在几何画板中,怎么画反比例函数图象双曲线分支的一部分
初中数学知识点精讲精析 反比例函数的图像与性质
第二节 反比例函数的图像与性质要点精讲一、反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．1．反比例的画法分三个步骤：1．列表；2．描点；3．连线．2．作反比例函数的图像时应注意以下几点：（1）列表时选取的数值宜对称选取；（2）列表时选取的数值越多，画的图像越精确；（3）连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；（4）画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交．二、反比例函数的性质x x 0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾．反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．如xk y =在第一、第三象限，则可知0k >．2．反比例函数xk y =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义． 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足， 则O EPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k3．反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xk y =越靠近坐标原点． 4．双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x ．相关链接把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．典型分析1．已知直线y=kx （k ＞0）与双曲线y= 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2+x 2y 1的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣9C ．0D ．9【答案】A 【解析】∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线y= 上的点∴x 1•y 1=x 2•y 2=3①，∵直线y=kx （k ＞0）与双曲线y= 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，∴x 1=﹣x 2，y 1=﹣y 2②，∴原式=﹣x 1y 1﹣x 2y 2=﹣3﹣3=﹣6．故选A ．中考案例1．（2012•兰州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0．25m ，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】设y ＝ ，400度近视眼镜镜片的焦距为0．25m ，∴k ＝0．25×400＝100，∴y ＝ ．故选C ．针对训练1．在反比例函数y ＝ )的图象上有两点（－1，y 1），(- ,y 2)，则y 1－y 2的值是（ ）A ．负数B ．非正数C ．正数D ．不能确定2．已知点A （－1，y 1）、B （2，y 2）都在双曲线y ＝ 3＋2m x上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＞－ 3 2D ．m ＜－ 3 23．对于函数xy 6 ，下列说法错误．．的是 （ ） A ． 它的图像分布在一、三象限B ． 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形C ． 当x>0时，y 的值随x 的增大而增大D ． 当x<0时，y 的值随x 的增大而减小4．如图，点A 是反比例函数y=（x ＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数y=﹣的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 55．如图为反比例函数在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过点A 分别作AB⊥x 轴和AC⊥y 轴，垂足分别为B ，C ．则四边形OBAC 周长的最小值为（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 6．在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝ )图像的两支分别在（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限7．已知一次函数y=k 1+b ，y 随x 的增大而减小，且b>0，反比例函数y=2k x中的k 2与k 1值相等，则它们在同一坐标系中的图像只可能是（ ）A B C D8．若反比例函数k 1y=x 的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ） A ．－1B ．3C ．0D ．－3 参考答案1．【答案】A 【解析】∵反比例函数y ＝ 中的k ＜0，∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大；又∵点（－1，y 1）和(- ,y 2)均位于第二象限，－1＜－ ，∴y 1＜y 2，∴y 1－y 2＜0，即y 1－y 2的值是负数，故选A ．2．【答案】D【解析】将A （-1，y 1），B （2，y 2）两点分别代入双曲线y=3+2mx 得，y 1=-2m-3，y 2=3+2m2，∵y 1＞y 2，∴-2m-3＞3+2m2，解得m ＜-3∕2，故选D ．3．【答案】C 【解析】画出xy 6 的图像，然后观察y 随x 的变化． 4．【答案】D【解析】设A 的纵坐标是b ，则B 的纵坐标也是b ．把y=b 代入y=得，b=，则x=，，即A 的横坐标是，；同理可得：B 的横坐标是：﹣．则AB=﹣（﹣）=．则S □ABCD =×b=5．故选D ．5．【答案】A【解析】∵反比例函数在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过点A 分别作 AB⊥x 轴和AC⊥y 轴，垂足分别为B ，C ．∴四边形OBAC 为矩形，设宽BO=x ，则AB=，则s=x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号．故函数s=x+（x ＞0）的最小值为2．故2（x+）=2×2=4，则四边形OBAC 周长的最小值为4．故选：A ．6．【答案】B【解析】根据反比例函数的性质：当k <0时，图象分别位于第一、三象限；当k <0时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数<0，∴图象两个分支分别位于第二、四象限．故选B ．7．【答案】C【解析】根据一次函数的性质，y 随x 的增大而减小，则k 1＜0，且b ＞0与y 轴的交点在y轴的正半轴上，∴一次函数图象过一、二、四象限，故A 和B 错误；又∵反比例函数y=2k x中的k 2与k 1值相等，k 2＜0，∴反比例函数图象位于二、四象限．故选C ．8．【答案】B【解析】根据题意列出不等式确定k 的范围，再找出符合范围的选项：根据题意k －1＞0，则k ＞1．故选B ． 扩展知识反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x 或y=-x （即第一三、二四象限角平分线），对称中心是坐标原点．反比例函数图像不与x 轴和y 轴相交．y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴．|k|与函数图像的关系k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交．|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远．。
《反比例函数的图像》课件
VS
与曲线交点
反比例函数图像也可能与一些曲线相交， 这些交点同样可以通过联立方程求解得到 。
反比例函数图像与坐标轴的关系
渐近线
反比例函数图像会无限接近于坐标轴，但不会与坐标轴相交。
截距
在$x$轴或$y$轴上，反比例函数图像可能会与坐标轴相交于某一点，这个点称为截距。
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反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数可以用 于描述一些物理量之间的关系，
例如电流与电阻之间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用 于描述一些经济量之间的关系， 例如生产成本与生产量之间的关
系。
在实际生活中，反比例函数的应 用还有很多，例如在工程、航空
航天等领域都有广泛的应用。
02
反比例函数的图像 绘制
02
该函数在平面坐标系上的图像是 一个双曲线，随着 k 的正负不同 ，图像分布在第二、四象限或第 一、三象限。
反比例函数的性质
当 k > 0 时，图像分布在第一、三象 限；当 k < 0 时，图像分布在第二、 四象限。
随着 x 的增大或减小，y 的值会无限 趋近于 0，但永远不会等于 0。
反比例函数的图像在 x 轴和 y 轴上都 没有渐近线。
在经济学中的应用
描述人口变化
在人口统计学中，人口变化率与 当前人口数量成反比，可以用反
比例函数来描述。
分析供需关系Βιβλιοθήκη 在经济学中，供需关系可以用反比 例函数来描述，例如当供应量增加 时，需求量会减少。
预测股票价格
股票价格的变化与市场供求关系密 切相关，可以用反比例函数来预测 股票价格的走势。
在日常生活中的应用
04
反比例函数图像的 实际应用
数学反比例函数的图象及性质知识点归纳
数学反比例函数的图象及性质知识点归纳
数学反比例函数的图象及性质知识点归纳
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反比例函数y=k/x的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的'两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题：
（1）画反比例函数图象的方法是描点法;
（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是k≠0，因此不能把两个分支连接起来。
k≠0
（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质：
y=k/x（k≠0）的变形形式为xy=k（常数）所以：
（1）其图象的位置是：
当k﹥0时，x、y同号，图象在第一、三象限;
当k﹤0时，x、y异号，图象在第二、四象限。
（2）若点（m，n）在反比例函数y=k/x（k≠0）的图象上，则点（—m，—n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。
（3）当k﹥0时，在每个象限内，y随x的增大而减小;
当k﹤0时，在每个象限内，y随x的增大而增大;。
反比例函数的图象与质2教学课件
在饮食中，食物摄入量与饱腹感通常成反比关系，即摄入越多，饱 腹感越强；反之，摄入越少，饱腹感越弱。
PART 05
反比例函数与其他知识点 的联系
与一次函数的联系
一次函数是形如$y=kx+b$的函数， 其中$k$和$b$是常数，$k neq 0$ 。反比例函数是形如$y=frac{k}{x}$ 的函数，其中$k$是常数，$k neq 0$。两者在形式上存在明显差异，但 在某些情况下，可以通过适当的变换 将一次函数转化为反比例函数。例如 ，当$b=0$时，一次函数退化为斜率 为$k$的直线，此时若$k>0$，则直 线与坐标轴分别交于$(0,0)$和 $(k,0)$两点，此时可以将其视为反 比例函数在第一象限和第三象限的表 现。
反比例函数的奇偶性
总结词
反比例函数是奇函数
详细描述
反比例函数的定义域是关于原点对称的，且满足f(-x)=-f(x)，因此它是奇函数。
反比例函数的周期性
总结词
反比例函数具有非周期性
详细描述
由于反比例函数的图像分布在四个象限，且不具有重复性，因此它不具有周期性。
PART 04
反比例函数的应用
在物理中的应用
在经济中的应用
01
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格通常成反比关系，即当价格上涨时
，需求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
02
投资回报率
投资者在考虑投资回报率时，通常希望投入与回报成反比关系，即投入
越少，回报越高。
03
货币供应与通货膨胀
货币供应量与通货膨胀率成反比关系，即当货币供应量增加时，通货膨
2023 WORK SUMMARY
反比例函数的图象与 性质教学课件
结识函数家族的新成员——反比例函数
结识函数家族的新成员——反比例函数一、认识反比例函数的意义：1．定义：一般地，形如kyx=（k是常数，0k≠）的函数为反比例函数．其中自变量x的取值范围是不等于零的实数．注意：（1）要能理解反比例函数所表示两个变量的乘积是一个常数；（2）在kyx=中，自变量x的取值范围是不等于零的实数，且0k≠；（3）kyx=的表达形式常写成1y kx-=的形式便于应用．二、了解反比例函数图象的画法：反比例函数图象的画法是描点法，其步骤是：1．列表：自变量的取值应以0为中心，沿0的两边取三对以上相反数，分别计算y的值；2．描点：先画出一侧，另一侧根据关于原点的对称性去找．3．连线：按从左到右的顺序连接各点，图象的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不能与坐标轴相交．4．在图象上注明函数的关系式．注意：（1）在连线过程中，应从x由大到小的顺序用平滑的曲线连接．（2）不能把图象画成与坐标轴相交．三、掌握反比例函数的性质：1．反比例函数kyx=（0k≠）的图象是由两条曲线组成的，这两条分支通称为双曲线．2．当0k>时，双曲线kyx=的两个分支在第一、第三两上象限，在每个象限内，y值随x的增大而减小；当0k<时，双曲线kyx=的两个分支在第二、第四两上象限，在每个象限内，y值随x的增大而增大．注意：（1）反比例函数kyx=，因为0,0x y≠≠故其图象不经过原点，不与坐标轴相交；（2）双曲线是由两个分支组成的，故一般不说两个分支经过第一、三（或第二、四）象限，而说两个分支在第一、三（或第二、四）象限．（3）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数值的增减性时，一般都说在各自的象限内的增减情况．四、学会用待定系数法来确定反比例函数的解析式：由于反比例函数kyx=中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x、y值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的表达式．五、正确理解反比例函数表达式中k的几何意义：如图1，过双曲线kyx=上任意一点P(x,y)作x轴，y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积S=PM•PN=|x|•|y|,而kyx=，所以x y=k，所以S=|x y|=|k|．即过双曲线上用意一点作x轴，y轴的垂线所得矩形的面积为|k|．六、认识反比例函数应注意的问题：1．在研究反比例函数的增减性和大致位置时，要借助于函数的图象进行．2．注意反比例函数与正比例函数、一次函数之间的对比，分别从函数的解析式、图象特征、函数的增减性、自变量的取值范围、与坐标轴的交点等方面进行认识．3．认识反比例函数的图象要以形助数，用数形结合的思想来全面认识，培养数形结合思想．。
【解析几何】谈谈反比例函数与双曲线
【解析几何】谈谈反比例函数与双曲线在初中的数学课上，我们都学过一个东西：反比例函数。
初中数学老师告诉我们，反比例函数的解析式为 y=\frac{k}{x}反比例函数的图像其中k为常数，其图像叫做双曲线。
而到了高中后，数学中有个专题叫做圆锥曲线，里面也有一种曲线叫做双曲线。
双曲线（焦点在x轴上）的标准方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1F_{1}(-c,0) 和 F_{2}(c,0) 称为双曲线的两个焦点，其中c^{2}=a^{2}+b^{2}双曲线满足如下性质：双曲线上任一点P到两个焦点的距离之差为定值，即\left| \left| PF_{1} \right| - \left| PF_{2}\right|\right|=2a（在此处不给出双曲线标准方程的推导，具体可参考高中数学选修2-1课本）反比例函数的像实际上是一种特殊的双曲线，两个坐标轴就是它的渐近线。
我们先来看下面几个话题。
例1 在平面直角坐标系中，两定点坐标分别为 F(2,2) ，F'(-2,-2) ，平面内一点 P 满足 \left| \left| PF_{1}\right| - \left| PF_{2} \right|\right|=4 ，当 P 运动时，求点 P 的轨迹方程。
解由条件与两点间距离公式可得 \left| \sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}-\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}} \right|=4上式两边平方得 (x-2)^2+(y-2)^2-2\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}+(x+2)^2+(y+2)^2=16移项后得到 2x^2+2y^2=2\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}即 x^2+y^2=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}上式两边平方得 x^4+2x^2y^2+y^4=\left[ (x-2)^{2}+(y-2)^{2} \right]\left[ (x+2)^{2}+(y+2)^{2} \right]=[(x^2+y^2+8)-(4x+4y)]\cdot[(x^2+y^2+8)+(4x+4y)]=x^4+2x^2y^2+y^4-32xy+64即 x^4+2x^2y^2+y^4=x^4+2x^2y^2+y^4-32xy+64移项后得到 xy=2两边同时除以 x 可以得到 y=\frac{2}{x}这便是刚刚所提到的反比例函数，在这里 k=2 。
反比例函数图像与性质
可以避免常见的问题
探究绘制反比例函数图象
1．分组利用描点法画出几组反比例函数的图象
目的:纠正学生画图过程中出现的问题
同时为以下研究反比例函数的性质作好准备
探索反比例函数图象的性质
你 能 给 这 些 函 数 图 象 分 类 吗 ？
y y= 2 x y
0 1
y= 4 x
y
0 1
y= 6 x x
0 1
0 1
y
y -6 y= x x
0 1
x
0 1
x
分类二：观察图象特征 归纳总结：当 k 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、三象限， 在每个象限内， y 随 x 值 的增大而增大
反比例函数图象本身所具有的特征是关于原点对称,要 结合自己的情况考虑是否给学生做一引导.
观察几何画板课件，验证猜想
归纳小结
6 y x
的图象
什么样的关系?
y x k
归纳总结：在同一
直角坐标系内这样的 两个反比例函数的图 象既关于x轴对称，也 关于y轴对称，具有对 称关系的两个反比例 函数的值互为相反数 。
反比例函数性质的应用
1.已知反比例函数
4k y x
，分别根据下
列条件求出字母k的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限 （2）在第二象限内，y随x的增大而增大
x
x
y y = -2 x
0 1
y = -4 x x
y
y = -6 x
x
y
0 1
0
1
x
y
y= 2 x x
y
0 1
y= 4 x x
y
0 1
y= 6 x x
0 1
分类一：观察图象特征
教学课件：第1课时-反比例函数的图象和性质
物理现象
电流与电阻的关系、压强与压力 的关系等都遵循反比例关系。
经济学
例如，投入与产出的关系，当生 产技术水平不变时，投入与产出
成反比。
生物学
动物或植物的生长与其所处环境 的某种条件的关系，有时表现为
反比例关系。
利用反比例函数优化设计方案
工程设计
在工程设计中，常常需要利用反比例关系来优化设计方案，例如 建筑设计、机械设计等。
与指数函数、对数函数的综合应用
02
在解决某些实际问题时，需要将反比例函数与指数函数、对数
函数结合起来，例如增长率问题。
与三角函数的综合应用
03
在解决某些实际问题时，需要将反比例函数与三角函数结合起
来，例如振动问题。
05 练习与巩固
基础练习题
基础练习题1
已知点$（2，-3）$在反比例函数 $y=frac{k}{x}$的图象上，求$k$ 的值。
教学课件：第1课时-反比例函数 的图象和性质
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 练习与巩固
01 反比例函数简介
反比例函数的定义
01
反比例函数：形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 x 是自变量，y 是因 变量。
02
当 k > 0 时，反比例函数的图象 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，图象分布在第二象限 和第四象限。
中心对称性
反比例函数的图象关于原 点$(0,0)$对称。
反比例函数图象的变化规律
01
$k$值对图象的影响
当$k > 0$时，反比例函数的图象位于第一象限和第三象限；当$k <
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在几何画板中，怎么画出反比例函数图象的一部分？
画反比例图象可以事先设置函数的定义域，然后再绘制出函数的图象；但在制卷和编制课件的实际操作中往往是先绘制出软件所默认函数的图象，然后才根据页面的空间情况进行取舍，下面根据我在实际操作中所得介绍两种情况供各位参考，但愿能起到抛砖引玉的作用：
问题1：怎样画反比例函数的函数图象一个分支的的一部分？
方法一：绘制反比例函数图象（如：2y x =）→ 选定反比例函数图象（任意点选一个分支即可） → 右键 → 属性 → 绘图 → 范围输入数值（如下图输入的是..0606x 30≤≤） → 确定即可.
特别说明：
在图象有箭头的情况下，鼠标置于图象的箭头端，此时会呈现一个“×”状，鼠标左键按住后还可以根据需要随意将图象拉长和缩短，最后在属性里把“显示箭头和端点”前面的“√”去掉，“隐去”箭头和端点.
方法二：绘制反比例函数图象（如：2y x
=）→ 用点工具在反比例函数图象标出两个点（如下面左图的B C 、点） → 分别选定点 → 右键 → 横坐标（如图的..B C x 064x 339==，） → 按照方法一操作 … 范围输入数值（如下图输入的是..064x 339≤≤）→ 确定把点和标签隐藏（见下面右图）.也可以根据需要仿照方法一的特别说明进行拉伸.
问题2：怎样“同时”画反比例函数图象各自的两个分支的部分图象，并且要使两个部分要关于原点成中心对称？
按照问题1的方法先画好一个分支的部分（本例仍按问题1的方法来操作函数2y x =在第一象限的分支的部分） → 再画出一个同样的的反比例函数图象（如图在同一坐标系内再
画一个同样的函数图象2y x
=） → 右击刚画好的图象 → 在属性里改动自变量的取值范围（根据反比例函数图象两个分支的中心对称性可知B C 、的关于原点O 为中心对称的点为''B C 、，即..B C x 064x 339==，的关于原点的对称点坐标应为''..B C x 064x 339=-=-，，所以其相应的自变量的取值范围由..064x 339≤≤改写为..064x 339-≤≤- → 确定即可 → 根据试卷和课件需要设置好线条的粗细、颜色等（见下面的右图）.
郑宗平 2015/5/25。