团队合作意识，提高学生的沟通能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对一元二次方程解法的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的解法及实例。
2.练习题：准备不同类型的一元二次方程题目，以便进行课堂练习。
3.黑板：准备好黑板，以便进行板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
如：某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.2一元二次不等式的解法
刹车距离
在交通繁忙的路段,交通管理部门出于车辆安全和畅通的考 虑,对汽车的行驶速度有一定的限制,超速行驶被视为违规.因 为汽车在遇到紧急情况时,即使司机马上刹车,但由于惯性的作 用,刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下.这段 距离叫做刹车距离.车速越快,刹车距离越长.
代数方法： x 2x 1 0
x x
2 0••••
1 0
或
x 2 0 x 1 0
x 2
x 2
x 1
或
x 1
原不等式的解集是： •x | 1 x 2
想一想
y x2 x 2
x2 x 2 0
甲乙两辆汽车相向而行,在一个弯道上相遇,弯道限制 车速在40km/h以内,由于突发情况,两车相撞了,交警在现 场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m,乙车的刹车距离 刚刚超过10m,又知两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h) 之间分别有以下函数关系:
S甲=0.01x2+0.1x
S乙=0.005x2+0.05x
2.解对应的方程。
3.画出相应函数的简图，根据图象确定所求不等 式的解集。
练习:
求下列不等式的解集 (1) x2-5x+6<0
(2)x2-x+2<0
(3) 3x2-x-4>0
(4)9x2-6x+1≤0
(5) -6x2-x+2<0
(6)2x2+4x>-3
小结
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数的相互关系及其解法：
的解集是 R,求实数k的取值范围.
例3.写出一个一元二次不等式，使它的解
新浙教版八年级上册数学第二章2.2___一元二次方程的解法
复习旧知 1 用因式分解法解方程x2－4=0。
2 若将方程先移项，得：x2=4。你能直接得到该 方程的解吗？其解是什么？
2.2 一元二次方程的解法
讲解新课 1.了解直接开平方法解一元二次方程的概念。 将方程：x2－4=0，先移项，得：x2=4。 因此，x=± 2即，x1=2，x2=－2。 这种解某些一元二次方程的方法叫做开平方的是一次项系数一半的平方.
2.2 一元二次方程的解法
例2 用配方法解下列一元二次方程 (1) x2+6x=1 (2) x2=6+5x
配方的步骤：
若-4c+b2≥0,就可以用因式分解法或开平方法解出方程的根。
2.2 一元二次方程的解法
小结 1．一元二次方程的求根公式.（公式成立的条件） 2．公式法解一元二次方程的基本步骤
2.2 一元二次方程的解法
配方法的概念：把一个一元二次方程左边配成 一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用 开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法。
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋ 4 )2 (2)x2－12x＋ 36 =(x－6 )2 (3)x2 +
25 5 5x＋ =(x + 4 2
2. 初步掌握直接开平方法解一元二次方程。 用直接开平方法解下列方程： 1）x2－144=0； 2）x2－3=0； 3）x2+16=0； 4）x2=0。
例1 用开平方法解下列方程:
(1) 3x2－48=0 (2) (2x－3)2=7
2.2 一元二次方程的解法
合作学习 1) 想一想：你能用直接开平方法解方程x2-10x=16吗？ 2) 你能将方程转化x2-10x=-16为(x+a)2=b的形式 吗? 3) 请与同伴尝试解这个方程。
一元二次方程的解法(4)
温馨提示：此材料是教师讲课的教案，学生学习的学案，上课时的笔记，课后的复习资料，请同学们装订保管。
发给同学们后请通过研读课本资料，并在同学和老师帮助下完成，并达到能讲的水平。
一元二次方程的解法（4）教学案一、学习目标：经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；会用公式法解简单系数的一元二次方程。
（学生课后体会）二、重难点：求根公式的推导和公式法的应用；一元二次方程求根公式法的推导．（学生课后检测是否到达要求）三、课前预习：阅读教材第26---27页（学生自行安排时间）四、教学准备：多媒体课件五、学习过程（一）、创设情景导入新课你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?（二）、讨论问题（1）用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)（2）求根公式是什么（3）公式法：（4）（练习）填空：1.方程3x2+5x-2=0 a= ，b= ，c = . b2_4ac=2.方程(2x-1)2-4=0 a= ，b= ，c = . b2_4ac=（三）、例题讲解例1、解下列方程：1、2x2+x-6=02、x2+4x=23、5x2-4x-12=04、4x2+4x+10=1-8x练习课本第28页，(四)、总结用公式法解一元二次方程的步骤。
你能用公式法解方程2x2-9x+8=0 吗?（五）、课堂测试用公式法解下列方程♦1). 2x2＋x－6＝0；♦2). x2＋4x＝2；♦3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;♦4). 4x2+4x+10 =1-8x ；♦5). x2－6x＋1＝0 ；♦6). 2x2－x＝6 ；♦7). 4x2- 3x - 1=x - 2；♦8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1);♦9). 9x2+6x+1 =0 ；♦10). 16x2+8x=3 ；（六）、大家都来说：我学了————————我学会了———————我还有待加强—————作业课本第31页第2题的（3）--（6）同学们请复习一元二次方程的解法。
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
2.2一元二次不等式的解法
例4.设a R,解关于x的不等式 x2 a 1x a 0.
练习：
1.解下列不等式：
19x2 6x 1 0; 24x x2 5 32x2 x 1 0 44x x2 4
2.1若不等式ax2 bx 3 0的解集为－1，3，求a,b. 2若不等式ax2 bx 2 0的解集为－ 1 ，1 ，求a b.
一元二次不等式的解法
2007.12
问题思考： 1.什么叫一元一次不等式？什么叫一元一次不等式组？ 怎样解一元一次不等式？ 2.什么叫一元二次不等式？怎样解一元二次不等式？
方程ax2 bx c 0(a 0)的根的判别
函数y ax2 bx c(a 0)的图像
不等式ax2 bx c 0的解集
范例解析： 例1：求下列不等式的解集：
12x2 3x 2 0 2x2 x 1 0
3 3x2 x 1 0
例2.写出一个一元二次不等式，使得它的解集为：
1 1,3
2 , 1 1 ,
2 3
例3.当k为何值时，关于x的一元二次不等式
2 3
3若不等式x2 ax b 0的解集为2,5,解不等式
bx2 ax 1 0.
4若不等式ax2 bx c 0的解集为 ,2 1 ,,
2 求不等式ax2 bx c 0的解集。
3.解下列不等式组：
1
x x
2 2 2
x
3
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x2
3x
4x 12 2 4x 4
2.2 一元二次方程解法复习-
①
( x 2) 9
2
②
t 4t 5
2
2 2
③
9(2m 3) 4(2m 5) 0
选择适当的方法解下列方程: 16 2 2 1 x 1 2 5x 2x 25 2 2 2 3 3x 1 4x 4 (x 2) 9x
选择适当的方法解下列方程:
2 2
1 3x 9x 2 (x 3) 25 0 2 2 2 3 4x (x 1) 4 2x x 6 2 2 5 x - x 1 0 6 x 4x - 5 0 2 2 7 2x 2 2x 1 8 2x 7x - 3 0 2 9 3(x 2) x(x 2) 2 10 (x 2) 3(x 2) 0
2 (5) x 2 x 99990
例2. 解方程
① (x+1)(x-1)=2x ② 2(x-2)2+5(x-2)=0 ③ (2m+3)2=2(4m+7)
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，
若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选 取合理的方法。
选择适当的方法解下列方程:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
2 4(x＋1)
=
2 (2x－5)
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
例1.选择适当的方法解下列方程：
你学过一元二次方程的哪些解法?
2.2一元二次方程的解法(提公因式)
extraction）。它的基本步骤是：
1.若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
2、将方程的左边分解因式； 3、根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程。
简记歌诀：
右化零 左分解 两因式 各求解
试做 课内练习（4）（5）（6）
例3 解方程 x 2 2 x 2
2
解 移项，得 x 2 2 x 2 0
2
即 x 2 2x ( 2) 0
2 2
∴ ( x 2) 0
2
∴ x 1= x 2=
2
练习2：用因式分解的方法解下列方程：
x 2 3x 3;
2
试做课内练习（3）
请利用因式分解解下列方程： （1）x2－3x＝0;
解：（1）x（x-3）=0 ∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0， x2=3
(2)
25x2=16
（2）25x2-16=0 （5x+4）（5x-4）=0
∴ 5x+4=0或5x-4=0
∴ 5x=-4或5x=4
∴x1=-0.8， x2=0.8
试做：P31 课内练习 （1）--（2）
1、一元二次方程的定义
②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次
2、一元二次方程的一般式：
ax bx c 0 （a≠0）
2
3、一元二次方程的根的含义
D 请选择： 若A· B=0则
（
）
（A）A=0； （B）B=0； （C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0 你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗?