四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试数学理试题 word版

保密★启用前【考试时间：2012年11月1日下午3:00?5:00】

绵阳市高中2013级第一次诊断性考试

数学 (理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷 3至4页.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.

2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题0标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后，将答题卡收回.

第I卷（选择题，共60.分）

—、选择题：本大题共彳2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目荽求的.

1. 设集合，B={0, 1, 2}，则等于

A. {0}

B. {0，1}

C. {0, 1， 2}

D.

2. 命题，则是

A. B.

C. D.

3. 己知数列为等差数列，且，则的值为

A. B. C. D.

4. 设，，则

A. c

B. b

C. c

D. a

5. 函数.的零点所在的区间为

A. (-1，0)

B. (0, 1)

C. (1, 2)

D. (2，3)

6. 如图，在，中，AD=2DB，DE=EC,若，则=

A. B.

C. D.

7. 设函数的部分图象如下图所示，则/(力的表达式为

A.

B.

C.

D.

8. 若函数在区间(O, 1)上单调递增，且方程的根都在区间[-2, 2]上，则实数b的取值范围为

A. [O, 4]

B.

C. [2, 4]

D. [3, 4]

9. 已知定义在R上的奇函数/(X)是上的增函数，旦f(1)=2,

f(-2)=-4,设.若是的充分不必要条件，则实数t的取值范围是

A. B. C. D.

10. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为

A. .2400 元

B. 2300 元

C. 2200元

D. .2000 元

11. 已知函数则满足不等式.例X的取值范围为

A. (0，3)

B.

C.

D. (-1, 3)

12. 已知定义在R上的函数f(X)满足且当

,则等于

A. B. C. D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13. 已知向量a=(2,1)，b=(x，-2)，若 a//b，则 x=______

14. 已知偶函数在上是增函数，则n= _______

15. 已知{a n}是递增数列，且对任意的都有恒成立，则角θ的取值范围是_______

16. 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M.给出下列命题：

①所有奇数都属于M.

②若偶数2k及属于M，则.

③若，则,,

④把所有不属于M的正整数从小到大依次择成一个数列，则它的前n项和其中正确命题的序号是_______?(写出所有正确命题的序号》

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.

17. (本题满分12分）设向量，函数，.

(I)求函数f(x))的最小正周期及对称轴方程；

(I I)当时，求函数f(x)的值域. .

18. (本题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差，且S3+S5=58，a1,a3,a7

成等比数列.

(I)求数列{a n}的通项公式；

(I I)若{b n}为等比数列，且记求T10值.

19. (本题满分12分）己知二次函数y=f(x) 的图像过点(1,-4),且不等式f(x)<0的解集

是(O, 5).

(I )求函数f(x)的解析式；

(I I)设若函数在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y=h(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. .

20. (本题满分12分)在中，角A,B，C的对边分别是a,b,c,若

(I)求角C的值：

(II) 若c=2，且,求的面积.

21. (本题满分12分）设数列{a n}的前n项和为S n,且（其中t为常数，且t>0).

(I )求证：数列{a n}为等比数列；

(II )若数列{a n}的公比q= f(t},数列{b n}满足,求数列{b n}的通项公式；

(III) 设’对（II )中的数列{b n}，在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入k 个后，得到一个新的数列：

记此数列为{c n}.求数列{c n}的前2012项之和.

22. (本题满分14分）己知函数在;c=2处的切线斜率为.

(I)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；

(II) 设，，对使得成立，求正实数的取值范围；

(III) 证明：?

绵阳市高2013级第一次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

BCBCC AADDB AB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．-4

14．2

15．450233π

ππ????

?? ??????

，

，

16．①③

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）f (x)=a ·b =(cos2x ，1)·(1

=2 sin(2x+

6

π

)， ……………………………………………6分

∴ 最小正周期22

T π

π==， 令2x+

6

π

=2

k π

π+

，k ∈Z ，解得x=

26

k ππ

+，k ∈Z ， 即f (x)的对称轴方程为x=26

k ππ

+，k ∈Z ．…………………………………8分 （Ⅱ）当x ∈[0，2

π

]时，即0≤x ≤

2

π

，可得

6

π

≤2x+

6

π

≤

76

π， ∴ 当2x+

6

π

=

2

π

，即x=

6

π

时，f (x)取得最大值f (

6

π

)=2；

当2x+

6π

=

76π，即x=2π时，f (x)取得最小值f (2

π

)=-1． 即f (x) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由S 3+S 5=58，得3a 1+3d+5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①

∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32

=a 1a 7， 即(a 1+2d)2

=a 1(a 1+6d)，整理得a 1=2d ， 代入①得d=2， a 1=4，

∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10

=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6) =5log 3(b 5·b 6) =5log 39

=10． ……………………………………………………………………12分

19．解：（Ⅰ）由已知y= f (x)是二次函数，且f (x)<0的解集是(0，5)，

可得f (x)=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x)=ax(x-5)，

代入点(1，-4)，得-4=a ×1×(1-5)，解得a=1，

∴ f (x)=x(x-5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x 3

-(4k-10)x+5=x 3

+2x 2

-4kx+5， 于是2()344h x x x k '=+-，

∵ h(x)在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x=-2是h(x)的极大值点，

∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=?-+?--=，解得k=1． …………………………6分

∴ h(x)=x 3+2x 2

-4x+5，进而得2()344h x x x '=+-．

令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223

x x =-=，． 由下表：

可知：h(-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h(1)=13+2×12

-4×1+5=4， h(-3)=(-3)3

+2×(-3)2

-4×(-3)+5=8，h(23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527

， ∴ h(x)的最大值为13，最小值为

95

27

．……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，

结合0C π<<，得3

C =

． …………………………………………………6分

（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ， ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，

∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，

整理得sinBcosA=3sinAcosA ． ………………………………………………8分 若cosA=0，即A=

2

π

时，△ABC 是直角三角形，且B=

6

π

，

于是b=ctanB=2tan

6

π

，∴ S △ABC =1

2

． ……………………10分 若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．② 联立①②，结合c=2，解得

∴ S △ABC =

12absinC=12

综上，△ABC

．………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）当t=1时，2a n -2=0，得a n =1，

于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分 当t ≠1时，由题设知(t-1)S 1=2ta 1-t-1，解得a 1=1， 由(t-1)S n =2ta n -t-1，得(t-1)S n+1=2ta n+1-t-1， 两式相减得(t-1)a n+1=2ta n+1-2ta n ， , ∴

121

n n a t

a t +=+（常数）． ∴ 数列{a n }是以1为首项，21

t

t +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q= f (t)=

21

t

t +，b 1=a 1=1，b n+1=21f (b n )= 1n n b b +，

∴

111

11n n n n

b b b b ++==+， ∴ 数列1n b ??????

是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1

n

n b =，

∴ 1

n b n

=

．………………………………………………………………………8分 （III ）当t=

13时，由（I ）知a n =11

()2

n -， 于是数列{c n }为：1，-1，

12，2，2，21

()2

，-3，-3，-3，31()2，… 设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ， 当k ≥2时，m k =k+[1+2+3+…+(k-1)]=(1)

2

k k +， ∴ m 62=

626319532?=，m 63=6364

20162

?=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和，

则S 2016=[1+

12+21()2+…+621()2

]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62

×62×62] 显然 1+12+21()2+…+621()2=63

62

1

1()122212

-=--， ∵ (2n)2

-(2n-1)2

=4n-1，

∴ -1+(-1)2

×2×2+(-1)3

×3×3+…+(-1)62

×62×62

=-1+22

-32

+42

-52

+62

-…-612

+622

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =

31(3123)

2

?+

=1953． ∴ S 2016=62

1

22

-

+1953=1955-6212． ∴ S 2012=S 2016-(c 2016+c 2015+c 2014+c 2013)

=1955-6212-(621

2+62+62+62) =1769-

61

1

2． 即数列{c n }的前2012项之和为1769-611

2

．…………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由已知：1

()f x a x

'=

-， ∴由题知11

(2)22

f a '=-=-，解得a=1． 于是11()1x

f x x x

-'=

-=

， 当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x)为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x)为减函数，

即f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）?x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0， 由题知：对?x 1∈(0，+∞)，?x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g(x 2)成立， 只须f (x)max ≤g(x)max ．

∵ 22()x kx k g x x ++=2k x k x =++2k x k x ?

?=--++ ?-??

≤2k -，

∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分

（Ⅲ）要证明2222ln 2ln3ln 21

234(1)n n n n n --+++<+ (n∈N *，n ≥2)．

只须证22222ln 22ln32ln 21

232(1)n n n n n --+++<+ ，

只须证2222222ln 2ln3ln 21

232(1)

n n n n n --+++<+ ．

由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x)为减函数， f (x)=lnx-x+1≤0，即lnx ≤x-1， ∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，

22222ln 11111111(1)1n n n n n n n n n -<=-<-=-+++， 222222ln 2ln 3ln 23n n +++ <111221??

-++ ?+??

111331??-++ ?+??1

111n n ?????+-+ ?+??

21121

1212(1)

n n n n n --=--+=++，

∴ 2222ln 2ln3ln 21

234(1)

n n n n n --+++<+ ．………………………………………14分