1[1].1 平行线等分线段定理4-1
平行线等分线段定理 课件
反思感悟证明线段相等的基本方法 1.证明在同一条直线上的两条线段相等的关键是找出平行线等 分线段定理的基本条件,找准被一组平行线截得的线段. 2.证明不在同一条直线上的两条线段相等,可以根据等腰三角形 的两腰相等或者根据全等三角形的对应边相等来证明. 3.在几何证明中添加辅助线的常见方法:(1)在三角形中,利用角平 分线可构造全等三角形或相似三角形;(2)在三角形或梯形中,若已 知一边或一腰的中点,则过中点可作平行于底边的辅助线.
2.推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 名师点拨对推论1的理解 (1)符号表示:在△ABC中,D为AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于 点E,则点E平分AC. (2)图形表示:
(3)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等 于第三边的一半.
3.推论2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. 名师点拨对推论2的理解 (1)符号表示:在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,过点E作 EF∥BC,交CD于点F,则点F平分CD. (2)图形表示:
(3)平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线 成相等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(如 图)
【做一做1】 如图,已知a∥b∥c,直线AB分别与a,b,c交于点A,E,B,直 线CD分别与a,b,c交于点C,E,D.若AE=EB,则( )
A.AE=CE B.BE=DE C.CE=DE D.CE>DE 解析:由平行线等分线段定理可直接得到答案. 答案:C
(3)梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底 和的一半.
【做一做2】 如图,已知AD∥EF∥BC,E是AB的中点,则
DG=
,H是
人教A版高中数学选修4-1同步检测第1讲1.1平行线等分线段定理
第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1 平行线等分线段定理A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的个数为()①一组平行线截两条直线，所得到的平行线间线段都相等．②一组平行线截两条平行直线，所得到的平行线间线段都相等．③三角形两边中点的连线必平行第三边．④梯形两腰中点的连线必与两底边平行．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确，它们分别是三角形、梯形的中位线．①②错，因为平行线间线段含义不明确．答案：B2．如图所示，已知l1∥l2∥l3，且AE＝ED，AB，CD相交于l2上一点O，则OC＝()A．OA B．OBC．OD D．OE解析：由平行线等分线段定理可得OC＝OD.答案：C3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为()A．9 B．10C．11 D．12解析：过O作直线l∥AB，由AB∥l∥CD∥EF，AO＝OD＝DF，知BO＝OC＝CE.又BC＝6，所以CE＝3，故BE＝9.答案：A4．如图所示，在△ABC中，DE是中位线，△ABC的周长是16 cm，其中DC＝2 cm，DE＝3 cm，则△ADE的周长是()A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．10 cm解析：因为DC＝2 cm，DE＝3 cm，DE为中位线，所以AB＝16－4－6＝6(cm)，所以AE＝3 cm.所以△ADE周长为8 cm.答案：C5．如图，AD是△ABC的高，DC＝13BD，M，N在AB上，且AM＝MN＝NB，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则FC＝()A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 解析：因为AD ⊥BC ，ME ⊥BC ，NF ⊥BC ， 所以NF ∥ME ∥AD ， 因为AM ＝MN ＝NB ， 所以BF ＝FE ＝ED . 又因为DC ＝13BD ，所以BF ＝FE ＝ED ＝DC ， 所以FC ＝34BC .答案：C 二、填空题6.如图所示，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD＝20 cm ，则EF ＝________．解析：E 为AB 中点，EF ∥BD ， 则AF ＝FD ＝12AD ，即AF ＝FD ＝CD .又EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以四边形EFDG 为平行四边形， FD ＝5 cm.所以AC ＝AF ＋FD ＋CD ＝15 cm.因为EF ＝12BD ，所以EF ＝10 cm.答案：15 cm 10 cm7．如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别是线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________．解析：连接DE ，由于点E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，所以四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，点F 是AD 的中点，故EF ＝a2.答案：a2三、解答题8．如图所示，在▱ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连BE 、DF 交AC 于G 、H 点．求证：AG ＝GH ＝HC .证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD 綊BC ，又因为ED ＝12AD ，BF ＝12BC ，所以ED綊BF，所以四边形EBFD是平行四边形，所以BE∥FD.在△AHD中，因为EG∥DH，E是AD的中点，所以AG＝GH，同理在△GBC中，GH＝HC，所以AG＝GH＝HC.9.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC 交梯形中位线EG于点F.若EF＝4 cm，FG＝10 cm，求梯形ABCD 的面积．解：作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．因为EG是梯形ABCD的中位线，所以EG∥DC∥AB.所以点F是AC的中点．所以DC＝2EF＝8 cm，AB＝2FG＝20 cm，MN＝DC＝8 cm.在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD ＝∠BNC ， 所以△ADM ≌△BCN .所以AM ＝BN ＝12(20－8)＝6(cm)．所以DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝63(cm)． 所以S 梯形＝EG ·DM ＝(4＋10)×63＝843(cm 2)．B 级 能力提升1.如图所示，在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，DE ∥AB 交BC 于E ，则阴影部分面积为△ABC 面积的( )A.14B.13C.15D.16 解析：因为D 为AC 的中点，DE ∥AB ， 所以E 为BC 的中点．所以S △BDE ＝S △DEC ，即S △BDE ＝12S △BDC ＝14S △ABC .答案：A2.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝22cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________．解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ， 所以DF ＝FC .所以EF 为梯形ABCD 的中位线．所以EF＝12(AD＋BC)，且△EGF的高是梯形ABCD高的一半．所以S梯形ABCD＝4S△GEF＝4×22＝82(cm2)．答案：8 2 cm23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E为AB的中点，求证△ECD为等边三角形．证明：如图所示，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.因为AD∥BC，所以AD∥EF∥BC.又因为E是AB的中点，所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)．因为DC⊥BC，所以EF⊥DC，所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．所以△EDC为等腰三角形．因为AB＝BC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．所以∠ACB＝60°.又因为E是AB边的中点，所以CE平分∠ACB，所以∠FEC＝∠ECB＝30°，所以∠DEF＝30°，所以∠DEC＝60°.又因为ED＝EC，所以△ECD为等边三角形．。
平行线等分线段定理 课件
平行线等分线段定理推论1的运用 [例2] 如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交 于点G，CE∥FB交AD的延长线于点E. 求证：Байду номын сангаасG＝2DE.
[思路点拨] AF＝FC，GF∥EC → AG＝GE → △BDG≌△CDE → AG＝2DE
3．如图，在▱ ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，OE平行于AB交BC于E，AD＝ 6，求BE的长． 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA＝OC，BC＝AD. 因为AB∥DC，OE∥AB， 所以DC∥OE∥AB. 因为AD＝6， 所以BE＝EC＝12BC＝12AD＝3.
4．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， BE的延长线交AC于点F. 求证：AF＝13AC. 证明：如图，过D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点， DG∥BF， ∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点， EF∥DG， ∴F是AG的中点，即AF＝FG. ∴AF＝13AC.
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线， 构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进 行几何证明或计算．
5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么 结论是否成立？若成立，请给予证明． 解：结论成立．证明如下： 过点 M 作 ME⊥AB 于点 E， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB. ∵ME⊥AB， ∴ME∥BC∥AD. ∵AM＝BM，且 ME⊥AB， ∴E 为 AB 的中点， ∴M 为 CD 的中点．
由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，
又OE＝6，所以BE＝9.
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理课前导引素材新人教A版4-1!
第一节平行线等分线段定理
课前导引
情景导入
假若你手中有一把无刻度直尺和一副圆规,你能把一条线段三等分、五等分、七等分吗?你当然熟悉三角形、梯形的中位线定理,但它们的逆命题是否仍旧成立呢?这些都离不开本节定理――平行线等分线段定理.
知识预览
1.平行线等分线段定理.
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.两个推论:
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰.
说明:(1)本节重点为平行线等分线段定理及其两个推论.两个推论是“定理”的特殊情况.
(2)猜想和证明是探究问题的两个必不可少的方法,只有猜想,得到的结论是不可靠的,必须通过严格的数学证明才能得到正确的、具有一般意义的结论.
(3)证明应从语言、图形、符号三个方面有机结合进行.
(4)猜想往往是对特例的观察和概括.
1。
1.平行线等分线段定理
复习
平行线的判定: ①两条直线被第三条直线所截,具有下列条件之一, 则两条直线平行: 同位角相等; 内错角相等; 同旁内角互补. ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行. ③平行于同一条直线的两条直线互相平行.
平行线的性质: ①公理:过已知直线外的一个已知点,只能作一 条直线和已知直线平行. ②如果两条平行直线和第三条直线相交,那么: 同位角相等;内错角相等;同旁内角互补. ③夹在两条平行线间的平行线段相等. ④如果两条直线平行,那么一条直线上的所有各 点与另一条直线的距离相等.也就是说,两条平 行线间的距离处处相等. 下面我们继续研究平行线的性质. 就是在已知一组直线平行的条件下,研究可以得 到哪些结论.
(1)把线段n等分;(2)证明 在同一直线上的线段相等.
A
D ？
F ？
3、数学思想方法---转化思想. B
C
体会从特殊到一般的思考方法.
思考与练习
一、如图：有块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知 张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例， 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所 以点P 必须是三家地的交界地
B C
平行线等分线段定理
A E D ？ F
？ B
图4
如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
E C
推论1
？F ？ C
B
图5
推论2 经过梯形一腰的中点与底边
平行的直线，必平分另一腰. 符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB. ∴DF=FC
平行线等分线段定理
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ
ＨＣ
Ｇ
Ｆ
Ｍ
Ｅ
Ｄ
求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。
Ａ ＩＪＫ Ｌ Ｂ Ｎ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
∴AP=PQ=QB，
∴AP= —31 AB.
一、填空题3： 已知AD∥EF∥BC， E是AB的中点，
则DG= BG ， H是 AC 的中点，
F是 CD 的中点. A
D
EG HF
B
C
一、填空题4： 已知△ABC中，AB=AC， AD⊥BC，
M是AD的中点，
A
CM交AB于P，
DN∥CM交AB于N， P
如果AB=6厘米，
.M
则PN= 2 厘米.
N
∟
B
D
C
一、填空题5：
已知△ABC中，CD平分∠ACB，
AE⊥CD交BC于E，
DF∥CB交AB于F，
A
AF=4厘米，
则AB= 8 厘米.
FD
B
E
C
二、判断题1： 若AB∥CD∥EF，
AC=CE，
则 BD=DF=AC=CE.
(× )
A
B
C
D
E
F
二、判断题2：
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点，
∴AB=2CE.
三、证明题2：
已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的
中点， CE、AF A
. 分别交BD于M、N， E
2014年人教A版选修4-1课件 1.平行线等分线段定理
思想: 借助平行四 边形对边相等.
已知: A1, A2, A3 是直线 l 上的点, A1A2=A2A3, 直线 l1//l1//l3. 直线 l 分别交 l1, l2, l3 于 B1, B2, B3. 求证: B1B2=B2B3.
证明: (2) 当 l//l 时 (如图), 作 B1C1//l, 交 l2于C1; B2C2//l, 交 l3于C2. ∵l1//l2//l3, ∴ A1A2C1B1, A2A3C2B2 是平行四边形, 则 A1A2=B1C1, A2A3=B2C2, 又∵A1A2=A2A3, ∴B1C1=B2C2. ① l A1 A2 A3
3
在什么条件下, 可能得什么结论, 请写出你的猜想.
问题 1. 请同学们画一直线 l, 并在 l 上取线段 A1A2=A2A3, 然后分别经过点 A1, A2, A3 画三条互相 平行的直线 l1, l2, l3. (1) 画直线 l//l, 依次交三条平行线于 B1, B2, B3. 量一量, B1B2 与 B2B3 相等吗? (2) 画直线 l 不平行 l, 依次交三平行线于 C1, C2, C3. 量一量, C1C2 与 C2C3 相等吗? l l l 猜想: A1 B1 C1 l 1 如果一条直线被三条 A2 B2 平行直线截得的线段相等, C2 l2 那么这三条平行线截其他 B3 A3 C3 l 直线所得的线段也相等. 3 猜想是否正确?
结论: 如果一条直线被三条平行直线截得的线段相等, 那么这三条平行线截其他直线所得的线段也相等.
推广: 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条 直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的 线段也相等. l l l 问题3. 将 l 平移使 B1 与 A1B1 B1 l1 A1 重合, 类比推论 2, 你将又 A2 B2 B2 l2 得到什么结论? C1 C1 B3 B3 A3 l3 C2 C2
高中数学《平行线等分线段定理》文字素材1 新人教A版选修4-1
平行线等分线段定理平行线等分线段定理是平面几何中的一个重要知识点，是全等三角形、平行四边形、梯形等知识点的延伸，同时又是学习平行线截线段成比例的基础。
正确理解平行线等分线段定理是教学关键，学会尺规等分已知线段也是本节的重点。
教材中直接给出定理内容及证明方法，如若采用传统教学方法讲解，机械的步骤和静止的图形给学生以枯燥、乏味的感觉，并且只能向学生展示知识的结论，不便于揭示问题探索的过程。
这样使学生对平行线等分线段定理只知其然不知其所以然，在学生知识的认知结构中出现断层，不利于能力的培养。
为了使学生参与问题的探索过程，正确理解平行线等分线段定理，结合这节教材的具体内容，我利用《几何画板》和PowerPoint软件制作了一个教学课件，采用多媒体辅助教学，提高了课堂效率，收到了较好的教学效果。
一、利用《几何画板》的测算功能，加强学生的感性认识在知识引入阶段，利用《几何画板》的测算功能，引导学生观察练习簿上相邻横线的距离、任意直线被横格截得的线段的长度，发现：每相邻两条横线的距离都相等，在其他直线上截得的线段也相等（如图1）。
这样可强化学生对新知识的感性认识，为平行线等分线段定理的引入奠定基础。
在定理的提高阶段，当AB=2BC时，也可利用画板测算验证A1B1=2B1C1（向学生说明结论是正确，但仍需进行证明），为今后学习平行线截线段成比例加以铺垫。
二、利用《几何画板》的动态图形，引导学生参与问题的探索在定理的证明过程中，根据《几何画板》的动态性（图形在变化过程中保持其几何关系不变），引导学生观察被截直线的特殊位置及解决方法，探索一般位置的处理思路，寻找出定理的证明方法（平移、构造全等三角形）（如图2）。
从而体现出“由特殊到一般，化一般为特殊”的数学思想。
又如在等分已知线段的作图中，可借助《几何画板》演示在射线上所截相等线段的任意性（即所截五条线段只要求相等，它们的长度可任意选取）。
三、利用《几何画板》的隐藏功能，培养学生分析问题的能力在定理证明之后，让学生观察定理的基本图形，寻找其中包含的特殊图形（如三角形、平行四边形、梯形等），然后利用《几何画板》的隐藏功能展示给学生，从而得出定理的两个推论（如图3）。