§9.2 常见的简谐振动 阻尼振动
《阻尼和振动公式》课件
线性阻尼的数学模型通常表示为： y''(t) + 2*zeta*omega*y'(t) +
omega^2*y(t) = 0，其中 y(t) 是振动 位移，zeta 是阻尼比，omega 是无阻
尼自然频率。
该模型描述了阻尼振动的基本特征，即 线性阻尼适用于描述大多数物理系统的
振幅随时间衰减的现象。
阻尼行为。
故障诊断与预测
通过监测机械设备的振动数据，结合振动公式，可以对设备故障进 行诊断和预测，及时发现潜在问题，提高设备维护效率。
在航空航天中的应用
1 2 3
飞行器稳定性分析
航空航天领域的飞行器在飞行过程中会受到各种 气动力的作用，振动公式的应用可以帮助分析飞 行器的稳定性。
结构强度与疲劳寿命评估
航空航天器的结构和零部件在长期使用过程中会 受到疲劳损伤，振动公式的应用可以评估结构的 强度和疲劳寿命。
受迫振动
当物体受到周期性外力作用时， 会产生受迫振动。受迫振动公式 的推导基于牛顿第二定律和周期
性外力模型。
多自由度系统的振动公式推导
多自由度系统
当一个物体有多个自由度时，其运动可以用多个振动公式 的组合来表示。多自由度系统的振动公式推导基于牛顿第 二定律和多自由度系统模型。
耦合振动
当多个自由度之间存在耦合作用时，其振动规律更为复杂 。耦合振动公式的推导需要考虑各自由度之间的相互作用 。
实验步骤与操作
步骤一
准备实验器材，包括振动平台、 阻尼器、测量仪器等。
步骤三
启动振动平台，记录物体在不同 阻尼条件下的振动情况。
步骤二
将待测物体放置在振动平台上， 调整阻尼器以模拟不同阻尼情况 。
简谐振动理论概述
简谐振动理论概述简谐振动是物理学中一种基本的振动形式，广泛应用于机械、电子、光学等领域。
本文将概述简谐振动的理论基础及相关特性。
一、简谐振动的定义与基本特性简谐振动是指在恢复力作用下，物体围绕平衡位置做往复振动的一种运动形式。
它具有以下几个基本特性：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体受到恢复力时的位置，也是物体运动的稳定状态。
2. 往复运动：物体在简谐振动中以一定的频率围绕平衡位置做往复运动，即向远离平衡位置的方向运动，然后再回到平衡位置。
3. 振幅：振幅是简谐振动的最大偏离平衡位置的距离，它决定了振动的强度。
4. 周期与频率：简谐振动的周期是物体完成一次完整振动所需的时间，频率是单位时间内振动的次数。
它们之间存在着倒数关系，即周期等于频率的倒数。
二、简谐振动的数学表示简谐振动可以通过数学函数来描述。
其中，最常用的是正弦函数和余弦函数。
简谐振动的数学表示形式如下：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，x(t)表示时间t时物体离平衡位置的距离；A表示振幅；ω表示角频率，与振动的周期和频率有关；φ表示相位，描述振动的初始时刻。
三、简谐振动的力学模型简谐振动的力学模型通常可以使用弹簧振子来描述。
弹簧振子由弹簧和质点组成，在无阻尼情况下可以实现简谐振动。
根据胡克定律，弹簧振子的恢复力与质点的位移成正比，可以通过以下公式表示：F = -kx其中，F表示恢复力的大小；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
四、简谐振动的能量在简谐振动中，系统的总能量保持不变，由动能和势能组成。
质点的动能和势能在振动过程中相互转换。
动能和势能可以通过以下公式表示：动能 K = 1/2 * m * v^2势能 U = 1/2 * k * x^2其中，m表示质点的质量；v表示质点的速度；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
五、简谐振动的应用简谐振动在各个领域都有重要的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 机械振动：简谐振动广泛应用于机械系统中，如弹簧振子、钟摆等。
简谐振动的动力学特征.
v
x
A sin 0t
A0
cos0t
2
a
v
x
A
2 0
cos0t
A
2 0
cos0t
设：x 0t ,
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,
a
v
2
,
a x
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
或者：由简谐 振动的旋转矢量法表示： A1、A2以
频率 0 旋转， A1 、 A2 之间的夹角不变， A1 A2 也 以 0 旋转，平行四边形的形状不变。
27
讨论：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
15
四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v
A0
cos
m
x 2 x 0 （1）
2
x 2 x 0 （1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
阻尼振动
2
H m
h
d x dt
2
2
0 x h cos t
2
在阻尼较小时,其通解为对应齐次方程的通解加上 一个特解,为
x A0e
2013-5-9
t
cos
0 t 0 A cos t
2 2
P.9/27
振动学基础
x A0e
x x 1 x 2 2 A cos(
2 1
t ) cos(
2
1
t)
2
2
P.2/27
7. 相互垂直振动合成的基本方法
2013-5-9
振动学基础
§4-3
阻尼振动
阻尼振动(damped vibration)：振动系统在回复力和阻 尼力共同作用下发生的减幅振动. F kx 物体速度较小时，
y , 上升、下降流温差 z , 温度分布的非线性度
用计算机模拟求解,偶然发现初值的微小差异带来结果 的巨大偏差.
相图：
洛仑兹奇异吸引子
2013-5-9
P.23/27
振动学基础
相轨迹在两“翅”上跳跃,自身不相交,不构成任何 周期运动,系统状态变化具有不可预测的随机性.
2013-5-9
P.24/27
同学们好
振动学基础
简谐振动的描述
1. 理想模型：弹簧振子,单摆,复摆 2. 基本物理量：振幅A,角频率,初相 3. 运动学、动力学方程,振动曲线 4. 孤立谐振动系统机械能守恒
E Ep Ek 1 2 kA
2
恒量
5. 同方向同频率简谐振动合成,合振动仍为该直线上 同一频率的谐振动 x x 1 x 2 A cos( t ) 6. 同方向频率相近简谐振动合成,合振动为“拍 ”
阻尼振动受迫振动.ppt
【课后思考题与作业题】 1.阅读20页《科学漫步》 2.思考： （1）军队或火车过桥时为什么要放慢速度或便 步走？ （2）机器运转时防止共振怎么做？ 3.通过各种方式去研究：
共振筛、共鸣箱、收音机的选台、核磁共 振成像技术。人体内部器官的固有频率。
❖谢谢合作！
1、阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动，也叫 减幅振动．
2、振幅减小的快慢跟所受的阻尼有关，阻尼越大，振幅 减小得越快．
3、阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减 小，可认为是等幅振动．
思考：怎样才能使受阻力振动的物体 的振幅不变，而一直振动下去呢？
在实际振动中，为了不因阻尼的存在 而使振动停止，我们通常给系统加一个 周期性的外力，来补偿系统的能量损失， 使系统持续的振动下去。
神 功 解 秘
三.共振：
1.共振： 驱动力的频率等于物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
2.共振条件: f驱=f固
3.共鸣：声音的共振现象。 声音的共鸣可以通过共鸣箱来实现
共振的应用
共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害
“打摆子”的楼房
共振的防止
1、军队或火车过桥时要放慢速度或便步走 2、机器运转时为了防止共振要调节转速 3、在振动物体底座加防振垫 4、装修剧场、房屋时使用吸声材料等
物体的驱动力频率有联系？
魔术表演：让小球飞
实验表明2：
• 受迫振动的频率与物体的固有频率无关，但是如果 驱动力的频率接近或等于物体的固有频率时，振动 物体的振幅将达到最大.
受迫振动的振幅A与驱 动力的频率f之间的关系. 可用图象来表示：这个 图象叫共振曲线（如右 图）.
共振曲线特点：做受迫振动的系统， 当固有频率等于驱动力频率时，振幅最大； 当固有频率不等于驱动力频率时，二者越接近， 振幅越大。 驱动力频率与固有频率相差越大，受迫振动的振 幅越小。
第五节简谐运动的能量、阻尼振动 第六节受迫振动共振知识精讲 人教版
第五节简谐运动的能量、阻尼振动第六节受迫振动共振知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容第五节简谐运动的能量、阻尼振动第六节受迫振动共振二. 知识要点知道振幅越大，振动能量越大。
能根据机械能守恒计算单摆的重力势能与动能。
定性说明弹簧振子的弹性势能与动能的转化。
知道什么是阻尼振动，知道阻尼振动中能量的转化情况。
知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动。
知道什么是受迫振动，知道受迫振动频率等于驱动力的频率。
知道什么是共振及发生共振的条件，知道共振的预防与应用。
三. 重点、难点解析1. 简谐运动的能量不考虑摩擦和介质阻力，振动系统（自由振动系统）的机械能守恒。
自由振动系统，在振动过程中动能与势能互相转变，在位移最大时势能最大，在位移最小时动能最大。
此时动能数值等于最大势能值。
改变振动的振幅，即是改变振动的最大势能，也就是改变了振动的能量，所以振动能量与振幅有关，振幅越大则振动能量越大。
自由振动的简谐运动，振幅保持不变。
2. 阻尼振动振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因是振动物体受到阻尼（摩擦和其它阻力），克服阻尼做功，机械能减小。
由于振动周期与回复力有关，即与位移有关系的那个力有关，与质量有关，而受阻尼时，驱动力在第1个周期做正功，则第2个周期还做正功。
振动的能量在每个周期都能增加，所以当驱动力的周期与振动物体的固有周期相等时，振幅最大，这种现象叫共振。
驱动力的频率连续变化，物体受迫振动的振幅也随着变化振幅的变可用曲线表示。
（2）摆球从最大位移向平衡位置运动时间为4T ，gl T t 24π==，重力冲量lg 22m g l mg mgt I G ππ=== 由动量定理知)cos 1(2θ-==gl m mv I 合（3）由于单摆振动一个周期内2次做正功，2次做负功且互相间隔，即重力做正功的周期为振动周期的一半。
∴ 振动变化的周期为gl π 点评：在解（2）中合力是变力，现阶段不能由定义求合力的冲量。
简谐运动的能量阻尼振动 受迫振动 共振
x
O
t
阻尼振动的图像
驱动力：
周期性的外力
受迫振动： 外界驱动力作用下的振动
实验: P34
实验表明：
物体在外力驱动下振动时，振动稳定后的频率等 于外力驱动的频率，跟物体的固有频率没有关系。 如何变化？ 注意： 驱动力的频率变化时，振幅会随驱动力的 频率变化而变化 课本34页实验 演示：
结论：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
受迫振动的频率与物体的固有频率无关，但 是如果驱动力的频率接近或等于物体的固有 频率时，振动物体的振幅将达到最大.
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的 弹簧振子：通过重力 和弹簧弹力的做功， 动能和势能（包括重 力势能、弹性势能） 间相互转化． 在 此 过 程中， 因 为 只有重力和弹簧弹力 做功，所以总机械能 不变．
因此：
1、简谐运动中，通过回复力做功，动能和势能 间相互转化，总机械能保持不变．
一、简谐运动的能量
1、水平振动的弹簧振子的能量
1、在振动时，弹簧振子在平衡位置的动能最大，势能为零． 2、弹簧振子偏离平衡位置到最大时，动能为零，势能最大． 3、在弹簧振子的振动过程中，只有弹簧弹力做功，所以总机械 能守恒（不考虑空气阻力）．
2、单摆振动时的能量
如图从AO重力做正功，重力势能减少，动能增加； 到O时，动能最大，势能最小； OB，重力做负功，动能减小，势能增加，到达B 时，动能为零，势能最大， 同理可分析，之后过程中能量的转化情况． 在此过程中，因为只有重力做功，所以总机械能不变
2、势能可以是重力势能（例如单摆），可以是弹性势能 （例如水平方向振动的弹簧振子），也可以是重力势能和 弹性势能之和（例如沿竖直方向振动的弹簧振子）， 3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量 越大． 4、简谐运动是理想化的振动，振动过程中系统的能量守 恒
简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动
简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动和共振的教案示例一、教学目标1)知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明。
((2)知道受迫振动的概念。
知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关。
(3)理解共振的概念，知道常见的共振的应用和危害。
二、教学重点、难点受迫振动，共振。
三、教具弹簧振子、受迫振动演示仪、摆的共振演示器、投影仪、投影片若干。
四、教学过程(一)复习提问让学生注意观察教师的演示实验。
教师把弹簧振子的振子向右移动至B点，然后释放，则振子在弹性力作用下，在平衡位置附近持续地沿直线振动起来。
重复两次让学生在黑板上画出振动图象的示意图(图1中的?)。
再次演示上面的振动，只是让起始位置明显地靠近平衡位置，再让学生在原坐标上画出第二次振子振动的图象(图1中的?)。
?和?应同频、同相、振幅不同。
教师把画得比较标准的投影片向学生展示。
结合图象和振子运动与学生一起分析能量的变化并引入新课。
(二)新课教学现在以弹簧振子为例讨论一下简谐运动的能量问题。
问:振子从B向O运动过程中，它的能量是怎样变化的,引导学生答出弹性势能减少，动能增加。
问:振子从O向C运动过程中能量如何变化,振子由C向O、又由O向B运动的过程中，能量又是如何变化的,问:振子在振动过程中总的机械能如何变化,引导学生运用机械能守恒定律，得出在不计阻力作用的情况下，总机械能保持不变。
教师指出:将振子从B点释放后在弹簧弹力(回复力)作用下，振子向左运动，速度加大，弹簧形变(位移)减少，弹簧的弹性势能转化为振子的动能。
当回到平衡位置O时，弹簧无形变，弹性势能为零，振子动能达到最大值，这时振子的动能等于它在最大位移处(B点)弹簧的弹性势能，也就是等于系统的总机械能。
在任何一位置上，动能和势能之和保持不变，都等于开始振动时的弹性势能，也就是系统的总机械能。
由于简谐运动中总机械能守恒，所以简谐运动中振幅不变。
如果初始时B点与O点的距离越大，到O点时，振子的动能越大，则系统所具有的机械能越大。
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F T mg sin
x
mg
x o
T k( x l ) kx mg sin
F kx
k 2 , T 2 m m k
即作简谐运动：
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
2
对作小角度摆动的单摆:
g l , T 2 l g
J ml
l
max cos( t )
例 若单摆最大摆角为5°，起始状态 如图， 则由旋转矢量图可知：
, cos(
2
36 g l t
m
t 0
)
2
max
o 2 0 2 A 0 2
g l , T 2 l g
J ml
l
max cos( t )
m
mgl 0 J
0
2
0 cos ( t )
mgl J
, T 2
J mgl
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2. 光滑平面上的复合弹簧：
x1 x 2 x k1 x1 k2 x 2
k1k 2 k1 k 2 x kx
k1
k2
m
o
F
x
x
F k2 x 2
k m
k1k2 m(k1 k2 )
F kx
k 2 , T 2 m m k
x 0 x ▲
2
( 请看录像 )
438
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
§9.2 常见的简谐振动
阻尼振动
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
一、简谐振动的判断
满足下列条件之一的振动即为简谐振动：
▲ x A cos(t )
▲ F kx
试证明下图中系统角频率为：
k1 k 2 m
k1
m
k2
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
3. 复摆与单摆： 设 复摆作小角度摆动。
M J J d
2
dt
2
J
( M 为重力矩 )
C
M mgl sin mgl
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
1. 简谐振动满足： ▲ x A cos(t ) ▲ F kx
x 0 x ▲
2
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
1. 简谐振动满足： ▲ x A cos(t ) ▲ F kx
即作简谐运动：
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2. k1 x1 k2 x 2
k1k 2 k1 k 2 x kx
k1
k2
m
o
F
x
x
F k2 x 2
k m
k1k2 m(k1 k2 )
x 0 ▲ x
2
F 为合外力，x 为离开平衡位置的位移，k 为常数。
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
二、常见的简谐振动
1. 光滑斜面上的弹簧振子：
平衡位置 o 处： k l mg sin 在 x 处：合力
F T mg sin
x
mg
x o
T k( x l ) kx mg sin
F kx
2 ▲ x A cos(t ) ▲ F kx ▲ x x 0
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
二、常见的简谐振动
1. 光滑斜面上的弹簧振子：
C
M mgl sin mgl
mgl 0 J
2 0
mgl J
mg
0 cos ( t )
, T 2
J mgl
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2
对作小角度摆动的单摆:
x 0 x
2
即系统作简谐振动！
mg
k (m1 m2 M ) 2
( the end )
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
3. 复摆与单摆： 设 复摆作小角度摆动。
M J J d
2
dt
2
J
( M 为重力矩 )