模态分析
模态分析
[D()] 2[m] [c] [k] 0
（4）
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论：
对于包含陀螺效应的旋转软化结构或需考虑阻尼的结构，则使用QR Damped法求解模态振型和复特征值。特征值 i 的表达式：
i i ji
i-复数特征值的实部； i -复数特征值的虚部
3、特征值和振型
特征值的平凡根等于结构的固 有频率（rad/s）
ANSYS Workbench输入和输出的 固有频率的单位为Hz，因为输入 和输出时候已经除以了2π。
模态计算中的特征向量表征了结构 的模态振型，如图所示该形状即为 假设结构按照频率249Hz振动时的 形状。
4、参与系数，有效质量
模态计算后除了能够获取结构的固有频率和振型外，还有参与 系数与有效质量，其中参与系数的计算公式：
M u Cu Ku 0 （1）
设其解为
{x} { }et
代入方程（1）得到
(2[m] [c] [k]){ } [D()]{ } {0}
（2） （3）
矩阵 [D()]称为系统的特征矩阵。方程（3）是一个“二次特征值”问题，
要（3）式有非零解的充要条件为
2、模态分析理论和术语
2.1式输出计算的固有频率：
fi
i 2
其中： fi的单位为Hz，即转/秒。 如果模型的约束不足导致产生刚体运动，则总体刚度矩阵[K]为半正
定型，则会出现固有频率为0的情况。
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论：
有阻尼模态分析中假设结构没有外力作用，则控制方程变为
6、模态计算中接触设置
模态计算中可以定义不同结构之间的接触，但是因为模态计 算是一个纯线性分析，因此模态计算中接触定义与其他非线性 问题中定义中的接触不同，模态计算中接触的具体设置如下：
模态分析及意义介绍
模态分析及意义介绍模态分析是一种定量研究手段，用于解释和预测决策问题。
它基于概率理论和数学模型，结合多个影响因素，以及不确定性和风险因素，分析不同情景下的决策结果。
模态分析具有广泛的应用领域，例如项目管理、金融投资和政策制定等。
模态分析的基本原理是通过建立数学模型，模拟在不同情景下的决策结果。
这些情景通常包括决策变量的不同取值，以及其他相关因素的变化。
通过计算模型中不同情景下的决策结果，可以比较不同方案的优劣，并预测可能出现的风险和不确定性。
模态分析的意义主要体现在以下几个方面：1.提供决策支持：模态分析可以帮助决策者在制定决策方案时考虑到多种不确定因素和风险。
通过模拟不同情景下的决策结果，决策者可以更全面地评估不同方案的风险和潜在收益，从而做出更明智的决策。
2.预测可能的风险和不确定性：在现实生活中，决策过程往往伴随着不确定因素和风险。
模态分析可以通过模拟不同情景下的决策结果，识别可能的风险和不确定性，并为决策者提供相应的预测和应对策略。
3.评估方案的可行性和稳定性：模态分析可以帮助决策者评估不同方案的可行性和稳定性。
通过模拟不同情景下的决策结果，可以比较各种方案的优劣，并评估其在不同情况下的表现。
4.提供决策方案的灵活性：模态分析可以提供决策方案的灵活性。
通过分析不同情景下的决策结果，决策者可以调整决策方案，以适应不同情况下的需求和要求。
5.优化资源利用和风险控制：模态分析可以帮助决策者优化资源利用，降低风险。
通过模拟不同情景下的决策结果，可以找到最佳方案和最合理的资源配置，从而达到资源的最大利用和风险的最小化。
总之，模态分析是一种重要的决策支持工具。
它可以帮助决策者全面评估决策方案的优劣，并预测可能出现的风险和不确定性。
通过模态分析，决策者可以做出更明智、更有针对性的决策，以实现最佳的决策结果。
机械系统动力学特性的模态分析
机械系统动力学特性的模态分析机械系统动力学是研究物体在受到外力作用下的运动规律和机械系统动态特性的学科。
其中，模态分析是一种重要的方法，用于研究机械系统的固有振动特性。
本文将介绍机械系统动力学特性的模态分析方法及其应用。
一、模态分析的基本概念模态分析是研究机械系统振动模态的一种方法。
模态是指机械系统在自由振动状态下的振动形式和频率。
模态分析通过分析机械系统的初始条件、约束条件和外力等因素，确定机械系统的固有频率和振型，并进一步得到机械系统的振荡特性。
二、模态分析的基本步骤模态分析一般包括以下几个步骤：1. 系统建模：根据实际情况，将机械系统抽象为数学模型，包括质量、刚度、阻尼等参数。
2. 求解特征值问题：通过求解系统的特征值问题，得到系统的固有频率和振型。
3. 模态验算：将得到的固有频率和振型代入原始方程，验证其是否满足振动方程。
4. 模态分析：通过对系统的振动模态进行进一步分析，得到系统的动态响应和振动特性。
三、模态分析的应用模态分析在机械工程领域有广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 结构优化设计：通过模态分析，可以评估机械系统的固有频率和振型，判断系统是否存在共振现象或其他异常振动情况，为结构设计提供依据。
2. 动力学特性分析：通过模态分析，可以了解机械系统的振动特性，包括固有频率、阻尼特性和模态质量等指标，为系统的动力学性能评估和优化提供依据。
3. 故障诊断与预测：模态分析可以用于机械系统的故障诊断和预测。
通过对机械系统振动模态的变化进行监测和分析，可以判断系统是否存在故障，并提前发现潜在的故障。
4. 振动控制技术：通过模态分析，可以了解机械系统振动的特征，并采取相应的振动控制措施。
比如调节系统的阻尼、改变系统的刚度等，来减小系统的振动幅度，提高系统的稳定性和工作性能。
四、模态分析存在的问题与挑战模态分析作为一种成熟的技术方法，仍然面临一些问题和挑战。
例如，模态分析需要对机械系统进行精确的建模，包括质量、刚度和阻尼等参数的准确度和全面性。
模态分析
1. 什么是模态分析？模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
模态分析最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
2. 模态分析有什么用处？模态分析所的最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1. 评价现有结构系统的动态特性；通过结构的模态分析可以求得各阶模态参数（模态频率、模态振型以及模态阻尼），从而评价结构的动态特性是否符合要求，并校验理论计算结构的准确性。
2. 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；3. 诊断及预报结构系统的故障；近年来，结构故障技术发展迅速，而模态分析已成为故障诊断的一个重要方法。
利用结构模态参数的改变来诊断故障是一种有效方法。
例如，根据模态频率的变化可以判断裂纹的出现；根据振型的分析可以确定断裂的位置；根据转子支承系统阻尼的改变，可以诊断与预报转子系统的失稳等。
4. 控制结构的辐射噪声；结构噪声是由于结构振动所引起的。
结构振动时，各阶模态对噪声的“贡献”并不相同，对噪声贡献较大的几阶模态称为“优势模态”。
什么是模态分析,模态分析有什么用
什么是模态分析,模态分析有什么用什么是模态分析模态分析有什么用结构劢力学分析中，最基础、也是最重要的一种分析类型就是“结构模态分析”。
模态分析主要用亍计算结构的振劢频率和振劢形态，因此，又可以叫做频率分析戒者是振型分析。
劢力学分析可分为时域分析不频域分析，模态分析是劢力学频域分析的基础分析类型。
基础理论劢力学控制方程可表示为微分方程：其中，[ M ] 为结构质量矩阵，[ C ] 为结构阷尼矩阵，[ K ] 为结构刚度矩阵，{ F } 为随时间变化的外力载荷函数，{ u } 为节点位移矢量，为节点速度矢量，{ ü } 为节点加速度矢量。
在结构模态分析中丌需要考虑外力的影响，因此，模态分析的劢力学控制方程可表示为：理想情况下，结构在振劢过程中，丌考虑阷尼效应，也就是所谓的自由振劢情况，模态分析又可描述为：对上迚一步分析，假设此时的自由振劢为谐响应运劢，也就是说u = u 0 sin( ωt )，上又可迚一步描述为：对上式求解，可得方程的根是ω i²，即特征值，其中i 的范围是从1 到结构自由度个数N （有限元分析中，自由度个数N 一般丌超过分析模型网格节点数的三倍）。
特征值开平方根是ω i ，即固有圆周频率，这样，结构振劢频率（结构固有频率）f i就可通过公式f i = ω i /2 π 得到。
有限元模态分析可以得到f i 戒者ω i ，都可以用来描述结构的振劢频率。
特征值对应的特性矢量为{ u } i 。
特征矢量{ u } i表示结构在以固有频率f i振劢时所具有的振劢形状（振型）。
模态分析中的矩阵1. 模态分析微分方程组包含六个矩阵：[ K ] 代表刚度矩阵。
可参考“结构静力学”中的解释说明。
{ u } 代表位移矢量。
主要用来描述模态分析的振型。
可参考“结构静力学”中的解释说明，但一定要注意，模态分析中得到的位移矢量不静力学分析中位移矢量代表变形丌同。
[ C ] 代表阷尼矩阵。
模态分析
型模型的较少的振型 （<40）
– 需要相对较少的内存； – 实体单元和壳单元应当具有较好的单元 形状，要对任何关于单元形状的警告信 息予以注意； – 在具有刚体振型时可能会出现收敛问题； – 建议在具有约束方程时不要用此方法。
M2-8
模态提取方法- PowerDynamics法
• PowerDynamics 法适用于提取很大的模型（100.000个 自由度以上）的较少振型（< 20）。这种方法明显比 Block Lanczos 法或子空间法快，但是：
– – – – – – Block Lanczos法 子空间法 PowerDynamics法 缩减法 不对称法 阻尼法
• 使用何种模态提取方法主要取决于模型大小（相 对于计算机的计算能力而言）和具体的应用场合
M2-6
模态提取方法 - Block Lanczos法
• Block Lanczos 法可以在大多数场合中使用：
M2-18
选择分析类型和选项
模态扩展 ： • 建议： 扩展的模态数目应当与提取的模态数目 相等，这样做的代价最小。
M2-19
选择分析类型和选项
其它分析选项： • 集中质量矩阵：
– 主要用于细长梁或薄壳，或者波传播问题； – 对 PowerDynamics 法，自动选择集中质量矩阵。
• 预应力效应：
M2-9
模态提取方法- 缩减法
• 如果模型中的集中质量不会引起局部振动，例如象 梁和杆那样，可以使用缩减法：
– 它是所有方法中最快的； – 需要较少的内存和硬盘空间； – 使用矩阵缩减法，即选择一组主自由度来减小[K] 和[M] 的大小； – 缩减[的刚度矩阵[K] 是精确的，但缩减的质量矩阵 [M]是 近似的，近似程度取决于主自由度的数目和位置； – 在结构抵抗弯曲能力较弱时不推荐使用此方法，如细长 的梁和薄壳。
模态分析多种方法
模态分析多种方法模态分析是指在多种可能性或选项中进行评估和比较的过程。
它可以用于各种领域和问题的决策和规划中。
在下面的文章中，我将介绍模态分析的几种常见方法。
1.SWOT分析：SWOT分析是一种评估组织内部优势、劣势以及外部机会和威胁的方法。
它将可能的选项与组织的优势和机会相匹配，以确定最佳的决策方向。
2.决策树分析：决策树分析是一种图形化的分析方法，它通过描述可能的决策，可能的事件和决策之间的结果和概率，帮助决策者了解选择每个选项的可能结果。
3.鱼骨图：也称为因果关系图，鱼骨图是一种用于分析问题根本原因的方法。
它通过将问题放在鱼骨的左侧，然后将可能的原因绘制在鱼骨的骨头上，帮助确定问题的潜在解决方案。
4.多层次决策分析：多层次决策分析是一种在多个层次上评估决策的方法。
它通过将决策者的目标和准则以及可能的选项在一个层次结构中进行组织，帮助决策者在各个层次上进行评估和比较。
5.场景分析：场景分析是一种评估决策在不同未来情景下的潜在结果的方法。
它通过识别和描述不同的情景，并评估每个情景下的决策结果，帮助决策者选择最有利的决策。
6.成本效益分析：成本效益分析是一种评估不同决策方案的成本和效益的方法。
它通过比较不同决策方案的成本和效益，帮助决策者选择具有最大效益和最小成本的决策。
7.概率分析：概率分析是一种评估决策在不同概率下的结果的方法。
它通过对可能的不同结果的概率分布进行建模和分析，帮助决策者了解不同决策的风险和潜在回报。
这些方法在不同的情况下都可以有效地进行模态分析。
根据具体的问题和决策情境，选择合适的方法是非常重要的。
有时，可以结合使用多种方法来增加分析的全面性和准确性。
模态分析方法的选择应该考虑以下几个因素：决策的性质和复杂性、可用数据和信息的可靠性、时间和资源的限制以及决策者的偏好和需求。
关键是确保所选择的方法能够提供足够的信息和支持，以便决策者能够做出明智和理性的决策。
在实际应用模态分析方法时，还应注意方法本身的局限性和不确定性。
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
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模态分析
模态分析结果：
阶次 序列 特征值
Nastran f06文件：
固有频率 特征值输出 广义质量 广义刚度
采用质量正交化广义质量=1
与abaqus输出文件类似，在nastran模态分析设置中，我们也选择了质量正交化法则。从上面 的数据中可以看到，此模态计算包含了6个刚体模态，即自由模态。所谓的自由模态计算是指 整体模型没有任何约束,这样计算时,整体模型就会被当作一个刚体,而此刚体在6个自由度上 都有微弱的振动,因此反映在频率值上就是远远小于1hz的振动模态。从第7阶开始才是模型的 整体或者局部模态。如果在无约束的模型中，第7阶模态仍然还特别小，那么就要注意这阶模 态是否正常，可能模型的连接出了问题。需要修改模型，重新计算。 对于刚体模态—类似于应变自由发生的机构，节点间无相对位移。在静力分析中,刚体模态是 有矩阵奇异导致的，一般添加约束，使用惯量释放来避免这种情况。在动力学分析中，刚体 模态经常出现，如飞行中的飞行器或轨道中的卫星，这些情况刚体模态可能是模型求解的一 部分或者可能更重要，约束结构避免刚体模态将导致改变结构动力学特性以及响应。
2014 Studies
模态分析
我们设计的所有结构都具有各自的固有频率和模态振型。本质上，这些特性取决于确定结 构固有频率和模态振型的结构质量和刚度分布。作为一名设计工程师，需要识别这些频率 ，并且当有外力激励结构时，应知道它们怎样影响结构的响应。理解模态振型和结构怎样 振动有助于设计工程师设计更优的结构。 现在我们能更好地理解模态分析主要是研究结构的固有特性。理解固有频率和模态振型（ 依赖结构的质量和刚度分布）有助于设计噪声和振动应用方面的结构系统。我们使用模态 分析有助于设计所有类型的结构，包括机车、航天器，宇宙飞船、计算机、网球拍、高尔 夫球杆……这些清单举不胜举。
模态分析
模态分析结果： 模态输出云图：odb，op2或h3d 模态频率文本：dat，f06 Abaqus dat文件：
默认的线性摄动分析步
模型的总质量 重心位置
惯性矩
2014 Studies
模态分析
模态分析结果： Abaqus dat文件：
特征值输出 固有频率 阶次 特征值 广义质量 复合模态阻尼
2014 Studies
最简单的动态分析就是弹簧上的质量块自由振动， 如图：
2014 Studies
模态分析
2014 Studies
模态分析
2014 Studies
模态分析
模态提取方法： 有限元计算模态提取的方法有很多，最常用的有以下几种： • • • • 分块的Lanczos法，该方法是默认的特征值求解器。用于提取大模型的多阶模态。速度 快，但是要求的内存多。 子空间法（Subspace),计算精度较高，但是速度比缩减法慢。可用于提取大模型的少数 阶模态。 Power Dynamic法，用于提取大模型的少数阶模态，对于网格较粗的模型只能得到近似 值，使用于提取100K以上自由度模型特征值的快速求解。 缩减法（Reduced/Householder）,用于提取小模型的模态（10K以下自由度）
不论是abaqus还是nastran，我们默认的模态提取方法都是Lanczos法则。 特征向量提取一般选择质量正交化，也叫质量标准化。它的意思就是将广义质量（对应于 该阵型的单自由度系统的质量）归一化， 标准化。正交化方法还有 Displacement 正交化 (abaqus),以及Maximun正交化(Nastran),它们都是将特征向量列举中的最大项归一化，等 于 1。
2014 Studies
模态分析
模态分析的通俗解释：
用一块平板的振动模式来简单地解释模态分析。这个解释过程对于那些振动和模态分析的 新手们通常是有用的。 考虑自由支撑的平板，在平板的一角施加一个常力，由静力学可知，一个静态力会引起平 板的某种静态变形。但是在这儿我要施加的是一个以正弦方式变化，且频率固定的振荡常 力。改变此力的振动频率，但是力的峰值保持不变，仅仅是改变力的振动频率。同时在平 板另一个角点安装一个加速度传感器，测量由此激励力引起的平板响应。
在我们常做的abaqus和nastran模态分析中，一般都采用Lanczos法。
2014 Studies
模态分析
模态分析求解控制：
Abaqus设置：
计算类型：模态频率提取,frequency 提取方法(特征值求解器):Lanczos, 正交化方法：质量正交化
Nastran设置：
计 算 类 型 ： 模 态 提 取 ,Sol 103 ， normal modes 提取方法：Lanczos, EIGRL 正交化方法：质量正交化
2014 Studies
模态分析
模态分析输出设置： Abaqus设置：
应变能密度：SENER
Nastran设置：
应变能密度：ESE
2014 Studies
模态计算最主要的输出是位移和应变能密度。位移云图可以方便大家对模态振型进行直观 判断，可以清楚的了解结构的固有特性。但是位移云图对模态改进的意义不大，我们可以 看到某特殊频率下的位移，却不能看到产生相关位移的内部原因。并且位移的数值没有太 大意义。而应变能密度可以显示结构中吸收能量最集中的部位，让我们了解到能量的分布 。我们对应变能集中的部位进行加强就可以通过提高局部刚度从而对该结构的局部模态进 行改进。
时域数据提供了非常有用的信息，但是如果用快速傅立叶变换（FFT）将时域数据转换到频 域，可以计算出所谓的频响函数（FRF）。这个函数有一些非常有趣的信息值得关注：注意 到频响函数的峰值出现在系统的共振频率处，注意到频响函数的这些峰出现在观测到的时 域响应信号的幅值达到最大时刻的频率处。 如果我们将频响函数叠加在时域波形之上,会发现时域波形幅值达到最大值时的激励力振动 频率等于频响函数峰值处的频率。因此可以看出,既可以使用时域信号确定系统的固有频率 ，也可以使用频响函数确定这些固有频率。显然,频响函数更易于估计系统的固有频率。
2014 Studies
模态分析
现在如果我们测量平板的响应，会注意到平板的响应幅值随着激励力的振动频率的变化而 变化。随着时间的推进，响应幅值在不同的频率处有增也有减。这似乎很怪异，因为我们 对此系统仅施加了一个常力，而响应幅值的变化却依赖于激励力的振动频率。具体体现在 ，当我们施加的激励力的振动频率越来越接近系统的固有频率（或者共振频率）时，响应 幅值会越来越大，在激励力的振动频率等于系统的共振频率时达到最大值。想想看，真令 人大为惊奇，因为施加的外力峰值始终相同，而仅仅是改变其振动频率。
2014 Studies
模态分析
模态分析报告示例摘录：
2014 Studies
模态分析
模态分析报告示例摘录：
2014 Studies
模态分析
模态分析应用： 模态分析在我们平时的有限元分析工作中，有一个重要的功能就是，模型的检查，比如小模 态值或者自由模态的出现可以判断连接是否正常，约束条件是否设置。模态值的大小还可以 帮助我们判断模型的质量是否合理。
模态分析
2014 Studies
第一部分，模态分析（Modal analysis） • 频率提取 • 影响模态的基本参数 • 模态在nastran，abaqus，dyna中的不同设置 • 模态分析的报告 • 瞬时模态动态分析 (补充内容)
2014 Studies
模态分析
2014 Studies
模态分析
采用质量正交化 广义质量=1
参与系数
2014 Studies
以上参数反映了阵型在哪个自由度上起主导作用,如,第10阶振型主要在Y-rot方向上起作用。
模态分析
模态分析结果： Abaqus dat文件：
有效质量
上面数据中的有效质量反映了该振型在各个自由度上所激活的质量，例如，第一阶振型在Yrot和X-rot上具有较大的质量分布。 Abaqus计算模态分析时的几个要点： • 我们所接触到的模态计算都属于线性动态分析，abaqus主要采用振型叠加法。其响应的 分析步类型为线性摄动分析步（dat文件，linear perturbation step）。 • 系统是线性的（线性材料特性，无接触行为，不考虑几何非线性 ).abaqus模型中所定义 的接触计算时都将示为 Tie（其实是一种连接关系，表示tie的双方有相一致的运动）。 并且在已经建立了连接的地方加接触或者Tie，对于模态频率和阵型无太大影响。 • 在模态分析报告时，除了必要的结果还需要报告模型的质量以及约束状况，没有这两个 因素一切以比较为基础的报告都是没有依据的。 • （未完待续）
2014 Studies
模态分析
许多人惊奇结构怎么会有这些固有特征，而更让人惊奇的是在不同的固有频率处，结构呈 现的变形模式也不同，且这些变形模式依赖于激励力的频率。
现在让布45个加速度计， 用于测量平板在不同激励频率下的响应幅值。如果激励力在结构的每一个固有频率处驻留 ，会发现结构本身存在特定的变形模式。这个特征表明激励频率与系统的某一阶固有频率 相等时，会导致结构产生相应的变形模式。我们注意到当激励频率在第一阶固有频率处驻 留时，平板发生了第1阶弯曲变形，在图中用蓝色表示。在第2阶固有频率处驻留时，平板 发生了第1阶扭转变形，在图中用红色表示。分别在结构的第3和第4阶固有频率处驻留时， 平板发生了第2阶弯曲变形，在图中用绿色表示，和第2阶扭转变形，在图中用红紫红色表 示。这些变形模式称为结构的模态振型。（从纯数学角度讲，这种叫法实际上不完全正确 ，但在这儿作为简单的讨论，从实际应用角度讲，这些变形模式非常接近模态振型。）