应用统计学-第6章：置信区间估计

参数的区间估计就是在给定的可信度下，估计未 知参数的可能取值范围。
设 为总体分布的未知参数，若由样本确定的两 个统计量 θˆ1 和 θˆ2 , 对给定的概率 (0<<1)，满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称随机区间 (ˆ1, ˆ2)为 的置信度为1- 的
置信区间。
2
2
§6.1 单个正态总体均值和方差的区间估计
第6章 置信区间估计
本章教学目标：
(1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量确定。 (4) 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。 (5) 单侧置信区间估计。
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区间估计
由于点估计存在误差，因此仅对总体参数作出点 估计是不够的，还需要了解估计的精度及其误差。
一. 总体方差 2 的区间估计 1. 2 分布
设总体 X～N (0, 1)， X1, X2, ···, Xn 为 X 的 一个样本，则它们的平方和
2
n
X
2 i
i 1
为服从自由度为 n 的 2 分布，记为
2 ～ 2(n)
3
“自由度”的含义
若对于随机变量 X1, X2, ···, Xn，存在一组不全为 零的常数 c1, c2, ···, cn， 使
f (x)
t1-(n) = - t(n) 0
x t(n)
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用 Excel 求 t /2(n) 可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
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4. 2 未知时总体均值 μ 的区间估计
语法规则如下：
格式：CHIINV ( , n )
功能：返回 2 (n) 的值。
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2. 总体方差 2 的区间估计
设总体 X~N( μ, σ2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为n的样本，
X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。 可以证明，
2 (n1)S2 ～ 2(n1)
2
由 P {1 2 /2(n 1 )(n 1 2 )S2 2/2(n 1 )} 1
x 0
标准正态分布分布是 t 分布的极限分布。 当 n 很大时，t 分布近似于标准正态分布。
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t 分布的右侧 分位点 t(n)
t(n)为 t 分布中满足下式的右侧 分位点：
P{ t > t ( n ) }=
由给定的概率 ，可查表得到 t(n)。
由 t 分布的对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。
(1.96) = 0.975 = 1-0.025， 故 Z0.025 =1.96
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2.σ 2 已知时总体均值μ的区间估计
由正态分布的性质可得
Z X ～N(0,1)
/ n
/2
对给定的置信度1-， 有
f (x)
1-
/2
P{Z/2X/nZ/2}1 -z/2
0
z/2 x
由此可得 P { x Z /2/n x Z /2/n } 1
c1 X1+ c2 X2 + ···+ cn Xn = 0
则称变量 X1, X2, ···, Xn 线性相关，或称它们间存在 一个线性约束条件；若 X1, X2, ···, Xn 间存在 k 个独立 的线性约束条件，则它们中仅有 n-k 个独立的变量，
并称平方和 的自由度为 n-k。
n
X
2 i
i1
4
功能： 返回 Z 的值。
说明： NORMSINV() 返回的是 Z1- 的值。
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3. t 分布
设 X～N(0, 1)，Y～ 2(n)， 且 X 与 Y 相互
独立， 则随机变量
t X Y/n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 t～t(n)。
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t 分布密度函数的图形
f (x) n = ∞，N (0, 1) n = 10 n=4 n=1
(
)
S求2 σ 02 .的01置8信52度3为 95% 的置信区间。
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二. 总体均值μ的区间估计
1. 标准正态分布的右侧 分位点 Z
Z 是标准正态分布中满足下式的右侧分位点：
P{ Z > Z } =
f (x)
1-
0
z x
如图所示， ( Z )=1- ，因此， 可由正态分布表
得到 Z 。 如：要查 Z0.025， 由正态分布表可查得：
故所求 2的置信区间为
(135.22，358.82)
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课堂练习1
某车床加工的缸套外径尺寸 X ~ N(μ, σ 2)，现随机测 得的 10 个加工后的某种缸套外径尺寸(mm) 如下：
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
89.98，89.97，90.00，90.01，89.99
从而的置信度为 1- 的置信区间为
(xZ/2/ n, xZ/2/ n)
为便于记忆和理解，将 的置信区间表示为如下形式：
(xd, xd), dZ/2/ n
其中 d 称为估计的允许误差。
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用 Excel 求 Zα
可用 Excel 的统计函数 NORMSINV 返回 Z 。 语法规则如下：
格式：NORMSINV(1-)
2 分布密度函数的图形
f (x)
n=1 n=4
o
n=10
x
5
2
分布的右侧
分位点
2
(n)
2 (n) 为 2分布中满足下式的的右侧 分位点：
P{22(n)}
f (x)
o
x
2 (n)
由给定的概率 和自由度，可查表得到 2 (n)6用Exc来自l求2(
n)
可用 Excel 的统计函数 CHIINV 返回 2 (n)
可得
P {( n 2/2 (1 n )S 1 2)21 (2 n /21 (n )S 2 1 )} 1
从而 2 的置信度为1-
的置信区间为：
(n 2/2 (1n)S 1 2), 1 (2 n /21 (n )S21)
f (x)
/2
1-
/2
012/2(n1)
2/2(n1) x
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【例2】求例1中元件寿命方差 2 的 95% 置信区间。
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
解：由例1，S2 =196.52，n =10，/2=0.025，
1-/2=0.975, 02.02(59)19.02， 302.97(59)2.7
(n-1)S2/
2 0.0
25(9)
=
9196.52/19.023
=
135.22
(n-1)S2/
2 0.9
75(9)
=
9196.52/2.7
=
358.82