第一章 固体中电子能量结构与状态
材料物理性能课后习题答案 北航出版社 田莳主编
材料物理习题集第一章固体中电子能量结构和状态（量子力学基础）1. 一电子通过5400V电位差的电场，（1）计算它的德布罗意波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni晶体（111）面（面间距d=2.04×10-10m）的布拉格衍射角。
（P5）2. 有两种原子，基态电子壳层是这样填充的，请分别写出n=3的所有电子的四个量子数的可能组态。
（非书上内容）3. 如电子占据某一能级的几率是1/4，另一能级被占据的几率为3/4，分别计算两个能级的能量比费米能级高出多少k T？（P15）4. 已知Cu的密度为8.5×103kg/m3，计算其（P16）5. 计算Na在0K时自由电子的平均动能。
（Na的摩尔质量M=22.99，）（P16）6. 若自由电子矢量K满足以为晶格周期性边界条件和定态薛定谔方程。
试证明下式成立：e iKL=17.8. 试用布拉格反射定律说明晶体电子能谱中禁带产生的原因。
（P20）9. 试用晶体能带理论说明元素的导体、半导体、绝缘体的导电性质。
答：（画出典型的能带结构图，然后分别说明）10. 过渡族金属物理性质的特殊性与电子能带结构有何联系？（P28）答：过渡族金属的d带不满，且能级低而密，可容纳较多的电子，夺取较高的s带中的电子，降低费米能级。
补充习题1. 为什么镜子颠倒了左右而没有颠倒上下？2. 只考虑牛顿力学，试计算在不损害人体安全的情况下，加速到光速需要多少时间？3. 已知下列条件，试计算空间两个电子的电斥力和万有引力的比值4. 画出原子间引力、斥力、能量随原子间距变化的关系图。
5. 面心立方晶体，晶格常数a=0.5nm，求其原子体密度。
6. 简单立方的原子体密度是。
假定原子是钢球并与最近的相邻原子相切。
确定晶格常数和原子半径。
第二章材料的电性能1. 铂线300K时电阻率为1×10-7Ω·m，假设铂线成分为理想纯。
试求1000K时的电阻率。
（P38）2. 镍铬丝电阻率（300K）为1×10-6Ω·m，加热到4000K时电阻率增加5%，假定在此温度区间内马西森定则成立。
材料物理性能课后习题答案_北航出版社_主编
材料物理习题集第一章 固体中电子能量结构和状态（量子力学基础）1. 一电子通过5400V 电位差的电场，（1）计算它的xxxx 波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni 晶体（111）面（面间距d=2.04×10-10m ）的布拉格衍射角。
（P5）12341311921111o '(2)6.610 =(29.1105400 1.610) =1.67102K 3.7610sin sin 2182h h p mE m d d λπλθλλθθ----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯==⇒=解：（1）=（2）波数=（3）2 2. 有两种原子，基态电子壳层是这样填充的，请分别写出n=3的所有电子的四个量子数的可能组态。
（非书上内容）3. 如电子占据某一能级的几率是1/4，另一能级被占据的几率为3/4，分别计算两个能级的能量比费米能级高出多少kT ？（P15）4. 已知Cu 的密度为8.5×103kg/m3，计算其（P16）5. 计算Na 在0K 时自由电子的平均动能。
（Na 的摩尔质量M=22.99，）（P16）6. 若自由电子矢量K 满足以为晶格周期性边界条件和定态xx 方程。
试证明下式成立：eiKL=17.d h r K K cos r /2θϕ=*hkl *hkl 已知晶面间距为，晶面指数为（ k l ）的平行晶面的倒易矢量为，一电子波与该晶面系成角入射，试证明产生布拉格反射的临界波矢量的轨迹满足方程。
8. 试用布拉格反射定律说明晶体电子能谱中禁带产生的原因。
（P20）9. 试用晶体能带理论说明元素的导体、半导体、绝缘体的导电性质。
答： （画出典型的能带结构图，然后分别说明）10. 过渡族金属物理性质的特殊性与电子能带结构有何联系？（P28）答：过渡族金属的d 带不满，且能级低而密，可xx 较多的电子，夺取较高的s 带中的电子，降低费米能级。
补充习题1. 为什么镜子颠倒了左右而没有颠倒上下？2.只考虑xx 力学，试计算在不损害人体安全的情况下，加速到光速需要多少时间？ 3. 已知下列条件，试计算空间两个电子的电斥力和万有引力的比值4. 画出原子间引力、斥力、能量随原子间距变化的关系图。
材料物理性能课后习题答案北航出版社田莳主编
材料物理习题集第一章固体中电子能量结构和状态（量子力学基础）1.一电子通过5400V 电位差的电场，（1）计算它的德布罗意波长；（2）计算它的波数；（3） 计算它对Ni 晶体（111 ）面（面间距d =x 10-10m 的布拉格衍射角。
（P5）解：(1) =h —咕P(2mE)2= 6.6 10 34= 1 (2 9.1 10 31 5400 1.6 10 19尸 =1.67 10 11m (2)波数 K = — 3.76 1011 (3) 2d sin sin2o 18'2d2. 有两种原子，基态电子壳层是这样填充的子数的可能组态。
（非书上内容）3.如电子占据某一能级的几率是 1/4 ,另一能级被占据的几率为3/4，分别计算两个能级的能量比费米能级高出多少k T ?（ P15）解：由f （E ）将f (E) 1/4代入得 E E F ln3 kT 将f (E) 3/ 4代入得 E E Fln3 kT4. 已知Cu 的密度为x 103kg/m 3,计算其E ；。
（P16）(1) 1s 2、2s 22p 6、3s 23p 3;(2) 1s 2、2s 22p 6、3s 23p 63d 10、4 24 64d 10，请分别写出 4s 4p 4d ;n=3的所有电子的四个量E E FkT ln[1f(E)解:h 22由E F —(3n/8 )32m(6.63 10 34)" 8.5 106 = 3i (3 - 2 9 10 63.5 =1.09 10 18J 6.83eV试证明下式成立：e iKL =1解：由于满足薛定谔定态方程Kx(x) Ae又Q 满足周期性边界条件(x L) Ae iK(x L) Ae iKx c p iKL (x) Ae iKxe iKL 17.已知晶面间距为d ,晶面指数为(h k l )的平行晶面 的倒易矢量为爲，一电子波与该晶面系成角入射，试证明产生布拉格反射的临界波矢量K 的轨迹满足方程K cos r hki /2。
材料物理性能课后习题答案
材料物理习题集第一章 固体中电子能量结构和状态（量子力学基础）1. 一电子通过5400V 电位差的电场，（1）计算它的德布罗意波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni 晶体（111）面（面间距d =2.04×10-10m ）的布拉格衍射角。
（P5）12341311921111o '(2)6.610 =(29.1105400 1.610)=1.67102K 3.7610sin sin 2182hh pmE md dλpλθλλθθ−−−−=×××××××=×==⇒=解：（1）=（2）波数=（3）22. 有两种原子，基态电子壳层是这样填充的;;s s s s s s s 2262322626102610（1）1、22p 、33p （2）1、22p 、33p 3d 、44p 4d ，请分别写出n=3的所有电子的四个量子数的可能组态。
（非书上内容）3. 如电子占据某一能级的几率是1/4，另一能级被占据的几率为3/4，分别计算两个能级的能量比费米能级高出多少k T ？（P15）1()exp[]11ln[1]()()1/4ln 3()3/4ln 3FF F F f E E E kT E E kT f E f E E E kT f E E E kT =−+⇒−=−=−=⋅=−=−⋅解：由将代入得将代入得4. 已知Cu 的密度为8.5×103kg/m 3，计算其E 0F 。
（P16）223234262333118(3/8)2(6.6310)8.510 =(3 6.0210/8)291063.5=1.0910 6.83Fh E n m J eVp p −−−=××××××××=解：由5. 计算Na 在0K 时自由电子的平均动能。
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7.
已知晶面间距为 d，晶面指数为（h k l）的平行面 的倒易矢量为 r* ，一电子波与该晶面系成角入射，试证明
hkl
产生布拉格反射的临界波矢量 K 的轨迹满足方程 K cos r* / 2。 hkl
8. 试用布拉格反射定律说明晶体电子能谱中禁带产生的原因。 （P20）
9. 试用晶体能带理论说明元素的导体、半导体、绝缘体的导电性质。 答： （画出典型的能带结构图，然后分别说明）
2
20℃：n 1023 exp(3.0/(28.6105 298) =1.41013 cm3
500℃:n 1023 exp(1.1/(2 8.6105 773) =1.61013 cm3
（2）
20℃： n e n e
ee
hh
3.321013 1.610-19 （1450 500）
1.0310（2 gcm）-1
2
23
7. 说明一下温度对过渡族金属氧化物混合导电的影响。
8. 表征超导体的三个主要指标是什么？目前氧化物超导体的主要弱点是什么？ （P76）临界转变温度、临界磁场强度、临界电流密度。 主要弱点是临界电流密度低。
9. 已知镍合金中加入一定含量钼，可以使合金由统计均匀状态转变为不均匀固溶体（K 状 态）。试问，从合金相对电阻变化同形变量关系曲线图（见图 2.70）中能否确定镍铁钼 合金由均匀状态转变为 K 状态的钼含量极限，为什么？
e( AB/T )ln10 e e ln10A (ln10.B/T ) A1e(W / kT) W ln10.B.k
式中 k=0.84104(eV / K )
（2）
lg10-9 lg10 -6
A A
B B
/ 500 /1000
固体物理学中的电子结构和能带理论
固体物理学中的电子结构和能带理论固体物理学是研究物质的电子结构、自旋、磁性、导电、热学等性质的分支学科。
而电子结构与能带理论是固体物理学中最基础、最基本的概念之一。
电子结构指的是物质中电子的分布状态。
在经典物理学中，物质中的电子被视为点电荷，可以精确地计算出电子在各个位置上的势能的大小。
但是，在量子力学中，电子被视为一种波动性粒子，其能量和动量在各个方向上都是有限制的。
因此，在固体中，每个电子存在着特殊的运动方式，也即是所谓的“波函数”。
能带理论是电子结构理论中的一种，用于解释在固体物质中电子结构与导电性等现象。
能带即不同电子能量的总体能量段。
在能带理论中，一个电子在周期性势场作用下发生运动，其波函数可以写成布洛赫函数的形式。
由于电子的波函数受局限于介质的周期性势场，存在独特的运动方式，所以电子的能量只能分布在特定能量范围内，而不是一种连续的分布。
电子的能量态分布在空间中的不同区域、形成电子能带结构或禁带结构。
由于禁带存在，在晶体中当电子没有激发到更高的能量带时，这些电子是不能参与导电的，因此，晶体的导电性与禁带的大小有着密切的联系。
除此之外，电子的运动、能量和动量在车里士空间中是有限制的，车里士空间即为由倒易格子所构成的空间。
倒易空间的概念，在固体物理学中也是非常重要的概念之一。
由倒易空间的性质可以分析出生长晶体过程中的晶格常数大小对于晶体中能带结构的影响。
总之，电子结构与能带理论在固体物理学、材料学、电子学等领域的应用不可谓不广泛。
对于制造半导体材料与计算机芯片来说，这些概念至关重要。
同时，电子结构理论的另一大作用，是使得物理学者们在研究电子结构时，更进一步理解微观世界的本质。
固体物理第一章课件
1
3
E = V ∫0 g ( E ) EdE = V ∫0
F
E
E
F
E 2m3 2m3 E 2m 3 2 2 F 2 EdE = V E dE = V E ∫ 0 π2ℏ 3 π2 ℏ 3 π2 ℏ 3 5 F
3
5
E=3E N 5 F
能态密度的更一般形式
g ( E )= dN dE
E k =const.
NZ NZ NZ
自由电子模型的物理思想
◆ 自由电子近似 离子静止，忽略电子和离子实之间的相互作用，电子运动范围 仅受限于晶体表面势垒，被限制在晶体内部 ◆ 独立电子近似 忽略电子和电子之间的相互作用 ◆ 驰豫时间近似
Zn Zm ℏ2 e2 H= −∑ ∇n 2 + ∑′ 1 2 n, m 4πε0 R − R n =1 2M n n m Zn e2 ℏ 2 2 e2 1 1 1 −∑ ∇i + ∑′ −∑∑ 2 i =1 2m i , j 4πε r − r i =1 n=1 4πε r − R i 0 i 0 i j n
kF = 3π2 ne
ℏ 2 kF 2 2m
1/3
108cm -1 2~10eV
费米能量：
EF=
费米动量： 费米速度： 费米温度：
pF = ℏk F
υF = ℏkF /m T F = EF / k B
108cm/s 104 ~105 K 参见表 1.1
单位体积内的平均能量
T=0时，单位体积内的平均能量为：
Drude 模型：应用经典力学，服从经典统计，麦克斯韦- 玻耳兹曼分布 Sommerfeld 模型：应用量子理论，服从量子统计，费米-狄拉克分布
f ( E )= e
材料物理性能课后习题答案北航出版社田莳主编
材料物理性能课后习题答案北航出版社⽥莳主编材料物理习题集第⼀章固体中电⼦能量结构和状态（量⼦⼒学基础）1. ⼀电⼦通过5400V 电位差的电场，（1）计算它的德布罗意波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni 晶体（111）⾯（⾯间距d =2.04×10-10m ）的布拉格衍射⾓。
（P5）12341311921111o '(2)6.610 =(29.1105400 1.610)=1.67102K 3.7610sin sin 2182hh pmE md dλπλθλλθθ----==?==?=解：（1）=（2）波数=（3）22. 有两种原⼦，基态电⼦壳层是这样填充的;;s s s s s s s 2262322626610（1）1、22p 、33p （2）1、22p 、33p 3d 、44p 4d ，请分别写出n=3的所有电⼦的四个量⼦数的可能组态。
（⾮书上内容）3. 如电⼦占据某⼀能级的⼏率是1/4，另⼀能级被占据的⼏率为3/4，分别计算两个能级的能量⽐费⽶能级⾼出多少k T ？（P15）1()exp[]11ln[1]()()1/4ln 3()3/4ln 3FF F F f E E E kT E E kT f E f E E E kT f E E E kT=-+?-=-=-=?=-=-?解：由将代⼊得将代⼊得4. 已知Cu 的密度为8.5×103kg/m 3，计算其E 0F 。
（P16） 2203234262333118(3/8)2(6.6310)8.510 =(3 6.0210/8)291063.5=1.0910 6.83Fh E n m J eVππ---==解：由5. 计算Na 在0K 时⾃由电⼦的平均动能。
（Na 的摩尔质量M=22.99，.0ρ?33=11310kg/m ）（P16）223311900(3/8)2(6.6310) 1.01310 =(3 6.0210/8)291022.99=5.2110 3.253 1.085FF h E n mJ eVE E eVππ---====解：由由 6. 若⾃由电⼦⽮量K 满⾜以为晶格周期性边界条件x x L ψψ+()=()和定态薛定谔⽅程。
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霍尔系数
霍尔系数定义：
RH
EH J x B0
q: 电子电荷 E: 电场强度 v: 电子速率
EH
J x B0 ne
B: 磁感应强度 J: 电流密度
RH
1 ne
qE qvB neE nevB JB J I / S Q / tS nqlS / tS nqv
信息社会对材料科学提出了更高的要求， 材料科 学是信息社会的基石。
功能材料
磁性材料 信号接受
金属材料
金属外壳
移动通讯
拍照功能 光学材料
数码拍照 显示功能
介电材料
对话功能
传感器件
电子线路
半导体技术
照片存储
半导体芯片
液晶材料
材料与物性、现象、用途间的关系
物性
改善
原料 工艺
材料
条件
经济性
作用
用途
具体化
材料物理
物理科学
材料 物理
材料科学
物理学概念、原理等
物理学模型
材料物理性能
材料物理是物理学和材料学之间的边缘学科。
目的：从物理学的角度，从微观的角度来阐述材 料性能中的种种规律。包括材料的电性能、介电 性能、光学性能、热学性能、磁学性能以及力学 性能。
材料的分类
（1） 根据化学组成和显微结构特点
金属材料
性质：熔点和硬度均较高， 良好电绝缘体
共价键（covalent bonding）
亚金属（C、Si、Ge、 Sn），聚合物和无机非 金属材料
实质：由二个或多个电负性差不大的原子间通 过共用电子对而成
特点：饱和性，配位 数较小 ，方向性（s电 子除外）
性质：熔点高、质硬 脆、导电能力差
金属键（Metallic bonding）
氢键（Hydrogen bonding）
极性分子键 存在于HF、H2O、NH3中，在高分 子中占重要地位，氢原子中唯一的电子被其它原 子所共有（共价键结合），裸露原子核将与近邻 分子的负端相互吸引——氢键介于化学键与物理 键之间，具有饱和性。
1.1 电子的粒子性和波动性
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4
无机材料的脆性断裂与强度
参考书目
《无机材料物理性能》（清华大学出版社）关振铎、 张中太、焦金生
《材料物理性能》 （北京航空航天大学出版社）田莳
《固体物理学》（人民教育出版社） 黄昆
《材料科学基础》（上海交通大学出版社）胡庚祥、 蔡珣、戎咏华
《材料物理导论》（科学出版社） 熊兆贤
第一章 固体中电子能量结构与状态
材
无机非金属材料
料
有机高分子材料
复合材料
材料的分类
金属材料 （Metallic Materials)：钢铁、铝、铜、钛合金
无机非金属材料（陶瓷材料、Ceramics）：Al2O3、SiC、 Si3N4、SiO2、TiN
如，电工电子陶瓷、玻璃、水泥及耐火材料等 有机高分子材料（High Polymers)：
晶体结构有十四种空间点阵。
原子间键合方式、晶体结构都会影响固体的电 子能量结构和状态，从而影响材料物理性能。
原子键合及特性
离子键（Ionic bonding）
实质： 金属原子 非金属原子
带带负正电电的的负正离离子子（（aCnaitoinon））静电引力 离子键
多数盐类、碱类和金属氧化物
特点：以离子而不是以原 子为结合单元，要求正负离 子相间排列，且无方向性， 无饱和性
现象
材料性能决定 于材料的组成与结 构，而这些又取决 于合成与制造工艺。 材料性能的好坏直 接决定了材料的用 途，所以学习掌握 材料的各种性能知 识与理论是材料研 发的基础。
教学内容
无机 材料
固体物 理学
无机功 能材料
无机结 构材料
固体中电子能量结构与状态 无机材料的电学性能 无机材料的介电性能 无机材料的热学性能 无机材料的光学性能 无机材料的磁学性能 无机材料的受力形变
新型结构材料：高强的机械性能、耐高温、耐磨、耐腐蚀、 耐辐照。
材料的分类
功能材料：具有优良的电、磁、声、热、光、力、化学、 或生物学等性能的材料。
用途：可用于研制具有传递、存储或记忆信息、 转化或变换能量的功能性元件。
包括：金属、半导体、有机高分子、复合材料等。
有多种分类，按性能可分为： 力学、声学、电学、磁学、光学、 化学、生物医学、核功能材料。
霍尔效应和电子粒子性 电子波动性 波函数 薛定谔(Schrödinger)方程
1.1.1 霍尔效应和电子粒子性
在厚度为d、宽度为b的金属导体上，沿x方向通 过电流Ix，其电流密度为Jx，沿z方向加一磁场，这时 导体沿y方向产生电位差VA-VB，令其为EH。产生霍 尔场的原因是，垂直于电子运动方向的磁场使电子受 到洛仑兹力而偏转，并向某一面聚积，结果是该面带 负电，而其对面带正电，从而形成霍尔场。
典型金属原子结构：最外层电子数很少，即 价电子（valence electron）极易挣脱原子核之束 缚而成为自由电子（free electron），形成电子云 （electron cloud）金属中自由电子与金属正离子 之间构成键合称为金属键。
特点：电子共有化，既无饱 和性又无方向性，形成低能 量密堆结构
性质：良好导电、导热性能， 延展性好
范德华力（Van der waals bonding）
近邻原子相互作用→电荷位移 → 偶极子(dipoles）电偶 极矩的感应作用范德华力
包括：静电力(electrostatic)、诱导力(induction)和 色散力(dispersive force)
属物理键 ，系次价键，不如化学键强大，但能很 大程度改变材料性质
材料性质与材料中原子间的化学键、晶体结 构、电子能量结构及材料中的缺陷等密切相关。 这些是理解材料物理性能的基础。
1.1 电子的粒子性和波动性 1.2 金属电子理论 1.3 晶体能带理论 1.4 晶体能带理论应用举例 1.5 半导体电子理论 1.6 晶体中的缺陷
原子键合及特性
原子间的键合类型： 金属键、离子键、共价键、分子键和氢键。
聚乙烯、聚丙烯、纤维、 蛋白质等 复合材料（Composites)： 两种或两种以上的材料按一定的比
例通过特殊方法结合起来而构成
材料的分类
（2） 根据特征性能
结构材料
材
（以力学性能为主）
料
功能材料
（以物理、化学性能
为主）
材料的分类
结构材料：是机械制造、建筑工程、交通运输、能源利用 工程等的物质基础。具有抵抗外力作用、保持 自身形状和结构不变的力学特性及对外界环境 良好的适应性。