第二十六章 反比例函数(能力提升)-2020-2021学年九年级数学下册单元测试定心卷(人教版

1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！九年级第二十六章反比例函数一、单选题1．关于反比例函数y=4x下列说法不正确的是（ ） A ．图象关于原点成中心对称 B ．当x > 0时，y 随x 的增大而减小 C ．图象与坐标轴无交点 D ．图象位于第二、四象限【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】 反比例函数y=4x，k=4>0，图象位于一、三象限，与坐标轴无交点，当x>0时，y 随着x 的增大而减小，图象关于原点成中心对称， 故A 、B 、C 正确，不符合题意，D 错误，符合题意， 故选D ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．与点()2,3-在同一反比例函数图象上的点是（ ） A ．()1.5,4- B ．()1,6-- C ．()6,1 D ．()2,3--【答案】A 【分析】根据在同一反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等即可解答． 【详解】 解：∵点()2,3- ∴k=2×（-3）=-6∴只有A 选项：-1.5×4=-6． 故答案为A ． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，掌握同一反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等是解答本题的关键．3．已知：点A(1,y 1)、B （2，y 2）、C(－3，y 3)都在反比例函数ky x=图象上(k>0),则y 1、y 2、y 3的关系是（ ） A ．y 3<y 1<y 2 B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 2<y 1【答案】D 【分析】先根据反比例函数中k ＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】 ∵反比例函数ky x=（k>0）， ∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵-3＜0，∴点C （-3，y 3）位于第三象限， ∴y 3<0； ∵2＞1＞0，∴A （1，y 2）、B （2，y 3）在第一象限， ∵2＞1， ∴0<y 2＜y 1， ∴y 3＜y 2＜y 1． 故选D 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 4．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在双曲线y ＝8x上，如果x 1＜x 2，而且x 1•x 2＞0，则以下不等式一定成立的是（ ） A ．y 1+y 2＞0 B ．y 1﹣y 2＞0C ．y 1•y 2＜0D ．12y y ＜0【答案】B 【分析】根据题意可得x 1＜x 2，且x 1、x 2同号，根据反比例函数的图象与性质可得y 1＞y 2，即可求解．3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】 反比例函数y ＝8x的图象分布在第一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小， 而x 1＜x 2，且x 1、x 2同号， 所以y 1＞y 2， 即y 1﹣y 2＞0， 故选：B ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 5．如图，过反比例函数y ＝3/x （x ＞0）的图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足为A′，B′，连接0A ，0B ，设AA′与OB 的交点为P ，ΔAOP 与梯形PA′B′B 的面积分别为S 1，S 2，则（ ）A ．S1＞S2B ．S 1＝S 2C ．S1＜S2D ．不确定【答案】B 【分析】易得△AOA´和△BOB´的面积相等，都减去公共部分△A´OP 的面积可得S 1、S 2的大小关系． 【详解】设点A 的坐标为（x ，y ），点B 的坐标为（a ，b ）， ∵A 、B 在反比例函数y ＝3x上， ∴S △AOA´＝S △BOB´＝32， ∴S △AOA´－S △A´OP ＝S △BOB´－ S △A´OP ， 即S 1＝S 2．故选：B ．【点睛】考查反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象上的点的横纵坐标之积等于反比例函数的比例系数．6．已知点()()1122,,P x y Q x y 、在反比例函数1y x=-的图象上，若120y y <<，则1x 与2x 的大小关系是（ ） A ．12x x < B ．12x x >C ．12x x =D ．无法确定【答案】A 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内函数的增减性即可得答案． 【详解】∵反比例函数1y x=-中，k=-1＜0， ∴此反比例函数的图象在二、四象限，在各象限内，y 随x 的增大而增大， ∵120y y <<， ∴12x x <， 故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数性质，对于反比例函数ky x=（k ≠0），当k ＞0时，函数图象在一、三象限，在各象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，函数图象在二、四象限，在各象限内，y 随x 的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．7．如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线//l y 轴，且直线l 分别与反比例函数8(0)y x x =>和(0)ky x x=>的图象交于P 、Q 两点，若14POQS=，则k 的值为（ ）．5原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A ．-20B ．6C ．20D ．-12【答案】A 【分析】 设8,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有,k Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意易得8,k OM a PQ a -==，然后根据14POQS =可求解． 【详解】 解：设8,P a a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意得： 过点M 的直线//l y 轴，∴,k Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴8,kOM a PQa-==， 1142POQSPQ OM =⋅=， ∴18142k a a-⨯⨯=， 解得20k =-； 故选A ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 8．如图，已知在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点()0,3A ，()3,0B ，90ABC ∠=︒，函数()40y x x=>的图象经过点C ，则AC 的长为（ ）A．B ．C ．D【答案】B 【分析】如图（见解析），先根据点A 、B 的坐标可得3,45OA OB OBA ==∠=︒，从而可得45CBD ∠=︒，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD CD =，设BD CD a ==，从而可得点C 的坐标为(3,)C a a +，然后利用反比例函数的解析式可求出a 的值，最后利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】如图，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，()()0,3,3,0A B ，3OA OB ∴==，Rt AOB ∴是等腰直角三角形，45OBA ∠=︒，90ABC ∠=︒，18045CBD OBA ABC ∠=︒-∠-∠=∴︒， Rt BCD ∴是等腰直角三角形， BD CD ∴=，设BD CD a ==，则3OD OB BD a =+=+，(3,)C a a ∴+，将(3,)C a a +代入()40y x x =>得：43a a=+， 解得1a =或40a =-<（不符题意，舍去），(4,1)C ∴，由两点之间的距离公式得：AC ==7原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题关键． 9．如图，已知双曲线()0ky x x=>经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2．则k =（ ）A ．2B ．12C ．1D ．4【答案】A 【分析】通过设Ｆ的坐标，得到点B 的坐标，再利用四边形面积OFBE 等于矩形面积OABC 减去三角形COE 和△AOF 的面积作等量，解得k 值即可． 【详解】解：设点F 的坐标（m ，k m）， ∵点F 是AB 的中点， ∴点B 的坐标（m ，2k m）， 则 S 四边形OEBF =S 矩形OABC -S △COE-S △AOF ，∴2=m21122k k k m --（k>0) ∴2=2k-k ， ∴k=2， 故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数的k 的几何意义以及反比例函数上的点的坐标特点、矩形的性质，难点是根据一点的坐标表示其他点的坐标． 10．如图，点(),1A a ，(),4B b 都在双曲线4y x=-上，点,P Q 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值为（ ）A． B ．C ．D ．【答案】D 【分析】先把A 点和B 点的坐标代入反比例函数解析式中求出a ，b 的值，确定A ，B 的坐标，再作A 点关于x 轴的对称点D ，B 点关于y 轴的对称点C ，根据对称性得到C 点坐标为()1,3，D 点坐标为()3,1--，即可求解；【详解】∵，点(),1A a ，(),4B b 都在双曲线4y x=-上， ∴14-4ab ⨯==，∴4a =-，1b =-， ∴()4,1A -，()1,4B -，作A 点关于x 轴的对称点D ()3,1--，B 点关于y 轴的对称点C ()1,3，连接CD ，此时交x 轴，y 轴于P ，Q ，此时四边形ABQP 的周长最小，9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵QB=QC ，PA=PD ， ∴四边形ABQP 的周长AB BQ PQ PA AB CD =+++=+，∴()()22411432AB =-++-=()()22141452CD =+++= ∴四边形ABQP 的周长的最小值为325282= 故答案选D ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，结合轴对称最短路径的计算是解题的关键． 二、填空题11．直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝2k x交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＋b ＜2k x的解集是_______．【答案】0＜x ＜1或x ＞5． 【分析】根据函数图象，可得一次函数图象在上方的部分，可得答案 【详解】解：∵直线y=k 1x+b 与双曲线y=2k x交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式k 1x+b ＜2k x的解集是0＜x ＜1或x ＞5． 故答案为：0＜x ＜1或x ＞5． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象在下方的部分是不等式的解集．12．已知ABC 的三个顶点为(1,1)A -，(1,5)B ，(3,3)C -，将ABC 沿x 轴平移m 个单位后，ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数3y x=的图象上，则m 的值为_____． 【答案】12或1或72【分析】根据平移后落在反比例函数上的各边中点分类讨论，分别求出平移前的中点的坐标和平移后中点的坐标，即可求出平移距离，即为m 的值． 【详解】解：①如图1，AB 的中点(1,2)D ，平移后(,2)D a '在3y x=的图象上， ∴32a =， 此时m= 31122-=；②如图2，BC 的中点(2,1)E ，平移后(,1)E b '在3y x=的图象上， ∴3b =， 此时m=3－2=1；③如图3，AC 的中点(2,2)F -，平移后(,2)F c '-在3y x =的图象上， ∴32c =-， 此时m=2－32⎛⎫- ⎪⎝⎭=72． 综上：m=12或1或72故答案为：12或1或72．【点睛】此题考查的是反比例函数与图形题，掌握中点坐标公式、利用反比例函数求点的坐标和11原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！平移距离是解决此题的关键． 13．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为_____．【答案】3 【分析】过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，求出A （1，1），B （2，12），C （1，k ），D （2，2k ），将面积进行转换S △OAC ＝S △COM ﹣S △AOM ，S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 进而求解． 【详解】解：过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，点A ，B 在反比例函数y ＝1x（x ＞0）的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2， ∴A （1，1），B （2，12）， ∵AC ∥BD ∥y 轴， ∴C （1，k ），D （2，2k ）， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， 111112222OACCOMAOMk SSSk ∴=-=⨯-⨯⨯=-， S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 1k 11k 1111122224-⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1132242k k -∴-+=， ∴k ＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，k 的几何意义．能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键．14．如图，反比例函数6y x=在第一象限的图象上有两点,,A B 它们的横坐标分别为1,3，则OAB ∆的面积为___．【答案】8 【分析】根据题意结合反比例函数图象上点的坐标性质S △AEO =S △ACO ＝S △OBD ＝3，得出S 四边形AODB 的值是解题关键． 【详解】 解：如图所示：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， ∵反比例函数6y x=在第一象限的图象上有两点A ，B ，它们的横坐标分别是1，3， ∴x ＝1时，y ＝6；x ＝3时，y ＝2， 故S △AEO ＝S △OBD ＝S △ACO=3，S 四边形AEDB ＝12×（2+6）×2＝8， 故△AOB 的面积是：S 四边形AEDB + S 四边形AECO -S △ACO -S △OBD ＝8． 故答案为：8． 【点睛】13原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，得出四边形AODB 的面积是解题关键．15．如图，在平面直角坐标系中，直线36y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象作正方形ABCD ，则过D 的反比例函数解析式为________．【答案】y=16x【分析】作DF ⊥x 轴于点F ，先求出A 、B 两点的坐标，故可得出OB=6，OA=2，再根据AAS 定理得出△OAB ≌△FDA 可得出OF 的长，进而得出D 点坐标，把D 点坐标代入反比例函数的解析式求出k 的值即可求得解析式． 【详解】解：作DF ⊥x 轴于点F ．在y=-3x+6中，令x=0，则y=6，即B （0，6）， 令y=0，则x=2，即A （2，0），则OB=6，OA=2， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAO+∠DAF=90°，∵Rt △ABO 中，∠BAO+∠DAF=90°， ∴∠DAF=∠OBA ， 在△OAB 与△FDA 中，DAF OBA BOA AFD AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OAB ≌△FDA （AAS ）， ∴AF=OB=6，DF=OA=2，∴OF=8，∴D（8，2），∵点D在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，∴k=8×2=16，∴反比例函数解析式为y=16x，故答案为y=16x．【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．两个反比例函数C1：y＝2x和C2：y＝1x在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形P AOB 的面积为_____．【答案】1【解析】试题解析：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S矩形PCOD=2，S△AOC=S△BOD=12，∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=2-12-12=1.15原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17．反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．【答案】3 【分析】观察反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k ＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断． 【详解】观察反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k ＜0，所以①错误；因为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，所以②正确； 因为该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称，所以③正确；因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k ＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确． 所以其中正确结论的个数为3个． 故答案为：3． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键． 三、解答题18．已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，并且当x ＝2时，y ＝－4；当x ＝－1时，y ＝5．求出y 与x 的函数表达式． 【答案】y ＝－x －4x【分析】根据题意可分别设出其表达式，把(2，－4)，(－1,5)分别代入，求出待定系数，从而确定y 与x 的函数表达式．【详解】解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x . ∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝2k x. ∴y ＝y 1＋y 2＝k 1x ＋2k x .把x ＝2，y ＝－4，x ＝－1，y ＝5分别代入y ＝k 1x ＋2kx，得21122425k k k k ⎧+=-⎪⎨⎪--=⎩，解得1214k k =-⎧⎨=-⎩， ∴y ＝－x －4x．. 【点睛】本题是正、反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法步骤是解答的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠与反比例函数()0my m x=≠的图像交于点()3,1A ，且过点()1,3B --．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出当mkx b x+>时，x 的取值范围． 【答案】（1）y ＝3x ，y ＝x ﹣2；（2）当﹣1＜x ＜0或x ＞3时，kx +b ＞m x． 【分析】（1）先把A 点坐标代入my x=中求出m 得到反比例函数解析式，然后利用待定系数法即可求一次函数解析式；（2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】17原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！解：（1）∵反比例函数()0my m x=≠的图象过点A （3，1）， ∴m ＝3×1＝3， ∴反比例函数的表达式为y ＝3x； ∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （3，1）和B （﹣1，﹣3），∴313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的表达式为y ＝x ﹣2； （2）当﹣1＜x ＜0或x ＞3时，kx +b ＞mx． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点等知识，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 20．如图，已知反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象与一次函数y ＝﹣12x +n 的图象交于第二、四象限内的点A （a ，4）、B （8，b ），过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，△AOC 的面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出12kx n x-+<的解集．【答案】（1）反比例函数的关系式为：y ＝﹣8x，一次函数的解析式为y ＝﹣12x+3；（2）﹣2＜x ＜0或x ＞8． 【分析】（1）由△AOC 的面积为4，可求出a 的值，然后根据待定系数法即可确定反比例函数的关系式和一次函数的解析式．（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意有两部分．【详解】解：（1）∵点A（a，4），∴AC＝4，∵S△AOC＝4，即12OC•AC=4，∴OC＝2，∵点A（a，4）在第二象限，∴a＝﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4）代入y＝kx得：k＝﹣8，代入y＝﹣12x+n得：n＝3，∴反比例函数的关系式为：y＝﹣8x，一次函数的解析式为y＝﹣12x+3；（2）由图象可以看出﹣12x+n＜kx的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，三角形的面积、待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．21．如图，已知A（1，6），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝m x的图象的两个交点，直线AB与y轴交于C点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过点C作CD∥x轴双曲线与点D，求△ABD的面积．19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】（1）反比例函数的解析式为：y ＝6x，一次函数的解析式：y ＝2x +4；（2）6． 【分析】（1）将A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m 的值，然后将B 的坐标代入反比例函数解析式即可求出n 的值．最后将A 、B 的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式．（2）根据直线解析式求得C 的坐标，把C 的纵坐标代入反比例函数解析式即可求得D 的坐标，然后根据S △ABD ＝S △ACD +S △BCD 求得即可． 【详解】解：（1）∵A （1，6）在反比例函数y ＝mx的图象上， ∴m ＝1×6＝6， ∴反比例函数的解析式为：y ＝6x ， ∵B （n ，﹣2）在反比例函数y ＝6x的图象上，∴n ＝﹣3，∵A （1，6），B （n ，﹣2）是一次函数y ＝kx +b 上的点，∴632k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：24k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式：y ＝2x +4； （2）由直线y ＝2x +4可知C （0，4），把y ＝4代入y ＝6x 得，x ＝32， ∴D （32，4）， ∴CD ＝32，∴S △ABD ＝S △ACD +S △BCD ＝1322⨯×（6+2）＝6． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后用割补法求解三角形的面积．22．学校的学生专用智能饮水机里水的温度y （℃）与时间x （分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB ），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC 为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y 与x 之间的函数表达式； （2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？ 【答案】（1）80209y x =+（0≤x ≤9）；900y x=（9≤x ≤45）；（2）可以盛到最佳温度水的同学有120人． 【分析】（1）设线段AB 的函数表达式为：y kx b =+（0≤x ≤9）将(0,20)A ，(9,100)B 代入解析式中即可求出结论，然后设双曲线BC 的函数表达式为：ay x=，将(9,100)B 代入即可求出结论；（2）如图，依题意得：(,20)t ，(,30)m ，(,45)n 在900y x=上，代入求出m 和n 的值即可求出结论．21原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】解：（1）设线段AB 的函数表达式为：y kx b =+（0≤x ≤9） ∵(0,20)A ，(9,100)B 在y kx b =+上∴209100b k b =⎧⎨+=⎩，解得：80k 9b 20⎧=⎪⎨⎪=⎩∴线段AB 的函数表达式为：80209y x =+（0≤x ≤9） 设双曲线BC 的函数表达式为：ay x=，将(9,100)B 代入，得 ∴900a =∴双曲线BC 的函数表达式为900y x= 当y=20时，解得x=45∴双曲线BC 的函数表达式为900y x=（9≤x ≤45） （2）如图，依题意得：(,20)t ，(,30)m ，(,45)n 在900y x=上∴45t =，3045m =<，2045n =<∴可以盛到最佳温度水的同学有：12(3020)120⨯-=人． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的应用，掌握实际意义、利用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式是解决此题的关键．23．如图1，一次函数y ＝kx+b 的图象交x 轴、y 轴分别于B 、A 两点，反比例函数y ＝(0)kx x<的图象过线段AB 的中点C （﹣2，1.5）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如图2，在反比例函数上存在异于C 点的一动点M ，过点M 作MN ⊥x 轴于N ，在y 轴上存在点P ，使得S △ACP ＝2S △MNO ，请你求出点P 的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为3(0)y x x=-<，一次函数的表达式为334y x =+；（2）(0,0)P 或(0,6)P ． 【分析】（1）先根据点C 的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再根根线段中点的定义可求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法可求出一次函数的解析式； （2）先根据反比例函数的几何意义可得MNO 的面积，从而可得ACP △的面积，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）将点(2,1.5)C -代入k y x=得： 1.52k=-，解得3k =-， 则反比例函数的表达式为3(0)y x x=-<；设点A 的坐标为(0,)A a ，点B 的坐标为(,0)B b ，由题意得：0220 1.52ba +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得34ab =⎧⎨=-⎩，即(0,3),(4,0)A B -，将点(0,3),(4,0)A B -代入y kx b =+得：340b k b =⎧⎨-+=⎩，解得343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，23原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则一次函数的表达式为334y x =+； （2）设点P 的坐标为(0,)P m ，则3AP m =-， 由反比例函数的几何意义得：13322MNOS=⨯-=， 2ACPMNOSS=，3232ACPS=∴⨯=， (2,1.5)C -，ACP ∴△的AP 边上的高为2，12332ACPm S⨯∴=-=， 解得0m =或6m =，则点P 的坐标为(0,0)P 或(0,6)P ． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、反比例函数的几何意义等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键． 24．反比例函数ky x=(k 为常数．且0k ≠)的图象经过点()1.3A ．()3.B m ．(1)求反比例函数的解析式及B 点的坐标； (2)在x 轴上找一点P ．使PA PB +的值最小， ①求满足条件的点P 的坐标；②求PAB △的面积． 【答案】（1）3y x =，B 点坐标为（3，1）；（2）①P 点坐标为（52，0）；②32【分析】（1）先把A点坐标代入kyx=求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（2）①作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，-3），利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标；②根据PAB△的面积=梯形ABDC的面积-△PAC的面积-△PBD的面积计算即可．【详解】解：（1）把A（1，3）代入kyx=得k=1×3=3，∴反比例函数解析式为3yx =；把B（3，m）代入3yx=得3m=3，解得m=1，∴B点坐标为（3，1）；（2）①作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，-3），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此时PA+PB的值最小，设直线BA′的解析式为y=mx+n，把A′（1，-3），B（3，1）代入得331m nm n+=-⎧⎨+=⎩，解得25mn=⎧⎨=-⎩，∴直线BA′的解析式为y=2x-5，当y=0时，2x-5=0，解得x=52，∴P点坐标为（52，0）；②如图，连接AB，作BD⊥x轴于点D，设A A′与x轴交于点C，25原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵A （1，3），B （3，1），P （52，0）， ∴AC=3，BD=1，CD=2，CP=32，PD=12，∴PAB △的面积=梯形ABDC 的面积-△PAC 的面积-△PBD 的面积=()113111+323122222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =91444--=32． 【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式ky x=（k 为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问题，面积的计算． 25．如图，直线AC 与函数()0ky x x=<的图象相交于点()1,6A -，与x 轴交于点C ，且45ACO ∠=︒，点D 是线段AC 上一点． （1）求k 的值；（2）若DOC △与OAC 的面积比为2∶3，求点D 的坐标； （3）将OD 绕点O 逆时针旋转90°得到OD '，点D 恰好落在函数()0ky x x=<的图象上，求点D 的坐标．【答案】（1）k=-6；（2）（1，4）；（3）（3，2）或（2，3） 【分析】（1）将点()1,6A -代入反比例函数解析式中即可求出k 的值；（2）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，根据三角形的面积比可得23DM AN =，再根据点A 的坐标即可求出DM ，然后证出ACN 和DCM 都是等腰直角三角形，即可求出OM ，从而求出结论；（3）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点D 作D G ⊥x 轴于G ，设点D 的纵坐标为a （a ＞0），即DM=a ，然后用a 表示出OM ，利用AAS 证出△G D O ≌△MOD ，即可用a 表示出点D 的坐标，将D 的坐标反比例函数解析式中即可求出a 的值，从而求出点D 的坐标． 【详解】解：（1）将点()1,6A -代入ky x=中，得 61k =- 解得k=-6；（2）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N∵DOC △与OAC 的面积比为2∶327原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴122132OC DM OC AN = ∴23DM AN = ∵()1,6A - ∴AN=6，ON=1 ∴DM=4 ∵45ACO ∠=︒∴ACN 和DCM 都是等腰直角三角形 ∴CN=AN=6，CM=DM=4 ∴OM=CN －CM －ON=1 ∴点D 的坐标为（1，4）；（3）过点D 作DM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点D 作D G ⊥x 轴于G设点D 的纵坐标为a （a ＞0），即DM=a ∵ACN 和DCM 都是等腰直角三角形 ∴CN=AN=6，CM=DM=a ∴OM=CN －CM －ON=5－a ∴点D 的坐标为（5－a ，a ） ∵∠D GO=∠OMD=∠D OD=90°∴∠G D O ＋∠D OG=90°，∠MOD ＋∠D OG=90°， ∴∠G D O=∠MOD 由旋转的性质可得D O=OD ∴△G D O ≌△MOD∴G D =OM=5－a ，OG=DM=a ∴D 的坐标为（-a，5－a ）由（1）知，反比例函数解析式为()06y x x=-< 将D 的坐标代入，得56a a-=-- 解得：122,3a a ==∴点D 的坐标为（3，2）或（2，3）． 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解题关键．学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。