第4章 频域分析法4
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信号与系统 第4章 信号的复频域分析
σ t L f ( t ) F f ( t ) e u(t ) F s s σ jω
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
第4章 连续信号的频域分析
4. 周期的影响
信号周期T越大，W0 2 / T
就越小，则谱线越密。反之，T越小，W0越大，谱线则越疏。
▲
■
第7页
4.2 连续非周期信号的频域分析
4.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（4.1.2）式可
知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为：
X (nW) 2A
第4章 连续信号的频域分析
前面章节讨论了信号的时域分析，本章将研究信号 的频域（包括s域）分析及其应用。
■
第1页
4.1 连续周期信号的频域分析
• 连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。
• 4.1.1 频谱的概念
•
对周期信号的时域分析表明，一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以利用正弦型信号或
4.1.2 典型连续周期信号的傅里叶级数
1．连续周期矩形方波信号
如图4-1-1所示的周期矩形方波信号，设脉冲宽度为，脉冲幅度为A，重复周期为T， 主周期为T0。将展成指数形式的傅里叶级数：
其中：
W 2f 2 , f 1
T
T
可见周期矩形脉冲信号x(t)的频谱图
是采样函数Sa。
x(t)
- /2
A /2
例4-2-1计算三角波信号的频谱
如图4-2-1所示的三角波，用数值方法和符号运算近似计算出该三角波信号的频谱。
解：（1）用数值积分近似计算三角波信号频谱
-T
0 T0
（4.1.2）
X (nW)
x(t)
X (nW)e jnWt
n
X
(nW)
1 T
T /2 T / 2
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
信号与线性系统分析第四章
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T
T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n
jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页
四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
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2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
信号与系统分析第四章 连续时间系统的频域分析
(4.5)
Y(j)
H(j) F(j)
()y()f()
第四章 连续时间系统的频域分析
可见, |H(jω)|是角频率为ω的输出与输入信号幅度之 比, 称为系统的[HTH]幅频响应; φ(ω)是角频率为ω的输 出与输入信号的相位差, 称为系统的相频响应。 由于 H(jω)是h(t)的傅里叶变换, 因而当h(t)为实函数时, 由傅 里叶变换的性质可知, |H(jω)|关于ω偶对称, φ(ω) 关于ω 奇对称。
(4.1)
第四章 连续时间系统的频域分析
设系统的初始状态为零, 则y(t)为系统的零状态响应, 对上式两边取傅里叶变换, 并令 Yzs (jω)=F［y(t)］, F(jω)=F［f(t)］, 由时域微分性质, 可
[ j) ( n a n 1 ( j) n 1 a 1 ( j) a 0 ] Y z ( j s ) [ b m ( j) m b m 1 ( j) m 1 b 1 ( j) b 0 ] F ( j)
第四章 连续时间系统的频域分析
本章将讨论连续时间系统的频域分析。 系统的频 域分析就是把系统的激励和响应的关系应用傅里 叶变换从时域变换到频域, 在频域中求系统的响应或 分析系统的特性。 利用频域分析法求系统响应, 是 通过运用傅里叶级数或傅里叶变换, 将信号分解为一 系列正弦分量或虚指数信号(ejωt)之和或积分, 并将这 些单元信号作用于系统所得的响应进行叠加, 从而得 到完整的系统响应。
系统函数表征了系统的频域特性, 是频域分析的关 键。 系统函数的求解方法有如下几种:
第四章 连续时间系统的频域分析
(1) 若系统由微分方程给出, 则可以对微分方程两边 取傅里叶变换, 按照式(4.3)直接求取;
(2) 若给定系统的冲激响应, 则可以对其做傅里叶变 换来求取;
4频域分析法详解
1
1
一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点
由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。
十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点
在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；
1
一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点
由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。
十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点
在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；
第4章 线性系统的频域分析
系统的稳态输出相对于输入信号发生的幅值 和相角的变化，可以用一个关于角频率ω 的 复变函数表示，称为系统的频率特性。
G(i) | G(i) | e
iG ( )
频率特性中的模值和相角也分别称为系统的 幅频特性函数和相频特性函数。
频率特性是系统的频域模型
系统的频率特性可以用实验直接测定。 线性定常系统的频率特性与系统的传递函数 具有如下对应关系：
以RC网络为例。输入是正弦信号，则系统 的稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅值 和相角发生变化。
RCu (来自 ) sin tu (t )
uc (t )
uo (t ) A( ) sin[ t ( )] A( ) 1 1 (T ) 2
i (t )
du o RC uo u dt
0
0 1 Re G
O
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
1 Re G
Im G
G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
Im G
0
1 Re G
O
O
0
1 Re G
延时环节的频率特性曲线
Im G
e
1
i
1 i / 2 1 i / 2
1 Re G
O
G(s) e s
例题4－1
已知某系统频率特性曲线，试确定传递函数。
解 该系统没有积分环节， 没有零点时为二阶系统。 设传递函数为
Kn 2 G( s) 2 s 2n s n 2
Im G
1.2
O
Re G
令s=iω =0 得到 K=1.2。
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,0.2/T rad s
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