第一章 逻辑代数基础
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数字电路：第一章 逻辑代数基础
1•A=A 0+A=A
AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)(A+C)
§1—5 用代数法化简逻辑式
最简与或表达式： 1、乘积项的个数最少(用门电路实现，用
的与门数最少)。 2、在满足1的条件下，乘积项中的变量最少
(与门的输入端最少)。 省器件：用最少的门，门的输入也最少
“异或”门电路的用处
(1)可控的数码原/反码输出器 A0=A A1=A
(2)作数码同比较器 (3)求两数码的算术和
AB F 00 0 01 1 10 1 11 0
§1—4 基本规则
1）代入规则： A•B=A+B 用A=CD代替A,等式仍成立
CD•B=CD+B=C+D+B 2)反演规则：
F: 若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0” 原变量反变量，反变量原变量
A B
F
F=AB AC ACD BD
A B
1
C
1
D
“与非”表达 式
&
&
&
F
&
&
2、“或非” F=A+B+C
A
A
B >1 C
FB C
+
F
F=A+B+A+C+D+B+D
“或非”表达 式
3、“与或非” F=AB+CD
A & >1 B C D
A
F
B C
D
+F
数字电路(第一章逻辑代数基础)
数字电路技术基础
东南大学计算机系
电话： 025-3792757 Email：qqliu@
刘其奇
1
第一章 逻辑代数基础
1-1 概述
1-1-1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的； 在时间上不连续。
模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。 数字信号：表示数字量的信号，是在两个稳定状态之 间作阶跃式变化的信号。 脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号。
11
有权码
常用BCD码 十进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
无权码
8421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
5421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
22
2）变量常量关系定律
0、 1律：A • 1 = A; (2 )
A • 0 = 0;（1）
A + 1 = 1; （11） A + 0 = A（12） ;
互补律：A • A = 0； ） A + A = 1;（14） （4
3）逻辑代数的特殊定律
重叠律：A • A = A； ） A + A = A; （13） （3
Y = A + A BC( A + BC + D) + BC = A + ( A + BC)( A + BC + D) + BC = A + A ( A + BC + D) + BC( A + BC + D) + BC = A + BC
东南大学计算机系
电话： 025-3792757 Email：qqliu@
刘其奇
1
第一章 逻辑代数基础
1-1 概述
1-1-1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的； 在时间上不连续。
模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。 数字信号：表示数字量的信号，是在两个稳定状态之 间作阶跃式变化的信号。 脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号。
11
有权码
常用BCD码 十进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
无权码
8421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
5421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
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2）变量常量关系定律
0、 1律：A • 1 = A; (2 )
A • 0 = 0;（1）
A + 1 = 1; （11） A + 0 = A（12） ;
互补律：A • A = 0； ） A + A = 1;（14） （4
3）逻辑代数的特殊定律
重叠律：A • A = A； ） A + A = A; （13） （3
Y = A + A BC( A + BC + D) + BC = A + ( A + BC)( A + BC + D) + BC = A + A ( A + BC + D) + BC( A + BC + D) + BC = A + BC
逻辑代数基础
第一章逻辑代数基础1.1概述1.1.1模拟信号和数字信号电子电路中的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。
模拟信号——时间连续、数值也连续的信号。
数字信号——时间上和数值上均是离散的信号。
（如电子表的秒信号、生产流水线上记录零件个数的计数信号等。
这些信号的变化发生在一系列离散的瞬间，其值也是离散的。
）数字信号只有两个离散值，常用数字0和1来表示，注意，这里的0和1没有大小之分，只代表两种对立的状态，称为逻辑0和逻辑1，也称为二值数字逻辑。
数字电路的特点和分类传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。
1、数字电路的特点数字电路与模拟电路相比主要有下列优点：（1）由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只有0和1两个基本数字，易于用电路来实现，比如可用二极管、三极管的导通与截止这两个对立的状态来表示数字信号的逻辑0和逻辑1。
（2）由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较高，抗干扰能力强。
它可以通过整形很方便地去除叠加于传输信号上的噪声与干扰，还可利用差错控制技术对传输信号进行查错和纠错。
（3）数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和运算，这在控制系统中是不可缺少的。
（4）数字信息便于长期保存，比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。
（5）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。
由于具有一系列优点，数字电路在电子设备或电子系统中得到了越来越广泛的应用，计算机、计算器、电视机、音响系统、视频记录设备、光碟、长途电信及卫星系统等，无一不采用了数字系统。
2、数字电路的分类按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。
集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。
1.1.2 数制与码制1. 数制一．几种常用的计数体制1、十进制(Decimal)数码为：0～9；基数是10。
第1章 逻辑代数基础
5、三个重要运算规则
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数， 并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足 时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不 同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数， 并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足 时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不 同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC
01A第一章 逻辑代数基础
正、负逻辑：在实际应用中，器件的输入、输出量用逻辑电平表示， 负逻辑：在实际应用中，器件的输入、输出量用逻辑电平表示，
正逻辑：用高电平表示逻辑1 低电平表示逻辑0 正逻辑：用高电平表示逻辑1，低电平表示逻辑0 负逻辑：用低电平表示逻辑1 高电平表示逻辑0 用图表示） 负逻辑：用低电平表示逻辑1，高电平表示逻辑0（用图表示）
四 二进制代码
编码 ：用二进制数表示文字、符号等信息的过程 用二进制数表示文字、 二进制代码： 二进制代码：用来进行编码之后的二进制数
8421BCD码（ Binary Coded Decimal Codes）为十进制数的二进制编码形式 码 ）
8421码 码
十进制码
8421码 码
十进制码 伪码(冗余码 伪码 冗余码) 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码
若用逻辑表达式 来描述， 来描述，则可写为
L = A ⋅B 或L = AB
与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后， 与运算 只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 只有当决定一件事情的条件全部具备之后 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑 与逻辑。 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。 总结： 总结：有0出0，全1出1
1.3基本逻辑运算和基本逻辑门 基本逻辑运算和基本逻辑门
一、 基本逻辑运算
1．与运算 与逻辑举例： 与逻辑举例：首先逻辑赋值 表示开关闭合和灯亮； 设1表示开关闭合和灯亮； 0表示开关不 闭合和灯不亮， 闭合和灯不亮， 则得真值表 真值表。 则得真值表。
这种以列表的方式来真实的反映出输出和输入变量的正确关系的方法叫 做图形法或真值表法。 做图形法或真值表法。 真值表的情况有2 是输入变量个数， 真值表的情况有 n种，n是输入变量个数，列真值表时应将各种可能的 是输入变量个数 情况都列进去，顺序可以随意，但是最好按照十进制的顺序来列，以免漏掉。 情况都列进去，顺序可以随意，但是最好按照十进制的顺序来列，以免漏掉。
数字电子技术基础课件第一章：逻辑代数基础
别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。
第
一 章
有两种逻辑体制： 正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0
逻 负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0
辑 如果采用正逻辑，数字电压信号就成为下图所示逻辑信号代数Fra bibliotek逻辑1
逻辑1
基
础
逻辑0
逻辑0
逻辑0
三、数字信号的主要参数
V
第
一
Vm
章
0
tw
t (ms)
逻辑代数：英国数学家乔治.布尔1849提出描 述客观事物因果关系的一种数学方法(布尔代 数,开关代数)
二值逻辑(数理逻辑)
逻 辑
多值逻辑(模糊逻辑)
代
形式逻辑(语言逻辑)
数
辩证逻辑(动态逻辑)
基 础
1938年应用于电话继电器开关电路,而后并用 作为计算机的数学工具
1、逻辑变量：用于描述客观事物对立统一的二 个方面。
已知 Y A B C D 求 Y
第
一
1、遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先
章
次序；
逻
2、不属单个变量上的反号应保留不变。
辑
代
数
基
Y A BCD
础
1.4 逻辑函数及其表示方法
一、逻辑函数的建立
第
如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,那
一
么当输入变量的取值确定后,输出的取值便唯一确
逻
1．二进制转换成十进制
辑
代
例1.1 将二进制数10011.101转换成十进制数。
数
解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得
基
础
(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋
第1章逻辑代数基础学习指导 - 第一章逻辑代数基础
第一章逻辑代数基础一、内容提要逻辑代数是数字电子技术的基础。
本章主要介绍逻辑代数中的数制转换、逻辑运算、基本定理和基本规则、逻辑函数及其表示方法、逻辑函数的变换与化简。
二、重点难点本章的重点内容包括以下四个方面:1、数制转换与码制的表达方式：掌握二进制、十进制及其相互转换方法; 掌握8421 BCD码、2421 BCD码、余3码和余3循环码的编码方法；掌握格雷码的编码规律、格雷码与二进制相互转换方法。
2、逻辑代数中的三种基本运算和基本定理：掌握逻辑代数中与、或、非三种基本运算；逻辑代数基本公式；代入规则、反演规则、对偶规则三个规则。
3、逻辑函数的表示方法及相互转换：掌握真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图、波形图等常用的逻辑函数表示方法和几种表示方法之间的相互转换；掌握逻辑函数的两种标准形式。
4、逻辑函数的公式法化简方法和卡诺图化简方法：逻辑函数表达式越简单，所表示的逻辑关系越明显，越有利于用最少的电子器件实现该逻辑关系，电路的可靠性越高。
常用的化简方法有公式法和卡诺图法。
三、习题精解知识点：数制转换例1.1 将二进制数111011.101转换成十进制数。
解：10311345 2)625.59(125.05.01816 3221212121212121)101.111011(=+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=--例1.2将十进制数65转换为二进制数。
解：整数部分用“辗转相除”法:所以D B (65)=(1000001)例1.3 将十进制数0.625转换为二进制数。
解：乘 2 法；将十进制数的小数部分乘2,取其整数得D -1, ;再将小数部分乘2,取其整数得D -2 ;再将小数部分乘2…所以D B (0.625)=(0.101)知识点：逻辑代数基本规则应用例1.4 已知0++⋅=CD B A F ，求F 。
解：用反演规则得：1))((∙++=D C B A F用反演律得))((D C B A CD B A CD B A F ++=⋅⋅=+⋅= 例1.5 已知))((C A B A F ++=，求F 的对偶式。
1第一章知识资料逻辑代数基础
0 A=0 1+A=1
A A=0 A+A=1
2、定理
A+A=A A•A=A
A=A
(德•摩根定律)
A•B=A+B A+B=A•B
交换律 A B=B A A+B=B+A
A B A•B A+B 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 0 0
结合律 A (B C)=(A B) C A+(B+C)=(A+B)+C
数字电路的特点
（3）在两种电路中，晶体管的工作状态不同。 数字电路中晶体管工作在开关状态，也就 是交替地工作在饱和与截止两种状态，而 在模拟电路中晶体管多工作在放大状态。
（4）数字电路采用二进制，主要分析工具是逻 辑 代数，而模拟电路采用十进制，主要分析工 具是普通代数。
数字电路的分类
分立元件 按电路组成结构
F2=A+BD+ABCD F2=A•(B+D)•(A+B+C+D)
三、对偶规则： F: 若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0” 则：FF F与F互为对偶函数 如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。 函数对偶式的对偶式为函数本身。
1•A=A 0+A=A
AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)(A+C)
CBA
m1
CBA
m5
CBA
m2
CBA
m6
CBA
m3
CBA
m7
最小项的性质
1)最小项为“1”的取值唯一。 如：最小项ABC,只有ABC取值101时， 才为“1”，其它取值时全为“0”。
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辑变量为F，如图示，当A1，A2，„An的取值确定后，F的值 就唯一地被确定下来，则称F为A1，A2，„An的逻辑函数，
记为
F=f（ A1，A2，…An）
输 入 逻 辑 变 量
A1
An
逻 辑 网 络
F
输出 逻辑 函数
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
二、逻辑函数地表示方法
1、逻辑表达式 是由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符 所构成的式子，是一种用公式表示逻辑函数的方法。
• 逻辑变量集：是指逻辑代数中所有可能变量的集合，它可用任何字母表示，但每一个变量 的取值只可能为常量1或0。
逻辑变量：是指逻辑代数中的变量，一般用大写字母A、B、 C、…表示， 逻辑变量的取值只能有两种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。
• 但必须指出，这里的逻辑0和逻辑1本身并不表示数值的大小，而是表示两种完全对立的状 态，如：是与非、真与假、有与无等。
◆ 硬件设计语言法 是采用计算机高级语言来描述逻辑函数并进行逻辑设计的 一种方法，它应用于可编程逻辑器件中。目前应用最广泛的硬 件设计语言有ABLE-HDL、 VHDL等。
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
三、逻辑函数的标准形式
1、基本形式
（1）与或表达式（又叫积之和表达式） 是指一个逻辑函数表达式中包含有若干个“与”项， 其中每个“与”项由一个或多个原变量或反变量组成，这些 “与”项相“或”就构成一个与或表达式。
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
②最小项编号 下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量 记为0，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数， 与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下 标i。
（A，B，C） 3个变量有23（8）个最小项
A BC A BC ABC ABC A BC 最小项 二进制数 000 001 010 011 100 十进制数 0 1 2 3 4
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
或逻辑函数表达式 F=A+B
或逻辑运算的基本规律
或运算符，也可用 “∨”、“∪”表示
国内常用 有 1 出 1；全 0 出 0 “或”门电路 实现“或”逻辑关系的电 路称为“或”门电路，简称 “或”门。
A B (b) A B ≥1 (c) A B
＋
F
(a)
国外常用
结合律 A B C A B C 分配律
A B C A B C A B C A B A C
A ( A B) A
A B C ( A B) ( A C )
吸收律
A A B A
A B A B A A A B A B
( A B) ( A B) A
A( A B) AB
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
【证明】: A+BC=(A+B)(A+C)
证明: 右边=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC =左边 ; ; ; ; ; 分配律 分配律,重叠律 分配律 0-1律 0-1律
F A B
运算次序：先“或”，再“非”
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 1 0 0 0
或非门逻辑符号
A B A B A B +
国标符号
≥1
F
国外常用
F
国内常用
或非逻辑运算基本规律： 有“1”出“0”； 全“0”出“1”。
F
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
3. 与或非逻辑（AND-OR-NOT） 与或非逻辑表达式
例如： F f A, B AB A B
2、真值表 是由逻辑变量的所 有可能取值组合及其对应 的逻辑函数值所构成的表 格，这是一种用表格表示 逻辑函数的方法。
上例逻辑函数真值表
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 0 0 1
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
3、卡诺图
卡诺图是逻辑函数的图形表示法，卡诺图是由表示逻辑变 量的所有可能组合的小方格所构成的图形。
例如：
F f A, B, C, D A B C A BC D
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
（2）或与表达式（又叫和之积表达式）
是指一个逻辑函数表达式中包含有若干个“或”项， 其中每个“或”项由一个或多个原变量或反变量组成，这 些“或”项相“与”就构成一个或与表达式。
例如：
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 1 1 0
F AB
运算次序：先“与”，再“非”
与非门逻辑符号
国标符号
A B A B A B
&
F
国外常用
F
国内常用
与非逻辑运算基本规律： 有“0”出“1”； 全“1”出“0”。
F
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
2. 或非逻辑（NOR） 或非逻辑表达式
或非逻辑真值表
与或非门逻辑符号
A B C D &
≥1
国标符号
F AB CD
运算次序：先“与”，再“或”，最后 “非”
F
国外常用
与或非逻辑真值表
AB 0 0 1 1
CD 0 1 0 1
F 1 0 0 0
A B
C D A B C D
F
国内常用
+
F
与或非逻辑运算基本规律： 各组均有0出1，某组全1出0
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
证明:
左边=A（1+B+C)+BC ; 0-1律 =A+AB+AC+BC ; 分配律 =AA+AB+AC+BC ；重叠律 =A(A+C)+B(A+C) ；分配律 =(A+B)(A+C) ；分配律 =右边
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
1.2 逻辑函数及其标准形式
一、逻辑函数的定义
设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1，A2，„An，输出逻
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
四、逻辑代数公理 0-1 律 重叠律 互补律 还原律 交换律
1 A 1
1 A A
0 A A
A A A
0 A 0
A A A
A A 1
A A 0
AA
A B B A A B B A
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
与逻辑函数表达式
与运算符，也有用 “∧”、 “∩”、“&”表示
F=A· =AB B
与逻辑运算的基本规律
有0出0；全1出1
A B
国内常用
F (a) A B (b) A B
“与”门电 路 实现“与”逻辑关系的电 路称为“与”门电路，简称 “与”门。
国外常用
F
国标符号
F
国标符号
F
或门逻辑符号
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
3、非逻辑（逻辑反、非运算、NOT）
当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备 时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。
A
F
电路功能表 开关A 断开 闭合 灯Y 亮 灭
非逻辑的真值表 A Y 0 1 1 0
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
4. 异或逻辑（XOR） 异或逻辑表达式
异或门逻辑符号
A B
A B
=1
国标符号
F A B AB A B
异或逻辑真值表
F
国外常用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
国内常用
A B
⊕
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
0 1 1 0
异或逻辑运算基本规律： 同为“0”； 异为“1”。
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
5. 同或运算（XNOR） 同或逻辑表达式
当逻辑变量为n时，其卡诺图由2n个小方格组成。
B A A A A A B
AB
B
B
B
A A C C
ABC
B
C
C
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
◆ 逻辑图法 采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。 ◆ 波形图法 一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随 时间变化的规律。
◆ 点阵图法 早期可编程逻辑器件中直观描述逻辑函数的方法。
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
逻辑代数与普通代数比较
相似处： 用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。
相异处： 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数， 变量称逻辑变量。 逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用 1和 0 表示。 逻辑代数中的变量只有三种运算，即“或”运算、“与”运 算及“非”运算。
F f A, B, C A BA C A B C
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
2、最小项及最小项表达式
（1）最小项
【例】: F f A, B A B 解： F f
AB B B A A AB AB B A B A A B AB AB
A, B
A B
上式由若干个“与”项之和组成，每个“与”项都具有以下特 点： •包含了该逻辑函数的全部逻辑变量； •每个变量在每个“与”项中只能以原变量或反变量的形式出 现一次。
记为
F=f（ A1，A2，…An）
输 入 逻 辑 变 量
A1
An
逻 辑 网 络
F
输出 逻辑 函数
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
二、逻辑函数地表示方法
1、逻辑表达式 是由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符 所构成的式子，是一种用公式表示逻辑函数的方法。
• 逻辑变量集：是指逻辑代数中所有可能变量的集合，它可用任何字母表示，但每一个变量 的取值只可能为常量1或0。
逻辑变量：是指逻辑代数中的变量，一般用大写字母A、B、 C、…表示， 逻辑变量的取值只能有两种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。
• 但必须指出，这里的逻辑0和逻辑1本身并不表示数值的大小，而是表示两种完全对立的状 态，如：是与非、真与假、有与无等。
◆ 硬件设计语言法 是采用计算机高级语言来描述逻辑函数并进行逻辑设计的 一种方法，它应用于可编程逻辑器件中。目前应用最广泛的硬 件设计语言有ABLE-HDL、 VHDL等。
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三、逻辑函数的标准形式
1、基本形式
（1）与或表达式（又叫积之和表达式） 是指一个逻辑函数表达式中包含有若干个“与”项， 其中每个“与”项由一个或多个原变量或反变量组成，这些 “与”项相“或”就构成一个与或表达式。
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
②最小项编号 下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量 记为0，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数， 与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下 标i。
（A，B，C） 3个变量有23（8）个最小项
A BC A BC ABC ABC A BC 最小项 二进制数 000 001 010 011 100 十进制数 0 1 2 3 4
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
或逻辑函数表达式 F=A+B
或逻辑运算的基本规律
或运算符，也可用 “∨”、“∪”表示
国内常用 有 1 出 1；全 0 出 0 “或”门电路 实现“或”逻辑关系的电 路称为“或”门电路，简称 “或”门。
A B (b) A B ≥1 (c) A B
＋
F
(a)
国外常用
结合律 A B C A B C 分配律
A B C A B C A B C A B A C
A ( A B) A
A B C ( A B) ( A C )
吸收律
A A B A
A B A B A A A B A B
( A B) ( A B) A
A( A B) AB
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
【证明】: A+BC=(A+B)(A+C)
证明: 右边=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC =左边 ; ; ; ; ; 分配律 分配律,重叠律 分配律 0-1律 0-1律
F A B
运算次序：先“或”，再“非”
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 1 0 0 0
或非门逻辑符号
A B A B A B +
国标符号
≥1
F
国外常用
F
国内常用
或非逻辑运算基本规律： 有“1”出“0”； 全“0”出“1”。
F
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3. 与或非逻辑（AND-OR-NOT） 与或非逻辑表达式
例如： F f A, B AB A B
2、真值表 是由逻辑变量的所 有可能取值组合及其对应 的逻辑函数值所构成的表 格，这是一种用表格表示 逻辑函数的方法。
上例逻辑函数真值表
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 0 0 1
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
3、卡诺图
卡诺图是逻辑函数的图形表示法，卡诺图是由表示逻辑变 量的所有可能组合的小方格所构成的图形。
例如：
F f A, B, C, D A B C A BC D
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（2）或与表达式（又叫和之积表达式）
是指一个逻辑函数表达式中包含有若干个“或”项， 其中每个“或”项由一个或多个原变量或反变量组成，这 些“或”项相“与”就构成一个或与表达式。
例如：
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 1 1 0
F AB
运算次序：先“与”，再“非”
与非门逻辑符号
国标符号
A B A B A B
&
F
国外常用
F
国内常用
与非逻辑运算基本规律： 有“0”出“1”； 全“1”出“0”。
F
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2. 或非逻辑（NOR） 或非逻辑表达式
或非逻辑真值表
与或非门逻辑符号
A B C D &
≥1
国标符号
F AB CD
运算次序：先“与”，再“或”，最后 “非”
F
国外常用
与或非逻辑真值表
AB 0 0 1 1
CD 0 1 0 1
F 1 0 0 0
A B
C D A B C D
F
国内常用
+
F
与或非逻辑运算基本规律： 各组均有0出1，某组全1出0
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
证明:
左边=A（1+B+C)+BC ; 0-1律 =A+AB+AC+BC ; 分配律 =AA+AB+AC+BC ；重叠律 =A(A+C)+B(A+C) ；分配律 =(A+B)(A+C) ；分配律 =右边
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1.2 逻辑函数及其标准形式
一、逻辑函数的定义
设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1，A2，„An，输出逻
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四、逻辑代数公理 0-1 律 重叠律 互补律 还原律 交换律
1 A 1
1 A A
0 A A
A A A
0 A 0
A A A
A A 1
A A 0
AA
A B B A A B B A
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
与逻辑函数表达式
与运算符，也有用 “∧”、 “∩”、“&”表示
F=A· =AB B
与逻辑运算的基本规律
有0出0；全1出1
A B
国内常用
F (a) A B (b) A B
“与”门电 路 实现“与”逻辑关系的电 路称为“与”门电路，简称 “与”门。
国外常用
F
国标符号
F
国标符号
F
或门逻辑符号
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
3、非逻辑（逻辑反、非运算、NOT）
当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备 时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。
A
F
电路功能表 开关A 断开 闭合 灯Y 亮 灭
非逻辑的真值表 A Y 0 1 1 0
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4. 异或逻辑（XOR） 异或逻辑表达式
异或门逻辑符号
A B
A B
=1
国标符号
F A B AB A B
异或逻辑真值表
F
国外常用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
国内常用
A B
⊕
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
0 1 1 0
异或逻辑运算基本规律： 同为“0”； 异为“1”。
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
5. 同或运算（XNOR） 同或逻辑表达式
当逻辑变量为n时，其卡诺图由2n个小方格组成。
B A A A A A B
AB
B
B
B
A A C C
ABC
B
C
C
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
◆ 逻辑图法 采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。 ◆ 波形图法 一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随 时间变化的规律。
◆ 点阵图法 早期可编程逻辑器件中直观描述逻辑函数的方法。
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
逻辑代数与普通代数比较
相似处： 用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。
相异处： 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数， 变量称逻辑变量。 逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用 1和 0 表示。 逻辑代数中的变量只有三种运算，即“或”运算、“与”运 算及“非”运算。
F f A, B, C A BA C A B C
数字逻辑----第1章 逻辑代数基础
2、最小项及最小项表达式
（1）最小项
【例】: F f A, B A B 解： F f
AB B B A A AB AB B A B A A B AB AB
A, B
A B
上式由若干个“与”项之和组成，每个“与”项都具有以下特 点： •包含了该逻辑函数的全部逻辑变量； •每个变量在每个“与”项中只能以原变量或反变量的形式出 现一次。