14吉林省东北师大附中2011届高三第三次摸底考试数学(理)

东北师大附中2010—2011学年度上学期高三年级第三次摸底考试数学试题（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置． 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案． 参考公式：圆锥表面积公式：()S r r l π=+（r 是圆锥底面半径，l 是母线） 圆锥体积公式：213V r h π=（r 是圆锥底面半径，h 是高）球体积公式：343R V π=（R 是球的半径）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合{}x x y x M 32+-==，{}|||2N x x =>，则MN =（ ）A ．{}|13x x <<B ．{}|03x x <<C ．{}|23x x <<D ．{}32≤<x x2．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ）A ．不存在0x ∈R ， 02x>0 B ．存在0x ∈R ，02x ≥0C ．对任意的x ∈R ，2x≤0 D ．对任意的x ∈R ， 2x>03．已知：090711090711...a log .b log .c .===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）侧视图正视图556556 6A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积 及体积为： （ ） A ．224cm π，312cm π B ．215cm π，312cm πC ．224cm π，336cm πD ．以上都不正确5．已知函数()sin(0)4f x x x R πωω=+∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ． 向左平移8π个单位长度 B ． 向右平移8π个单位长度C ． 向左平移4π个单位长度D ． 向右平移4π个单位长度6．关于两条不同的直线m 、n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是： （ ） A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //； B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n ； C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥；D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //．7．若实数a 满足()12a y y y R >---∈恒成立，则函数()()256a f x log x x =-+的单调减区间为（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25B ．()+∞,3C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25,D ．()2,∞-8．正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为 （ ）A ．23B ．33 C ．36 D ．22 9．已知向量()()75751515a cos sin b cos sin |a b |==-，，，，那么的值是 （ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．110．已知数列{}n a 是正项等比数列，{}n b 是等差数列，且68a b =，则一定有 （ ） A ．7993b b a a +≤+ B ．7993b b a a +≥+C ．7993b b a a +>+D ．7993b b a a +<+11．定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -=⊗，则()()222xf x x ⊕=-⊗是（ ）函数．（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数12．已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ． 7第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．） 13．函数23y x =与1x =、2x =及x 轴围成的图形的面积是 ． 14．函数)(cos x f y =的定义域为()22263k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，则函数)(x f y =的定义域为_____________．15．()()111a m b n ==-，，，（其中m n 、为正数）， 若a //b ，则12m n+的最小值是 ． 16．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运 动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥OABM NCP∙的面所围成的几何体的体积 为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213*n n S a (n N )=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a n 的前n 项和为n T ，求数列{}n T 的通项公式． 18．（本题满分12分）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，EB AE 3=． （Ⅰ）若FA F A 311=，求证: EF ∥面11DD C C ； （Ⅱ） 求二面角1A EC D --的正切值．19．（本题满分12分）ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；A 1B 11D 1 B CD（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sincos +-的取值范围．20．（本题满分12分）已知()323f x x ax x.=--（1）若()f x 在[)∞+，2上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1a ，上的最小值和最大值．21．（本题满分12分）函数()f x 对任意x R ∈都有()()11f x f x .+-= （1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）数列{}n a 满足：()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求n a ；（3）令2221224821n n n n n b T b b b S a n==+++=--，，，试比较n T 与n S 的大小．22．（本题满分12分）设函数2()()()x f x x a x b e =-+，a b R ∈、，x a =是()f x 的一个极大值点． （Ⅰ）若0a =，求b 的取值范围；（Ⅱ） 当a 是给定的实常数，设123x x x ，，是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使得1234x x x x ，，，的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中{}1234i i i i ，，，={}1234，，，）依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 DDCAA CDBDB AB 二、填空题 13．7 14．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 15．322+ 16．6π或366π-三、解答题17．解：（Ⅰ）13a =，当2≥n 时，11213n n S a --=+， ∴ 2n ≥时，112233n n n n n a S S a a --=-=-，∴ 2n ≥时，12nn a a -=- ∴数列{}n a 是首项为13a =，公比为2q =-的等比数列， ()132n n a -=⋅-，*N n ∈（Ⅱ）由（Ⅰ）知，132n n n a n -=⋅∴ ()1231312232422n n T n -=+⋅+⋅+⋅++⋅()()123123122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅∴ ()2313122222n n n T n --=+++++-⋅∴ 123212n n n T n ⎡⎤--=-⋅⎢⎥-⎣⎦∴ 33232nnn T n =+⋅-⋅18．解法1(Ⅰ)法1：连1A B ，∵EB AE 3=.FA F A 311=∴31==FA AFEB AE ,∴FE ∥B A 1，又C D 1∥B A 1 ∴FE ∥面11DD C C法2：利用平面11ABB A //平面11DD C C ，直接得证. (Ⅱ)过点D 作DG EC ⊥,连接1D G .由1DD ⊥平面ABCD 得1D G CE ⊥,又DG EC ⊥，1DG DD D ⋂=,CE ∴⊥平面1D DG. 1CE D G ∴⊥,1D GD ∴∠就是二面角1A EC D --的平面角.设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为4，则1,3==EB AE .24117CE =+DEC ∆中，由等面积法，1717DG ==. ∴1D DG ∆中，1141717DD tan D GD DG === 解法2：向量法（略）19．解：（Ⅰ）∵C A B sin sin sin 2=，∴ ac b =2.∵C B A ,,依次成等差数列，∴B C A B -=+=π2,3π=B .由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，ac ac c a =-+22，∴c a =.∴ABC ∆为正三角形. （Ⅱ）212cos 2sin 32sin2-+A A C =21sin 232cos 1-+-A C =312223sin A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<，∴1326sin A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭，113426sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭. ∴代数式232cos 2sin 32sin2++A A C 的取值范围是1344⎛ ⎝⎭，.20．【解析】（1）由题知，()2323f x x ax '=--，令()()02f x x '>≥，得312a x .x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭记()312t x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2x ≥时，()t x 是增函数， ()3192224min t x ⎛⎫∴=⨯-= ⎪⎝⎭，94a ∴<，又94a =时，()29332f x x x '=--=32375416x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在[)2+∞，上恒大于等于0，94a ∴=也符合题意，94a .∴≤ （2）由题意，得()30f '=，即276304a a --=∴=，， ()()32243383f x x x x f x x x .'∴=--=--，令()0f x '=，得12133x x =-=，， 又[]1143x x ∈∴=-，，舍，故3x =，当()()()130x f x f x '∈<∴，，，在()13，上为减函数； 当()()()0x f x f x '∈>∴3，4，，在()34，上为增函数，3x ∴=时()f x 有极小值.于是，当[]14x ,∈时，()()318min f x f ==-， 而()()16412f f =-=-，，()()16max f x f .∴==-21．【解析】（1）令12x =， 则有11111111222222f f f f .f .⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）令1x n=，得1111f f .n n ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即111n f f .n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12110n n n a f f f f f .n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：()()()()11201101n n a f f ff f f n n n ⎡-⎤⎛⎫⎛⎫=++++++=+⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，12n n a n N *.+∴=∈， （3）2221n n b a n==-， 1n =时，n n T S =； 2n ≥时，222122*********n n T b b b n ⎛⎫∴=+++=++++⎪⎝⎭()1114112231n n ⎡⎤≤++++⎢⎥⨯⨯-⎣⎦=411111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=41428n S n n⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ n n T S .∴≤22．解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．（Ⅰ）解：0a =时，()()2x f x x x b e =+，()()()()()22232x x x f x x x b e x x b e e x x b x b '''⎡⎤⎡⎤∴=+++=+++⎣⎦⎣⎦， 令()()232g x x b x b =+++，()()2238180b b b ∆=+-=-+>， ∴设12x x <是()0g x =的两个根，（1）当10x =或20x =时，则0x =不是极值点，不合题意；（2）当10x ≠且20x ≠时，由于0x =是()f x 的极大值点，故120x x .<<()00g ∴<，即20b <，0b .∴<(Ⅱ)解：()()x f x e x a '=-2(3)2x a b x b ab a ⎡⎤+-++--⎣⎦，令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--， 22=(3)4(2)(1)80a b b ab a a b ∆-+---=+-+>则，于是，假设12x x ，是()0g x =的两个实根，且12x x .<由（Ⅰ）可知，必有12x a x <<，且12x a x 、、是()f x 的三个极值点，则()()21318a b a b x ---+-+=()()22318a b a b x --++-+=假设存在b 及4x 满足题意，（1）当12x a x ，，等差时，即21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-，于是1223a x x a b =+=--，即3b a .=--此时4223x x a a b =-=--+2(1)86a b a a +-+=+或4123x x a a b =-=--2(1)826a b a a +-+=- （2）当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=-①若()122x a a x -=-，则224x a x +=， 于是()()2813323221+-+---=+=b a b a x x a ， 即()().33812++-=+-+b a b a两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=，30a b ++<，于是1a b +-=9132-， 此时713b a +=- 此时224x a x +==()().231343332++=--=++---+a b b a b a a ②若12()2()a x x a -=-，则214x a x +=， 于是()()221331832a b a b a x x --++-+=+=， ()()21833a b a b .+-+=++两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=，30a b ++>，于是1a b +-=913-+， 此时7132b a =-- 此时142(3)3(3)1133242a x a a b a b x b a ++---++===--=+ 综上所述，存在b 满足题意，当b =－a －3时，426x a =±7132b a +=--时，41132x a =+， 7132b a =--时，41132x a =+.。