产品运输线路模型

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：宁波工程学院参赛队员(打印并签名) ：1. 顾豪2. 郑启奔3. 施雪丹指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组日期： 2010 年 8 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：最佳运输线路模型摘 要本文通过dijkstra 算法，贪婪算法，二边逐次修正法，穷举法，依次为问题一中的每道提问作出了令人满意的回答，同时利用穷举法对前面的计算结果进行了验证。

第一小问总最短里程为2188km.第二小问小型运输车的最短运输总里程为2339km.第三小问最优线路为：9578642319v v v v v v v v v v →→→→→→→→→对于问题二，本文对附表中的数据进行了合理的分析，同时，在确定货物补充线路之前，制定了三个利于方案确定的重要原则：a.较远目的地优先原则；b.空车返回线路不重复原则；c.各连锁店一次性全部补充原则。

基于以上三项原则，本文制定出一套十分合理的方案。

第一部分，要求小型运输车空车返回，由于是沿最短路线运输，保证了这一部分方案的最佳性。

在第二部分，因为对原则a.的遵守保证了剩余货物补充点能充分靠近出发点，所以在此部分不需要对线路的大量讨论。

利用TSP 近似算法，结合floyd 算法得出的最佳路径，确定最佳推销员回路作为第二部分线路，进而得出当日小型运输车总行驶里程。

通过多次模拟，再取均值，得到小型运输车周平均总公里数为3088.4km.对于问题三，本着为公司盈利的目的，本文重新建立了两个新的模型：一、增设工厂；二、根据实际情况，用大型平板车运输。

对于模型一，在floyd 算法基础上得出需在7v 重新设立一个分厂。

对于模型二，运用搜索法求得最佳路径。

关键词：dijkstra 算法，贪婪算法，二边逐次修正法，优先原则，计算机模拟一、问题的提出在济南市，百老泉白酒是一知名品牌，此酒已有三百年的历史，深受当地及附近消费者的喜爱。

百老泉白酒由济南百老泉酒厂（厂址在市区）专业生产。

除了在当地销售以外，厂家还在附近的县、镇开了几家专卖连锁店，（图表见附表一，其中：9v 是酒厂所在地，18v v 是附近的县、镇上的8个专卖连锁店，线上标记的数字表示两地相距的公里数）。

厂家每隔一段时间都要向这些专卖店运送一定数量的白酒，但运输方法的优劣直接影响酒厂的经济效益，厂家希望你能提供一种合理的运输方案。

假设8个连锁店的每周销售量如表1.表1 8个连锁店的周销售量统计表连锁店 1v2v3v4v5v6v7v8v周销售(桶)2010510201525201．为了满足这些连锁店的供货需求，若厂家采用小型运输车（每车最多装5桶）作为运输工具，每周至少行驶多少车公里，相应的行驶线路是什么？2．假设每个连锁店每周销售量增加4%，小型运输车的最短运输线路应怎样设计？3．假设厂家采用一种大型平板车（载重量足够大）每周运送一次，即可满足供货需求，从节省油耗角度考虑（平板车自重1吨，每桶酒重200公斤），最佳运输线路是什么？二、各连锁店店内的最大存储量分别为：6, 7, 5, 6, 7, 7, 6, 7（桶）。

为了更好地满足消费者的需求，厂家要求每天各店打烊以后就清点存量并通知厂家，厂家根据各店的情况当晚用小型运输车送货到各店并装满酒桶，试估计一下小型运输车周平均总公里数。

三、你对这个问题是否可以进行进一步的扩展？二、问题的分析在第一问中有3个小问题，这3个问题时层层深入的。

可以通过图论中求最短路与最短回路的常用算法便可解决。

同时，因为原题中线路并不复杂，可以考虑将所有可行线路全部求出的方法进行验证。

第二问中，最佳路径与各连锁店销售量有关，而各连锁店销售量是随机变量，所以可以通过计算机按其分布规律模拟出其合理的销售量，所以在确定方案前，需对附表中的数据进行合理分析。

另外，为了能制定出较优的方案，可以制定一些重要原则，如较远目的地优先原则。

总体上说，可以将方案分为两部分。

第一部分，要求小型运输车空车返回，可以借鉴第一问中对最短路的求解结果，保证这一部分方案的最佳性。

在第二部分，可利用TSP 近似算法，结合floyd 算法得出的最佳路径，确定最佳推销员回路作为第二部分线路，进而得出当日小型运输车总行驶里程，通过多次模拟，再取均值。

对于问题三，本着为公司盈利的目的，重新建立两个新的模型：一、增设工厂；二、根据实际情况，用大型平板车运输。

三、基本假设1.计算行驶里程时要考虑返程；2.各店销售量不小于0，同时又不大于其最大储货量；3.各连锁店之间、每家连锁店相连销售日的销售量无关；四、定义符号说明1. i u ： 第i 连锁店周销售量；2. Z ： 小型运输车每周总车公里数；3. x ： 行驶里程；4. y ： 大型平板车油耗量；5. n ： 大型平板车所载白酒量（桶）；6. i v ： 第i 个连锁店；7. H ： 遍历所有连锁店最佳H 圈总里程；8. X ： 货物补充模型中小型运输车周平均总行驶里程五、模型的分析、建立5.1 Dijkstra 算法[1]求行驶路线设G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负。

Dijkstra 算法：求G 中从顶点0u 到其余顶点的最短路。

对每个顶点，定义两个标记（()l v ，()z v ），其中:()l v ：表示从顶点0u 到v 的一条路的权；()z v ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线。

算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终()l v 为从顶点0u 到v 的最短路的权。

输入为G 的带权邻接矩阵(),W u v 。

S ：具有永久标号的顶点集。

算法步骤：（1）赋初值：令()}{00,0S u l u ==.\v S V S ∀∈=，令()()0,l v W u v =，()0z v u =，0u u ←.（2）更新()l v ，()z v ：\v S V S ∀∈=,若()()(),l v l u W u v >+，则令 ()()(),l v l u W u v =+，()z v u =（3）设v *是使()l v 取最小值的S 中的顶点，则令{}S S v *=⋃，u v *←. （4）若S ≠∅，转（2）；否则，停止。

用上述算法求出的()l v 就是0u 到v 的最短路的权，从v 的父亲标记()z v 追溯到0u , 就得到0u 到v 的最短路的路线。

根据题目数据，可得邻接矩阵：040inf inf inf 35inf inf 384001820inf inf inf inf inf inf 1801012inf inf inf inf inf 20100inf 15inf 11inf infinf 12inf 0inf 813inf 35inf inf 15inf 0inf 912inf inf inf inf 8inf 01110inf inf inf 11139110738infinfinfinf121070w ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦按照算法步骤，用C++编出求最小路径的程序，得到百老泉酒厂到各专卖连锁店的最短距离，如表2所示：表2 酒厂到各连锁店最短距离各连锁店1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 最短距离/km 40 58 50 56 35 48 44 38相应最短路径如下图所示：图1 酒厂到各连锁店最短路径由于各连锁店周销售量均为5的整数倍，小型运输车每车只能装5桶，故每辆运输车只抵达一处连锁店。

则可得每周总车公里数为：91252188()iii u Z d km ==⨯=∑其中i u 表示第i 连锁店周销售量。

5.2 TSP 近似算法[2]若各连锁店周销售量增加4%，根据各连锁店原有销售量可算得新销售量：表3 各连锁店新周销售 连锁店 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 总计 周销售(桶)201051020152520125新周销售量（桶） 20.8 10.4 5.2 10.4 20.8 15.6 26 20.8 130由表可知，各专卖连锁店的周销售增加量总和正好为5桶，因此，在第一小题的基础上，我们再派出一辆满载的小型运输车，利用TSP 近似算法算出遍历各专卖连锁店最短路径，沿最短路径遍历运输周销售量的增加量。

1. 用贪婪算法选出初始H 圈：0121,,,,,,,,i j n C v v v v v v = .时间复杂度：()()22log O n nStep 1：给所有边按长度排序Step 2：选择最短的满足条件的边加入到路径中。

条件：不会构成小于N 条边的环路。

Step 3：重复Step 2，直至路径中有N 条边。

2.对所有的,,11i j i j n <+<<,若()()()(),1,1,1,1i j i j i i j j w v v w v v w v v w v v +++<+++，则在0C 中删去边(),1i i v v +和()1,j j v v +而加入边(),i j v v 和()1,1i j v v ++，形成新的H 圈C ，即0121111,,,,,,,,,,,i j j i j n C v v v v v v v v v -++= 见图（a ），（b ）图（a ） 图（b ）3.对C 重复步骤2，直到条件不满足为止，最后得到的C 即为所求。

结合第一小题得到的从厂家到各专卖连锁店的最短路径，即得到所求的最短运输线路。

5.3 大型平板车最佳运输线路通过资料搜索了解到，汽车行驶一公里，载重量每增加45kg ，相应油耗量将增加2%。

由此可知油耗量与载重的函数关系为指数函数。

同时，可认为当载重量一定时，油耗量与行驶公里数成正比。

故我们可以假设油耗量与里程、载重量之间的关系表达式为：a n(0.21)=y xe+其中：y：耗油量；x：里程数；n：装运的总酒量（以桶为单位）；a：系数。