建立坐标系解“抛物线”形问题 学案
学案1：2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其推导过程,并能根据条件确定抛物线的标准方程.2.通过抛物线的定义的学习,加深对离心率的理解.学习过程一、预习提示问题1:抛物线是如何定义的?问题2:如何理解抛物线y2=2px(p>0)中p的几何意义?问题3:画出抛物线的四种形式的图象,并写出它的标准方程,焦点坐标及准线方程.问题4:如何来理解抛物线的定义?问题5:求解抛物线的标准方程时,如何建立坐标系?二、预习检测问题1:抛物线y=-2x2的准线方程是()(A)x=-.(B)x=. (C)y=.(D)y=-.问题2:若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为()(A)-2.(B)2.(C)-4.(D)4.问题3:抛物线x2=-2y上一点N到其焦点F的距离是3,则点N到直线y=1的距离等于.三、课堂探究【问题1】(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.【拓展问题1】求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.【拓展问题2】抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,求点P的坐标.【问题2】(1)点M与点F(0,-2)的距离比它到直线l:y-3=0的距离小1,求点M的轨迹方程;(2)已知圆C的方程为x2+y2-10x=0,求与y轴相切且与C外切的动圆圆心P的轨迹方程.【拓展问题1】已知点P(m,3)是抛物线y2=2x上的动点,点P在y上的射影为M,点A 的坐标是A(,4),则+的最小值是()(A).(B)4.(C).(D)5.【拓展问题2】已知直线l:x+1=0及圆C:(x-2)2+y2=1,若动圆M与l相切,且与圆C外切,试求动圆圆心M的轨迹方程.四、当堂达标1.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P坐标为()(A)(,±).(B)(,±). (C)(,±).(D)(,±).2.焦点在x轴,且经过点(2,2)的抛物线的标准方程是.3.求与椭圆+=1有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线的方程.答案一、问题1:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点;定直线l叫做抛物线的准线.问题2:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,焦点坐标为(,0),所以p表示焦点到准线的距离.如果抛物线y2=2px(p>0)的标准方程已给出,则焦点的横坐标为一次项系数的,焦点在其它位置时,也有相类似的规律.问题3:图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)(,0)x=-y2=-2px(p>0)(-,0)x=x2=2py(p>0)(0,)y=-x2=-2py(p>0)(0,-)y=问题4:(1)抛物线的定义实质上可以归结为“一动三定”,即一个动点;一个定点F,即焦点;一条定直线l,即准线;一个定值,即动点到焦点和准线的距离之比为定值1.(2)定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过定点F且垂直于l的一条直线.问题5:根据抛物线的定义导出它的标准方程时,要考虑怎样选择坐标系才能得到标准方程.过抛物线的焦点F做准线的垂线,垂足为K,则一般将直线KF作为一条坐标轴,线段KF的中点作为原点,这样建出的坐标系得到的抛物线的方程最简单,不含常数项.二、预习检测问题1:C解析:抛物线的标准方程为x2=-y,故准线方程为y=.问题2:D解析:椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p=4.问题3:解析:点N到焦点F的距离等于其到准线y=的距离,则点N到直线y=1的距离等于.三、【问题1】解析:(1)∵抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又∵点M在抛物线上,∴()2=-2p(-2),即p=,∴所求方程是x2=-y.(2)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=或p=,故所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.【拓展问题1】解析:抛物线的焦点一定在坐标轴上,故焦点为(4,0)或(0,-3),当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x,当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y.【拓展问题2】解析:设点P的坐标为(x,y),∵|PF|=10,∴1+x=10,∴x=9,把x=9代入方程y2=4x中,解得y=±6,∴点P的坐标是(9,±6).【问题2】解析:(1)设点M坐标为(x,y),∵点M到点F的距离比它到直线l:y=3的距离小1,∴点M到点F的距离与它到直线l:y=2的距离相等,即点M的轨迹是以F(0,-2)为焦点,直线l:y=2为准线的抛物线.∵=2,且开口向下,∴点M的轨迹方程为x2=-8y.(2)设P点坐标为(x,y),半径为R,∵动圆P与y轴相切,∴R=|x|.∵动圆与定圆C:(x-5)2+y2=25外切,∴|PC|=R+5.∴|PC|=|x|+5.当点P在y轴上或y轴右侧时,即x≥0,则|PC|=x+5,即点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线,故方程为y2=20x(x≥0);当点P在y轴左侧时,即x<0,则|PC|=-x+5,此时点P的轨迹是x轴的负半轴,即方程y=0(x<0).故点P的轨迹方程为y2=20x(x≥0)或y=0(x<0).【拓展问题1】C解析:延长PM交抛物线的准线于N,如图,则+=,由抛物线定义知,+==,则只有当A,P,F三点共线时,++有最小值:=5,所以,+的最小值为.【拓展问题2】解析:设M(x,y),M到直线l的距离为d.∵动圆M与l相切且与圆C外切,∴|MC|=d+1.∴动点M到定点C的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以C(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.由问题2及其拓展可以得出什么结论?求动点的轨迹的一个常用方法:几何定义法,所谓“几何”,是指挖掘条件的几何意义,所谓“定义”,是指所挖掘的几何意义是否符合某种曲线的定义.四、1.B解析:设P(x,y),则点P到焦点的距离为2,∴点P到准线x=-的距离也是2,即x+=2,∴x=,∴y=±,∴选B.2.y2=6x解析:设抛物线的标准方程为y2=2px,代入点(2,2)得p=3,所以方程为y2=6x.3.解析:根据抛物线的性质,所求抛物线的方程应为标准方程.椭圆的焦点为(1,0)和(-1,0),当抛物线的焦点为(-1,0)时,抛物线焦点在x轴负半轴,此时方程为y2=-4x,同理可求,焦点为(1,0)时,抛物线的标准方程为y2=4x,所以所求的方程为y2=4x或y2=-4x.。
学案2：2.3.1抛物线及其标准方程
2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及其标准方程．2．了解抛物线的实际应用．3．能区分抛物线标准方程的四种形式．预习提示：1.我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？2. 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？3．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？4．抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？抛物线的开口方向由什么决定？5．抛物线与二次函数有何关系？课堂探究：例1、(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4 B．8C．13 D．16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)变式训练：(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为() A．2B．3 C．4 D．5(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x例2、分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)．(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．(3)已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．变式训练：若把本例题目改为：(1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．试求抛物线的标准方程．例3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．变式训练：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M 到y轴的距离的最小值．例4、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?变式训练：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34 m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？当堂达标：1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 3．已知动点M (x ，y )的坐标满足x －22＋y 2＝|x ＋2|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标． 答案：1.【提示】 抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．2. 【提示】 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．3．【提示】 根据抛物线的几何特征，可以取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，以F 到l 的垂线段的中垂线为y 轴建系．4．【提示】 p 是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的标准方程有四种类型：①焦点在x 轴的正半轴上，其标准方程为y 2＝2px (p ＞0)； ②焦点在x 轴的负半轴上，其标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)； ③焦点在y 轴的正半轴上，其标准方程为x 2＝2py (p ＞0)； ④焦点在y 轴的负半轴上，其标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 抛物线的方程中一次项决定开口方向．5．【提示】 二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ，c 为0时，y ＝ax 2表示焦点在y 轴上的抛物线，标准方程为x 2＝1a y ，a ＞0时抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下，当抛物线的开口方向向左或向右时，方程为y 2＝2px ，这是一条曲线，不能称为函数．课堂探究：例1、 【自主解答】 (1)由题意6＋p2＝10，∴p ＝8.(2)因为点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，所以点P 到F (4,0)的距离与到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .【答案】 (1)B (2)C变式训练：【解析】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而A 到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .【答案】 (1)D (2)A例2、 【自主解答】 (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x ；若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .(3)法一：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由题设可得⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5， 解得{ p ＝4，m ＝26或{ p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x .法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2， 根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .变式训练：【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形： 当抛物线焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， 抛物线标准方程为y 2＝4x ；当抛物线焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，抛物线标准方程为x 2＝12y .(2)令方程x －2y －4＝0的x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，这时抛物线标准方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，这时抛物线标准方程为x 2＝－8y .例3、 【自主解答】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5.①(2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12.因为12＞2，所以点B 在抛物线内部，过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知：|P 1Q |＝|P 1F |.②所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式训练：【解】 如图，F 是抛物线y 2＝x 的焦点，过A 、B 两点分别作准线的垂线AC 、BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C 、D 、N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)．由抛物线的定义可知 |AF |＝|AC |，|BD |＝|BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝32.设M 点的坐标为(x ，y )，则|MN |＝x ＋14.又|MN |≥32，∴x ≥32－14＝54，当且仅当AB 过抛物线的焦点时等号成立．此时点M 到y 轴的距离的最小值为54.例4、【自主解答】 如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)， 代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．变式训练：【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p ＞0)上．所以16＝－2p ×(－5)，2p ＝165. 所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航． 设B (2，y )，由于22＝－165×y ，所以y ＝－54.所以水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝2(m)．答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航.当堂达标：1．【解析】 由y 2＝－8x ，得2p ＝8，∴p2＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)． 【答案】 B2．【解析】 由准线x ＝－2及顶点在原点， ∴焦点F (2,0)，p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x . 【答案】 B3．【解析】 由条件知M 点轨迹满足抛物线定义．即M 到定点(2,0)与到定直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线． 【答案】 C4．【解】 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d . 则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).。
抛物线及其标准方程学案
(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；
(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．
5.根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：
(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．
6．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？
问题2：在二准方程的探究
（1）、回顾坐标法求平面内切点M的轨迹方程的方法步骤。
（2）、引导学生自行建立适当坐标系，求出抛物线的方程。
典例精析
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
4.领会椭圆、抛物线、双曲线的对立统一关系。
基础达标
1.抛物线y=4x2的焦点坐标是，准线方程是
2.平面内到定点F(-a,0)与到定直线L,x=a的距离相等的点的轨迹是。
3.当a＞0或a＜0是抛物线，当a=0时，定点F在定直线L上，因此轨迹为直线。所以掌握抛物线定义时要严密准确。其中定点F不在定直线L上。
（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。
例2.根据已知条件分别写出抛物线标准方程。
（1）经过点（2，2）。
（2）焦点在直线x-y+1=0上。
方法小结
1.理解掌握抛物线的定义，四种标准方程及参数p的几何意义
2.熟练抛物线标准方程与其焦点坐标及准线方程之间关系。
3.进一步掌握坐标法求方程的思想方法。
青岛开发区致远中学高二数学新授课导与练64
课题
抛物线及其标准方程
2.3.1抛物线及其标准方程学案
射洪县太和中学高二数学导学案年级：高二 学科：数学 执笔：柴敏 审核：杜高峰 签字: 授课教师： 授课时间： 班级： 课题抛物线及其标准方程 课型 新授课 备注 【学习目标】1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程. 【重点难点预测】重点：抛物线的定义及其标准方程的求法. 难点：抛物线定义及方程的应用. 【学法指导】观察、归纳、数形结合法。
【导学流程】一、课前预习导学（预习教材理P 64~ P 67，文P 56~ P 59找出疑惑之处） 回顾旧知，承上启下复习1：函数2261y x x =-+ 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ．复习2：点M 与定点(2,0)F 的距离和它到定直线8x =的距离的比是1:2，则点M 的轨迹是什么图形？ 二、探究新知探究1：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？新知1：抛物线: 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ；直线l 叫做抛物线的 ．思考：如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?写出其推导过程新知2：抛物线的标准方程定点F 到定直线l 的距离为p （0p >）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形 标准方程 焦点坐标准线方程22y px =,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2px =-试试：抛物线220y x =的焦点坐标是（ ），准线方程是 ； 抛物线212x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．三、应用探究案探究一 抛物线的标准方程[例1] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6,6)； (2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上．学以致用1:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点A(2,3)； (2)焦点到准线的距离为52.探究二 抛物线定义的应用[例2] 已知抛物线y2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时，P 点坐标．学以致用2:已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，抛物线y2＝4x 上一动点P 到直 线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.355 B ．2 C.115 D ．3探究三 抛物线的实际应用[例3] 一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．四、总结提升 1．抛物线的定义；2．抛物线的标准方程、几何图形． ■达标测评1．抛物线x ＝4y2的准线方程是( )A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18 2．抛物线y2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y2＝4x 的焦点，则实数a ＝________.【知识清单】【自主反思】。
抛物线及其方程学案
2.3.1抛物线及标准方程（1）班别_________姓名_________学号_____成绩___________学习目标：1，理解并掌握抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。
2，明确抛物线标准方程中P 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题。
3，进一步体会坐标法，及数形结合、等价转化、分类讨论思想。
一.情境引入1. 初中学过的二次函数图像2.生活中的抛物线实例（课件展示）：赵州桥,汽车前灯，太阳灶二. 活动探究(一)探究抛物线的定义1，类比联想，提出课题,（1） 复习椭圆、双曲线的第二定义，离心率e 是什么范围？（2） 若离心率e=1会是什么图形呢？怎样验证？动画演示抛物线的形成过程思考：（1）当点N 在直线l 上运动时，总有___________，即动点M 到定点F 的距离和到定直线l 的距离___________（2）动点M 的轨迹是一条___________2， 抛物线的定义（1）.定义:平面内与一个定点F 和一条不经过定点F 的定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的___________，定直线l 叫做抛物线的___________（2）. 定义深化:(1) 定直线l 不经过定点F （若点F 在l 上，点M 的轨迹是什么？）(2) 定点F 到定直线l 的距离记为p （p >0）(二) 探究抛物线的标准方程1. 问题导引：①：求曲线方程的步骤是怎样的？②：比较椭圆与双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线的方程才能更简单？2. 小组合作探究：学生讨论建系方法，教师巡视，总结不同的方案，谁才是最恰当的建系方案呢？请同学自行验证。
请学生就其中之一板演，其余的由学生分组完成 问： 相比之下,那个方程更为简洁? 3，抛物线的标准方程：方程y2=2px 叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是(p/2,0),它的准线方程是x=-p/2.4，深入探索，完善体系一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同探究1：抛物线的开口方向还可能有几种情况？2：抛物线的标准方程还有哪几种形式，它们分别代表哪种开口方向？为什么？填写下表：标准方程的右边所含的变量（x 或y ）及系数的正负与抛物线的焦点位置有什么对应关系？【注意】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出： ①方程的一次项决定焦点的位置。
高中数学_ 抛物线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
抛物线及其标准方程的教学设计一、设置情境，引入新课从生活实例中引入几种漂亮的抛物线，同时扔了一块粉笔头，发现其轨迹也是开口朝下的抛物线。
引导学生思考：与定点和直线l距离相等的点的轨迹是什么？它满足的几何特征是什么？师：今天我们所要研究的是一类崭新的曲线—抛物线及其标准方程提问：从中可以提炼出点M具有怎样的几何特点？提问：在平面中，只给出定点F（1，0）和定直线l：x=-1，请你画出符合上述几何特点的点M画图体现：实验：师生动手操作提问：动点M形成的轨迹则为抛物线，那么请同学们给出抛物线的定义。
分析：这里追问：有需要补充的么提问：“点在直线上”时满足条件的轨迹是什么? （学生作图发现是过点F的直线l的垂线）归纳定义：平面内到一个定点F和首先欣赏了几种漂亮的图形，都跟抛物线有关，学生观察教师抛粉笔头走出的轨迹也是初中熟悉的抛物线，由此产生兴趣生：动手画图，抬头看黑板看教师画图生：抛物线是到定点和到定直线的距离相等的点的轨迹。
生：加平面内生：加定点不在定直线上从初中已有的经验出发，让学生产生认知冲突的同时初步体会初高中抛物线的联系和区别激发学习兴趣。
强调“在操作中促进学习”，抛物线及其标准方程的学情分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线。
远在学生上初中时，他们就认识了抛物线。
提起抛物线时，学生是胸有成竹的。
关于抛物线的一些基本概念、基本题型，学生已经掌握得比较不错了。
对于一般的抛物线，学生会求其对称轴，能找出其开口方向。
亦能解决稍微复杂一点的抛物线的基本问题。
能够顺畅地画出抛物线的图象。
学生从直观感知上来说，他们知道斜抛物体的轨迹是抛物线，也知道生活中存在着各种各样的抛物线，如雨后彩虹，一些拱桥的桥拱形状，手电筒射出的光的轮廓等，都给我们以抛物线的形状。
同时初中时，学生已经学会了一元二次函数的图像是抛物线。
可以说抛物线是无处不在，时时在学生的周围。
可以说学生对抛物线的几何图形已经有了有了大量的知识储备。
抛物线及其标准方程学案
抛物线及其标准方程学案学习目标：知道抛物线的定义，能推导出抛物线的标准方程；能根据条件求出抛物线的标准方程。
学习重点、难点重点：抛物线的定义及标准方程；难点：建立标准方程时坐标系的选取。
学习过程：一、复习回顾回顾椭圆及双曲线的定义和标准方程以及其推导过程：二、新课引入抛物线的定义：问题一：为什么在抛物线的定义中注明lF ，若点在定直线上，动点的轨迹又是什么？问题二：怎样建立坐标系，才能方便我们求出抛物线方程？标准方程的推导过程：问题三：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他形式，如果改变建系方式，又会得到什么样的方程？问题四：标准方程中P 的几何意义怎样理解？三、精讲点拨例1、已知抛物线的焦点是)0,3(F ，写出它的标准方程和准线方程。
练习题：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是)0,2(F ；（2）准线方程是23-=x例2已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。
练习题：（1）求焦点在x 轴正半轴上，并且经过点)4,2(-M 的抛物线的标准方程。
（2）已知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且准线与y 轴之间的距离为6，求此抛物线的标准方程。
例3已知点M 与点)0,4(F 的距离比它到直线06:=+x l 的距离小2，求点M 的轨迹方程。
练习题：求过点)3,0(F ，且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程。
例4已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点)M到焦点的,3(m距离等于5，求抛物线的方程和m的值小结：当堂检测2=上，它与焦点的距离等于9，求点M的坐标。
1、已知点M在抛物线xy122=和点A(4,0)，点M在此抛物线上运动，求点M与点A的2、已知抛物线xy6距离的最小值，并指出此时点M的坐标。
抛物线的几何性质学案学习目标：能根据抛物线的方程推导它的几何性质；能应用抛物线的性质解决有关问题；会归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质。
《抛物线及其标准方程》教案
《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。
《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。
例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。
拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。
（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
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建立坐标系解“抛物线”形问题
一、导学
1. 导入课题：
如图中的抛物线形拱桥，当水面在l m时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？（板书课题）
2.学习目标：
（1）能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题. （2）进一步巩固二次函数的性质与图象特征. 3.学习重、难点：
重点：建立合适的直角坐标系，用二次函数解决实际问题. 难点：建立合适的直角坐标系. 4．自学指导
（1）探究内容：如图中的抛物线形拱桥，当水面在l m时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲. （4）探究提纲：
①图中的抛物线表示，以抛物线的顶点为，以抛物线的对称轴为，建立直角坐标系. ②设y=ax2(a≠0)，根据已知条件图象经过点，用待定系数法就可以求出a，即可确定解析式.
③水面下降1m后，y=ax2中的y=-2 ，求出对应的x值，即可得此时的水面宽度.
④水面宽度增加多少？
⑤如果以下降1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.给出你的解答，两种方法的结果相同吗？
⑥你还有其他的方法吗？请与你的同桌分享.
二、自学：学生可参考自学指导进行自学. 三、助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生提纲第⑤题的解决情况，让他们体会坐标系建立方式的不同，具体区别在哪？
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 四、强化：
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系；
（2）写出抛物线形上的关键点的坐标；（3）运用待定系数法求出函数关系式；（4）求解数学问题；
（5）求解抛物线形实际问题. 五、评价：
1. 学生学习的自我评价（围绕三维目标）：在这节课学习中你有何收获？掌握哪些解题技能和方法？
2. 教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的状态、方法、效果及存在的问题等. （2）纸笔评价：课堂评价检测；3. 教师的自我评价（教学反思）.。