导函数图像与原函数图像关系
2016届原创§37 原函数与导函数的关联
先猜后证二导法 变换主元放缩法
3.放缩法
4.变换主元法
导数的应用--导数不等式
抽象函数不等式
抽象函数具体化 数形结合性质法 辅助函数是关键 增大减小是根本
导数的应用--导数不等式
数列不等式
1.导数法：
近几年高考题的主要特征是：
(1).①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数 ②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f (1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f (x) x2 ,则 f / (x) x ,即 k f / (1) 1
(2).“半成品”辅助函数
大多数是 1 1 ln x x 1 的衍变 x
2.定积分法：
导数的应用--导数不等式
极值点偏移
1.含义：已知 f( x1 ) = f( x2 ) ( x1＜x2 ) 求 x1, x2 的和差商积的上下确界
2.方法： 法1：对称法构造辅助函数：
F( x ) = f( x0 ＋ x ) －f( x0 －x ) 法2：换元法构造辅助函数：
①不含参型 单参型 ②含参型 双参型
多参型
3.按知识分类： 数列不等式……
二、辅助函数的构造：
三、常见的技巧：
常见题型解证最 含参不等四成立 引申双参及多参 数列不等积放缩
含参不等式——四成立：
形法 (1)
数法
原函数和导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的根底上展开教学的。
由于这局部容课本上没有，但数学部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上顶峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进展一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，慎重地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经历观察发现，猜测得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比拟容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜测、区分真伪的过程。
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
函数与原函数的关系
函数与原函数的关系
一个函数与它的原函数之间存在一种特殊的关系。
如果一个函数 f(x) 在某个区间内连续，且在该区间内存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，那么 F(x) 称为 f(x) 的原函数，同时也可以表示为F(x) = ∫f(x)dx。
原函数与函数之间具有以下性质：
1. 不同常数的原函数是原函数的一般形式，因为原函数的导数具有多项式的可加性质，即 (f+g)' = f'+g'。
2. 函数 f(x) 和它的原函数 F(x) 的图像关于直线 y=x 对称。
3. 函数 f(x) 在某个区间内连续，则它在该区间内存在无穷多个原函数，它们互相区别只是一个常数。
4. 如果函数 f(x) 在某个区间内连续，且有一个原函数 F(x)，那么它在该区间内的任何一个不同的原函数都能写成 F(x) + C 的形式，其中 C 是任意常数。
原函数与导函数的奇偶关系证明
原函数与导函数的奇偶关系证明原函数与导函数的奇偶关系是微积分中一个重要的概念。
在研究函数的性质时，我们常常需要分析函数及其导函数的奇偶性。
通过研究函数的奇偶性，我们可以得到函数在坐标系中的对称关系，从而更好地理解函数的行为。
我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数在原点对称。
例如，函数f(x)=x^3就是一个奇函数。
因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
另一方面，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数在y轴对称。
例如，函数f(x)=x^2就是一个偶函数。
因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
现在，让我们来研究原函数和导函数之间的奇偶关系。
假设f(x)是一个函数，F(x)是它的原函数，即F'(x)=f(x)。
我们可以推导出以下结论：1. 如果f(x)是奇函数，那么F(x)是偶函数。
这是因为由于f(x)是奇函数，我们有f(-x)=-f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=-f(-x)=-(-f(x))=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在y 轴对称，即F(x)是偶函数。
2. 如果f(x)是偶函数，那么F(x)是奇函数。
这是因为由于f(x)是偶函数，我们有f(-x)=f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=f(-x)=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在原点对称，即F(x)是奇函数。
通过这样的推导，我们可以看到原函数和导函数的奇偶关系。
这个关系告诉我们，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，我们可以推断出它的原函数是什么奇偶性。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
举例来说，我们考虑函数f(x)=sin(x)。
我们知道sin(x)是一个奇函数，因为sin(-x)=-sin(x)。
导函数与原函数对称性的联系
导函数与原函数对称性的联系反函数与原函数的关系：反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
什么是原函数未知函数f(x)就是一个定义在某区间的函数，如果存有可微函数f(x)，使在该区间内的任一点都存有df(x)=f(x)dx，则在该区间内就表示函数f(x)为函数f(x)的原函数。
例如：sinx是cosx的原函数。
什么就是反函数一般来说，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^-1(x)。
反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
最具有代表性的'反函数就是对数函数与指数函数。
通常地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应当，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。
存有反函数(预设为单值函数）的条件就是原函数必须就是一一对应的（不一定就是整个数域内的）。
特别注意：上标"?1"所指的就是函数幂，但不是指数幂。
①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。
②反函数的定义域与值域分别就是原来函数的值域与定义域。
③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：⑤单调函数必存有反函数。
⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x等距，这个结论就是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出结论的；2、（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；3、若y＝f(x)存有反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x等距的充份必要条件为f(x)＝f-1(x)，即为原、反函数的解析式相同。
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。
由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
原函数和导函数的奇偶性关系
原函数和导函数的奇偶性关系奇偶性在微积分中涉及到的概念，其中最重要的两个点是原函数的奇偶性和导函数的奇偶性。
本文将在介绍原函数和导函数的奇偶性的基础上，简要地讨论一下原函数和导函数之间的奇偶性关系。
关于原函数的奇偶性，我们需要知道一个重要的定义：一个函数$f(x)$在$x=a$处是奇函数，当且仅当$f(-a)= -f(a)$成立。
由这个定义可以发现，原函数的奇偶性取决于$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系。
同样，对于导函数的奇偶性，我们也需要知道一个重要的定义：一个函数$f(x)$在$x=a$处是奇函数，当且仅当$f(-a)= -f(a)$成立。
这里的$f(x)$是$f(x)$的导函数。
同样，导函数的奇偶性取决于$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系。
既然我们已经了解了原函数和导函数的奇偶性的定义，我们可以来讨论一下原函数和导函数之间的奇偶性关系。
先，我们要知道，如果$f(x)$是一个偶函数，那么$f(x)$也是一个偶函数。
这是由于导数的连续性特性决定的，因为如果$f(x)$在$x = a$处是一个偶函数，则$f(x)$在$x$附近也会是一个偶函数，从而$f(x)$也是一个偶函数。
其次，如果$f(x)$是一个奇函数，那么$f(x)$是一个奇函数也是一个偶函数。
这是由于偏导数的运算特性决定的，由于$f(x)$是奇函数，$f(x)$是它对$x$的导数，从而$f(x)$可以同时是奇函数也是偶函数。
综上所述，可以得出原函数和导函数之间的奇偶性关系：（1）如果原函数是偶函数，那么它的导函数也是偶函数。
（2）如果原函数是奇函数，那么它的导函数可能是奇函数也可能是偶函数。
在本文的最后，我们来总结一下原函数和导函数的奇偶性关系：原函数的奇偶性与$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系有关，而导函数的奇偶性则与$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系有关；原函数是偶函数时，它的导函数也是偶函数；原函数是奇函数时，它的导函数可能是奇函数也可能是偶函数。
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导函数图像类型题
类型一:已知原函数图像,判断导函数图像。
1. (福建卷11)如果函数)(x f y =的图象如右图,那么导函
数()y f x '=的图象可能就是 ( )
2. 设
函数f (x )
在定义域内可导,y=f (x )的图象如下左图所示,则导函数y=f '(x )的图象可能为( )
3. 函数()y f x =的图像如下右图所示,则()y f x '=的图像可能就是
( )
4. 若函
数
2()f x x b
=+的图象的顶点在第
四象限,则其导函数'()f x 的图象就是( )
类型二:已知导函数图像,判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '就是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的
图象如右图所示,则)(x f y =的图象最有可能的就是( )
6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已
知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图,则f x ()的图象可能就是( ) 7. 函数
)
(x f 的定
义域为开区间
3
(,3)2-,导函数)
(x f '在
3
(,3)2
-内的图象如图所示,则函数)(x f 的单调增区间就是_____________
类型三:利用导数的几何意义判断图像。
8. (2009湖南卷文)若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上就是增函数,则函数()y f x =在区间[,]
a b 上的图象可能就是
( )
O 1 2 x y
x
y
y
O 1 2 y
O
1 2 x
O 1 2 x
C
D
O
1 2 x
y
a
b a
b a
o x
o
x
y
o
x
y
o x y
y
)(x f y '=
x
o y
A .
B .
C .
D .
9、若函数)('
x f y =在区间),(21x x 内就是单调递减函数,则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以就是( )
A B C D
10、(选做)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能就是
( )
类型四:根据实际问题判断图像。
9. (2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科)如右图所示就是某一容器的三视图,现向容器中
匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象就是( )
10、如图,直线
l 与圆
c,
当l 从0
l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过︒
90)时,它扫过的园内阴影部分的面积S
就是时间t 的函数
,这个函数的图像大致就是( )
11、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别
找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象、
O t
h h t O h t O O t h O t
h h t O h t O O t h
10. 已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下,
则( )
函数)(x f 有1个极大值点,1个极小值点
函数
)(x f 有2个极大值点,2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点,1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点,3个极小值点
11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为
),(b a ,其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所
示,则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个
数就是( )
(A)、1 (B)、2 (C)、3
(D)、4
12. 已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,
其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示、求:
(Ⅰ)0x 的值; (Ⅱ),,a b c 的值、 13. 函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-
内可导,其图象如图,记()y f x =的导函数为/
()y f x =,则不等式
/()0f x ≤的解集为_____________
14. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图
象,'()f x 为函数()f x 的导函数,则不等式'()0x f x ⋅<的解集为_____ _
x
y
1x x 4
O
2x 3x ••••
15. 【湛江市·文】函数2
2
1ln )(x x x f -=的图象大致就是
A .
B .
C .
D .
16. 【珠海·文】如图就是二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象,则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间就是
( )
A 、)21,41(
B 、)1,21
(
C 、)2,1(
D 、)3,2(
17. 定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =.)(x f '为)(x f 的导
函数,已知函数)(x f y '=的图象如右图所示、若两正数b a ,满
足1)2(<+b a f ,则2
2
b a ++的取值范围就是 ( )
A.11(,)32
B.()1(,)3,2-∞+∞U
C.1(,3)2
D.(,3)-∞-
x
x x x
y
y y
y
O O O
O
x
y
O。