河南省郑州市四十七中2012届高三第一次月考数学理试题

郑州市第四十七中学高三第一次月考试题数 学（理科） 2011.9数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 复数31ii--等于 （） A ．i 21+ B.12i - C.2i - D.2i +2.集合2{|},{| 1.},A x y x R B y y x x R==∈==-∈则A B ＝（ ）A. {(B.φC. {|1z z -≤≤D. {|0z z ≤≤ 3.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为（ ） A. x+y －2=0B. x －y=0C.x+4y －5=0D. x －4y －5=04.⎰-+22)cos 1(ππdx x 等于（ ）A. πB. π+2C. π-2D. 25.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若a ,b 是N 中的两不同元素,则a +b 的最小值为0”的逆否命题是假命题．B. “x =－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件．C. 命题“∃x ∈R”使得“x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有“x 2+x+1＞0”．D. 命题“若－a ∉N ，则a ∈N”的否命题是真命题．6．高三（1）班要从3名男生，3名女生中选出3人分别担任数学、物理、化学课代表，要求至少有一名女生，则不同的选派方案有（ ）种。

A ．54B ．114C ．19D ．180a <b ，则必有( )A ．af (b )＜bf (a )B ．bf (a ) ＜af (b)C ．af (a )＜bf (b )D ．bf (b ) ＜a f (a )8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=)0)(1lg()0()21(2)(x x x x f x ，若1)(0<x f ，则0x 的取值范围是 （ ）A ．(]()+∞⋃-∞-,91,B ．)9,(-∞C ． [)9,1-D ． [)0,1-9．定义在R 上的函数)(x f 满足0)()2(<'+x f x ，又)3(l o g 21f a =，))31((3.0f b =，)3(ln f c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<10．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是( )11、设函数()sin f x x x =⋅，若12,[,]22x x ππ∈-，且12()()f x f x >，则下列不等式恒成立的是（ ）A 、12x x >B 、12x x <C 、120x x +>D 、2212x x >12.给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数。

以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是（ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()x f x xe -=- C ．3()21f x x x =-+- D ．()ln 2f x x x =-二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13．16()2x x-的二项展开式中第4项是 ． 14. 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=______.15．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______16．已知二元函数),(y x f 满足下列关系： ①x x x f =),(②),(),(y x kf ky kx f =（k 为非零常数） ③),(),(),(21212211y y x x f y x f y x f ++=+④)32,(),(yx y f y x f +=则),(y x f 关于y x ,的解析式为=),(y x f ．三解答题(共6小题,共70分)解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上． 17．（本小题满分12分）给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18、（本题满分12分）某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2 ，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润． （Ⅰ）求上表中a ，b 的值；（Ⅱ）求η的分布列及数学期望E η．19．（本小题满分12分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． （1）求该月需用去的运费和保管费的总费用();f x（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 20．（本小题12分）已知函数()ln af x x x=+． ⑴讨论函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln .1a x f x x x -=-+ （1）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围；（2）设,,,:.ln ln 2m n m nm n m n m n +-+∈≠<-R 且求证22．（本小题满分10分） 设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式()2f x >；（2）求函数()y f x =的最小值．郑州四十七中第一次月考理科数学答案 1-12 D C A B B A A C D A D B13． 470T x =-14. 12-15．（0，1） 16．y x 5352+ 17．（本小题满分10分）解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔00a a 或40<≤⇔a ；………………………………………………2分关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；……………4分 如果p 正确，且q 不正确，有44141,40<<∴><≤a a a 且；……………6分 如果q 正确，且p 不正确，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或．…………8分所以实数a 的取值范围为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-4,410, ……………………………………10分18、（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由202.0100==a a得 ∵40+20+a+10+b=100 ∴b=10 …………4分 （Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得2.0)3(,2.010020)2(,4.010040)1(========ξξξP P P 1.010010)5(,1,010010)4(======ξξP P …………8分η 的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）2.01.01.0)5()4()2(4.0)3()2()5.1(4.0)1()1(=+==+=====+=======ξξηξξηξηP P P P P P P P …………………..10分η的分布列为η 的数学期望4.12.024.05.14.01=⨯+⨯+⨯=ηE （万元）…………12分19．解：（1）设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36x批，每批价值为20x 元，由题意 ()420f x k x x=⋅+⋅ ………………………………………………4分 由 4x =时，52y = 得 161805k == ………………………………………………6分 *144()4(036,)f x x x x x∴=+<≤∈N ……………………………………………8分 （2）由（1）知*144()4(036,)f x x x x x=+<≤∈N()48f x ∴≥（元） ………………………………………………10分 当且仅当1444x x=，即6x =时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．………………………………………12分21．解：（I ）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+ 2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++因为()(0,)f x +∞在上为单调增函数， 所以()0(0,)f x '≥+∞在上恒成立.2(22)10(0,).(0,),(22)10,122.1(),(0,).1() 2.1,1,() 2.x a x x x a x a x x g x x x x g x x x x x g x x+-+≥+∞∈+∞+-+≥-≤+=+∈+∞=+≥===即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值 22 2.2.a a -≤≤所以所以所以a 的取值范围是(,2].-∞,ln ln 211,2ln m n m nm n m m n n m n -+<--+<要证只需证即证2(1)ln .1m m n m n n ->+只需证2(1)ln 0.1m m n m n n -->+2(1)()ln .1x h x x x -=-+设由（I ）知()(1,)h x +∞在上是单调增函数，又1mn>，()(1)0.2(1)ln 0.1mh h nm mn m nn >=-->+所以即成立 所以.ln ln 2m n m nm n -+<-22．选修4—5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式()2f x >；（2）求函数()y f x =的最小值．22．解：（1）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，． (5)（2）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-………………．．10分。