数学中的创新思维——代数问题几何化
“高等数学”教学中数学思维与创新能力的培养
生带来 不同的心理感受 ，巧妙 地利用空间距 离的变化调节学生
［ 朱开炎 生本教育的生态课 堂教学模式［］ ３ ］ Ｊ． 课程 ・ 材 ・ 教 教
的心理 与注 意力。总之，语言 和非语言 交流能力是高校教师 需 法 ，０４（） １ ２０， ： ． ５ ２
要在教学生涯 中长期修炼的基本 功。 参考文献 ： 【吴鼎福， 教育生态学［］ １ 】 等． Ｍ． 江苏教育出版社，０ ０ 南京： ２０ ． 【】 ２沈双一 ， 课堂教学生态系统新概念刍议【】历史教学问 等． Ｊ．
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ＤＯＩ 码 ：１ ．９ ９ｊｉｓ １０ —０ ７ ．０ ０２ ０ １ 编 ０３ ６ ／．ｓｎ．０ ７ ０ ９ ２ １ ．４．４
高等数学’教学中 学思维与创新能力的培养 ’ 数
杨 雯靖
摘要 ： 高等数学”是高等院校理工科专业的重要基础课 程，其教学的核心在于培养学生的数学思维方法和创新能力。针对当前存 “
２０ ８ （） －］４ ０ ２： ５ ２ １ ２
，
（ 责任编辑： 赵赘）
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中国电力教育 ＣＥ Ｅ Ｐ
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三 突出数学思想方法的教学
数学 知识和 数学思想方 法是 数学创新 能力的基 础和源 泉 ， 念 、定理和 解题 过程之中。教师 可 以在教学 中展 示数 学思想 以
等数学 ”所传播 的基本概 念与方 法、蕴涵 的数学思想以及由数 思维、发散思 维和 求异思维等。数学 教学可以通 过是非判断和 学思想培养起来的思维能力和素养 ，将 会使学生终生受益 。
一
当前 “ 高等数学 ”教 学中存在的主要问题
当前的高等数学教 材基本上是一个严格 的演绎体系，表现 反例法等形式展开。 同时，教师要 教会学生要 善于挖掘题 目中
构造几何图形解决代数问题 (1)
构造几何图形解决代数问题摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。
数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。
关键词 数形结合 解题 以形助数 教学1.“以形助数”的思想应用1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。
分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。
如下图，由图我们不难得出AB=[0,3]例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,15530812x x x x --=-+-=-⇒=故。
B=[-2,3] A=[0,4]评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。
1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
例:（2009山东理）若函数()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >0<a<1a>1例:若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，求()0f x <的x 的取值范围。
数学四大思想
数学思想方法数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。
通常混称为“数学思想方法”。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
浅谈构造法解题在高中数学竞赛中的应用_3
浅谈构造法解题在高中数学竞赛中的应用苏 传 忠在数学竞赛辅导过程中，需要长期给学生进行有针对性的数学思想方法的训练。
其中构造法解题的思想，就是一种值得推广的解题思想方法。
通过构造，可以建立起各种数学知识之间的联系与相互转化，让学生在熟练掌握各种数学知识的前提下交互使用，融会贯通。
一、构造几何模型，使代数问题几何化。
代数运算虽然直接，但有时会比较抽象且运算复杂，构造合乎要求的几何图形，可以是所求解的问题变得直观明朗，从而找到一个全新的接替办法。
例一，设a 为实数，证明：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形，且三角形的面积为定值。
分析：从题目给出的三个根式我们知道，当实数a 去互为相反的两数时，只是其中两式角色互换，实质一样，故只需争对非负实数a 展开讨论即可。
()()︒⨯⨯⨯-+=++︒⨯⨯⨯-+=+-+=+120cos 121160cos 12113234222222222a a a a a a a a a a 构造合乎要求的几何图形如图所示：︒=∠︒=∠======120601CBE DAB CD BE AB a BC DF AD于是：()()3432,3,2222+=+===a a EF AE a AF1120cos 121,1,160cos 121,1,222222++=︒⨯⨯⨯-+===+-=︒⨯⨯⨯-+====a a a a CE BE a BC a a a a DB FC AB a AD所以：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形，即ECF ∆。
则：AEF AECF ECF S S S ∆∆-=433221120sin 121120sin 112160sin 12133=⨯⨯-︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯⨯⨯=-++=∆∆∆∆a a a S S S S AEFBCE ABE ABD 二、构造方程模型，使几何问题代数化。
代数问题几何化的几种途径
与 已 知 不 相容 故对0 <
助图形
AC AB
=
.
a
<
1,
O咬 b <
如 J 构 作如 图 的 辅
其 中直 径
AD
= a
,
l
,
一
。
寻 找方 程 的 曲 线
.
二
西
。
方 程的 曲 线是方 程性 质 的 形 象 反 映 利 用 曲线 的 几 何 性质解 题 既 直 观 又 能 回 避 诸 多 繁 复 的运 算 例
,
训 不花
b
+
:
丁二 乙
a
’
’
十
、
/
仁
,
:
> 3
有 些 式 的 数 量 关 系 可 汇 聚在某
儿 何图形 上
一
(
a
+
c
)
。
这 时 可 构作 相关 的 图 形 以 作衬
a
、
证明
据条 件
十
乙
二
、 。
一
一
1 -
,
可将
3
托
+
。
例
2
`
已知 正 数
=
b
满足
+
Q
侧 i 二夕
.
一
证式 转化 为 乏 ` 侧 歹 下落 + 侧 了 不舀
代数 问题 几 何化 的 几 种 途径
汪 祖 亨
(
七海 虹
口
区业
余侧币 进 修 学 校)
康 士 凯
“
( 七海
杨浦区 教育学院)
读 了贵刊 年第 期晓 莹 的 文 章 谈 谈 ” 代数 问题 几何 化 颇 受启发 由 于 数 学 是 研 究数
数学的代数拓扑与代数几何
数学的代数拓扑与代数几何数学的代数拓扑和代数几何是两个重要的数学分支，它们都具有广泛的应用和深厚的理论基础。
本文将介绍这两个领域的基本概念、主要研究内容以及其在实际问题中的应用。
一、代数拓扑的概念和研究内容代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉领域，主要研究代数结构与拓扑空间的关系。
它的研究对象包括拓扑空间、群、环、域等代数结构。
代数拓扑研究的主要内容包括：1. 拓扑空间的代数性质：研究拓扑空间上的代数结构，如环上的拓扑、拓扑群等。
通过研究代数结构与拓扑结构之间的相互关系，揭示它们之间的内在联系。
2. 代数结构的拓扑性质：研究代数结构中的拓扑性质，如拓扑环、拓扑群等。
通过研究代数结构的拓扑性质，深入理解代数结构的特性和性质。
3. 代数拓扑的应用：代数拓扑在计算机科学、物理学、工程学等领域具有重要的应用价值。
例如，在计算机科学中，代数拓扑可以应用于图像处理、数据压缩等问题中。
二、代数几何的概念和研究内容代数几何是代数学和几何学的交叉领域，它研究的是代数对象与几何对象之间的关系。
代数几何的研究对象包括代数方程、代数曲线、代数曲面等。
代数几何的主要内容包括：1. 代数方程的几何研究：研究代数方程在几何空间中的性质和解的结构。
通过代数方程的几何研究，可以揭示代数方程的根的分布规律和几何象限的特性。
2. 代数几何的代数化方法：通过代数方法处理几何问题，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这种代数化的方法可以大大简化几何问题的求解过程，提高求解的效率。
3. 代数几何的几何化方法：通过几何方法处理代数问题，将代数问题转化为几何对象的性质问题。
这种几何化的方法可以帮助理解代数问题的几何意义，从而得到更深入的认识。
三、代数拓扑与代数几何的联系与应用代数拓扑和代数几何在一定程度上是相互关联的。
代数拓扑中的代数结构可以通过拓扑结构来研究，而代数几何中的几何对象可以通过代数方法来分析。
代数拓扑和代数几何的联系体现在以下几个方面：1. 代数结构与拓扑结构的关系：代数拓扑研究代数结构与拓扑结构之间的相互关系，揭示它们之间的内在联系。
2022-2023年教师资格《中学数学学科知识与教学能力》预测试题7(答案解析)
2022-2023年教师资格《中学数学学科知识与教学能力》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.设 n 阶方阵 M 的秩 r(M)=r＜n,则它的 n 个行向量中( ).A.任意一个行向量均可由其他 r 个行向量线性表示B.任意 r 个行向量均可组成极大线性无关组C.任意 r 个行向量均线性无关D.必有 r 个行向量线性无关正确答案：D本题解析：暂无解析2.A.正定的B.半正定的C.负定的D.半负定的正确答案：A本题解析：3.在学习了“直线与圆的位置关系”后，一位教师让学生解决如下问题:正确答案：本题解析：(1) 该同学的解法没有考虑直线L 斜率不存在的情况，没有掌握数学当中分类讨论的思想和斜率的定义。
正确解法①如上同学做题步骤，且过论当斜率不存在时，直线L 方程为x=2 符合题意;②第二种做法可以先求出切点坐标，然后再求方程，易知切点为4.A.(-∞，1]B.{1)C.φD.(-1，1] 正确答案：B本题解析：由已知可得M=|y|-1≤y≤1}，N={y|y≥1}，则集合M∩N={1}。
5.A.如上图所示B.如上图所示C.如上图所示D.如上图所示正确答案：B本题解析：6.案例:下面是初中"三角形的内角和定理”的教学案例片段。
教师请学生回忆小学学过的三角形内角和是多少度？并让学生用提前准备好的三角形纸片进行剪拼并演示。
下面是部分学生演示的图形 (如图1、图2) :在图1中，三角形的三个内角拼在一起后， B、C、D在一条直线上，看似构成一个平角。
教师质疑，看上去是平角就是平角了吗？学生的回答是”不一定”。
接着，教师利用图1启发学生思考:①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直线上(即组成平角)，可以换个角度，先构造一个平角，引导学生结合图1思考如何作辅助线构造平角。
学生想到了作BC的延长线BD，如图3所示。
②图1中，∠1与∠A是什么关系?启发学生在∠ACD内作∠1=∠A，或过点C作CE//AB，如图4所示。
高中数学：用数形结合的方法,解决不等式的问题
高中数学：用数形结合的方法，解决不等式的问题数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。
正如华罗庚先生所说的：“数形结合千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直观地解决有关的代数问题。
一. 解含参不等式在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长。
如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决。
例1. 已知，解关于x的不等式。
解：如图1所示，在同一坐标系中，作和的图象。
图1解和交点的坐标，即在时，由，得。
由图1知，当时，曲线的上方。
所以原不等式的解集为：例2. 已知，解关于x的不等式。
解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。
联立和，解得。
图2由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：。
二. 确定参数的范围在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。
例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。
解：原不等式变形得：令如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。
由于直线恒经过定点，由图3可知，要使在时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。
所以a的取值范围是。
图3例4. 已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值。
解：将原不等式同解变形为如图4所示，在同一坐标系中作出曲线和直线。
图4根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的方程得：解之得：三. 证明不等式把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。
例5. 已知：。
求证：。
分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得很简单了。
证明：如图5所示，设，则（1）当时，在△AOB中由得（2）当时，由得综合（1）、（2）得图5▍ ▍ ▍。
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小值＝ Ｃ Ａ ： ４＋２ ３ ＝ ４。 Ｂ ＝ Ｅ √ （＋） √ １
二 、 等 式 证 明几 何 化 不 例 ２ 设 ， （ １ 。 求 证 ： １一 ． Ｙ， ０。 ） （ Ｙ ｙ １一 ＋ １一 ）＋ （ ） （ ）＜１
Ｃ—Ａ Ｂ 中 Ｏ Ｏ Ｄ Ａ＝Ｏ ＝ ７ ＋Ｉ （ 体 Ｂ Ｏ（ ＝月 具
４ ９ √ ４ ｘ＋ ＋ ｙ ＋ 的最小傻。
解： 构造如 图所示的几何 图形， 中， 其 点Ｐ
为线 段 Ａ 上任 意一 点 ， Ａ ， Ｐ Ｄ Ｐ＝ Ｄ＝ｙ，
Ａ ＝４，且 Ｂ Ｄ Ａ上 Ｄ于 Ａ ， Ｃ 上ＡＤ 于 Ｄ ， Ｄ Ｂ ３ Ａ ，Ｃ Ｄ＝ ，剩 ａ Ｐ Ｐ 。所以ａ的最 ２ ＝ Ｂ＋ Ｃ
的学 习情 趣 。
一
垂足为 ， １ ｊ １
，
，
所 以 ＋，＋ｚ ２ ≥
ｃ ＝
四 、 式 推 导 中 的几 何 化 公
１
例 ５ 推 导 公 式 ｌ＋２ ＋ ． ３ ＋…＋ 一１ ＋ｎ ＝ ｌ ＋ ） ） ） ， １ ２ ＋１分 （
０
、
最 值 问 题 几 何 化
析， 类似 公式 的推导 ， 们常用 数学归纳 法及其他 代数 方法 ， 我 但往 往较 麻 烦， 如果根据等式右端各项 的特点 ， 与正方形面积联 系在 一起 ， 不难构造 出
一
例 Ｉ 己知 ， ． Ｙ均为正数，且 ｘ ｙ ，求 ＋ ＝４
口 ＝
个立体图形。 证 明 ： 自下 而 上分 别 把 ｎ ， １一１ ， ， ， 设 （， ） …３ ２ １ 单 位 正 方 体 摆 成 ｎ １ 个 层 ， 图 ． 成 立 方 体 垛 ， 垛 的外 接 棱 锥 如 构 这
例 ６ 从 ６对老搭档运动员中选派 ５名 出国参赛 ， ． 要求被选 的运 动员 中 Ａ Ｃ， Ｂ 并分别在边 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ，Ａ，Ｂ上截取 （ 图） Ｃ＝ Ｃ ； Ａ 如 Ｂ ， Ｅ＝ ，Ｆ＝Ｙ 。于是 问 任意两名都不是老搭档。 求至少有多少种不同的选派 方法。 题可转化为研究特殊 三角形的性质 。’ ∞ ｏＤ 衄 ＋ 肛Ｆ， ． ‘ ＞ｓ ＢＦ＋ 即 解 ： 造 一 六 棱 柱 （ 图 ） 用 ６种 不 同 颜 色 给 六 棱 柱 的 １ 构 如 ， ２个 顶 点 染
＿ ． ｌ ｎ６ ｌ １１ ｓ ０ ｉ
式 ， 给 我 们 以线 段 之 积 之 和 的 形 象 。 因 Ｂ 就 而 ， 构 造 一 个 边 长 为 １ 的 正 三 角 形 可
些代数问题 ， 用代 数方法很麻烦 ， 甚至 一时不知从何处下手 ， 若问题
条 件 的 数 量 关 系 有 明 显 的 几 何 意 义 或 以某 种 方 式 将 问 题 转 化 为 几 何 图 形
实现 ， 借助几何图形的性质的研究 ， 而获得 问题 的解决 的方法称 为构造 从 图形法。代数问题几何 化的关键在 于 引导 学生观察 、 分析 、 类比 、 想 ， 联 找 出代数知识与几何知识的衔接点 ， 两点 间距离公 式、 如 平面 图形 的面积公 式、 三角形三边之间的关系， 余弦定理 、 称性等等 。 对 进而构造几何 模型 。 其 作用在于能使复杂的代数问题简单 化 ， 为学生创 设一种 意境 ， 发学生 能 激
学生的创新思维能力的方法。
一
例． ＋：，明 ２ ４ ，＝ 证：＋＋≥ 设 ） １ ｙｚ ； ＋
解：设Ｐ ｘｙｚ 在平面 ｘ ｙ ｚ １ （，，） ＋ ＋ ＝
上ｔ ＋ ＋ｚ ＝ＰＤ‘ 以问 题 儿 伺 化 ‘ 所
即为：ｉ ￣
ｘ ｙ ｚ 上任何点与 ＋ ＋ ＝１
原 点 的距 离平 方 不小 于 从原 点 向平 ｉ Ｓｘ＋ｙ＋ｚ 引垂线 ， ＝１
创新教育是 实施素质教育 的有效 突破 口。 是素质教 育 的具 体化 ， 学 而 科创新教育则 以培养学 生的创新能 力为重 点。创新能 力的核心 是创造 性 思维能力的培 养， 创造性思维 的实质就 是合理 地、 协调 地运用 多种思维 方 式， 使有关信 息有序化 的产 生积极 的效果和 结果。在数 学创新 教育 中， 如 何培养创新能力是教 师感觉最为重 要同 时也 最 为困难 的问题。本文从 代 数问题构造几何模型的角度浅析创新思维在 数学学习中的应 用 ， 讨培 养 探
，
这 里 方 括 号 里 的 表 达 式 等 于 棱 柱
＾ 一 （积 昙， 目 体 ；）
（ 体
积；， 类棱 体之 ， ） ＝） 层 似柱 积和 （１ 各 ＋
为各小棱锥 （ Ｅ Ｋ ・体积为 ）的体积 之和 ・ Ｑ— Ｐ Ｄ
。１一 依 次 划 分 为 两 数 之 积 之 和 的 形 ， Ｄ
＝
一 ＿） …＋ ＋ ＋］ １¨ １ ＋ １ ＋ ３２ １ （ ） ｊ
ｘｎ１ ２ ＋）
分析 ： 此题 属于 代数 不等 式的证 明 ，
直 接 由 条件 向结 论 迁 移 ， 以实 现 解 题 目 难 标 。但 是 如 果 把 六 个 正 数 ， １一ｙ Ｙ １一 ，，
◆ ◆ ◆ ◆
数 学 中 的 创 新 思 维
◆丁 曼
（ 徐州高级中学）
代 数 问题 几 何 化
【 摘要】用几何 图形解决代数 问题是根 据题设 的条件和结论的 内在联 系， 用数形结合的原则 ， 利 构造一个 中介性的几何 图形 ， 将代数 问题
与几何图形有机地结合在一起 将代数 问题几何化 ， 再利用几何图形的有关性质来解决 ， 问题 简单、 使 直观 。长期对 中学生进行 这方面的 训练 ， 有助 于学生的发散 思维、 创新 能力的能力的培养 ， 有利于学生的数 学素质的提 高。 【 关键词ｌ代数 问题 几何 图形 几何化