第2章方程求根(1)
计算方法第二章方程求根上机报告
实验报告名称 班级：学号：姓名：成绩： 1实验目的 1）通过对二分法与牛顿迭代法作编程练习与上级运算，进一步体会二分法与牛顿迭代法的不同特点。 2）编写割线迭代法的程序，求非线性迭代法的解，并与牛顿迭代法。 2 实验内容 用牛顿法和割线法求下列方程的根 x^2-e^x=0; x*e^x-1=0; lgx+x-2=0; 3实验步骤 1)根据二分法和牛顿迭代法，割线法的算法编写相应的求根函数； 2)将题中所给参数带入二分法函数，确定大致区间； 3)用牛顿迭代法和割线法分别对方程进行求解； 3 程序设计 牛顿迭代法x0=1.0; N=100; k=0; eps=5e-6; delta=1e-6; while(1) x1=x0-fc1(x0)/fc2(x0); k=k+1; if k>N disp('Newmethod failed')
break end if(abs(x1-x0) π的计算方法 如图，这是一个正五边形和它的外切圆。AD平分∠EDB，AC⊥交于BD与点C.已知外切圆的半径为5cm。求正五边形的周长？ 根据题目可以求出∠EDB= ? = - 108 5 180 * 2 5） （ ∵AD为∠EDB角平分线 ∴∠ADC=∠EDA=108*(1/2)=54° ∵AD=5cm,∠ADC=54° ∴CD=cos54°*5cm ∴BD=2CD=2*cos54°*5cm ∴C[正五边形] =2*cos54°*5cm*5=50*cos54° 如图，这是一个正n边形和它的外切圆。AD平分∠EDB，AC⊥交于BD与点C.已知外切圆的半径为rcm。求正n边形的周长与它的外切圆直径之比？根据题目可以求出∠ EDB= ?- n n180 * 2） （ ∵AD为∠EDB角平分线 ∴∠ADC=∠EDA=n n n 2180*2n 21*180*2）（）（-=- ∵AD=rcm,∠ADC=n 2180*2-n ）（ ∴CD=r n *)2180*2-n cos(）（ ∴BD=2CD=2*r n *)2180*2-n cos(）（ ∴C[正五边形]=2*n **)2180*2-n cos(r n ）（ ∴π=n r n r n C C n *)2n 180*2)-(n cos(2*2**)2180*)2n ((cos =-=≈它外切圆直径 直径边形正圆（180单位为°） )2180)2n (tan(*)2180)2n (tan(na n *)2180)2n (tan(2*a 5.0*)2180)2n (tan(5.0*)2180)2n (tan()2180)2n (tan(5.02180)2n (,180)2n (a 5.0,a n n a n n a C a n n G a n GH n a HG AH HG n FAG BAF AG n BAF HF AH AF H AF GH G AF FG AG AF n G n n AFG n -=-≈≈∴=-=-∴-=∴-==-=∠∴∠-=∠==∴∴⊥∴==直径边形周长外接正π直径为圆平方中点 为等腰三角形三线合一 的切线 为圆边形的内接圆。为正边形，圆已知；这是一个正边形一部分 为等腰△是正边形，△假设这是个正正多边形ΘΘΘΘΘ 二元一次方程的求根公式 第二章 Volterra 方程的求解 §2.1 第二类Volterra 方程求解 积分方程是近代数学的一个重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学和有机分析等有着紧密的联系.同时，它也是解决力学、数学物理和工程技术等问题的一种重要工具. 本章首先介绍积分方程的基本概念，其次利用压缩映照原理讨论积分方程的可解性及逐次逼近方法，并扼要介绍Fredholm 定理，讨论一些非线性积分方程的解法. 第二类Volterra 方程一般形式为： ()(,)()()x a x K x t t dt f x ?λ?=+? , (2.1.1) A ． 化为常微分方程求解 例2.1.10().x x t e t dt x ?-=? 解 由0 ()x x t e e t dt x ?-=? ， 得0 ()x t x e t dt xe ?--=?, 求导得(),x x x e x e xe ?---=- 即()1x x ?=-. 例2.1.2 0()().x x x t dt e ??=+? 解 求导得()().x x x e ??'=+ 定解条件0 0(0)() 1.t dt e ??=+=? 化为微分方程 , (0) 1. x e ???'?=+? =? 容易得到()(1)x x x e ?=+. 定理2.1.1 如果第二类Volterra 方程(2.1.1)的核(,)K x t 为()x t -的(1)n -次多项式 01(,)()()() K x t a x a x x t =+-2 2()()2!a x x t +-11()()(1)!n n a x x t n --++ -- , 令 1 1()()()(1)!x n a y x x t t dt n ?-=--?， 第二章 方程求根 教学内容： 1．二分法 2．基本迭代法 3．牛顿法 4．弦位法 5．埃特金法和斯基芬森法 6．重根的情况 教学重点： 各种算法的思路及迭代公式的构造 教学难点： 各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计 计划学时：5-6学时 授课提纲： 方程求根就是求函数)(x f 的零点*x ，即求解方程 0)(=x f 这里，0)(=x f 可以是代数方程，也可以不是，如超越方程。 方程的根既可以是实数，也可以是复数；既可能是单根，也可能是重根；即可能要求求出给定范围内的某个根，也可能要求求出方程全部的根。 本章介绍的方法对两类方程都适用，但大部分都是要求知道根在什么范围内，且在此范围内只有一个单根。若有α使得0)(,0)(≠'=ααf f ，则称α是方程0)(=x f 的单根；若有α使得 0)(,0)()()()()1(≠==='=-ααααm m f f f f ， 则称α是方程0)(=x f 的m 重根。 设)(x f 在区间[a,b]连续，若0)()( 2.1.2 二分法思想 区间对分，去同存异 2.1.3 二分法计算步骤 步1：令2/)(0b a x +=，计算)(0x f ； 步2：若0)(0=x f ，令0*x x =，计算结束； 步3：若)(0x f *)(a f >0，令0x a =；否则令0x b =； 步4：若ε≤-||a b ，令2/)(*b a x +=,计算结束；否则转步1。 2.1.4 二分法误差分析和收敛性 记第k 次区间中点为k x ，则有 2/)(0*a b x x -≤-，21*2/)(a b x x -≤-，1*2/)(,+-≤-k k a b x x 故当∞→k 时，*x x k →。 为使ε≤-k x x *，解不等式ε≤-+12/)(k a b ，得 12ln /]ln )[ln(---≥εa b k 2.1.5 二分法的优缺点 ● 算法简单直观，易编程计算； ● 只需)(x f 连续即可； ● 区间收缩速率相同，收敛速度慢； ● 无法求复根和偶重根。 例2-1 p15例1 2.2 迭代法 2.2.1 迭代法原理 0)(=x f ? )(x x ?= )(x f 的根 )(x ?的不动点 2.2.2 迭代法思路 任取初值],[0b a x ∈，令)(01x x ?=，)(12x x ?=，反复迭代，即得 ),2,1,0(),(1 ==+k x x k k ? 直到满足精度要求的k x 来近似*x 。称)(x x ?=为迭代公式，)(x ?为迭代函数，{k x }为迭代序列。 若{k x }收敛时，称迭代公式是收敛的。此时设=∞ →k k x lim *x ，当)(x ?连续时 )()lim ()(lim lim *1*x x x x k k k k k ???====∞ →∞ →+∞ → 亦即0)(*=x f 。若{k x }不收敛，称迭代公式是发散的。 山西大学计算机与信息技术学院 实验报告 姓名学号专业班级 课程名称计算方法实验实验日期 成绩指导老师批改日期 实验名称实验一方程求根 一、实验目的 用各种方法求任意实函数方程f(x)=0在自变量区间[a,b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、实验方法 (1)二分法 对方程f(x)=0在[a,b]内求根，将所给区间二分，在分点x= 2a b 判断是否f(x)=0，若是，则有根x=(b+a)/2。否则，继续判断是否f(a)* f(x)<0，若是，则令b=x，否则令a=x、重复此过程直至求出方程f(x)=0在[a,b]中的近似根为止。 (2)迭代法 将方程f(x)=0等价变换为x=φ（x）形式，并建立相应的迭代公式x k+1=φ（x k）。 (3)牛顿法 若已知方程f(x)=0的一个近似根x0，是函数f(x)在点x0附近可用一阶泰勒多项式 p1(x)=f(x )+f`(x0)(x-x0)来近似，因此方程f(x)=0可近似表示为f(x0)+f`(x0)(x-x0)=0。设f`(x0)≠0，则x=x0-f(x0)/f`(x0)。则x作为原方程新的近似根x1，然后x1将作为x0带入上式。迭代公式为x k+1=x k -f(x k)/f`(x k)。 三、实验内容 （1）在区间[0，1]上用二分法求方程ex+10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5x10-3。 （2）取初值x0=0，用迭代公式，x k+1= 10 k x e- 2，（k=0,1,2···）求方程e x+10x-2=0的 近似根。要求误差不超过0.5x10-3。 （3）取初值x0=0，用牛顿迭代法求方程e x+10x-2=0（k=0,1,2···）的近似根。要求误差不超过0.5x10-3。 四、实验程序 #include 实验四 方程求根实验 一. 实验目的 （1）深入理解方程求根的迭代法的设计思想，学会利用校正技术和松弛技术解决某些实际的非线性方程问题，比较这些方法解题的不同之处。 （2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。 二. 实验要求 用Matlab 软件实现根的二分搜索、迭代法、Newton 法、快速弦截法和弦截法，并用实例在计算机上计算。 三. 实验内容 1. 实验题目 （1）早在1225年，古代人曾求解方程020102)(23=-++=x x x x f 并给出了高精度的 实根368808107.1*=x ，试用Newton 法和弦截法进行验证，要求精度610-=ε，并绘制方程的图形。 答：A.Newton 法： a ．编写文件Newton.m 、func4.m 内容如下所示： b.运行，如下所示A为矩阵， 由上面可知，对于初值为5，运行7次即可得到所需的精度，验证结果为古人给出的解释正确的； c.作图，编写下面的文件photo1.m.然后运行即可： 注意下面中的x矩阵即为刚才计算出来的x系列，k为迭代的次数： a．编写文件Chord.m内容如下所示： b．运行结果如下所示： 由上表可知，在精度为10^-6时有7位有效数字，古人的结果还是正确的 c．作图，在上面运行后，即运行newton法时写的photo1.m文件即可出现图像： 可以看到图中两条曲线基本重合； （2）取5.00=x ，用迭代法求方程x e x -=的根，然后用Aitken 方法加速，要求精度为 结果有4为有效数字。 答： a. 编写文件func7.m 和Aiken.m ，内容如下所示： 1 第二章作业 问题描述： 不同温度的两种流体进入混合器混合，流出时具有相同的温度。流体A 和B 的热容（单位：cal/(mol ·K)）分别为： 2623.381 1.80410 4.30010pA c T T --=+?-? 1528.592 1.29010 4.07810pB c T T --=+?-? 焓变（单位：cal/mol ）为2 1 T p T H c dT ?= ? 。 A 进入混合器的温度为400℃， B 进入混合器的温度为700℃，A 的量（mol ）是B 的量（mol ）的两倍，试确定流体离开混合器的温度。 问题分析： 初始情况下，气体A 的温度比气体B 的温度低，故在混合过程中，气体A 温度升高，气体B 温度降低。由于没有外界加热或者做功，混合气体整体的焓变应该为零。 设A 有2mol ，B 有1mol ，根据焓变公式计算得到： 2 1 -262400 -22632= 6.762+3.608108.60010)6.762 1.80410 2.867105407.712T T A pA T H c dT T T dT T T T --?=?-?=+?-?-??（ 2 1 -152700 -1253=+1.29010 4.07810)0.64510 1.3591032958.030 T T B pB T H c dT T T dT T T T --?=?-?=+?-?-??（8.5928.592 而0A B H H ?+?=，故该问题最后变成求解方程 2263()15.3548.2541016.4571038365.742f T T T T --=+?-?- 的根的问题。接下来将采用二分法、试位法以及牛顿法进行改方程的求解。方程保存为f.m ，可在压缩文件中找到。 一、 二分法 二分法的基本思想为，确定有根区间，然后不断将区间二等分，通过判断f(x)的符号，逐步将区间缩小，直到有根区间足够小，便可满足精度要求的近似根。 本例中，可以清楚的得到有根区间为(400,700)。取容限误差为-3 0.510%?，可以保证5 位有效数字。程序编写存储于bisec.m 。 其中，bisec 函数定义为： function bisec(f_name,a,c,xmin,xmax,n_points) 调用时： >> bisec('f',400,700,400,700,1000) 相当于取了a=400;c=700;作图时横坐标取得是从400~700的范围，采样点为1000个。 计算机学院上机实践报告 一、目的 1．通过本实验，帮助加深对非线性方程求根方法的构造过程的理解； 2．能将各种方法编写为程序并上机实现； 3．比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 二、容与设计思想 1．用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2 , 3]的根。 2．方程f(x)=2x3-5x2-19x+42=0在x=3.0附近有根，试写出其三种不同的等价形式以构成三种不同的迭代格式，再用简单迭代法求根，观察这三种迭代是否收敛。 三、使用环境 1. 硬件环境 微型计算机（Intel x86系列CPU）一台 2. 软件环境 Windows2000/XP操作系统 VC++6.0或其它的开发工具。 四、核心代码及调试过程 1．用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2 , 3]的根主要代码： void bisect(double a,double b,int max_B) { double root, ya,yb,yroot; int i,actual_B; ya=f(a);yb=f(b); if(ya*yb>0) { printf("method failed!\n"); exit(0); } for(i=1;i<=max_B;i++) { root=(a+b)/2;yroot=f(root); //取当前含根区间的中点 if(yroot==0) { a=root;b=root;} else if(yb*yroot>0) //取含根区间为[a,(a+b)/2] { b=root;yb=yroot;} Else //取含根区间为[(a+b)/2,b] { a=root;ya=yroot;} if(fabs(b-a) 主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 数值计算方法实验报告 实验内容：方程求根 实验室： 专业班级： 学号： 姓名： 2.用MATBAB软件，用二分法求方程f（x）=x^3+4*x^2-10=0在区间[1,2]内根的近似值，为使误差不超过10^-5时所需要的二分次数。 function bisection_time(tolerance) a=1; b=2; k=0; while(abs(b-a)>tolerance) c=(a+b)/2; fa=a^3+4*a^2-10; fb=b^3+4*b^2-10; fc=c^3+4*c^2-10; if((fa==0)|(fc==0)) disp(k); elseif(fa*fc<0) b=c;k=k+1; elseif(fc*fb<0) a=c;k=k+1; elseif(fb==0) disp(k); end end soluntion=(a+b)/2; disp(soluntion); disp(k); 运行结果 1.36523 17 6.取x0=1.5，用牛顿迭代法求f（x）=x^3+4*x^2-10=0的跟的近似值 function new(tolerance) x0=1.5; k=0; a=x0^3+4*x0^2-10; b=3*x0^2+8*x0; x1=x0-a/b; while(abs(x0-x1)>tolerance) x0=x1; k=k+1; a=x0^3+4*x0^2-10; b=3*x0^2+8*x0; x1=x0-a/b; end disp(x1); disp(k); 运行结果 1.36523 3 8.弦割法求方程f（x）=x^3-3*x^2-x+9=0在区间[-2，-1]内的一个实根近似值Xk，使|f(x) |<=10^-5. function xuange(k) x0=-2; x1=-1; t=0; a=x1^3-3*x1^2-x1+9; b=x0^3-3*x0^2-x0+9; x2=x1-a*(x1-x0)/(a-b); while(abs(x1-x0)>k) x0=x1; x1=x2; a=x1^3-3*x1^2-x1+9; b=x0^3-3*x0^2-x0+9; x2=x1-a*(x1-x0)/(a-b); t=t+1; end disp(x1); disp(t) 运行结果 -1.525102 6π计算方法,二元一次和二元二次方程求根公式,一元n次方程
第二章_Volterra_方程的求解
第二章 数值分析--方程求根
计算方法实验一 方程求根
计算方法-方程求根实验
数值计算方法matlab 第二章 求根
非线性方程求根问题
一元二次方程求根公式
数值计算方法 方程求根