定积分求图形的面积和旋转体的
定积分求面积
找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。
其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。
事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。
用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。
Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。
这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。
定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。
，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。
可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。
这个求和公式称为积分和。
设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。
如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。
之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法：特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下：1.当a=b时，2.当a>b时，3.在整数前可以提到常量。
4.代数和的积分等于积分的代数和。
5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。
6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。
定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积
定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积
设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：
弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①
线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②
因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ
绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于
Δ∑＝π(y＋y＋Δy)
＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]
＝2πyds＋o(dx)，
显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有
从而旋转体的侧面积为
相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．
例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．
由⑤式得侧面积为
例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．
故对哪个半圆周都有
代入公式⑤即得所求表面积为
解采用参数坐标较为方便．
令x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π
弧长微分
故表面积为
我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e
习题
29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．求旋转下列曲线所成曲面的面积
33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．
答案。
考研数学第六讲定积分的应用
第六讲 定积分的应用一、基础知识几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。
()baA f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。
由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的图形面积A 。
()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b baaaA f x dx g x dx f x g x dx2．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。
曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21= ⎰=βαθθϕd A )(212（二）旋转体的体积计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为 []dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为 []dx x f V ba⎰=2)(π（三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+= 弧长为 []⎰'+=badx x f s 2)(12.参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，弧微分[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=则 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3.极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 给出，将极坐标方程化成参数方程，曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ，弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有 ⎰'+=βαθd r r s 22（四）.曲率与曲率半径 曲率记作,k 0lims d k s dsαα∆→∆==∆, 222''''tan '''sec sec 1'd d y y y y dx dx y ααααα=⇒=⋅⇒==+, 2''1'y d dx y α=+,又,ds =故322''(1')y d k dsy α==+.曲率半径 3221(1')''y k y ρ+==. 曲率圆二、例题1．平面图形的面积与旋转体的体积例 1. 已知抛物线2,y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为s .问: (1)p q 和为何值时,s 达到最大值? (2)求出此最大值.【答案】,3p q =4=-5,22532s =例2.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何)(x f0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F t ≤≤的面积. 求(I) 1()()S t S S t =-的表达式； (II) ()S t 的最小值.【答案】(I) t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞).(II) eS 11)21(-=. 例3.设曲线的极坐标方程为(0)a e a θρ=>,则该曲线上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为41(1)4a e aπ-. 例 4.设1D 是由抛物线22y x =和直线x a =, 2x =及0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物线22y x =和直线x a =,0y =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V . (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 【答案】54(32)5a π- 4a π 1295π 例5.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?【答案】4a =是体积最大,其最大体积为:522161518755V π=⋅= 例6.过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1).求D 的面积A ;(2).求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 【答案】(1)112A e =- (2)2(5123)6V e e π=-+ 例7.（15-2） 设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π例8.(09-3-10 分)设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >，已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
定积分旋转体面积公式绕x轴和绕y轴的区别
一、公式不同：绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
二、含义不同：是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
（1）纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线。
（2）旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线。
（3）任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的区别如下：同一个椭圆，绕Y轴与绕X轴旋转所形成的立体球体是不一样的。
把椭圆分成1/4来看：当它绕X轴旋转时，这部分旋转走过的路径是以短半轴为半径的圆的周长，也低珠就是周长份厚度无限小的组合起来就是旋转体的体积。
同样，绕Y轴时，是以长半轴为半径的圆的周长份，每一部分的厚度是一样的都是无限小，但是份数不同。
三轴椭球体体积是4/3πabc。
绕x轴旋转，体积是4/3πab2。
绕y轴旋转，体积是4/3πa2b。
简介转轴公式是坐标轴的旋转公式的简称。
转轴公式分为平面直角坐标系中的转轴公式和空间直角坐标系中的转轴公式。
例如在平面直角坐标系中，不改变原点的位置和坐标轴的长度单位，将两坐标轴按同一方向绕原点旋转同一角度的坐标变换叫做坐标轴的阅王旋转，简称转轴。
设坐标轴的旋转角为θ，P是平面的任意一点，在原坐标系xOy中的坐痕喝粒标为（x，y)，在新坐标系x′Oy′中的坐标为（x′，y′），描述则（x，y)与（x′，y′）之间关系的公式叫做坐标轴的旋转公式，简称转轴公式。
定积分旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的区别
定积分旋转体体积公式绕x轴和绕y
轴的区别
积分旋转体是一种用来求解物体体积的数学方法，它可以用来求解物体的体积，也可以用来求解物体的表面积。
积分旋转体的公式可以用来求解物体绕x轴和绕y
轴的体积。
绕x轴的积分旋转体公式是：V=2π∫a^b f(x)dx，其中a和b分别表示x轴
上的两个端点，f(x)表示x轴上的函数。
这个公式表示，物体绕x轴旋转时，体积的计算方法是将x轴上的函数沿着x轴积分，最后乘以2π。
绕y轴的积分旋转体公式是：V=2π∫c^d g(y)dy，其中c和d分别表示y轴
上的两个端点，g(y)表示y轴上的函数。
这个公式表示，物体绕y轴旋转时，体积的计算方法是将y轴上的函数沿着y轴积分，最后乘以2π。
从上面可以看出，绕x轴和绕y轴的积分旋转体公式的区别在于，绕x轴旋转时，需要将x轴上的函数沿着x轴积分，而绕y轴旋转时，需要将y轴上的函数沿着y轴积分。
综上所述，绕x轴和绕y轴的积分旋转体公式的区别在于，绕x轴旋转时，需
要将x轴上的函数沿着x轴积分，而绕y轴旋转时，需要将y轴上的函数沿着y轴积分。
这种区别使得积分旋转体公式可以用来求解物体绕x轴和绕y轴的体积。
高等数学- 定积分的应用
x
0 L(x)dx c0
L(x) x2 L(x)dx x1
例1 设固定成本为50万元,R(Q) 100 - 2Q, C(Q) 14Q 20,试确定厂商的最大利润
四、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
绕 x轴旋转一周
Vx
b (f 2 (x) g2 (x))dx
a
(3) x (y),y c,y d围成图形绕 y轴旋转而成的体积为
Vy
d 2 (y)dy
c
y
d
x ( y) c
o
x
例1 求 x2 y 2 1 (1)绕x轴,(2)绕y轴旋转产 a2 b2
生的旋转体体积
解 : (1)绕x轴
y b a2 x2 a
Vx
a y 2dx
a
2
a b2 0 a2
(a2
x2 )dx
2b 2 a2
(a2x
1 3
x
3
)
|a0
4 ab2 3
(2)绕y轴
Vy
2 2
a x | f (x) | dx
0
4
a b2 0 a2
x
a2 x2dx 4 a2b 3
例2 求y x2 ,x y2围成平面图形绕x轴旋转
而成的旋转体体积.
练习题答案
一、1、1；
2、32 ； 3
4、 y ；
5、e 1 2 ； e
二、1、3 ln 2； 2
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
定积分的应用二
2
V y22
8-8x2d y32 -
8
y3dy
0
0Байду номын сангаас
32-33 y5864
5 05
例 求圆 (x- b )2+y2a 2(0ab ) 绕 y 轴旋转一周所 成的旋转体(环体)的体积。
解 将圆方程改写为 xb a2 -y2 ，
右半圆弧 方程为 xx1(y)b+ a2-y2，
g(8x2-4x3+x4)8
3 162
9 .8 6 3 1 3 ( J 0 )( 1 3 k 0 /m g 3 )
二、液体对平面薄板的压力
问题：设有一薄板，垂直放在密度为 的液体中，求液体对薄板一侧的
压力。
分析：由物理学知道，在液面下深度为 h处，由液体重量所产生的压强为 Pgh
[x, x+dx]，该窄条上所受的压力的近似值，
即为压力微元： dF xd2 S xR 2-x2dx
端面所受的压力为：
FR 02x R2-x2dx
1
-R 0 (R 2-x2)2d(R 2-x2)
-2(R2-x2)2 3R2R3
3
0 3
练习1 设某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条 底边各长为10m和6m，高为20m，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力。
•旋转体的体积（绕x轴旋转所得） V a b [ f ( x ) 2 d . ] x
复习（旋转体体积公式）：
1.绕x 轴旋转所得旋转体体积公式
b
V f 2(x)dx a
2.绕y 轴旋转所得旋转体体积公式
d
V 2(y) dy c
旋转体的体积：V a b [ f ( x ) 2 d . ] x