2.3.3直线与平面垂直性质(使用)
2.3.3直线与平面垂直的性质
讨论
l
α β
垂直于同一条直线的两个平面平行
讨论
6. 已知直线 ⊥平面 ,垂足为 ，直线 已知直线l 平面α 垂足为 垂足为A， AP⊥l. AP与α 关系如何 ⊥ 与 关系如何?
β
l P M
α
A
练习
1. 设a、b为两相交直线，已知 ⊥α,a⊥b， 为两相交直线， 、 为两相交直线 已知a⊥ ⊥ ， b在平面 外， 在平面α外 在平面 求证：b∥α. 求证： ∥
讨论
1. 设a、b为直线，α为平面，若a⊥α， 为直线， 为平面 为平面， 、 为直线 ⊥ ， b∥α，则a与b的位置关系如何？为什么？ 的位置关系如何？ ∥ ， 与 的位置关系如何 为什么？
a b α β c
讨论
2. 设a、b为直线 为平面 若a⊥α, 为直线,α为平面 、 为直线 为平面,若 ⊥ a∥ b ,则b与α的位置关系如何？为什么？ 的位置关系如何？ ∥ 则 与 的位置关系如何 为什么？ 如何用文字语言表述这个结论？ 如何用文字语言表述这个结论？
a b
α
c
如果两条平行线中的一条垂直于一个 平面， 平面，则另一条也垂直于这个平面
举例
求证:如果两条平行直线中的一条垂直 例2. 求证 如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 那么另一条也垂直于这个平面. 于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面
证明：设 m α内的任意一条直线． 证明： 是 内的任意一条直线．
l
α β
如果一条直线垂直于两平行平面中的 一个,则这条直线也垂直于另一个平面 则这条直线也垂直于另一个平面. 一个 则这条直线也垂直于另一个平面
5. 设l为直线，α、β为平面 若l⊥α, l⊥ 为直线， 、 为平面 为平面,若 ⊥ ⊥ 为直线 β ，则α、β的位置关系如何？为什么？如 的位置关系如何？ 、 的位置关系如何 为什么？ 何用文字语言表述这个结论？ 何用文字语言表述这个结论？
高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
②M是AB的中点.
证明:②设 AD1∩A1D=O,连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N= NC.
(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.
证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC, 又AD⊥DC,SA∩AD=A, 所以DC⊥平面SAD. 所以DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF, 所以SC⊥AG, 又DC∩SC=C, 所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.
规范解答:(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形, 且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,…………………2分 因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.…………………………3分 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.……………6分
(2)求证:AD⊥PB.
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上
的射影H必在直线
上.
答案:AB
5.设α ,β 是空间两个不同的平面,m,n是平面α 及β 外的两条不同直线.从
“①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作
为结论,写出你认为正确的一个命题:
规范解答:(2)连接PG. 因为△PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PG⊥AD.…………………………………7分 由(1)知BG⊥AD, 而PG∩BG=G, PG⊂平面PBG, BG⊂平面PBG. 所以AD⊥平面PBG.…………………………10分 又因为PB⊂平面PBG, 所以AD⊥PB.……………………………………12分
学案11：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质【知识导图】【学法指导】1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言}a⊥αb⊥α⇒图形语言①线面垂直⇒线线平行；作用②作平行线1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．知识点二平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β符号语言}图形语言①面面垂直⇒垂直；作用②作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直3.如图，BC是Rt△BAC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．3 B．5C．6 D．84．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的______心．【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练2在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥EB，且P A＝2EB＝4 2.(1)证明：BD∥平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.方法归纳空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理．跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【参考答案】【自主预习】知识点一 直线与平面垂直的性质平行 a ∥b知识点二 平面与平面垂直的性质一个平面内交线 垂直 a ⊂α a ⊥l线面[小试身手]1．解析：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 答案：B2．解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .答案：A3.解析：由P A ⊥平面ABC ，知△P AC ，△P AD ，△P AB 均为直角三角形，又PD ⊥BC ，P A ⊥BC ，P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .∴AD ⊥BC ，易知△ADC ，△ADB ，△PDC ，△PDB 均为 直角三角形．又△BAC 为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂【课堂探究】类型一 线面垂直的性质定理的应用例1【证明】 如图所示，连接A 1C 1，C 1D ，B 1D 1，BD .∵AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D①.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D②.由①②可知EF∥BD1.跟踪训练1证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2【证明】如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .跟踪训练2证明：如图所示，在平面P AB 内作AD ⊥PB 于点D .∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三 垂直关系的综合应用例3【证明】 (1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∴OF ∥P A ，且OF ＝12P A . ∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形，∴EF ∥BD .又EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)如图，连接PB ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ，∴平面ABCD ⊥平面APEB .∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE .又BC∩PB＝B，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.跟踪训练3解：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。
§2.3.3直线与平面垂直的性质
复习引入
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 平面内的两条 相交直线 直线， 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。 直线与平面 垂直的判定 推论 如果一条 直线垂直于一 个平面， 个平面，那么 它的平行线 平行线也 它的平行线也 会垂直于这个 平面。 平面。
a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
是否成立？ 是否成立？
β
b’ a b
α
O
问题.已知a ⊥ α，b ⊥ α，求证a//b.
证明： (反证法) 假设a与b不平行Qb ⊥α， 设求b Iα=O过点O作b′//α Qa ⊥α， b′ ⊥α ∴ α 则过一点 有两 O 条直线b与 ′ ⊥α b 这与过一点有且 只有一条直线 与已知平 面垂直矛盾 可见假设 不成立 ∴a//b
练习： 练习：P79 第1、、直线和平面垂直的性质定理： 、直线和平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面， 如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线平行. 这两条直线平行
β
图形语言： 图形语言：
a
b
α 符号语言： 符号语言： a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
例 1.已 l ⊥α， ⊥ β， 证 //β. 知 l 求 a 证明：设l Iα=A l I β =B ， 在α内过点A取两条直线a和b l Ql Iα=A ∴l与 确 一 平 γ a 定 个 面 QB∈l ⊂ γ 且B∈β b A ∴β与 相交 γ ，设β Iγ =c α =c
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 平面内的任何 一条直线 直线， 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。
1、线面垂直的概念 、
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质必修2教案学校：临清试验高中学科：数学编写人：贾红国审稿人：邢玉兰王桂强2.3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培育同学的几何直观力量和学问的应用力量，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）把握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简洁应用。
（3）把握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简洁应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】（一）复习引入师：推断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可娴熟运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？推断下列命题是否正确:1、在平面中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
2、在空间中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
3、垂直于同一平面的两直线相互平行。
4、垂直于同始终线的两平面相互平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已讨论过，这节课我们来共同探讨直线和平面假如垂直，则其应具备的性质是什么？（二）创设情景如图，长方体ABCD-ABC'D中,棱AA∖BB∖CC∖DD，所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1已知：a,bO求证：b0a师：此问题是在a,b的条件下，讨论a和b是否平行，若从正面去证明b0a,则较困难。
而利用反证法来完成此题，相对较为简单，但难在帮助线S 的作出，这也是立体几何开头的这必修2教案部分较难的一个证明,在老师的知道下,同学尝试证明,稍后老师指正. 生:证明:假定b不平行于a,设bO,b，是经过点0的两直线a平行的直线.a0b,z a,b,即经过同一点O的两直线b卜都与垂直,这是不行能的,因此b0a.有了上述证明,师生可共同得到结论.：直线和平面垂直的性质定理:假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它例2.已知I,I,求证a〃.证明：设I=A,I=B在内过点A取两条直线a和bBI 且B与相交，设=cIIa,同理IC在平面中：1a,Ica∕∕c又a,ca//,同理b〃又ab=A//下列命题中错误的是（C）A、B、C、若始终线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的全部直线。
学案4：2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质 学习目标：1.掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用2.掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律及其转化关系，培养空间想象能力、逻辑思维能力、和类比思维能力。
知识链接：问题1：直线与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题2：平面与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题3：两个平面垂直的定义是什么? .探究问题1.已知直线b a ,和平面α，如果αα⊥⊥b a ,，那么直线b a ,一定平行吗？直线与平面垂直的性质定理： 符号表示：证明：探究问题2.（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面垂直吗？（2）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内能否找到一条直线与另一个平面垂直？ ，怎么画出来？请在下图中画出来平面与平面垂直的性质定理： 这个定理实现了什么关系的转化?符号表示：证明：预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ）（2）两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ）（3）两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直于这个平面；（ ）（4）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ）（5）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ）（6）垂直于同一个平面的两个平面互相平行.（ ）2.两个平面互相垂直，下列命题A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.正确的个数是 个3.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（ ）A.,m n m ⊥∥α，n ∥βB. m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C. m ∥n ，n β⊥ ，m α⊂D. m ∥n ，,m n αβ⊥⊥例题剖析例1.CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥.求证：a ∥l .例2.如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.探究：设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，则直线a 与平面α具有什么位置关系？请说明理由.例3.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC. 求证：BC ⊥平面PAC例4.如图，P 是四边形ABCD 外一点，四边形ABCD 是60DAB ︒∠=,边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点.(1) 求证:BG ⊥面PAD(2) 求证:AD PB ⊥参考答案预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）正确 （2）正确（3）正确 （4）错误 （5）正确 （6）错误2. 13. C例题剖析例1.证明：∵CA α⊥且 a α⊂∴CA ⊥a ,又∵a AB ⊥（已知），CA AB A =,CA ⊂面CAB,AB ⊂ 面CAB.∴a ⊥面CAB. ① 另外CA α⊥，CB β⊥，l αβ=，∴CA ⊥l , CB ⊥l 又CA CB C =,CA ⊂面CAB,CB ⊂ 面CAB.∴l ⊥面CAB ②由①②知a ∥l例2 略 例3.证明：过A 点做PC 的垂线交PC 与点M.连接AM∵平面PAC ⊥平面PBC ，且PAC∩PBC=PC, AM ⊂平面PAC ∴AM ⊥平面PBC, BC ⊂平面PBC,∴AM ⊥BC, ①又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴PA ⊥BC ②又PA∩AM=A ，AM ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC.③∴由①②③知 BC ⊥平面PAC例4. 证明：（1）解：（1）证明：连结BD ．∵ABCD 为棱形，且∠DAB=60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD ．（2）∵PAD 为正三角形且G 为AD 的中点.∴PG ⊥AD ① 由（1）知BG ⊥AD 且PG∩BG=G ， PG ⊂PBG, BG ⊂PBG.② 由①②知 AD ⊥PBG又PB ⊂PBG ∴AD PB ⊥。
2.3.3直线与平面垂直的性质
思考
如图,a⊥α, b⊥ α .那么 a, b一定平行吗? a b
b
o
β
1
c
α
反证法的步骤
用反证法证明命题“如A则B”的步骤： （1）假设结论的反面B1情况成立。 （2）在B1成立的前提下，推出结论A1 （3）结论A1与已知条件A相矛盾（或与定义、 定理、公理相矛盾） （4）驳倒假设，即肯定结论正确。
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行
a ⊥α ⇒ a // b b ⊥α
作用： 作用：判定两条直线平行的又一个方法 简称： 简称：线面垂直 ⇒ 线线垂直
例题 下列哪些命题是正确的( B )
(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行 (2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行 (3)平行于同一个平面的两条直线互相平行 (4)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 A.仅(2)不正确 B.仅(1)、(4)正确 C.仅(1)正确 D.四个命题都正确
复习回顾
3、直线与平面垂直的判定方法 （1）利用定义；垂直于平面内任意一条直 ）利用定义； 线 m ⊂α （2）利用判定定理． ）利用判定定理． l
m
B
n
（3） ）
a // b, a ⊥ α ⇒ b ⊥ α
n ⊂α m ∩ n = B ⇒ l ⊥ α l⊥m l⊥n
思考
1、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中， 棱 AA1,BB1,CC1,DD1所在直线都垂直于 平面ABCD，它们之间有什么位置关系？
D
1
C
1
A
1
B
D
1
C
B
A
2、如图（教科书第65页例1） a//b, a⊥α ⇒ b⊥ α
2.3.3 直线与平面垂直的性质
求证：a //.
β
b
Aa
l
B α
例3 PA 如图，已知 PA 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1）MN CD; （2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P
A
M B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E N
D
C
练习: P71练习：1，2.（做书上）
知识回顾： 面面垂直的的定义与判定
定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，
则这两个平面垂直.
β
符号语言：
l ,l
l α
由面面垂直的判定定理知：要证面面垂直，只需证 一个平面内有一条直线与另一平面垂直。
线面垂直
面面垂直
化归转化思想！
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径， PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC.
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线
a，b的位置关系如何？
l
l
b
l
ab
ab
a
思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之 间具有什么位置关系？
再思考:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察 可知a//b，从理论上如何证明这个结论？
a bc
α
O
1、线面垂直的性质定理
2a
A
问题提出
1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直 线与平面垂直？
Def : 对a 都有l a l .
结论：过一点有且只有一条直线与给定平面α垂直； 过一点有且只有一个平面与给定直线垂直。
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a b
α
符号语言：
a ，b a // b
小试牛刀
1.判断下列命题是否正确 ： （ 1 ）垂直于同一条直线的 两个平面互相平行 （ . √） （2）垂直于同一个平面的 两条直线平行 （ .√ ） （3）一条直线在平面内， 另一条直线与这个平面 垂直，则这两条直线互 相垂直 （ .√ ）
1 1
A1 N O D
B1
C
A
M
B
典型例题
例2、如图，α∩β＝m，PA⊥α，PB⊥β， 垂足分别为A,B， a ,a⊥AB 求证：a∥m
P
β
B A m a
α
典型例题
【例 3】 如图 ，在四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，点 E 是 PC 的中点． (1)CD⊥AE； 证明： (2)PD⊥平面 ABE.
因为点 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC. 由(1)知：AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， 所以 AE⊥平面 PCD.
而 PD⊂平面 PCD，所以 AE⊥PD. 又因为 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥AB. 由已知，得 AB⊥AD，且 PA ∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 PAD ，故 AB⊥PD. 又因为 AB∩AE＝A， 所以 PD⊥平面 ABE. 从本例可以进一步体会线面位置关系的相互
直线与平面垂直的性质
温故知新
1.直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l ．
2.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
a l b ab A
证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，因为 PA ⊥底面 ABCD， CD⊂平面 ABCD，故 PA ⊥CD.
又因为 AC⊥CD，PA ∩AC＝A，所以 CD⊥平面 PAC .
而 AE⊂平面 PAC ，所以 CD⊥AE. (2)由 PA ＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
得△ABC 是等边三角形，故 AC＝PA .
2.已知直线a , b和平面 , 且a b, a ，则b与 b // , 或b ___ . 的位置关系是 __________
a
b
典型例题
例1、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面 A1DC 求证： (1) MN∥AD1 (2) M是AB的中点. D C
la l b
l
b
பைடு நூலகம்
A
a
思考1:一个平面的垂线有多少条？这些
直线彼此之间具有什么位置关系？
思考2:如果直线a，b都垂直于平面α ，由
观察可知a//b，从理论上如何 证明这个结论？ b b'
已知： a⊥平面 b⊥平面
求证：a∥b．
a
cO O
(反证法)
线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
转化在解(证)题中的作用．
课堂小结
1、定义 2、判定定理
a 都有l a l
la l b a b ab A
l
3、性质定理
a ，b a // b