第五章 固体中电子的能量状态
反键态
导带
3p sp3
3s 成键态 价带
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紧束缚近似对原子的内层电子是相当好的近似，它还可用来近似地 描述过渡金属的 d 带、类金刚石晶体以及惰性元素晶体的价带。紧 束缚近似是定量计算绝缘体、化合物及半导体特性的有效工具。 （10） 能带的三种图象
扩展布里渊区图象： 不同的能带在 k 空间中不同的布里渊区中给出。每一个布里渊区有 中一个能带，第 n 个能带在第 n 个布里渊区中。
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由于认为 k 与 k+Gl 等价，因此可以认为 En(k)是以倒格矢 Gl 为周 期的周期函数，即对于同一能带 n，有
En (k) = En (k +Gl)
（11）能带的性质
¾ 能带具有周期性
E (k ) = E (k + n 2π ) a
电子波矢
k ' = k + n 2π a
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—— 第一布里渊区和第二布里渊区能带的重叠
（9）原子能级与能带的对应 对于原子的内层电子，其电子轨道很小，因而形成的能带较 窄。这时原子能级与能带之间有简单的一一对应关系。
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E
对于外层电子，由于其电子轨道较大，形成的能带就较宽。 这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一对应关 系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应，可能会出现能 带的重叠。 在某些情况下还可能出现不同原子态的相互作用。如：Si 的价带与 导带。
电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任 何力 的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势 场的作用。
在一定的条件下根据布洛赫定理可知电子不再是完全被束 缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动，称为共有 化电子。
电子受到的势场
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薛定谔方程：
[− h2 ∇2 +V (rv)]ψ (rv) = Eψ (rv) 2m
Ψ= Aeikx A：归一化因子，由归一化条件确定。
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∫(V
ψ
)
k*ψ
k
dτ
=1
A= 1 V
∴ψ k (r )
1 exp(ik ⋅ r )
V
k：电子波矢
3.电子的能量状态
E
E = (hk)2
2m
k
电子的能量
E = h2 k2 2m
=
h2 2m
(k
2 x
+
k
2 y
+
k
具有性质：
ψ(rv
+
v Rn
)
=
eikv⋅Rvn
ψ(rv)
其中
v k
为一矢量。
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表明，当平移晶格矢
v Rn
时，只增相因子
eikv⋅Rvn
根据布洛赫定理可以把波函数写成：
其中
ψ
r k
(rr)
=
eikr⋅rrukr
(rr)
ukr
(rr
+
r Rn
)
=
ukr
(rr)
即 u(rv) 与晶格具有相同的周期性。
5.基态与费米面 费米面的一个非常重要的慨念。 基态, T=0K。 费米面：在绝对零度下，k 空间中被电子占据与未被占据状态
的分界面（等能面）。 费米球：以费米波矢为半径而构成的球。
定义费米波矢:
N
=
2 ρ (k )⋅ 4 πk 3
3
=
V 4π 3
⋅
4 3
π
k
3 F
=
V 3π 2
k
3 F
( ) N
电子数： kF
特点： １.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应; 3. 越是外层电子，能带越宽，ΔE 越大; 4. 点阵间距越小，能带越宽，ΔE 越大; 5. 两个能带有可能重叠。 （7）布里渊区和能带 —— 在 k 空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k 空间 分割为许多区域 —— 每个区域内 E~k 是连续变化的，而在这些区域的边界上能量 E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区 简单立方晶格 k 空间的二维示意图
部分填充的
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导带。 半导体: 禁带宽度一般较窄：Eg 介于 0.2 ~ 3.5 eV 之间
常规半导体：如 Si：Eg ~ 1.1eV； Ge： Eg ~ 0.7 Ev GaAs： Eg ~ 1.5 eV 宽带隙半导体：如 β－SiC： Eg ~ 2.3 Ev 4H－SiC： Eg~ 3 eV 绝缘体：禁带宽度一般都较宽， Eg >几个 eV 如 α－Al2O3： Eg~ 8 eV；NaCl： Eg~ 6 eV
在能量为 E 的球体中，波矢 k 的取值总数为 ρ (k) ⋅ 4 π k3
3
Z(E)
=
ρ(k )⋅
4 3
πk 3
=
V 8π
3
⋅
4 3
π ⎜⎛ ⎝
2mE h2
⎟⎞3/ 2 ⎠
能级数为：
=
V 6π
2
⎜⎛ ⎝
2mE h2
⎟⎞3/ 2 4πV ⎠
(
2m h2
)3/
2
E1/ 2
=
C
E
(V = L3)
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（3）晶体中电子的波函数
布洛赫定理和布洛赫波函数
晶体中的电子是在一个具有晶格周期性的势场中运动，其单电
子波动方程为
[− h2 ∇2 +V (rr)]ψ(rr) = Eψ(rr) 2m
其中
V
(rr
+
r Rn
)
=
V
(rr)
v Rn
=
n1av1
+
n2av2
+
n3av3
——任意格矢
布洛赫定理： 当晶格势场具有周期性时，波动方程的解（波函数）
h−1
d2ε d2k
dk dt
=
1 (h2
d2ε d2k)F
1 = 1 d 2ε m * h2 dk 2
三维情况：
1 = 1 d 2ε mμν * h2 dkμ dkν
• 有效质量为张量 • 价带顶附近的有效质量量为负
• 导带底附近的有效质量为正
（13）与能带有关的概念
满带、导带和近满带中电子的导电能力，空穴概念
的布洛赫函数
ψk+n2π a
(x)
i(k+n2π )x
=e
u a k+n2π
a
(x)
=
eikx[ei
2nπ a
x
uk+n2π
(x)]
ψ k+n2π (x) = eikxuk (x) =ψ k (x)
a
a
—— 在 k 的状态中观察到的物理量与在 k’的状态中是相同的
E(k) = E(k + n 2π ) a
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—— 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 —— 不同的布里渊区对应不同的能带 —— 每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积 —— 每个能带的量子态数目：2N（计入自旋） —— 三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使得不同的能 带发生重叠 （8）能带重叠的条件
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第五章 固体中电子的能量状态
【教学目的】通过本章学习，要求学生掌握金属、晶体及半导体中 能带结构、形成及特点，同时掌握能带间电子的跃迁。 【教学内容】固体能带理论、半导体的能带、固体中的元激发 【教学重点】能带的形成及特点 【教学方法及手段】多媒体课件展示图、表
5.1 能带理论
能级密度为：
G(E)
=
dZ dE
=
V 4π
2
⎜⎛ ⎝
2m h2
⎟⎞3/ ⎠
2
E =C
E
(V = L3 )
考虑电子自旋，如将每一个自旋态看作一个能态，在能量为 E
的球体中，电子能态总数为
z(E)
=
2ρ(k )⋅
4 3
πk 3
=
2
V 8π
3
⋅
4 3
π ⎜⎛ ⎝
2mE h2
⎟⎞3/ 2 ⎠
=
V 3π
2
⎜⎛ ⎝
越大。
( ) E (k) = h2k2 2m
= h2 2m
k
2 x
+
k
2 y
+
k
2 z
能量 E 的分布是以波矢 k 为半径的一球体。
k 空间中单位体积包含的 k 点的数目为：
ρ(k) =
V (2π )3
=
(L 2π
)3
( ) E (k) = h2k2 = h2 2m 2m
k
2 x
+
k
2 y
+
k
2 z
k' = k + n 2π a
—— 三维情况中表示
v
vv
E(k ) = E(k + Gn )
2. 能带具有对称性
E(k) = E(−k)
（12）电子的准经典运动及有效质量
一维情况：
vg
=
dω dk
=
h −1
dε dk
F
=
h
dk dt
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dvg dt
=h−1
d2ε = dkdt
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固体物理学：第五章 第一节 费米分布函数和自由电子气比热容
费米分布函数对所有量子态求和等于系统中总电子数，由于能 量状态是准连续分布的，可以由求和变为积分：
N(E)是能态密度函数。
二、基态（T=0K）下的分布函数 和自由电子气的费米能
在零温下，分布函数：
其中 function)
称为亥维赛单元函数(Heaviside step
在基态下，所有能量小于或等于费米能的态都被占 据，而所有能量高于费米能的态都空着，费米面就 是价电子的最高能量，有
第五章 金属电子论
§5.1 费米分布函数和自由电子气比热容
一、费米分布函数
金属的物理性质主要取决于导带电子。在单电子近似 下，导带电子可以看作是一个近似独立的粒子系统。 系统中的电子具有一系列确定的本征态，这些态由能 带理论确定。 系统的宏观状态，可以用电子在这些本征态的分布来 描述，其平衡态分布函数就是费米分布函数：
温度高于德拜温度，晶格比热容其主导作用。 只有在低温下，电子对金属的比热容才有显著贡献。
在T趋近于0时，电子比热容按照T的线性函数趋于0， 而晶格比热容按照T3趋于0：
令
得到一个温度
以铜为例，取 得到
低于此温度电子比热容占优势。
测金属的低温比热容，一般做Cv/T和T2的曲线，我们 将得到一个直线，斜率即系数b，截距就是γ。
，估算值和计算值只差一个常数
从5.1.27，得到自由电子气的比热容：
利用
得到
因此
与经典气体不同，电子气的比热容与温度成正比。在室温 附近，它只是经典比热的1%左右，电子对比热容的贡献 微乎其微。这是因为大多数低于费米能的电子不参与热激 发，只有费米面附近的电子才对比热有贡献。 金属的总比热容应该包括晶格比热容和电子比热容：
它给出在温度T时，一个能量为E的量子态被电子占据的概率。 EF是费米能，也就是系统的化学势。它与系统温度和电子浓度有关。
N(E)是能态密度函数。
二、基态（T=0K）下的分布函数 和自由电子气的费米能
在零温下，分布函数：
其中 function)
称为亥维赛单元函数(Heaviside step
在基态下，所有能量小于或等于费米能的态都被占 据，而所有能量高于费米能的态都空着，费米面就 是价电子的最高能量，有
第五章 金属电子论
§5.1 费米分布函数和自由电子气比热容
一、费米分布函数
金属的物理性质主要取决于导带电子。在单电子近似 下，导带电子可以看作是一个近似独立的粒子系统。 系统中的电子具有一系列确定的本征态，这些态由能 带理论确定。 系统的宏观状态，可以用电子在这些本征态的分布来 描述，其平衡态分布函数就是费米分布函数：
温度高于德拜温度，晶格比热容其主导作用。 只有在低温下，电子对金属的比热容才有显著贡献。
在T趋近于0时，电子比热容按照T的线性函数趋于0， 而晶格比热容按照T3趋于0：
令
得到一个温度
以铜为例，取 得到
低于此温度电子比热容占优势。
测金属的低温比热容，一般做Cv/T和T2的曲线，我们 将得到一个直线，斜率即系数b，截距就是γ。
，估算值和计算值只差一个常数
从5.1.27，得到自由电子气的比热容：
利用
得到
因此
与经典气体不同，电子气的比热容与温度成正比。在室温 附近，它只是经典比热的1%左右，电子对比热容的贡献 微乎其微。这是因为大多数低于费米能的电子不参与热激 发，只有费米面附近的电子才对比热有贡献。 金属的总比热容应该包括晶格比热容和电子比热容：
它给出在温度T时，一个能量为E的量子态被电子占据的概率。 EF是费米能，也就是系统的化学势。它与系统温度和电子浓度有关。
中山大学固体物理第五章参考答案
定态薛定谔方 程为：
d 2 d2x
2m 2
E
U ( x)
0
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
0 ca
1( x) Aeix Beix , 2( x) Aei'x Bei'x , 3( x) eika ( Aeix Beix ), 这里 2mE / , ' 2m(E U0) /
进行一些推导和必要简化，最后可 以得出下式
maU0b
2
sin
a
a
cos(
a)
cos(ka)
式中
2mE
而 k 2
是电子波的波矢。
上式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E 与波矢 k 之间的关系式。
f( E)
E
图 5 f(E)函数图
由图看出，在允许取的 E值之间，有一些不允许取 的 E值，称为能隙。
– （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维 超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)
AB
ECA
EVA
8
a
a
ECB
克朗尼格-朋奈模型
EVB (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型
U(x)
周期性方势阱
U0
2区
1区 3区
b
x
0 ca
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0 (0 x c) U(x) U0 (c x a)
b=0, U0=∞， P=β2ba/2
见 Kittel 8版 p121Biblioteka 于本题，每个能带里有8条 小分能带
AB
8
a
a
固体物理-第五章1
Kx Ky
L L
0 0
K K
x y
L L
nx ny
sin Kz L 0 Kz L nz
即：
Kx
nx
L
Ky
ny
L
其中nx,ny,nz为正整数
Kz
nz
L
5.2.1 Somerfield 电子模型
➢方盒势阱中运动的粒子
得到： (x, y, z) Asin kx x sin ky y sin kz z
论
速度分布服从Maxwell-Boltzman经典分布（就是微观状
内
态数最大的那种分布，也称最可几分布 ）。
容
f E eEEF / kT
5.1金属中自由电子经典理论
经典自由电子理论的成功之处
➢ 对金属电导率的解释
成
✓ 电导率有限性
功
之
金属的导电可理解为金属的自由电子在外加电场的影
处
响下，沿外加电场的电势梯度定向流动，形成电流。一般
情况下金属是良导体，可认为没有电阻存在。但实验事实
告诉我们，随温度的上升金属的电导率下降。
5.1金属中自由电子经典理论
➢ 对金属电导率的解释
✓ 电导率有限性
成
当温度升高的时候，金属电导率的变化主要取决于电子 运动速度。因为晶格中的原子和离子不是静止的，它们在
理 V (x, y, z) 0
0 x, y, z L
b
论 V (x, y, z) x, y, z 0 x, y, z L
y
推 导
方盒型势阱内粒子的能量E和波函数ψ(x,y,z)由薛定谔方
第五章 晶体中电子能带理论
第五章固体电子论基础在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。
但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。
固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。
金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用的研究。
大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。
后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。
这就是经典的自由电子气模型。
自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。
量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。
这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。
这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。
但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。
能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。
本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
福州大学固体物理第五章
2
2
2
εK
k
(k x k y k z )
2m
2m
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数 ms 1
2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上自旋相反的
一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
2 2
εk
(k x k y2 k z2 )
2m
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等能面是一
系列同心球面。
➢费米能级和费米面：
在T=0K时,电子的能级与轨道填充时有两个原则:
① 先填能量低的能级
② 服从泡利原理
在T=0K时，由N个电子组成的自由电子系
2
1
3
相应的费米能：
2
kF
2
EF
(3 2 n) 2 / 3
2me
2m
2
也是由电子气的密度唯一地决定。
费米速度：
k F
vF
(3 2 n)1/ 3
m
m
也唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，
F .VF .k F
都越大。
思考： 晶体膨胀时，费米能级如何变化？
如一些典型金属的费米面参数：
面，即E到E+dE之间的体积，可以转化为半径k
到k+dk的两个球面之间的体积。转化公式：
k 2mE /
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：4/3πk3，
每个k值占的体积为(2π/L)3，每个k又对应自旋相反的一
对电子，则：
2
2
εK
k
(k x k y k z )
2m
2m
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数 ms 1
2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上自旋相反的
一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
2 2
εk
(k x k y2 k z2 )
2m
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等能面是一
系列同心球面。
➢费米能级和费米面：
在T=0K时,电子的能级与轨道填充时有两个原则:
① 先填能量低的能级
② 服从泡利原理
在T=0K时，由N个电子组成的自由电子系
2
1
3
相应的费米能：
2
kF
2
EF
(3 2 n) 2 / 3
2me
2m
2
也是由电子气的密度唯一地决定。
费米速度：
k F
vF
(3 2 n)1/ 3
m
m
也唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，
F .VF .k F
都越大。
思考： 晶体膨胀时，费米能级如何变化？
如一些典型金属的费米面参数：
面，即E到E+dE之间的体积，可以转化为半径k
到k+dk的两个球面之间的体积。转化公式：
k 2mE /
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：4/3πk3，
每个k值占的体积为(2π/L)3，每个k又对应自旋相反的一
对电子，则：
固体物理第五章晶体中的电子状态5152精品教育文档
(kx2ky2kz2)2m 2
E
k
空间中等能面半径：
k
2m E 2
1）能级状态密度
gE dG
dE
：单位能量间隔内电子态的数目
能量在E→E+dE范围内的能量状态数与半径为k→k+dk的 球壳之间k的数量相对应：
dG
V
(2
)3
4kdk
2m 2Ek2dk2m 22kd Eg(E)2V(2hm 2 )2 3E1 2
d d(x
na)
V
x
na
f
x
na
2
2m
d2 dx2
V
x
Tˆn
f
(x)
Hˆ Tˆn
f
(x)
Tˆn,Hˆ 0
所以，Tˆn 与 Hˆ 有共同的本征函数
2）求平移算符Tˆn 的本征函数 有两个平移算符 Tˆn和 Tˆm
T ˆnT ˆmf(x)T ˆnf(xm)a f[x(nm )a] Tˆnmf (x)
N
C
E
1
(EEF)
dE（EF ：费米能级）
e kT 1
E F 为T=0时费米子所占据的最高能级
EF
T 0K
f
(
E
)
1
0
E EF E EF
T0
EF0=几个eV
dN
C
E dEΒιβλιοθήκη 00 E E F 状态完全填满
E ＞EF
状态全空
较低温，T>0 kT EF
《固体物理·黄昆》第五章(1)
每个代表点的体积
1 1 1 b1 ( b2 b3 ) N1 N2 N3
l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
( 2 ) Vc
3
状态密度
Vc 3 ( 2 )
3
( 2 ) N N 简约布里渊区的波矢数目 3 ( 2 )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
ik Rn (r Rn ) e (r )
了位相因子 e
k 为一矢量。当平移晶格矢量为 Rn ，波函数只增加
ik R n
H i ( r i ) E i ( r i )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多 电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子 问题:
1 2 3
布洛赫定理
ik Rm (r Rm ) e (r )
平移算符本征值的物理意义
（1） 1
e
ik a1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
表征原胞之间电子波函数位相的变化 （2）平移算符本征值量子数
T和 H存在对易关系，则 H的本征函数同时也是各平移 算符T的本征函数 H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值 周期性边界条件
三个方向 a1 , a 2 , a 3 上的原胞数目
1 1 1 b1 ( b2 b3 ) N1 N2 N3
l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
( 2 ) Vc
3
状态密度
Vc 3 ( 2 )
3
( 2 ) N N 简约布里渊区的波矢数目 3 ( 2 )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
ik Rn (r Rn ) e (r )
了位相因子 e
k 为一矢量。当平移晶格矢量为 Rn ，波函数只增加
ik R n
H i ( r i ) E i ( r i )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多 电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子 问题:
1 2 3
布洛赫定理
ik Rm (r Rm ) e (r )
平移算符本征值的物理意义
（1） 1
e
ik a1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
表征原胞之间电子波函数位相的变化 （2）平移算符本征值量子数
T和 H存在对易关系，则 H的本征函数同时也是各平移 算符T的本征函数 H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值 周期性边界条件
三个方向 a1 , a 2 , a 3 上的原胞数目
固体中的电子态
边界上特征点： <100>*方向上X <111>*方向上L <110>*方向上K
§2.4 固体中电子态
5 电子态的表述 — 3维晶体中电子的能量与波矢关系
量化表达方式：波矢空间中特定方向 上能量与波矢的函数曲线——Cu
边界上特征点： <100>*方向上X <111>*方向上L <110>*方向上K
电子态的能带特征点 — 关键词：E(k)的能量突变点的特征、禁带的意义及原因
电子态的能带(允带) — 关键词：一个能带内的能态密度
电子在能带(允带)中的分布及特征 — 关键词：电子的分布情况与费米能级，与材料的关系
§2.4 固体中电子态
1. 电子态的表述 — 电子的能量与波矢关系
E(k ) 曲线具有平移对 2π
载流子体积密度
T＝0K时载流子体积密度为零， 是绝缘体
T>0K下，电子由价带跃迁到导带 产生载流子，其体积密度随温度 升高呈指数规律增高，因此导电 性相应按指数规律增强
§2.4 固体中电子态
2-1 半导体的光吸收和发光问题
平移对称性的表现形式
§2.4 固体中电子态
2. 电子的“禁带”
各种表示图中，电子能量 －波矢关系的能量突变处
§2.4 固体中电子态
2. 电子的“禁带” 周期为a的势场—间距a的一维原子链
能量突变—电子波矢为π/a的整倍数处
能量与波矢中能量突变的原因
能量突变点处电子波长为2π/k＝2a/n 这样的电子波在晶体中传播，相邻
正空间基矢 (a1, a2 , a3 )
倒易空间基矢 (g1 , g2 , g3 )
g1
=
2π
⋅
§2.4 固体中电子态
5 电子态的表述 — 3维晶体中电子的能量与波矢关系
量化表达方式：波矢空间中特定方向 上能量与波矢的函数曲线——Cu
边界上特征点： <100>*方向上X <111>*方向上L <110>*方向上K
电子态的能带特征点 — 关键词：E(k)的能量突变点的特征、禁带的意义及原因
电子态的能带(允带) — 关键词：一个能带内的能态密度
电子在能带(允带)中的分布及特征 — 关键词：电子的分布情况与费米能级，与材料的关系
§2.4 固体中电子态
1. 电子态的表述 — 电子的能量与波矢关系
E(k ) 曲线具有平移对 2π
载流子体积密度
T＝0K时载流子体积密度为零， 是绝缘体
T>0K下，电子由价带跃迁到导带 产生载流子，其体积密度随温度 升高呈指数规律增高，因此导电 性相应按指数规律增强
§2.4 固体中电子态
2-1 半导体的光吸收和发光问题
平移对称性的表现形式
§2.4 固体中电子态
2. 电子的“禁带”
各种表示图中，电子能量 －波矢关系的能量突变处
§2.4 固体中电子态
2. 电子的“禁带” 周期为a的势场—间距a的一维原子链
能量突变—电子波矢为π/a的整倍数处
能量与波矢中能量突变的原因
能量突变点处电子波长为2π/k＝2a/n 这样的电子波在晶体中传播，相邻
正空间基矢 (a1, a2 , a3 )
倒易空间基矢 (g1 , g2 , g3 )
g1
=
2π
⋅
第五章 固体的能带
2
二、近自由电子的等能曲线和状态密度： 近自由电子的等能曲线和状态密度：
1. 近自由电子状态下在布里渊区出现禁带，电子不能在禁 近自由电子状态下在布里渊区出现禁带， 带中填充，禁带中电子的状态密度为零。 带中填充，禁带中电子的状态密度为零。 2. 同一长度的波矢在不同方向上接近布区边界的程度是不 同的。（ ）方向最先接近，（ ）方向最后接近。 同的。（10）方向最先接近，（11）方向最后接近。 。（ ，（ 3. 远离布区时，近自由电子的等能线和自由电子一样，是 远离布区时，近自由电子的等能线和自由电子一样， 一组同心圆。 一组同心圆。 4. 圆形等能面在 圆形等能面在(10)方向接近布区时，(11)方向仍然远离布 方向接近布区时， 方向接近布区时 方向仍然远离布 方向仍为圆形， 区，故(11)方向仍为圆形，而（10）发生变化。 方向仍为圆形 ）发生变化。 5. （10）方向等能面接近布区时，自由电子的波矢长度小 ）方向等能面接近布区时， 于近自由电子，状态密度增大，等能线向布区弯曲。 于近自由电子，状态密度增大，等能线向布区弯曲。 6. 当等能线在 当等能线在(10)方向和布区相切，状态密度最大，同时等 方向和布区相切， 方向和布区相切 状态密度最大， 能线破裂，分成四段。此后状态密度随E增加而减小 增加而减小。 能线破裂，分成四段。此后状态密度随 增加而减小。 7. 当等能线在 当等能线在(11)方向与布区相交时，状态密度为零。 方向与布区相交时， 方向与布区相交时 状态密度为零。
3
（一）、近自由电子的等能曲线： ）、近自由电子的等能曲线： 近自由电子的等能曲线
二维正方晶格近自由电子的色散关系（ ）和等能曲线（ ） 二维正方晶格近自由电子的色散关系（a）和等能曲线（b）
4
（二）、近自由电子的状态密度： ）、近自由电子的状态密度： 近自由电子的状态密度
二、近自由电子的等能曲线和状态密度： 近自由电子的等能曲线和状态密度：
1. 近自由电子状态下在布里渊区出现禁带，电子不能在禁 近自由电子状态下在布里渊区出现禁带， 带中填充，禁带中电子的状态密度为零。 带中填充，禁带中电子的状态密度为零。 2. 同一长度的波矢在不同方向上接近布区边界的程度是不 同的。（ ）方向最先接近，（ ）方向最后接近。 同的。（10）方向最先接近，（11）方向最后接近。 。（ ，（ 3. 远离布区时，近自由电子的等能线和自由电子一样，是 远离布区时，近自由电子的等能线和自由电子一样， 一组同心圆。 一组同心圆。 4. 圆形等能面在 圆形等能面在(10)方向接近布区时，(11)方向仍然远离布 方向接近布区时， 方向接近布区时 方向仍然远离布 方向仍为圆形， 区，故(11)方向仍为圆形，而（10）发生变化。 方向仍为圆形 ）发生变化。 5. （10）方向等能面接近布区时，自由电子的波矢长度小 ）方向等能面接近布区时， 于近自由电子，状态密度增大，等能线向布区弯曲。 于近自由电子，状态密度增大，等能线向布区弯曲。 6. 当等能线在 当等能线在(10)方向和布区相切，状态密度最大，同时等 方向和布区相切， 方向和布区相切 状态密度最大， 能线破裂，分成四段。此后状态密度随E增加而减小 增加而减小。 能线破裂，分成四段。此后状态密度随 增加而减小。 7. 当等能线在 当等能线在(11)方向与布区相交时，状态密度为零。 方向与布区相交时， 方向与布区相交时 状态密度为零。
3
（一）、近自由电子的等能曲线： ）、近自由电子的等能曲线： 近自由电子的等能曲线
二维正方晶格近自由电子的色散关系（ ）和等能曲线（ ） 二维正方晶格近自由电子的色散关系（a）和等能曲线（b）
4
（二）、近自由电子的状态密度： ）、近自由电子的状态密度： 近自由电子的状态密度