《平行线等分线段定理》参考学案
数学教案：平行线等分线段定理
数学教案：平行线等分线段定理一、教学目标1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法，并能运用该定理解决实际问题；3.提高学生对平行四边形的认识和理解能力；4.加强学生的空间几何思维和推理能力。
二、教学重点1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法；3.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
三、教学难点1.掌握平行线等分线段定理的证明方法；2.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
四、教学方法1.课堂讲解；2.课堂讨论；3.案例分析；4.课堂练习。
五、教学过程第一步：引入问题老师拿出一支笔和一张纸，向学生展示两个平行线段，要求学生探究两个平行线段之间的关系。
第二步：学生探究学生分组讨论，在讨论的过程中，师生共同发现两个平行线段中间的线段被平分。
第三步：提出结论学生在分组讨论的基础上，提出结论：平行线等分线段定理。
第四步：确立概念老师向学生引入平行线等分线段定理的定义，让学生理解该概念。
第五步：证明定理老师给出定理的证明，让学生观察和理解证明过程。
第六步：实例练习老师让学生在班内分为小组，通过实例练习来加深对平行线等分线段定理的理解。
第七步：课堂讨论老师和学生一起讨论实例练习的解法，帮助学生梳理思路，加深对平行线等分线段定理的理解。
六、教学评估1.学生通过实例练习的成绩；2.学生课堂讨论表现的质量；3.学生对平行线等分线段定理的掌握程度。
七、板书设计1.平行线等分线段定理；2.定义：两个平行线段间的线段被平分。
八、课堂作业1.完成课堂练习；2.思考并总结平行线等分线段定理的证明方法。
九、教学反思通过本节课的教学，学生们进一步了解了平行线等分线段定理，掌握了证明方法，提高了空间几何思维和推理能力，并对平行四边形有了更深的认识。
但是，课堂时间可能会不够充分，需要加强课堂安排。
平行线等分线段定理 说课稿 教案 教学设计
一平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？提示(1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.如图，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，H是____的中点，F是____的中点.提示BG AC DC[预习导引]1.平行线等分线段定理文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，则A′B′＝B′C′图形语言作用证明同一直线上的线段相等2.推论1证明线段相等，求线段的长度3.推论证明线段相等，求线段的长度要点一平行线等分线段定理例1如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD 的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝()A.3B.6C.9D.4解析如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案 B要点二平行线等分线段定理的推论例2如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.求证：MN＝NB.解如图所示，延长ME交BC的延长线于点P，由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC.∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN，又∵点C是BP的中点，∴点N是MB的中点.∴MN＝NB.规律方法证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.跟踪演练2如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点.求证：AM＝BM.证明过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.∴ME是AB的垂直平分线.∴AM＝BM.要点三平行线等分线段定理的综合应用例3已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.求证：DE＝EF.证明(1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，(2)当l1与l2异面时，如图，在直线l2上取一点G，过点G作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R.则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在平面π1中，连接AP，BQ，CR，则由面面平行的性质可知AP∥BQ∥CR.由AB＝BC，得PQ＝QR；同理在平面π2中，就可证明DE＝EF.综上，DE＝EF.规律方法这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.跟踪演练3如图所示，四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N.求证：∠AME＝∠CNE.证明连接BD，过F作FG∥AB，交BD于G，连接GE，GF.在△ABD中，∵FG∥AB，且F是AD的中点，∴DG＝GB，∴FG是△ABD的中位线，∴GF＝12AB，GF∥BM.同理可证：GE＝12CD，GE∥CN.∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠AME＝∠CNE.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.3.在几何证明中添加辅助线的方法(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.。
平行线等分线段定理数学教案
平行线等分线段定理数学教案
标题：平行线等分线段定理数学教案
一、教学目标
1. 让学生理解并掌握平行线等分线段定理的概念和证明方法。
2. 培养学生的空间想象能力，提高他们的几何思维能力。
3. 通过实际操作，使学生能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容
平行线等分线段定理是平面几何中的重要定理之一，它的表述为：如果一条直线与两条平行线相交，那么被截得的两部分长度相等。
三、教学过程
1. 引入新课
教师可以通过展示一些实例或者生活中的场景来引入这个定理，激发学生的学习兴趣。
2. 教学新知
（1）定理的描述：首先，教师要清晰明了地向学生解释定理的内容。
（2）定理的证明：然后，教师需要引导学生一起进行定理的证明。
在这个过程中，教师要注重培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
3. 巩固练习
教师可以设计一些相关的习题，让学生在实践中巩固所学的知识。
四、课堂小结
教师带领学生回顾本节课的主要内容，并强调平行线等分线段定理的重要性。
五、作业布置
教师可以布置一些相关的作业，让学生在课后继续思考和练习。
六、教学反思
教师需要对本节课的教学效果进行反思，以便于改进以后的教学。
成都市东湖中学八下数学《平行线等分线段定理》导学案
成都市东湖中学八下数学《平行线等分线段定理》导学案
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
已知：直线l1∥l2∥l3，AB=BC，
求证：A1B1=B1C1
例1.已知AB∥CD∥EF，AF交BE于O，且AO=OD=DF，若BE=60厘米，求BO
例2.已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CM交AB于N，如果AB=6厘米，
求PN
例3.已知△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD交BC于E，DF∥CB交AB于F，AF=4厘米，求AB
例4 。
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边的中点，DE⊥BC交AB于E，求证：AB=2CE.
例5 。
已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，CE、AF分别交BD于M、N，求证：BM=MN=NC.
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边的中点，EF∥DC，交BC于F，
求证：DC=2EF.
已知：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是DC边的中点，求证：AE=BE.
已知：△ABC的两中线AD、BE相交于点G，CH∥EB交AD的延长线于点H，求证：AG=2GD.
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.
已知：△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，DF交BC于E，
求证：DE=EF.
已知：AD为△ABC的中线，M为AD的中点，直线CM交AB于点P，
求证：AP= 1/3AB。
《平行线等分线段定理》教案新人教A版选修
数学：一《平行线等分线段定理》教案3（新人教A版选修4-1）平行线等分线段定理课题：平行线等分线段定理授课人柯文祥课时：一节目的要求：掌握平行线等分线段定理，会按要求等分一条已知线段。
教学重点：理解平行线等分线段定理。
教学难点：平行线等分线段定理的合理应用。
教学方法：演示、指导法能力点：观察、分析、应用教学过程：1、提出问题如何把一条线段三等分、五等分、七等分呢？2、预备知识我们先认识一个事实，笔记本上的平行线将一条直线等分若干段。
如图：这个事实的根据是我们将要学习的"平行线等分线段定理"。
演示讲解平行线等分线段定理的证明，见课件。
3、平行线等分线段定理的应用定理推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
它是平行线等分线段定理一般的应用推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分另一边。
它是平行线等分线段定理的一种特殊情况。
如图：（1）（2）（3）4、平行线等分线段定理的应用将一已知线段AB五等分课件"作图1"演示5、学生练习将以10cm的线段七等分方法一：过线段端点作射线；在射线上取七等分线段；连另外的端点，过其余点作所连端点平行线。
方法二：利用已有平行线分线段七等分。
以平行线上一点为A圆心，以10cm为半径画弧，交第八条平行线于点B，连AB，所交平行线的点为线段AB的七等分点。
如图：6、课堂练习7、小结：（1）平行线等分线段定理的理解a//b//c→ DE=EFAB=BC（2）平行线等分线段定理的应用将一线段任意等分。
如线段AB三等分、五等分、......。
平行线等分线段比例定理导学案
平行线等分线段比例定理导学案编制：邵玉春 2011.1.21学习目标：1、平行等分线段成比例定理；2、推论；3、平行等分线段成比例定理及推论的证明.新知导读：1、平行等分线段成比例定理：三条平行线截得两条直线，所得的对应线段成比例.2、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（成两边的延长线）所得的对应线段成比例.注：①这个推论也称为三角形一边平行线的性质定理.②它包括以下三种基本（DE 为截线）习惯上称（1）与（3）为“A ”型 （2）为“X ”型 （3）逆命题也正确 范例点睛：例1、已知，如图123,,AB n DE n l l l BC m DF m n==+ 求证.变式演练：△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的点，AD 、EF 交于P ，若BD=DC ，AE=AF ，求证.AB PF AC PE=例2、如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD 、BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K ，求证2KO KE KF = .变式演练：如图所示，,DE BC EF DC ,求证2AD AF AB = .例3、如图，在△ABC 中，,,6,3,8EF CD AFE B AE ED AF ∠=∠=== .（1）求AC 的长 （2）求22CD BC 的值.变式演练：如图，梯形ABCD 中，AD BC ,EF 经过梯形对角线交点O ，且EF AD .（1）求证：OE=OF （2）求OE OE AD BC +的值 （3）求证：112AD BC EF+=达标检测及变式训练1、如图D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，且,DE BC DF AC ，则以下比例成立的是（ ）A 、AD DE BD BC =B 、AB BF EC FC= C 、DF DE AC BC = D 、EC BF AC BC= 2、在△ABC 中，点D 、F 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE BC 的是（ ）A 、AD=5 AB=8 AE=10 AC=16B 、BD=1 AD=3 CE=2 AE=8C 、AB=7 BD=4 AE=4 EC=3D 、AB=AC=8 AD=AE=83、梯形ABCD 中，,::,AD BC AD BC a b = 中位线EF=m ，则MN 的长是 .第（3）题图 第（4）题 第（5）题4、如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，,,AE BC ED AB G BC F 交与交延长线于，若BG:GA=3:1，BC=8，则AE= .5、已知P 、Q 分别在BC 和AC 上，2354BP CQ AR CP QA RP===，，则 . 6、如图，,AB CD AC BD O 、相交于点，BO=7，DO=3，AC=25，求AO.7、如图123, 4.53512.9l l l CH AG BG EF ==== 若，，，,求DH ，EK.8、如图，一直线交△ABC 的边AC 、AB 于D 、F 点，交CB 的延长线于E ，若AD=BE ，求证：AC DF BC EF = .9、如图，四边形ABCD 为平行四边形，过B 的直线交AC 、AD 、CD 的延长线于O 、F 、E ，求证：2.OB OF OE =10、如图，AD 平分,,154BAC DE AC EF BC AB cm AF cm ∠== ，，，求BE 和DE 的长.。
《平行线等分线段定理》参考学案
1 / 2《平行线分线段定理》学案学习目标：1. 了解平行线分线段定理产生的背景，体验定理的产生过程；2. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；3. 能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2；4. 能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题； 重、难点： 重点：掌握平行线分线段定理以及推论； 难点：定理和推论的应用； 学习过程： 一、课前准备：1) 预习教材第68页至第71页的内容，从中找出疑惑之处； 2) 回忆初中学习过的平行线的判定和性质； 二、新课导学：● 知识梳理：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ● 基础自测： 判断题1. △ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC （ ）2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC( )3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。
（ ） 4. 如图l1∥l2∥l3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ）● 典例分析：◆分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．例1 已知：如图，M 、N 分别为平行四边形ABCD 边AB 、CD 的中点。
CM 、AN 分别交BD 于点E 、F 求证：BE=EF=FD分析：1、证CM ∥AN 2、证BE=EF3、证练习：已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC=90。
M 是CD 的中点 求证：AM=BMA BE CDFl 3l 2l 1CDMBA2 / 2例2 如图 4－85． AB ⊥j 于B. CD ⊥j 于 C,E 为 AD 中点．求 证：△EBC 是等腰三角形．分析：先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题． 练习：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．◆ n 等分任意一已知线◆例3 已知：线段AB ，求作：线段AB 的五等分点段的作图引申：问题1： 求作一点P 把线段AB 分成2：3 问题2： 如果把△ABC 的面积分成2：3怎么办？分析：引导学生构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A 和点B ．◆达标检测，回授效果1．已知：如图11，在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是CD 的中点，EF//BC 交AB 于F ，FG// BD 交AD 于G 。
平行线等分线段定理参考教案02
一平行线等分线段定理教学目标1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．2．熟练掌握任意等分线段的方法．3．培养化归的思想。
运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．教学重点和难点重点是平行线等分线段定理及证明；难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．教学过程设计一、从特殊到一般猜想结论1．复习提问，学生口答．（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD1C1 C1C-84 MCD⊥j于C,E为AD中点．求证：△EBC是等腰三角形．教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB ＝∠MBA．（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j 引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j 上的线段之间有何等量关系？四、师生共同小结1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．2．怎样n等分一条已知线段？3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．五、作业课堂教学设计说明本教学过程设计需1课时完成．1．利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．4．定理还可用以下方式引入：（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．。
《平行线等分线段定理》教学设计
《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》是建立在坐标系及其概念的几何定理，它解释了沿着一条平行线分割线段的方法。
定理：沿着一条平行于线段的边的任何一点P，使得被分割的线段的两个部分的和相等。
教学目标：1、让学生了解平行线等分线段定理；2、引导学生学习定理，训练他们实际使用定理；3、培养学生运用新知识去解决实际几何问题的能力；4、让学生形成正确的数学思维，增强学习的主动性。
教学重点：让学生掌握如何通过沿着一条平行线分割线段，计算线段的平分点及两个部分的和是否为等值。
教学步骤：第一步：讲解定理（1）开篇热身：引导学生了解坐标系及线段的概念，把这些概念构建成数学语言（也可使用图片帮助学生理解）；（2）讲解定理：通过讲解让学生熟悉，平行线等分线段定理的概念，并运用概念来证明定理；（3）让学生自行推理：让学生用数学语言和实际图形来分析和运用定理的原理，以帮助完成证明。
第二步：提供例题第三步：让学生探讨此定理的产生原因第四步：引入实际应用：介绍平行线等分线段定理在画图、计算机及机械等领域的实际应用。
第五步：实践操作：让学生按照老师的指令，开展前面知识点的演练；第六步：结束课程，总结：（1）检查学生自我总结：做出当时学习对自己的影响；（2）总结本次学习：学习定理及其应用的关键；（3）撰写总结报告：将前面学习的定理及方法拓展到新的场景中。
总结：本课针对《平行线等分线段定理》，采用“引导—讲解—练习—讨论—实践—总结“的步骤，使学生正确、系统地理解、掌握及灵活运用定理。
通过本课的学习，不仅认识到定理的本质，在实践中让学生尝试运用它，训练学生的解决实际几何问题的能力，以及正确的数学思维，增强学习的主动性。
高中数学选修4-1第一讲学案及答案
D B E F 平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理一．学习目标：一．学习目标：1. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；探索并理解平行线分线段定理的证明过程；2．能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2； 3.3.平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别4.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题二．知识梳理：二．知识梳理：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段截得的线段推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线2.2.三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。
所截得的三角形的三边与原三角形的三边角形的三边 三．基本技能：判断下列命题是否正确1.1. 如图△如图△ABC ABC 中点D 、E 三等分AB AB，，DF DF∥∥EG EG∥∥BC BC，，DF DF、、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC AC（（ ））2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( ) 3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。
一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。
（ ）4.4.如图，如图，如图，DE DE DE∥∥BC BC，分别交，分别交AB AB、、AC 于点D 、E 则：BC DEAC AE AB AD ==（ ）A C G 四．典型例题例1.已知：如图所示，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F 求证：AF ＝ AC . 例2在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为AB 的中点．求证：EC ＝ED . . 例3.如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于点D ，与AC 边交于点E ，与BA 的延长线交于点F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·F A . 例4.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 为底边BC 上的任意一点，过E 点作与AD 平行的直线，分别交直线AB 、CA 于点F 、G .求证：求证： ＝ . 13BE BF CE CG当堂检测：当堂检测：1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是 （）2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有() A．AE＝CE B．BE＝DEC．CE＝DE D．CE＞DE3.顺次连接梯形各边中点连线所围成的四边形是__________ 4.如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝____. 5.如下图所示，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，点H是______的中的中点．点，点F是______的中点．6.如图所示，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝____；若PM＝1 cm，则PC＝______. 7.如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( ) A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1 8.在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16 B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6 C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8 9.如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．的值．10.如图所示，在梯形ABCD 中，A D ∥BC BC，，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF EF∥∥AD（（1）求证：）求证：OE=OF OE=OF OE=OF；；（2）求OE OE AD BC + （（3）求证：112=AD BC EF+平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理答案例1.证明：如图，过点D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点，DG∥BF，∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点，BF∥DG，∴F是AG的中点，即AF＝FG∴AF＝1/3 AC. 点评：构造基本图形法是重要的数学思想方法：构造基本图形法是重要的数学思想方法例2.证明：过点E作EF∥BC交DC于点F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC. ∵E是AB的中点，的中点，∴F是DC的中点．的中点．∵∠BCD＝90°，°，∴∠DFE＝90°. ∴EF⊥DC于点F，且F是DC的中点，的中点，∴EF是线段DC的垂直平分线．的垂直平分线．∴EC＝ED.(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 例3. 证明：过点A作AG∥BC交DF于点G. ∵AG∥BD，∴FAFB=AGBD. 又∵BD=DC，∴FAFB =AG DC. ∵AG∥BD，AG AE例4. ＝ 证明：∵∥∴=. ∵∴=∴=2229. 10. 解析：过D作DG∥CA交BF于G，则BGGF＝BDDC＝53. ∵E为AD的中点，DG∥AF，∴△DGE≌△AFE，EG＝EF. ∴BGEF＝BG12GF＝2BGGF＝2×53＝103. 故BEEF＝BG＋EFEF＝10＋33＝133. (1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC. ∴AEAB=DFDC，OEBC=AEAB，OFBC=DFDC. ∴OEBC=OFBC，∴OE=OF. (2)解析：∵OE∥AD，∴OEAD=BEAB. 由(1)知OEBC=AEAB，∴OEAD+OEBC=BEAB+AEAB=BE AEAB+=1 (3)证明：由(2)知OEAD+OEBC=1，∴2OEAD+2OEBC=2. 又EF=2OE，∴EFAD+EFBC=2，∴1AD+1BC=2EF. 。
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《平行线分线段定理》学案
学习目标：
1. 了解平行线分线段定理产生的背景，体验定理的产生过程；
2. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；
3. 能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2；
4. 能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题； 重、难点：
重点：掌握平行线分线段定理以及推论； 难点：定理和推论的应用； 学习过程： 一、课前准备：
1) 预习教材第二页至第五页的内容，从中找出疑惑之处； 2) 回忆初中学习过的平行线的判定和性质； 二、新课导学：
● 知识梳理：
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ● 基础自测： 判断题
1. 如图△ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别交AC 于点F 、G ，
则点F 、G 三等分AC （ ）
2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC
B
E G A
C
D F
( )
3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。
（ ）
4. 如图l1∥l2∥l3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ）
典例分析：
◆分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．
例1 已知：如图，M 、N 分别为平行四边形ABCD 边AB 、CD 的中点。
CM
、AN 分别交BD 于点E 、F 求证：BE=EF=FD
分析：1、证CM ∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
练习：已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC=90。
M 是CD 的中点 求证：AM=BM
例2 如图 4－85． AB ⊥j 于B. CD ⊥j 于 C,E 为 AD 中点．求 证：△EBC 是等腰三角形．
A B E A
B
C
D
F
l 3
l 2
l 1
C
D
M
分析：先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．
练习：如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB＝∠MBA．
◆ n等分任意一已知线段的作图
例3 已知：线段AB，求作：线段AB的五等分点
引申：
问题1：求作一点P把线段AB分成2：3
问题2：如果把△ABC的面积分成2：3怎么办？
分析：引导学生构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．
◆达标检测，回授效果
1．已知：如图11，在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是CD 的中点，
EF//BC 交AB 于F ，FG// BD 交AD 于G 。
求证：AG = DG 。
2．如图
12，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE//BC 交AC 于E ， （11） EF//AB 交BC
于F 。
（1）求证：BF=CF ；
（2）图中与DE 相等的线段有 ；
（3）图中与EF 相等的线段有 ；
（4）若连结DF ，则DF 与AC 的位置关系是 ，数量关系是 。
（12）
3． 求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。
4．已知：如图13，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点， BE 的延长线交AC 于F 。
求证：FC = 2AF 。