3.1 运输问题的模型解析
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运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
3运输问题及其解法
i =1 j =1 n i =1
m
n
m
（3.1－4）
将后 n 个约束相加，得
∑∑ xij = ∑ b j ,
j =1 i =1 j =1 m n
m
n
（3.1－5）
因为，
（3.1-4）式与（3.1-5）式是相同的．由此可见，这 m + n 个约束 ∑ ai = ∑ b j ,所以，
i =1 j =1
不是独立的．我们可以证明：当所有的 ai , b j 都大于零时，任何 m + n − 1 个约束都是相互独立 的．即，系数矩阵 A 的秩 r ( A) = m + n − 1 ，事实上，
位(称为需求量)， 设 cij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 为由产地 Ai 运往销地 B j 的单位运费， xij 为从 Ai 调往 B j 的物资数量，试问如何调运，求能使总运费最小． 为了清楚起见，通常将上述数据列在一张表上，该表称为运输表(见表3.1-1)．
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按某一最小单位运价优先安排物品调运时， 却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点对，从而使整个运输费用增加．对每一个供应地 或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价， 并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数．若罚数的值不大，当不能按最小单位运 价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造 成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输，元素差额法就是基于这种考虑提出来的． 现结合上例说明这种方法： 首先计算运输表中每一行和每一列的次小单位运价和最小单位运价之间的差值，并分别称 之为行罚数和列罚数；将算出的行罚数填入位于运输表右侧行罚数栏的左边第一列的相应格子 中，列罚数填人位于运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子中． A1 行中的次小和最小单位运 价分别为8和6，故其行罚数为2， B1 列中次小单位运价和最小单位运价分别为9和8，故其列罚 数为1，如此进行，可计算出 A1 , A2 , A3 的行罚数分别为2，2和4， B1 , B2 , B3 , B4 列的列罚数分别 为1，3，3，2．在这些罚数中最大者为4(在表4.2 - 6中用小圆圈标出)，它位于 A3 行，由于在
m
n
m
（3.1－4）
将后 n 个约束相加，得
∑∑ xij = ∑ b j ,
j =1 i =1 j =1 m n
m
n
（3.1－5）
因为，
（3.1-4）式与（3.1-5）式是相同的．由此可见，这 m + n 个约束 ∑ ai = ∑ b j ,所以，
i =1 j =1
不是独立的．我们可以证明：当所有的 ai , b j 都大于零时，任何 m + n − 1 个约束都是相互独立 的．即，系数矩阵 A 的秩 r ( A) = m + n − 1 ，事实上，
位(称为需求量)， 设 cij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 为由产地 Ai 运往销地 B j 的单位运费， xij 为从 Ai 调往 B j 的物资数量，试问如何调运，求能使总运费最小． 为了清楚起见，通常将上述数据列在一张表上，该表称为运输表(见表3.1-1)．
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按某一最小单位运价优先安排物品调运时， 却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点对，从而使整个运输费用增加．对每一个供应地 或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价， 并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数．若罚数的值不大，当不能按最小单位运 价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造 成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输，元素差额法就是基于这种考虑提出来的． 现结合上例说明这种方法： 首先计算运输表中每一行和每一列的次小单位运价和最小单位运价之间的差值，并分别称 之为行罚数和列罚数；将算出的行罚数填入位于运输表右侧行罚数栏的左边第一列的相应格子 中，列罚数填人位于运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子中． A1 行中的次小和最小单位运 价分别为8和6，故其行罚数为2， B1 列中次小单位运价和最小单位运价分别为9和8，故其列罚 数为1，如此进行，可计算出 A1 , A2 , A3 的行罚数分别为2，2和4， B1 , B2 , B3 , B4 列的列罚数分别 为1，3，3，2．在这些罚数中最大者为4(在表4.2 - 6中用小圆圈标出)，它位于 A3 行，由于在
运输问题的数学模型
每一个出发地都有一定的供应量（supply）配送到 目的地，每一个目的地都有需要从一定的需求量（ demand），接收从出发地发出的产品。 需求假设（The Requirements Assumption） 可行解特性（The Feasible Solutions Property） 成本假设（The Cost Assumption） 整数解性质（Integer Solutions Property）
如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运 输问题。
第1页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 2 of 11
运输问题的特征 Characteristics of Transportation Problems
第2页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 3 of 11
需求假设（The Requirements Assumption）： 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之相类似，每一个目的 地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出 发地满足，即
总供应量＝ 总需求量
可行解特性（The Feasible Solutions Property）： 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问 题才有可行解
第3页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
3运筹学运输问题解析
11
2018/10/10
给出初始调运方案最常用的方法 ——最小元素法
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量 7 4 9
销地 产地
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3
3
6
A1 A2 A3
表上作业法要求，调运方案的数字格必须为 m+n-1个，且有数字格不构成闭回路。一般，用最小 元素法给出的方案符合这一要求。
8
2018/10/10
表上作业法的步骤类似于单纯形法: (1)给出初始调运方案。 (2)检验方案是否最优,若是最优解,则 停止计算;否则转下一步。
(3)调整调运方案，得新的方案。
(4)重复(2),(3)直到求出最优方案。
表上作业法要求，调运方案的数字格必须 为m+n-12 、 A3将物品运往四个
销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销 量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
2
2018/10/10
A1 A2 A3 销量
B1 3 1 7 3
B2 11 9 4 6
B3 3 2 10 5
7
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第二节 运输问题的求解-表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题，在求解 时依然可以采用单纯形法的思路。由于运输规划系 数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法 求解计算，则无法利用这些有利条件。人们在分析 运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问 题的表上作业法。在这里需要讨论基本可行解、检 验数以及基的转换等问题。
运输问题数学建模
例3.1
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个
销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表3-4所示
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20（产销平 衡）
a i ( i 1,2 , , m )
；销地Bj的销
b j ( j 1 , 2 , , n )。从第i个产地向第j个销地运输每单位物资
题。问如何调运这些物资才能使总运费达到最小。
单位运价表
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量
B1 c11 c21 ┇ cm1 b1
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n ┇ ┇ ┇
③当所有空格检验数
ij 0
则当前方案是最优的，若 尚有空格检验数小于零， 表明当前方案尚有待调整。 A1
B1
B2
B3 4
B4 3
A2
A3
3 6
1 3
σ ij 具有确切的经济意义，它表示由Ai往Bj增运1单位 时，引起的总运输成本的变化数。 若所有的空格检验数都大于等于零，表明任何一 个空格处调运1单位都会引起总成本的上升，这表明 当前方案不能再改进，即定为最优方案。 闭回路法的主要缺点是：当变量个数较多时，寻找闭回 路以及计算都会产生困难。
（2）位势法（对偶变量法）
对于一个调运方案的每列赋予一个值，称为列位 势，记 v 1 , v 2 , , v n ，对于每行赋予一个值，称为行位 势，记为 u 1 , u 2 , , u m 它们的值由下列方程组决定：
u i v j c ij
运筹学-第三章-运输问题ppt课件
45
46
首先建立电子表格
47
区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
48
49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
46
首先建立电子表格
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区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
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Excel 求解结果为：
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§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
运筹学之运输问题
§3.2 运输问题的数学模型
例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 产量 6 200 5 300 200 总产量=总销量
-------1 2 50 100
销点
2 ----150 0 3 ----0 200
-----
此运输问题的成本或收益为: 2500
§3.3运输问题的基本特点
◆一般运输问题的基本特点： （1）有多个产地和多个销地； （2）每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； （3）各产销两地之间的运价不同； （4）如何组织调运，在满足供应和需求的前提下使总运输费 用（或里程、时间等）最小。 ◆运输问题的数学模型的系数矩阵的基本特点： （1）共有m+n行，分别表示各产地和销地；m，n列，分别表 示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题的数学模型
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
S . t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 最优解如下 x12 + x22 = 150 起 至 x13 + x23 = 200 发点 1 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
运输问题模型的应用
（1）产销平衡的运输问题； （2）产销不平衡的运输问题； （3）有条件的产销不平衡的运输问题； （4）生产与库存应用问题； （5）货物转运问题； （6）航运调度问题； „„
《运筹学》第三章 运输问题
销量 3 6 5 6
A1 A2 A3
销量
B1 B1 B3 B4
2 1
6
5
3 3
3656
产量
7 4 9
精品课件
24
例：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 2 6 A2 3 (1) 2 (-1) 5 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 6 5
B1 B2 B3 B4 产量
(3) 在进行调运方案改进时，若沿闭合回路出现多个可作为 调出变量的数字格（即闭回路上的数字格最小值有多 个），此时，任选一个为调出变量，其余的填0，保证调 整后的调运方案中仍有m+n-1个数字格。
精品课件
23
例：
B1 B1 B3 B4 产量
A1 (0) (2) 5 2 7 A2 3 (2) (1) 1 4 A3 (9) 6 (12) 3 9
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
精品课件
7
一般模 型表示 (ai=bj)
精品课件
8
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——第i个分量
1 ——第m+j个分量 0
…… …
精品课件
9
······
······
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 xm2 ······ xmn
第3章 运输问题
精品课件
1
3.1 运输问题的典例和数学模型 3.2 运输问题的求解方法：表上作业 法 3.3 几类特殊的运输问题
运筹学第三版之第三章运输问题
运输问题(Transportation Problem)是一类特殊的线性 规划问题.最早研究这类问题的是美国学者希奇柯克 (Hitchcock)，后来由柯普曼(Koopman)详细加以讨论。
在第一章线性规划模型的应用中，我们介绍了运输问 题，建立了其数学模型，这类问题属线性规划问题， 当然可以使用单纯形法进行求解，但是，由于运输问 题的约束系数矩阵有其特殊的结构和性质，因而有比 单纯形法更有效的方法来求解。
此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背 景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因 而备受欢迎。
1、求初始调运方案：
例1 设有某物资共有3个产地A1,A2,A3,其产量分别为 9,5,7个单位，另有4个销地B1,B2,B3,B4,其销量分别为 3,8,4,6,已知由产地Ai运往销地Bj的单位运价见下表， 问应如何调运,才能使总运费最省？
集合，若用一条封闭折线将它们连接起来形成的图形称 为一个闭回路，其中诸变量称为闭回路的顶点，连接相 邻两个顶点及最后一个顶点与第一个顶点的线段称为闭 回路的边。 x11 , x14 , x44 , x45 , x35 , x32 , x22 , x21
B1 B2 B3 B4 B5
A1 x11
A2 x21
i 1
j1
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z cij xij i1 j1
n
j1
xij
ai
, i
1,2,...,m
s
.t
.
m
xij
bj
,
j
1,2,...,n
i1
xij 0 i 1,...,m , j 1,...,n
(3.2)
m
n
ai bj
在第一章线性规划模型的应用中，我们介绍了运输问 题，建立了其数学模型，这类问题属线性规划问题， 当然可以使用单纯形法进行求解，但是，由于运输问 题的约束系数矩阵有其特殊的结构和性质，因而有比 单纯形法更有效的方法来求解。
此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背 景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因 而备受欢迎。
1、求初始调运方案：
例1 设有某物资共有3个产地A1,A2,A3,其产量分别为 9,5,7个单位，另有4个销地B1,B2,B3,B4,其销量分别为 3,8,4,6,已知由产地Ai运往销地Bj的单位运价见下表， 问应如何调运,才能使总运费最省？
集合，若用一条封闭折线将它们连接起来形成的图形称 为一个闭回路，其中诸变量称为闭回路的顶点，连接相 邻两个顶点及最后一个顶点与第一个顶点的线段称为闭 回路的边。 x11 , x14 , x44 , x45 , x35 , x32 , x22 , x21
B1 B2 B3 B4 B5
A1 x11
A2 x21
i 1
j1
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z cij xij i1 j1
n
j1
xij
ai
, i
1,2,...,m
s
.t
.
m
xij
bj
,
j
1,2,...,n
i1
xij 0 i 1,...,m , j 1,...,n
(3.2)
m
n
ai bj
运输问题—数学模型及其解法
闭合回路中标有“”的基变量同时有多个达到最小 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
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3.4
3.5
运输问题的Excel处理
3
3.1 运输问题的模型
有时候为了书写简便，运输问题也被写做 TP（Transportation Problem）。
例：对某种物资，设有m个产地A1, A2,…, Am，称 它们为发点，其对应产量为a1, a2,…, am，称它们 为产量；另有n个销地B1, B2,…, Bn，称它们为收点， 其对应销量为b1, b2,…, bn，称它们为销量。 又知，从产地（发点）Ai运至销地（收点）Bj，该 种物资每单位的运价为ci j（ci j≥0）。
7
A2
A3
销量
x21
x31
x22
x32
x23
x33
x24
x34
4
9
12
A2
A3
1
7
9
4
2
10
8
5
3
6
5
6
3 运输问题（TP）
运输问题的数学模型
单位运价表 Cij A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4
单位： 百元/t B3 B4 3 2 10 10 8 5
目
总运费最少
标
Min Z= 3x11 + 11x12 + 3x13 + 10x14 + x21 + 9x22 + 2x23 + 8x24 + 7x31 + 4x32 + 10x33 + 5x34
18
3.1 运输问题的模型
产销平衡- ai=bj
Min Z=
i
CijXij
j
xij =ai （i=1，2，…，m） i
xij =bj （j=1，2，…，n） j xij≥0 （i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）
注意！这种模型具有特殊的形式：所有决策变量的约束条件， 其系数均等于1；而且，每个决策变量仅出现于两个约束 条件之中。这些特性表明，解这类线性最优化模型的单纯 形法中有一种特殊的方法可用来解这个问题——这是解这 类模型的特别有效的一种方法。而且上述特性还表明，可 以给这类线性最优化模型以一种象网络模型式的形象化的 说明。
x12 x +22 x32 6
7 4 9
x +21 x31 3
=
x +23 x33 5
=
x +24 x34 6
13
=
=
3
6
5
ij 6 X ≥0
Xij≥0
3.1 运输问题的模型
有三家工厂，都将产品运往三个不同的商店（见 下图）。每个工厂以产品件数表示出每周生产能 力见下表1。每家商店平均需求量见下表2。
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3.1 运输问题的模型
（2）产销不平衡问题——总产量小于总销量的运输问题 例2—有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。等量化肥在这 些地区使用效果相同。相关数据如下表，试分析总运费最 节省的化肥调运方案。
运价：万元/万吨
需求地区 化肥厂 A1 A2 A3 最低需求（万吨）
B1
16
B2
13
B3
22
数 Min Z= ∑cij xij
函
产销平衡表 Xij A1 A2 A3
销量
产量约束
B2 B3 B4
产量
产销平衡表 Xij A1 A2 A3
销量
销量约束
B2
+
B1
B1 x11
+
B3 x13
+
B4 x14
+
产量
x11 + x12 + x13 + x14 = 7 x21 + x22 + x23 + x24 = 4 x31 + x32 + x33 + x34 = 9
目标函数—利用运输费用表中的数据，我们希望其值为最小的是：
Min Z=由工厂1运出产品的总费用(3X11+ 2X12+ 3X13) +由工厂2运出产品的总费用(10X21+ 5X22+ 8X23) +由工厂3运出产品的总费用(X31+ 3X32+10X33) 即：MinZ=3X11+2X12+3X13+10X21+5X22+8X23+X31+3X32+10X33
7t A1 B1 3t
产 地
4t
A2
已知： 各个产地 到各个销地 1吨糖果 的运价
B2
6t
销 地
总产量：7t+4t+9t=20t
总销量：3t+6t+5t+6t=20t 总产量=总销量： 产销平衡问题
9t
A3
B3
5t
B4 6t
问题：如何安排调运方案，在满足各销售地点需要的情况 下，使总的运费最少。
11
将表3.1与表3.2合在一起，得到一个新表，这一新 表被称为运输表（或称为产销矩阵表），如表3.3
8
3.1 运输问题的模型
根据产销矩阵表，求上述问题的解等于求下面数 学模型的解。 xij（i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n）
9
3.1 运输问题的模型
从上述这一特殊的线性规划（ LP ）问题，可 以得到下列三条结论。
21
商店3
工厂1
表1
工厂2
工厂
1
2
3 70 20
表2
供应量（件/周ห้องสมุดไป่ตู้ 50
商店1
商店2
工厂3
商店
1
2
3 60 30
需求量（件/周） 50
14
3.1 运输问题的模型
但是，由于运货距离不同，各个工厂运往各商店的 货物的运输费用是不同的。费用如下表，我们的问 题是确定由哪家工厂运送多少件产品到哪家商店。
由工厂
3 运输问题（TP）两个重要表格
第i个产地
7t A1 A2 A3
运输量 Xij
第j个销地
B1 3t
x11
产 地
4t 9t
x12 x34
单位： 百元/t
B2
6t
B3 5t
B4 6t
销 地
…
单位运价表
产销平衡表
Xij A1 B1 x11 B2 x12 B3 x13 B4 x14
产量
Cij B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10
B4
17
产量（万吨）
50
14
19 30 50
13
20 70 70
19
23 0 30
15
--10 不限
60
50
最高需求（万吨）
20
3.1 运输问题的模型
分析： 这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨， 四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限。根据 现有产量，地区B4每年最多能分配到60万吨，这样最高总 需求为210万吨，大于产量。为了求得平衡，在产销平衡 表中增加一个虚拟的化肥厂D ，其年产量为50万吨。由于 各个地区的需要量包含两部分，如地区B1，其中30万吨是 最低需求，故不能由虚拟的化肥厂D供给，令其相应的运 输价格为M（任意大正数），而另一部分20万吨满足或不 满足均可，因此可以由虚拟的化肥厂D供给，并令其相应 的运输价格为0（没有发生的运输）。对凡是需求分两种 情况的地区，实际上可按照两个地区看待。这样可以建立 这个问题的产销平衡表——
1 2 3 每件产品运往各商店的费用（元） 1 3 10 1 2 2 5 3 3 3 8 10
能否列出线性最优化模型？ 决策存在什么样的约束条件？ 模型评价涉及什么样的准则？ 有那些决策变量？
15
3.1 运输问题的模型
1、模型建立
决策变量—有待确定的是从每家工厂i（i=1，2，3）运输多少件产品
到每家商店j（j=1，2 ，3）去。因此，方便的办法是用双下标来表示决 策变量即Xij。
这时有两种可能： åai = åbj总产量=总销量 即产销平衡问题 ≠总销量 即产销不平衡问题 bj åai ¹ å总产量
6
3.1 运输问题的模型
先讨论产销平衡问题，再讨论产销不平衡问题。 令xij表示某物资从发点 Ai到收点Bj的调拨量（运输 量），可以列出产销平衡表，如表3.2所示。
7
3.1 运输问题的模型
试问：应如何安排调运方案，在满足一定要 求的前提下，使总运费最低？
4
3.1 运输问题的模型
根据上述参量的意义列出产量、销量和运价，如表3.1所示
5
3.1 运输问题的模型
表中：ai、bj、cij的单位为吨、千克、件等，即ai, bj, cij的单位类别应该一致（i = 1, 2,…, m；j = 1, 2,…, n）。 表的右下角 åai 表示各产地产量的总和，即总产量 åb j 表示各销地销量的总和，即总销量或 或总发量； 总收量。
第3章 运输问题（TP）
3 运输问题（TP）
学习目标
了解运输问题数学模型及其特点。 掌握产销平衡运输问题的表上作业法。 学会产销不平衡运输问题的转化。 学习表上作业法在物流管理中的典型应用。
2
3 运输问题（TP）
3.1 运输问题的模型 运输问题的表上作业法
3.2
3.3
产销不平衡的运输问题
运输问题的应用案例
约束条件—需要把决策变量的约束条件当作方案生成源。
对工厂1必须有 X11+X12+X13 ≤50 （对工厂1的供应约束） 对工厂2必须有 X21+X22+X23 ≤70 （对工厂2的供应约束） 对工厂3必须有 X31+X32+X33 ≤20 （对工厂3的供应约束）