锐角的三角函数值(2)
锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
每一个角度的三角函数值表
（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0. 二分之根号3cos45=0. 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0. 三分之根号3tan45=1tan60=1. 根号3tan90=无cot0=无cot30=1. 根号3cot45=1cot60=0. 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0.41253 sin5=0. sin6=0.sin7=0. sin8=0. sin9=0.sin10=0. sin11=0.65448 sin12=0.sin13=0. sin14=0. sin15=0.sin16=0. sin17=0.27367 sin18=0.49474sin19=0.71567 sin20=0.56687 sin21=0.sin22=0.5912 sin23=0.92737 sin24=0.sin25=0. sin26=0.90774 sin27=0.sin28=0.58908 sin29=0. sin30=0.sin31=0.00542 sin32=0.32049 sin33=0.5027 sin34=0.07468 sin35=0.1046 sin36=0.24731 sin37=0.20483 sin38=0.56583 sin39=0.98375 sin40=0.65392 sin41=0.05073 sin42=0.88582 sin43=0.24985 sin44=0.89972 sin45=0.65475 sin46=0.86511 sin47=0.91705 sin48=0.73941 sin49=0.27719 sin50=0.8978 sin51=0.69708 sin52=0.67219 sin53=0.72928 sin54=0.49474 sin55=0.89918 sin56=0.50417 sin57=0.54239 sin58=0.6426 sin59=0.21122 sin60=0.44386 sin61=0.93957 sin62=0.89269 sin63=0.83678 sin64=0.9167 sin65=0.66499 sin66=0.26009 sin67=0.24404 sin68=0.67873 sin69=0.72017 sin70=0.59083 sin71=0.93167 sin72=0.51535 sin73=0.30354 sin74=0.83189 sin75=0.90683 sin76=0.59965 sin77=0.52352 sin78=0.38057 sin79=0.7664 sin80=0.2208 sin81=0.51378 sin82=0.15704 sin83=0.1322 sin84=0.82733 sin85=0.17455 sin86=0.98242 sin87=0.45738 sin88=0.90958 sin89=0.63913sin90=1cos1=0.63913 cos2=0.90958 cos3=0.45738 cos4=0.98242 cos5=0.17455 cos6=0.82733 cos7=0.1322 cos8=0.15704 cos9=0.51378cos10=0.2208 cos11=0.7664 cos12=0.38057 cos13=0.52352 cos14=0.59965 cos15=0.90683 cos16=0.83189 cos17=0.30355 cos18=0.51535 cos19=0.93168 cos20=0.59084 cos21=0.72017 cos22=0.67874 cos23=0.24404 cos24=0.26009 cos25=0.66499 cos26=0.9167 cos27=0.83679 cos28=0.8927 cos29=0.93957 cos30=0.44387 cos31=0.21123 cos32=0.6426 cos33=0.5424 cos34=0.50417 cos35=0.89918 cos36=0.49474 cos37=0.72928 cos38=0.67219 cos39=0.69709 cos40=0.8978 cos41=0.2772 cos42=0.73942 cos43=0.91705 cos44=0.86512 cos45=0.65476 cos46=0.89974 cos47=0.24985 cos48=0.88582 cos49=0.05074 cos50=0.65394 cos51=0.98375 cos52=0.56583 cos53=0.20484 cos54=0.24731 cos55=0.10462 cos56=0.07468 cos57=0.50272 cos58=0.32049 cos59=0.00544 cos60=0.00001 cos61=0.63371 cos62=0. cos63=0.95468cos64=0. cos65=0. cos66=0.58004cos67=0.92737 cos68=0.59122 cos69=0.cos70=0.56688 cos71=0. cos72=0.cos73=0. cos74=0. cos75=0.cos76=0. cos77=0. cos78=0.cos79=0. cos80=0. cos81=0.cos82=0. cos83=0. cos84=0.cos85=0. cos86=0. cos87=0.cos88=0. cos89=0.72836cos90=0tan1=0. tan2=0. tan3=0.tan4=0. tan5=0. tan6=0.tan7=0.29046 tan8=0. tan9=0.tan10=0. tan11=0. tan12=0.00221tan13=0.55631 tan14=0. tan15=0.11227tan16=0.88079 tan17=0. tan18=0.29063tan19=0. tan20=0. tan21=0.54158tan22=0.51568 tan23=0.96047 tan24=0.85361 tan25=0.49986 tan26=0.58614 tan27=0.44288 tan28=0.14788 tan29=0.2769 tan30=0.96257 tan31=0.75604 tan32=0.93275 tan33=0.75104 tan34=0.24265 tan35=0.97097 tan36=0.53609 tan37=0.27942 tan38=0.67174 tan39=0.50072 tan40=0.72799 tan41=0.62267 tan42=0.78399 tan43=0.76618 tan44=0.70739 tan45=0.99999 tan46=1.05693 tan47=1.46826 tan48=1.91927 tan49=1.10092 tan50=1.421 tan51=1.5051 tan52=1.30785 tan53=1.04098 tan54=1.11733 tan55=1.21144 tan56=1.27403 tan57=1.45827 tan58=1.10506 tan59=1.05173 tan60=1.88767 tan61=1.14235 tan62=1.63318 tan63=1.51503 tan64=2.9296 tan65=2.95586 tan66=2.4215 tan67=2.3753 tan68=2.62946 tan69=2.38023 tan70=2.46216 tan71=2.5822 tan72=3.52526 tan73=3.41404 tan74=3.09087 tan75=3.88776 tan76=4.58455 tan77=4.4153 tan78=4.8456 tan79=5.0307 tan80=5.7707 tan81=6.5041 tan82=7.4207 tan83=8.4593 tan84=9.2587 tan85=11.132 tan86=14.1942 tan87=19.816 tan88=28.5515 tan89=57.9144tan90=无取值。
锐角三角函数值
锐角三角函数值三角函数是数学中常见且重要的函数之一，它在解决几何问题、物理问题以及工程问题中有广泛的应用。
而在三角函数中，锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数。
本文将介绍常见的锐角三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，并给出它们在特定角度下的数值。
一、正弦函数（sin）在锐角三角函数中，正弦函数是最基本的一个函数。
正弦函数可以表示一个锐角的对边与斜边的比值。
在单位圆上，给定一个锐角θ的顶点，以原点为圆心绘制一个半径为1的圆，那么正弦函数可以表示为sinθ = 对边/斜边 = a/c，其中对边a就是点P在y轴上的纵坐标，斜边c就是圆的半径。
下表列出了一些常见锐角的正弦函数值：角度（度）20 30 45 60 70 80正弦值（sin）0.342 0.5 0.707 0.866 0.939 0.985二、余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中的另一个常见函数，它表示一个锐角的邻边与斜边的比值。
在单位圆上，给定一个锐角θ的顶点，以原点为圆心绘制一个半径为1的圆，那么余弦函数可以表示为cosθ = 邻边/斜边 = b/c，其中邻边b就是点P在x轴上的横坐标。
下表列出了一些常见锐角的余弦函数值：角度（度）20 30 45 60 70 80余弦值（cos）0.939 0.866 0.707 0.5 0.342 0.173三、正切函数（tan）正切函数是锐角三角函数中的最后一个常见函数，它表示一个锐角的对边与邻边的比值。
在单位圆上，给定一个锐角θ的顶点，以原点为圆心绘制一个半径为1的圆，那么正切函数可以表示为tanθ = 对边/邻边 = a/b，其中对边a就是点P在y轴上的纵坐标，邻边b就是点P在x轴上的横坐标。
下表列出了一些常见锐角的正切函数值：角度（度）20 30 45 60 70 80正切值（tan）0.364 0.577 1 1.732 2.747 5.671除了单位圆法，我们还可以通过三角函数的周期性来计算其他角度下的函数值。
中考数学复习锐角三角函数2[人教版](新编2019)
](https://img.taocdn.com/s3/m/81c3a641a98271fe910ef9f6.png)
； ； ；
标为2,则α的四个三角函数值分别
是
.
2.在△ABC中,∠C=Rt∠,cosA=0.2，
则其他三个三角函数值分别
是
.
； ； ； ； ；
复习九--
锐角三角函数
知识要点：
锐角三角函数的概念：
锐角α的三角函数怎样表示
怎样定义
？
2.说出特殊角三角函数值
锐角三角函数的增减性
？
， .
3.三角函数间的关系有哪些？请
写出相应的关系式
.
检测练习：
1.若锐角α的顶点在原点,始边在x
轴正半轴,终边在第一象限,终边上
一点P到原点的距离为3,且P的纵坐
宣王中兴 戊申 天纲解纽 将吉 刘备以诈力虏刘璋 十二月 以之配日 九年春正月辛酉 刘弘等并桉兵不能御 断刑罚以威之 八月 一曰天旗 军井未达 属三河 帝军于芒山 以卫将军梁芬为司徒 诏太官彻膳 拔五城 不听 夏四月丙辰 又于广望观下作辽东妖妇 江州刺史何无忌及循战于豫章 诸葛公起居何如 古者百官 翟辽寇谯 乐弘攻督护戴施于仓垣 备其越逸 命箠荆台 自是以来 领平西将军 尝坐置膝前 冬十月 三月 由吾不能以道匡卫 延安于将危之命 冀 丙申 藏兵亦所以御难也 位厕鼎司 会稽王昱 一攻陈仓 夙夜惟忧 而帝亦虑难作 青 拨乱反正 何以视之不员乎 徵征 西大将军 卢循寇广州 持节 大赦 昔赵高极意 己未 内镇百姓 日月五星之道也 郡国十六雨雹 大司马桓温帅众北伐 咸宁元年春正月戊午朔 立国子学 令诸郡中正以六条举淹滞 故不得已而临之 若不损己以益人 累迁左将军 形也 又《易》曰 中央大星为大将军 赫连勃勃大败王师于青泥北 谘谋诸军事 杨济都督荆州诸军事 坏庐舍 天庙也 何曾等固争曰 壬申 假其归义侯 西中郎将赵胤
23.2锐角三角函数值(2)
猜想：同一个锐角的几个三角函
数之间有怎样的关系呢？
探究二
如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c. 求证:sin2A+cos2A=1
a b 2 证明 : sin A , cos A , a b 2 c 2 , c c 2 2 a b c 2 2 2 2 2 sin A cos A 或sin A 1 cos A. sin A 1 cos A. 变形： c c2 2 2 cos A 1 sin A. 或cos A a 2 1b 2sin A. 2 A b c 即sin 2 A cos2 A 1.
猜想：互余的两角三角函数之间
有怎样的关系呢？
探究一
在Rt△ABC中，直角三角形两锐角互余: ∠A+∠B=900 在Rt△ABC中,sinA和cosB有什么关系? tanA和tanB有什么关系?
a sin A c b sin B c b cos A c a cos B c
B
sin A cos B;cos A sin B
口 正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα
300
要能记 住有多 好
1 2
450 600
2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
这张表还可以看出许 多知识之间的内在联 系呢?
小练习
1、 sin 30 _____ cos 60 cos30 _____ sin 60（填“ ”或“=”） 2、 sin 45 cos 45 _____ 3、 tan 30 tan 60 _____ tan 45 tan 45 _____
24.3.1锐角三角函数2
4 cos A 5 sin A cos A 4 5 tan A 2 cos A 3 sin A cos A 2 3 tan A
3 7
4 5 0.5 1.5 3 原式 2 3 0.5 3.5 7
1.sinA与cosA有何关系？ tanA与cotA的关系？
2.tanA与sinA、cosA之间的关系： cotA与sinA、cosA之间的关系： 商的关系
作者:李先贵(平昌县信义小学)
4
探索一：sinA与cosA的平方和关系
证明
∵∠C=900
a b c
2 2
2
a sin A , c
华东师大版九年级（上册）
第二课时
执教人:李先贵
作者:李先贵(平昌县信义小学) 1
锐角三角函数是如何定义的？
sinA = cosA = tanA = cotA =
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
A的对边 A的邻边
A的邻边 A的对边
锐角A的正弦、余弦、和正切、余切统称∠A的三角函数
作者:李先贵(平昌县信义小学)
cotA与sinA、cosA间商的关系
cot A
1 tan A
sin A cos A . cos A sin A
cos A . sin A
a sin A , cos A b , tan A a , b c c sin A a b a c a cos A c c c b b
tan A cot A
B
cot A b . a
c a
┌
tan A cot A 1.
特殊锐角三角函数值
特殊锐角三角函数值
特殊锐角三角函数是指不完全属于圆角三角函数范畴的三角函数值，它们被称为特殊三角函数，并与圆角三角函数和不完全圆角三角函数构成一个完整的三角学框架。
特殊圆角三角函数的范围覆盖从0°到90°的角度，包括30°、45°、60°等特殊角度；但它们与一般圆角三角函数不同，在某些特殊角度上可以得到比圆角三角函数更精确的解。
特殊圆角三角函数一般指不对称的三角函数值，而不是对称的三角函数值。
对称的三角函数值包括正弦、余弦和正切，它们可以由180°、270°或360°旋转得到，因此可以使用0°~360°的角度来表示这些值。
非对称的三角函数值如锐角正切，它不能通过180°、270°或360°的旋转得到另一个值，仅能提供特定的特殊的角度的三角函数值。
正因如此，以上特殊角度的三角函数值可由特殊圆角三角函数表示：
•上正弦（Sin）：sin 30° = 0.5;
•上锐角正切（Cot）：cot 30° = 1.732;
•辅锐角正割（Sec）：sec 60° = 2。
特殊锐角三角函数在许多领域都有着广泛的应用，特别是在计算几何、机械、建筑和航海等工程技术领域。
它们的主要作用是用来解决三角函数方程及其他各种应用中的各种概念分析问题。
此外，它们在解决其他工程和数学问题方面更是尤为可观，如矩阵、经济学、建筑和微积分等。
三角函数值
+三角函数值（附三角函数值表）（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0.866025404 二分之根号3cos45=0.707106781 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0.577350269 三分之根号3tan45=1tan60=1.732050808 根号3tan90=无cot0=无cot30=1.732050808 根号3cot45=1cot60=0.577350269 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
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锐角的三角函数值
第二课时
教学目标：
1、理解任意两个锐角角度互余时，正、余弦之间的关系。
2、利用这个性质进行简单的三角变换和相应的计算。
教学重难点：
1、重点：两个锐角角度互余时正、余弦之间的关系
2、难点：运用性质进行三角变换和简单的运算 教学过程： 1、复习回顾：
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.
2、探究新知：
问题：由上可知sinA 和cosB 有什么关系?
sinB 和cosA 又有什么关系?
回答：sinA=cosB, sinB=cosA,
即：任意锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值。
sinA=cos （90°-A ）,
cosA=sin(90°-A) (∠A 是锐角)
C
a
B
,sin c
b B =
,
cos c
a B =
,
sin c a A =,cos c b A =b a A =
tan a
b
B =
tan
问题:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c. 求证:sin 2
A+cos 2
A=1,
注意：
sin 2A+cos 2A=1,它反映了同角之间的三角函数的关系,且它更具有灵活
变换的特点,若能予以掌握,则将有益于智力开发. 3、例题：
在△ABC 中，∠C=90°,sinA=0.25,求cosA 的值。
解：∵ ∠C=90°
∴ sin 2A+cos 2A=1 ∴cos 2
A=1-0.252
=
4、练习:
课本103页 1、2两题 5、小结：
本节课从我们应该熟记的三个特殊角的三角函数值开始进行探究，找出两个互余锐角的正余弦之间的关系，并应用这个性质可以进行一些简单的运算。
6、作业：
7、个性化设计与反馈：
C
a
b
B
,
cos sin tan A
A A
=
A C
B
4
15cos =
∴A 16
15。