专升本资料3(一元函数积分学)

四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。

应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时：120分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学（一）不定积分（成都理工大学13：理文科—1个选3分；） （成都理工大学14：理文科—1个选3分；）（攀枝花学院13：理科——选择3分、解答两个12分；文科——选择3分、解答一个5分；）1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。

（1） )(x F 是)(x f 的一个原函数⇔)()(x f x F =')(x F 是)(x f 的一个原函数⇔C x F x d x f +=⎰)()(（2） 不定积分的基本性质①)()(x f dx x f dxd=⎰ ， ② ⎰=dx x f dx x f d )()(， ③ ⎰+='C x F dx x F )()( ， ④ ⎰+=C x F x F d )()]([．例1 （攀枝花学院：理科——选择3分）设2sec x 是()f x 的一个原函数，则 ()f x dx =⎰.A 、tan x C +B 、tan tan x x xC ++ C 、2sec x C +D 、2sec tan x x C ++例2 （攀枝花学院：文科——选择3分）1、若()f x '为连续函数，则(2)f x dx '⎰等于.（A ）1(2)2f x C + （B ） ()f x C + （C ）(2)f x C + （D ） 2(2)f x C +2. 熟练掌握基本的不定积分公式。

不定积分的基本公式是最基础的，是做一切积分题的前提，必须要能默写（13个+2个）3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法（限于三角代换与简单的根式代换）（1）第一类换元法：=⎰dx x g )(⎰'dx x x f )()]([ϕϕ⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ （① 凑微分）⎰=du u f )( （② 换元， 可以省略，写到草稿纸上）C u F +=)( （③ 用积分公式，可以省略，写到草稿纸上） C x F +=)]([ϕ （④ 回代还原）。

（2）第二类换元法：主要解决：带有根式的函数的积分：n b ax +，二次式令)(t x ϕ=，则dt t dx )(ϕ'=⎰x d x f )(⎰'=dt t t f )()]([ϕϕ⎰=dt t g )(C t G +=)(C x G +=-)]([1ϕ基本的三角代换：①含有22x a -时，令t a x sin =，从而t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =． ②含有22a x +时，令t a x tan =，从而t a a x sec 22=+，tdt a dx 2sec =． ③含有22a x -时，令t a x sec =，从而t a a x tan 22=-，dt t t a dx tan sec ⋅=．4. 掌握不定积分的分部积分法。

主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。

⎰x d x f )(⎰=)]([)(x v d x u⎰-⋅=)]([)()()(x u d x v x v x u ⎰'⋅-⋅=x d x u x v x v x u )()()()(5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。

先将被积函数化为：整式+真分式。

再化部分分式：将分式化为多个分式相加减。

每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。

例1（成都理工大学13：理科、文科——选择题1个3分）已知()()f x dx F x C =+⎰，则(32)f x dx +=⎰【 】(A)(32)F x C ++ (B)1(32)2F x C -++ (C)1(32)2F x C ++ (D)2(32)F x C ++例2（成都理工大学14：理科、文科——选择题1个3分）．若1()2x f x dx C x +=+-⎰，则(cos )sin f x xdx ⎰=【 】（A ）cos 1cos 2x C x ++- （B ）cos 1cos 2x C x +-+- （C ）12x C x ++- （D ）sin 1sin 2x C x ++-例3 (1)（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分）求下列积分 ①2e d xx x -⎰； ②52d (1)x x x +⎰；（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分）③ dx x⎰（攀枝花学院13：文科——解答题1个5分） (1)（攀枝花学院14：理科——解答题1个6分）计算2tan x xdx ⎰例4 求下列积分① ⎰+x d x x 123 ； ② ⎰+---+x d x x x x x 2253232 ； ③⎰-++-x d x x x x 222224； ④⎰++x d x x x ))(1(122 ； ⑤⎰+++x d x x x 52432（二）定积分1. 理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。

（1） 定义∑⎰=→∆=ni i i b ax f dx x f 1)(lim )(ξλ（2）结论：① 定积分与积分变量的无关： ⎰⎰⎰==b ab abadu u f dt t f dx x f )()()(②⎰=a adx x f 0)(，⎰⎰-=baabdx x f dx x f )()(， ⎰-=ba ab dx ，⎰=ba dx x f dxd 0)(（4）函数可积的两个充分条件① )(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上可积。

② )(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点⇒)(x f 在],[b a 上可积。

（5） 定积分的几何意义① 在],[b a 上0)(≥x f ⇒ A dx x f b a =⎰)(； ② 在],[b a 上0)(≤x f ⇒A dx x f b a-=⎰)(；③ 在],[b a 上)(x f 有正有负 ⇒下上A A dx x f b a-=⎰)(④ 由曲线)(x f y =、直线a x =、b x =及x 轴围成的图形的面积为：A ⎰=b adx x f |)(|2. 掌握定积分的基本性质。

性质1 （运算性质） ①=±⎰dx x g x f b a)]()([±⎰b adx x f )(⎰b adx x g )(； ②=⎰b adx x kf )(k⎰b adx x f )( 。

性质2 （可加性）⎰⎰⎰+=b cc ab adx x f dx x f dx x f )()()(．性质3 （可比性）在],[b a 上，)()(x g x f ≤⇒ ≤⎰badx x f )(⎰badx x g )(≤⎰b adx x f )(⎰badx x f )(．性质4（估值定理），≤-)(a b m ≤⎰badx x f )()(a b M -．M 与m 分别是函数)(x f 在],[b a 上的最大值及最小值。

性质5 （定积分中值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （b a ≤≤ξ）．3. 了解变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导的方法。

① )()(x f dt t f dx d x a =⎰； ② [])()()(x x f dt t f dxd x a ϕϕϕ'⋅=⎰）（ ③ [][])()()()()(112221x x f x x f dt t f dx d x x '⋅-'⋅=⎰ϕϕϕϕϕϕ）（）（4. 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。

函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数⇒)()()(a F b F dx x f ba-=⎰分段函数、带绝对值符号的函数的积分： 可加性⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(5. 掌握定积分的换元法和分部积分法，并会证明一些简单的积分恒等式。

（1）定积分的换元法令)(t x ϕ=，则dt t dx )(ϕ'=当a x =时，α=t ；当b x =时，β=t⎰b ax d x f )(⎰'⋅=βαϕϕt d t t f )()]([⎰=βαt d t g )(βα)(t G =（2）定积分的分部积分法主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。

⎰b a x d x f )([]⎰=bax v d x u )()([]⎰-⋅=baba x u d x v x v x u )()()()([]⎰'⋅-⋅-⋅=bax d x u x v b v a u b v b u )()()()()()(（3）重要结论① 奇、偶函数在对称区间上的积分当)(x f 在],[a a -上为奇函数时，0)(=⎰-dx x f a a ；当)(x f 在],[a a -上为偶函数时，⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)(．② 周期函数的积分dx x f dx x f TT a a⎰⎰=+0)()(③ 正、余弦函数的 ]2,0[π上的积分 ⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f对 ⎰=20cos πxdx I nn ⎰=20sin πxdx n 有递推公式：21--=n n I nn I =1I 2)(cos 20ππ=⎰dx x ； 1cos 2011==⎰πxdx I当 n 为奇数时：32231322311 --⋅-=⋅--⋅-=n n n n I n n n n I n 当 n 为偶数时：2214323121432310π⋅⋅--⋅-=⋅--⋅-=n n n n I n n n n I n6. 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

⎰∞+a dx x f )(∞+=a x F )()()(a F F -∞+=． ⎰∞-b dx x f )(b x F ∞-=)()()(a F F -∞+=． ⎰∞+∞-dx x f )(∞+∞-=)(x F )()(∞--∞+=F F ．其中： )(lim )(x F F x ∞-→=-∞,)(lim )(x F F x ∞+→=∞+．例1 （成都理工大学13：理科、文科——选择3分）广义积分e +∞⎰=【 】(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) +∞例2 （成都理工大学13：理科、文科——填空3分）3422(cos sin )d ππθθθ-+⎰=例3．（成都理工大学14：理科、文科—解答题8分）设函数223sin ,21()4,110x x x x f x x x ⎧--≤<=⎨<<⎩，计算定积分7132x f dx -⎛⎫⎪⎝⎭⎰； 例4 （1）（攀大13：理科——填空3分）422422sin 22x x x dx x x -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭⎰＝ . （2）（攀大14：理科——填空3分）3221111sec x dx x x -++=⎰例5 （攀大13：理科——计算6分）2e d x x x -⎰例6 计算 dx x x ⎰-π53sin sin例7 证明(1) ⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ；(2) dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin ；由此计算⎰+π02cos 1sin dx xxx ． (3) ⎰⎰⎰-+=a a adx x a f dx x f dx x f 020)2()()((4)⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n nm7. 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积，会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。