立体几何

立体几何1．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为 ．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设OB OA P 、,40=是底面半径，且90=∠AOB ，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．2．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，点P ，Q 分别为BC B A ,11的中点．（1）求异面直线BP 与1AC 1所成角的余弦值；（2）求直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值．3．如图，在三棱柱111C B A A B C -中，A B C CC 平面⊥1，G F E D ,,,分别为1111,,,BB C A AC AA 的中点，5==BC AB ，21==AA AC ．（1）求证：BEF AC 平面⊥；（2）求二面角1C CD B --的余弦值.4．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PD AD AB DAB 底面⊥==∠,2,60 .（1）证明：BD PA ⊥；（2）若AD PD =，求二面角C PB A --的余弦值。

5．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 平面⊥，E 为PD 的中点．(1) 证明：AEC PB 平面//C(2) 设二面角C AE D --为 60，3,1==AD AP ，求三棱锥ACD E -的体积.6．如图，在ABC ∆中，90,60=∠=∠BAC ABC ，AD 是BC 边上的高，沿AD 把ABD ∆折起，使 90=∠BDC ．（1）证明：平面BDC ADB 平面⊥；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值．7．如图,在四棱锥ABCD P -中, 平面,,,PD PA PD PA ABCD PAD =⊥⊥平面 5,2,1,====⊥CD AC AD AB AD AB .（1）求证:PAB PD 平面⊥；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ,使得PCD BM 平面//？若存在, 求APAM 的值；若不存在, 说明理由.8．如图，在直棱柱BC AD D C B A ABCD //1111中，-, ,,90BD AC BAD ⊥=∠3,11===AA AD BC .（I ）证明：D B AC 1⊥；（II ）求直线111ACD C B 与平面所成角的正弦值。

参考答案1．(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【详解】（1）∵圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为，圆锥的母线长为，∴圆锥的体积．（2）∵，，是底面半径，且，为线段的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则．∴．∴异面直线与所成的角的为．【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。

这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.2．（1）（2）【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AA1=2，所以．（1）因为P为A1B1的中点，所以，从而，故．因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．（2）因为Q为BC的中点，所以，因此，．设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取，设直线CC1与平面AQC1所成角为，则，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．(1)见解析（2）；（3）见解析．【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线F G方向向量数量积不为零，可得结论.详解：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，，，，，，设平面BCD的法向量为，，，∴，∴，令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，，，又∵平面CDC1的法向量为，，，∴．由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD的法向量为，，，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，，，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.4．（1）见解析（2）【解析】试题解析：（1）∵∠DAB=600，AB=2AD ，由余弦定理得，从而BD 2+AD 2=AB 2故BD ⊥AD ，即BD ⊥平面PAD ，故PA ⊥BD（2）以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为X 轴的正半轴建立空间坐标系 则A （1，0，0），B （0，0），C （-1，0），P （0，0，1）设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则{ 0n AB n AB ⋅=⋅=，解得(3,1,n = 平面PBC 的法向量()111,,m x y z =，则 0{ 0m PB n BC ⋅=⋅=，解得(0,1,m =- 27cos ,m n 〈〉=-考点：本题考查线线垂直 二面角点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性 视频 5．8【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O 点，连接EO ，只要证明EO ∥PB ，即可证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）延长AE 至M 连结DM ，使得AM ⊥DM ，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD ，即可三棱锥E-ACD 的体积试题解析：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.因为EO 平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点， AB ，AD ，AP 的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向，|AP |为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz ，则D ()，E 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， AE＝12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.设B(m ，0，0)(m>0)，则C(m ，0)， AC ＝(m ，，0)．设n 1＝(x ，y ，z)为平面ACE 的法向量，则0{ 0n AC n AE ⋅=⋅=即0102mx y z +=+= 可取n 1＝-⎝. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12.三棱锥E-ACD 的体积V ＝13×1232×12考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定视频 6．（1）见解析 （2）22【解析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．（1）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后， AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB DC D ⋂=，∴AD ⊥平面BDC ，∵AD Ö平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）由∠BDC 90=及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB|=1，以D 为坐标原点，以DB ， DC ， DA 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(12,32,0)，所以13,,22AE ⎛= ⎝， ()1,0,0DB =，∴1·cos ,22AE DBAE DB AE DB ===⋅ 所以AE 与DB． 视频 7．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB 与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值. 试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，所以平面.所以.又因为，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.视频8．（I）见解析（II）【解析】试题分析：（I）根据直棱柱性质，得⊥平面ABCD，从而AC⊥，结合∩BD B，证出AC⊥平面，从而得到；（II）根据题意得AD∥，可得直线与平面所成的角即为直线AD与平面所成的角．连接，利用线面垂直的性质与判定证出⊥平面，从而可得．由AC⊥，可得⊥平面，从而得到与AD与平面所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△中算出，可得，由此即可得出直线与平面所成的角的正弦值试题解析：（1）因为平面，所以为在平面内的投影；因为，所以；（2）以A为原点，AB所在边为x轴，AD所在边为y轴，AA1所在边为z轴建立空间直角坐标系，则，所以，；因为，，所以，因为，所以，故，所以，设为平面的法向量，则，令，所以为平面的一个法向量；因为，，所以所以直线与平面所成角的正弦值.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质。