概率论期末复习4

⑸ 若 固定, 因f ( x )的最大值为 f ( )
说明X在 附近取值越分散；
当 越小时， y f ( x ) 图形越陡 ,
X 在 附近取值越集中。
f (x)
1 2
0
1
x
说明：
(1) 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的． 如: 零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的 产量；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号 噪声等等， 都服从或近似服从正态分布. (2) 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
( x )
其中 ， 0 为参数，
则称X服从参数为 µ ,σ 2的正态分布。
f (x)
记作：X ~ N ( , )
2
0
x
标准正态分布
若 0， 1，则称 N (0,1)为标准正态分布．
标准正态分布的密度函 数为
( x)
关键：将Y的取值范围转化为X的取值范围
例4 设随机变量具有概率密度 e x , x 0 f ( x ) 求 = -3 + 1 的概率密度。 0 , x 0
解：(1) 先求 = -3 + 1 的分布函数F (y)：
1 y ) F ( y ) 1 F ( 3
一般正态分布的概率计算 ——化为标准正态分布函数
设X ~ N ( , ) , F ( x )
2
作变换 y
t
1 2

e
x
t 2
2 2
dt

x
，则 dt dy，代入得
F ( x)


1 e 2
y2 2
dy (
x

P{ X x } ( x )
1 2

e
x
t2 2
dt
查标准正态分布函数值表
对于x 0, 可直接查表求出
( x ) PX x
如果x 0，可利用下述公式求得 :
( x)
( x ) 1 ( x )
-x 0 x x
例1 设随机变量X ~ N 0， 1 ，试求：
我们求Y g( X ) 的密度函数 fY ( y )． 随机变量．
解题思路 ⑴．先求Y g( X ) 的分布函数
FY ( y ) PY y Pg( X ) y
g ( x ) y
f
X
( x )dx
⑵．利用Y g( X )的分布函数与密度函数 之间的 关系求Y g( X )的密度函数 fY ( y ) FY ( y )
⑵ 由 f ( y ) F( y )得 f ( y ) 1 f ( 1 y ) 3 3 y 1 y 1 1 y 而f ( ) e 3 ， 0， 1 3 3 1 y3 0, 1 y 0， y 1 e ，y 1, 故f ( y ) 3 e 3 ，y 1, 3
1 e 2
x2 2
x
(x)
0
x
可以验证密度函数满足基本性质：

f ( x )dx
1 2


e

( x )2 2 2
dx 1
作变换：u
x

， 则 du
dx

1 x 2
k 1

1 2k 1 3 k 1 2

或用分布律的性质计算：
2 P Y 1 1 P Y 1 3
所以Y的分布律为：
1 Y -1 pk 2/3 1/3
二、连续型随机变量函数的分布
设 X 是一连续型随机变量， 其密度函数为f X ( x )，
再设Y g( X ) 是 X 的函数，我们假定 Y 也是连续型
正态分布的概率计算 — 借助于分布函数
如果随机变量X ~ N (0 ,1) ，则其密度函数为
1 e 2
x2 2
( x)
其分布函数为
,

( x ) ( t )dt

x
1 2

e
x
t2 2
dt
x
x
随机变量Y 2 X 3 ，试求Y 的分布律．
解: 由于随机变量Y 的取值各不相同, 故所求分布律为
Y -9 -5 -3 15 pk 0.02 0.31 0.23 0.44
2.
若y1 , y2 ,, yn ,中有相同的项 , 则把
这些相同的项合并 (看作是一项 )，并把相应的 概率相加，即可得随机 变量Y g( X ) 的分布律.
服从参数为1/2000 的指数分布。 （1）求机器无故障工作时间在1000小时以上的概率； （2）如果某机器已经无故障工作了500小时，求它能 继续无故障工作1000小时的概率。 一般，若X服从指数分布，则对任意 t 0 , s 0 , 有
P{ X s t X s} P{ X t }与s无关。 无记忆性
2
则有
1 2


e

x 2
2 2
dx
1 2
e
dx


1 2
e
u2 2
du 1
正态分布密度函数的图形特征
对于正态分布的密度函 数 f ( x) 1 e 2
x 2
2 2
x
⑴．曲线关于直线 x 对称
⑴．P 1 X 2 ；⑵．P 1 X 2 ．
解：⑴．P1 X 2 2 1
0.97725 0.84134 0.13591
⑵．P 1 X 2 2 1
2 1 1
0.97725 1 0.84134 0.81859
(1) P{ ≤ x} =0.67, (2) P{ < x} =0.0099
解：⑴ P x ( x 200 ) =0.67
x 200 0.44 , x = 204.4 10 x 200 (2) P{ < x} = ( ) =0.0099， 10 x = 176.7 x 200 x 200 ( ) 0.9901 2.33 10 10 10
P X xn pn
或
n 1,
2,
X
P
x1
x2
p2
， xn ， p n

p1
Y是X 的函数： Y g( X )，则Y也是离散型随机变 量，它的取值为
y1 ， y2 ， ， yn ，
其中 yn g( xn ) ( n 1， 2， )
1. 如果 y1 ， y2 ， ， yn ，
两两不相同，则由
P Y yn PX xn
可知随机变量 Y 的分布律为
n 1， 2，
2,
PY yn pn
或
n 1,
y2 p2
，
Y
P
y1 p1
yn

，
pn

例1
设离散型随机变量X 的分布律为 -1 0 9 X -3 pk 0.02 0.31 0.23 0.44
例2 设随机变量 X 具有以下的分布律，试求
Y = (X-1)2 的分布律.
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 的所有可能取值为 0，1，4. 且 {Y=0} 对应于{X=1}
所以 P{Y=0}=P{X=1} =0.1
例2（续）
Y=(X-1)2
1 2 X -1 0 p k 0 . 2 0 .3 0 .1 0 .4
e x 如果R.V. X 的密度函数为 f ( x ) 0 其中 0为常数，
则称随机变量 X服从参数为 的指数分布．
2．指数分布
x0 x0
容易验证密度函数的两条性质：
⑴．对任意x，有 f ( x ) 0 ；
易求得分布函数为
x0 x0
⑵． f ( x )dx 1．
它服从二项分布B(3, p) , 即Y ～B(3, p)
所以 P{Y 1} 1 P{Y 1} 1 P{Y 0}
1 C (1 e
0 3

1 3 0
) (e

1 3 3
) 1 e
1
3．正态分布
如果随机变量X的概率密度为
f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
曲线 y f ( x )以Ox轴为渐近线．
⑷．若 固定，而改变 的值，则 f ( x )的图形 沿 x 轴平行移动，但其形状 不变．
因此 y f ( x )图形的位置完全由参数 所确定．
f (x)
1 2


0
1
x
1 2 所以当越大时， y f ( x )的图形越平坦，
0， y 1
Y g ( X ) , 则Y 设 X 是一随机变量， Y 是 X 的函数，
也是一个 R.V , 当 X 取值 x 时，Y 取值 y g( x )
本节的任务是：
已知随机变量X 的分布，并且已知 Y g( X )， 要求随机变量 Y 的分布．
一、离散型随机变量函数的分布
设 X 是离散型随机变量，其 分布律为
例4、某地区抽样调查结果表明，考生外语成绩(百
分制)近似服从正态分布，平均成绩 =72, 96分以
上占考生总数2.3%，求考生 (1) 外语成绩在80分以上的概率; (2) 外语成绩在60～84分的概率; (3) 不及格的概率.