导波与波导
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2
图3.1 各种类型的传输线
3
图3.1所示各种具体的传输线，有的是单根空心导 体，如矩形波导、圆波导；有的是多根柱状导体，如同 轴线、平行双线；有的是导体与介质的混合结构，如微 带线、耦合微带线；有的是单纯由介质构成的传输线， 如介质光波导与光纤。这些导波机构所传播的电磁波的 场的构造，因导波机构的不同而有所区别，是不同类型 的导波。每一种导波机构又可以有多种形式的导波场或 称导波模，每一个导波模就是电磁场方程的一个解，这 个解满足导波机构所给定的边界条件。 根据激励条件可判断产生哪些导波模。存在着三类 比较简单的但却是基本的导波模：横电波、横磁波、横 电磁波。
第三章 导波与波导
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 引言 规则金属波导 矩形金属波导 金属圆波导 同轴线与平行双线 传输线理论的推广 带线和微带线 介质波导 光纤简介
3.10 激励耦合
1
3.1 引言
在微波工程中使用着多种类型的传输线，如同轴线、 平行双线、矩形波导、圆波导、介质线、带状线等，如 图3.1所示。工程技术人员根据所选用的工作频段和微波 工程系统的要求不同，选用不同类型的传输线。这些传 输线起着引导能量和传输信息的作用，它们所传输的电 磁波统称为导波。研究各种类型的传输线都要涉及到下 述一些概念和问题，诸如导波分类、场型分析、临界波 数、传播常数、波阻抗、特性阻抗、等效阻抗、功率容 量、工作频带、损耗衰减、结构尺寸、制造工艺、体积 重量、工作环境等。我们不可能对每一种类型的传输线 都做全面的讨论，因此，首先对导波的一般规律加以研 究，然后再分析几种常用的传输线，希望能达到举一反 三的目的。 在微波工程中有两类基本的分析方法，其一是场的 方法，其二是路的方法。
9
HT
1
z ET
(3.2.14)
(2)TM波
Hz＝0，且假定k2－kz2≠0，那么 jk ET 2 z 2 T Ez k kz
HT
(3.2.17) (3.2.18) (3.2.19) (3.2.20) (3.2.21)
得到ET和HT的关系：
j z T E z 2 2 k kz
1 * S z (ET HT ) 2
(3.2.31)
13
在本节的最后，我们给出两个简单而重要的矢量关系图，如图3.2所示。图中 描述了TE波、TM波和TEM波的ET+、HT+和Sz的矢量关系。式（3.2.13）、式 （3.2.20）和式（3.2.26）与图（3.2（a））对应，表明了传播因子为 e jk z z 的波向正z方向传播；式（3.2.27）、式（3.2.28）和式（3.2.29）与图 jk z （3.2.（b））对应，表明了传播因子为 e z 的波向负z方向传播。
假定波沿着z方向传播，垂直于z方向的场分量称作横向分 量，平行于z方向的场分量称作场的纵向分量。将算子▽也分 解为横向部分和纵向部分，得
T z
(3.2.1)
在直角坐标系和圆柱坐标系中，算子▽的横向部分分别为 算子为
T x y x y
1 T r x r y
(3.2.12)
（3.2.13）
ET TE z HT
或
TE ET和HT的数值关系之比为 ( k z ) ，它具有阻抗的量纲，称作TE波的波 阻抗，记作η TE，即 TE kz (3.2.15) 注：此式说明TE波的ET、HT和 z 相互垂直，且成右手关系 H Z 理想导体边界上Hz满足边界条件 0 n 边界上 (3.2.16)
HT
1
TM
z ET
ET TM z HT
式中η
TM为TM波的波阻抗，且
注：此式说明ET、HT和 z 成右手关系，三者相互垂直。
TM
kz
对于TM波，应首先求解Ez。在导波机构边界上，Ez是电场的切
向分量，因此当边界为理想导体时
Ez
0
边界上
（3.2.22）
10
(3)TEM波 Ez和Hz同时为零，得
(3.2.4)
(3.2.5) 式中， EZ z Ez , H z z H z 。式（3.2.4）和式（3.2.5）的横向部分和纵 向部分分别相等，于是两个方程分解为下述四个方程: (3.2.6) (T Ez ) ( z ET ) j HT (T Η z ) ( z HT ) j ET (3.2.7) (3.2.8) T ET j H z T HT j Ez (3.2.9) 由（3.2.8）和（3.2.9）推倒得 （3.2.10） 2 2 (k kz )HT j z T Ez jkz T H z （3.2.11） 两式的右端仅含场的纵向分量，左端仅含场的横向分量，即已知场的纵向 分量可以求场的横向分量.
(k kz )HT 0
2 2
2 2
(3.2.23)
(k kz )ET 0
(3.2.24)
假设电场和磁场的横向分量有非零解，若上述二式成立，则必有kz＝k，这 意味着沿 z 方向传播的TEM波的传播常数等于均匀平面波的传播常数。令TE
波波阻抗中的kz＝k，便得到TEM波波阻抗η
TEM为
直接法求解大致可以分为以下四步： （1）将时间变量与空间变量分离，简称“时空分离”。 （2）将场的纵向分量与场的横向分量分离，简称“纵横分离”。 （3）按照分离变量法对待求的函数进行空间变量的分离，便于 求解。 （4）最后，根据已求得的一个场分量的表示式求出其余的全部 场分量。
6
3.2.2 纵向场分量和横向场分量的关系
2 T 0
T E T ET 0
15
3.3 矩形金属波导
矩形金属波导简称矩形波导，矩形波导的理论是成熟的并且是严格的， 我们将结合这一具体波导进一步说明波导的特点和性质，包括矩形波导的通 解、力线图、色散方程、k空间、相速、群速、功率、衰减等。
3.3.1 矩形波导的通解
图3.3所示是矩形波导的示意图。矩形波导的形状简单，边界与直角坐标 系平行，易于得出严格的理论解。 矩形波导是单根导体构成的空心波导， 它不能传播TEM波，但可以传播TE波或TM波。 设波导在±z方向为无限长，波导内填充 各种同性均匀媒质，通常媒质为空气， ε ＝ε 0，µ＝µ0。
(3.2.25) 这表明TEM波的波阻抗就等于均匀平面波的波阻抗，记作η 亦可。将TEM波作 为TE或TM波的特殊情况处理，令 kz＝k，可得
TEM
k
ET TEM z HT
此式表明TEM波的ET、HT和
z
(3.2.26)
相互垂直，且成右手关系。
11
(4)向
ˆ 方向传播的TE波、TM波和TEM波 -z
(3.2.2) (3.2.3)
纵向部分为 上述三式中
z z z
x、 y、、、 z r 为相应坐标方向的单位矢量。
7
在无源区域，电磁场方程组的两个旋度方程可改为
(T z ) (ET Ez ) j (HT H z )
(T z ) (HT H z ) j (ET E z )
当单独一种TE波或TM波不能满足边界条件时，可以用TE 波和TM波的组合来满足边界条件，称之混合模。混合模的纵 向电场和纵向磁场都不为零，但可以有某一横向场分量为零。 有些导波机构，如微带线不是严格的TEM波，称之为准TEM波。
5
3.2 规则金属波导的一般理论
3.2.1 直接法求解
在柱状边界条件下求解无源电磁场有两种方法，一是直接 法，即直接求解电磁场的某一分量，然后再根据电磁场方程组 计算其余的各个场分量；二是辅助位函数法，即首先求出矢量 位A，或相应的赫兹矢位，然后再求各个电场和磁场分量。
将式（3.3.5）代入式（3.3.4），得
图3.2 ET、HT和Sz的矢量关系图 （a）传播因子为 e jkz z （b）传播因子为e-jkzz
14
Байду номын сангаас
3.2.5 空心金属波导内不存在TEM波
可以证明，空心波导内不能传播TEM波。如前所述，所谓TEM波，指的是 Ez、Hz为零的横电磁波，且由式（3.2.9）可知 (3.2.32) 上式表明，在垂直于传播方向的平面内，电场是无旋的，因此可以 令 E T ，φ 是标量位。空心波导内不存在电荷，故电位移矢量D的 散度等于零， T D 0 。若媒质是均匀的，T D T E 0 ，于是 （3.2.33） 上式表明TEM波在横截面内的位函数满足二维拉普拉斯方程。 上两式表明在横截面内TEM波的位函数与二维静电场的电位满足同样的方程， 由此可以推论，在某一传输线中若能建立起二维静电场，也必定能建立起 TEM波的场，反之亦然，但是在单根空心导体内不可能建立起静电场，因而 空心波导内不可能传输TEM波。
8
(k k ET j z T H z jkz T Ez
2 2 z)
3.2.3 TE波、TM波和TEM波的特点
(1) TE波
Ez＝0，且假定k2－kz2≠0，那么 jw jk z ET 2 zT H z HT 2 T H z 2 2 k kz k kz 得到ET和HT的关系：
4
（1）横电波，又称TE波，H波，其电场的纵向分量为零，即 Ez＝0，但磁场的纵向分量不等于零，即Hz≠0。
（2）横电波，又称TM波、E波，其磁场的纵向分量为零，即Hz ＝0 ，但电场的纵向分量不等于零，即Ez≠0。 （3）横电磁波，又称TEM波，其电场和磁场的纵向分量都为 零，即Ez＝Hz＝0。
ˆ 方向传播的。如果假设波向 -z ˆ 方向传播， 以上叙述中，我们曾假设波是向 z 电磁场的各个分量必定包含 这一因子，与式（ 3.2.13）、式（3.2.20） e jk z z 和式（3.2.26）相应的关系将变为
ET TE z HT
(3.2.27)
(3.2.28) ET TEM z HT (3.2.29) 在广义传输线理论中（参看3.6.1小节），我们将采用下述符号： ET-和HT表示向+ z ˆ 方向传播的波，ET+和HT+表示向- z ˆ 方向传播的波。这里，下角表 与指数因子 e jkz z 的符号相一致。
ET TM z HT
12
3.2.4导波的坡印亭矢量
一般情况下，将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量后，其复数坡印亭 矢量可分解为三项，即为 1 S E H* 2 1 * (ET E z ) (HT H* z) 2 1 1 1 * * （3.2.30） (ET HT ) (ET H* ) ( E H z z T) 2 2 2 式中，*号表示取共轭。对于TEM波，复数坡印亭矢量中仅含上式中的第一 项；对于TE波或TM波则仅含上式中的两项，为第一、二项或第一、三项。 Ez或Hz都可写成实的横向分布函数与指数因子e-jkz相乘的形式，如果媒质 和导波机构是无耗的，可以证明上式中的第二项和第三项都是纯虚数。因 此式（3.2.30）中的第一项代表了沿z方向传播的功率，记作Sz，且
图3.3 矩形波导与直角坐标系
16
(1) TE波 2 2 Ez＝0，满足波动方程 H z k H z 0 (3.3.1) 在直角坐标系中上式的具体形式为 2 H z 2 H z 2 H z 2 k Hz 0 2 2 2 (3.3.2) x y z 设波导的传播方向为+z，传播因子为 e jkz z ，对z的二次偏导数可用kz2 代替，令 k 2 kz2 kc2 (3.3.3) 于是，式（3.3.2）变为 2 H z 2 H z (3.3.4) 2 k H 0 c z x 2 y 2 式（3.3.3）称作色散方程，kc称作临界波数。应用分离变量法求解式 （3.3.4），令 H z ( x, y, z) X ( x)Y ( y)e jkz z (3.3.5)
图3.1 各种类型的传输线
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图3.1所示各种具体的传输线，有的是单根空心导 体，如矩形波导、圆波导；有的是多根柱状导体，如同 轴线、平行双线；有的是导体与介质的混合结构，如微 带线、耦合微带线；有的是单纯由介质构成的传输线， 如介质光波导与光纤。这些导波机构所传播的电磁波的 场的构造，因导波机构的不同而有所区别，是不同类型 的导波。每一种导波机构又可以有多种形式的导波场或 称导波模，每一个导波模就是电磁场方程的一个解，这 个解满足导波机构所给定的边界条件。 根据激励条件可判断产生哪些导波模。存在着三类 比较简单的但却是基本的导波模：横电波、横磁波、横 电磁波。
第三章 导波与波导
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 引言 规则金属波导 矩形金属波导 金属圆波导 同轴线与平行双线 传输线理论的推广 带线和微带线 介质波导 光纤简介
3.10 激励耦合
1
3.1 引言
在微波工程中使用着多种类型的传输线，如同轴线、 平行双线、矩形波导、圆波导、介质线、带状线等，如 图3.1所示。工程技术人员根据所选用的工作频段和微波 工程系统的要求不同，选用不同类型的传输线。这些传 输线起着引导能量和传输信息的作用，它们所传输的电 磁波统称为导波。研究各种类型的传输线都要涉及到下 述一些概念和问题，诸如导波分类、场型分析、临界波 数、传播常数、波阻抗、特性阻抗、等效阻抗、功率容 量、工作频带、损耗衰减、结构尺寸、制造工艺、体积 重量、工作环境等。我们不可能对每一种类型的传输线 都做全面的讨论，因此，首先对导波的一般规律加以研 究，然后再分析几种常用的传输线，希望能达到举一反 三的目的。 在微波工程中有两类基本的分析方法，其一是场的 方法，其二是路的方法。
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HT
1
z ET
(3.2.14)
(2)TM波
Hz＝0，且假定k2－kz2≠0，那么 jk ET 2 z 2 T Ez k kz
HT
(3.2.17) (3.2.18) (3.2.19) (3.2.20) (3.2.21)
得到ET和HT的关系：
j z T E z 2 2 k kz
1 * S z (ET HT ) 2
(3.2.31)
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在本节的最后，我们给出两个简单而重要的矢量关系图，如图3.2所示。图中 描述了TE波、TM波和TEM波的ET+、HT+和Sz的矢量关系。式（3.2.13）、式 （3.2.20）和式（3.2.26）与图（3.2（a））对应，表明了传播因子为 e jk z z 的波向正z方向传播；式（3.2.27）、式（3.2.28）和式（3.2.29）与图 jk z （3.2.（b））对应，表明了传播因子为 e z 的波向负z方向传播。
假定波沿着z方向传播，垂直于z方向的场分量称作横向分 量，平行于z方向的场分量称作场的纵向分量。将算子▽也分 解为横向部分和纵向部分，得
T z
(3.2.1)
在直角坐标系和圆柱坐标系中，算子▽的横向部分分别为 算子为
T x y x y
1 T r x r y
(3.2.12)
（3.2.13）
ET TE z HT
或
TE ET和HT的数值关系之比为 ( k z ) ，它具有阻抗的量纲，称作TE波的波 阻抗，记作η TE，即 TE kz (3.2.15) 注：此式说明TE波的ET、HT和 z 相互垂直，且成右手关系 H Z 理想导体边界上Hz满足边界条件 0 n 边界上 (3.2.16)
HT
1
TM
z ET
ET TM z HT
式中η
TM为TM波的波阻抗，且
注：此式说明ET、HT和 z 成右手关系，三者相互垂直。
TM
kz
对于TM波，应首先求解Ez。在导波机构边界上，Ez是电场的切
向分量，因此当边界为理想导体时
Ez
0
边界上
（3.2.22）
10
(3)TEM波 Ez和Hz同时为零，得
(3.2.4)
(3.2.5) 式中， EZ z Ez , H z z H z 。式（3.2.4）和式（3.2.5）的横向部分和纵 向部分分别相等，于是两个方程分解为下述四个方程: (3.2.6) (T Ez ) ( z ET ) j HT (T Η z ) ( z HT ) j ET (3.2.7) (3.2.8) T ET j H z T HT j Ez (3.2.9) 由（3.2.8）和（3.2.9）推倒得 （3.2.10） 2 2 (k kz )HT j z T Ez jkz T H z （3.2.11） 两式的右端仅含场的纵向分量，左端仅含场的横向分量，即已知场的纵向 分量可以求场的横向分量.
(k kz )HT 0
2 2
2 2
(3.2.23)
(k kz )ET 0
(3.2.24)
假设电场和磁场的横向分量有非零解，若上述二式成立，则必有kz＝k，这 意味着沿 z 方向传播的TEM波的传播常数等于均匀平面波的传播常数。令TE
波波阻抗中的kz＝k，便得到TEM波波阻抗η
TEM为
直接法求解大致可以分为以下四步： （1）将时间变量与空间变量分离，简称“时空分离”。 （2）将场的纵向分量与场的横向分量分离，简称“纵横分离”。 （3）按照分离变量法对待求的函数进行空间变量的分离，便于 求解。 （4）最后，根据已求得的一个场分量的表示式求出其余的全部 场分量。
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3.2.2 纵向场分量和横向场分量的关系
2 T 0
T E T ET 0
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3.3 矩形金属波导
矩形金属波导简称矩形波导，矩形波导的理论是成熟的并且是严格的， 我们将结合这一具体波导进一步说明波导的特点和性质，包括矩形波导的通 解、力线图、色散方程、k空间、相速、群速、功率、衰减等。
3.3.1 矩形波导的通解
图3.3所示是矩形波导的示意图。矩形波导的形状简单，边界与直角坐标 系平行，易于得出严格的理论解。 矩形波导是单根导体构成的空心波导， 它不能传播TEM波，但可以传播TE波或TM波。 设波导在±z方向为无限长，波导内填充 各种同性均匀媒质，通常媒质为空气， ε ＝ε 0，µ＝µ0。
(3.2.25) 这表明TEM波的波阻抗就等于均匀平面波的波阻抗，记作η 亦可。将TEM波作 为TE或TM波的特殊情况处理，令 kz＝k，可得
TEM
k
ET TEM z HT
此式表明TEM波的ET、HT和
z
(3.2.26)
相互垂直，且成右手关系。
11
(4)向
ˆ 方向传播的TE波、TM波和TEM波 -z
(3.2.2) (3.2.3)
纵向部分为 上述三式中
z z z
x、 y、、、 z r 为相应坐标方向的单位矢量。
7
在无源区域，电磁场方程组的两个旋度方程可改为
(T z ) (ET Ez ) j (HT H z )
(T z ) (HT H z ) j (ET E z )
当单独一种TE波或TM波不能满足边界条件时，可以用TE 波和TM波的组合来满足边界条件，称之混合模。混合模的纵 向电场和纵向磁场都不为零，但可以有某一横向场分量为零。 有些导波机构，如微带线不是严格的TEM波，称之为准TEM波。
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3.2 规则金属波导的一般理论
3.2.1 直接法求解
在柱状边界条件下求解无源电磁场有两种方法，一是直接 法，即直接求解电磁场的某一分量，然后再根据电磁场方程组 计算其余的各个场分量；二是辅助位函数法，即首先求出矢量 位A，或相应的赫兹矢位，然后再求各个电场和磁场分量。
将式（3.3.5）代入式（3.3.4），得
图3.2 ET、HT和Sz的矢量关系图 （a）传播因子为 e jkz z （b）传播因子为e-jkzz
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Байду номын сангаас
3.2.5 空心金属波导内不存在TEM波
可以证明，空心波导内不能传播TEM波。如前所述，所谓TEM波，指的是 Ez、Hz为零的横电磁波，且由式（3.2.9）可知 (3.2.32) 上式表明，在垂直于传播方向的平面内，电场是无旋的，因此可以 令 E T ，φ 是标量位。空心波导内不存在电荷，故电位移矢量D的 散度等于零， T D 0 。若媒质是均匀的，T D T E 0 ，于是 （3.2.33） 上式表明TEM波在横截面内的位函数满足二维拉普拉斯方程。 上两式表明在横截面内TEM波的位函数与二维静电场的电位满足同样的方程， 由此可以推论，在某一传输线中若能建立起二维静电场，也必定能建立起 TEM波的场，反之亦然，但是在单根空心导体内不可能建立起静电场，因而 空心波导内不可能传输TEM波。
8
(k k ET j z T H z jkz T Ez
2 2 z)
3.2.3 TE波、TM波和TEM波的特点
(1) TE波
Ez＝0，且假定k2－kz2≠0，那么 jw jk z ET 2 zT H z HT 2 T H z 2 2 k kz k kz 得到ET和HT的关系：
4
（1）横电波，又称TE波，H波，其电场的纵向分量为零，即 Ez＝0，但磁场的纵向分量不等于零，即Hz≠0。
（2）横电波，又称TM波、E波，其磁场的纵向分量为零，即Hz ＝0 ，但电场的纵向分量不等于零，即Ez≠0。 （3）横电磁波，又称TEM波，其电场和磁场的纵向分量都为 零，即Ez＝Hz＝0。
ˆ 方向传播的。如果假设波向 -z ˆ 方向传播， 以上叙述中，我们曾假设波是向 z 电磁场的各个分量必定包含 这一因子，与式（ 3.2.13）、式（3.2.20） e jk z z 和式（3.2.26）相应的关系将变为
ET TE z HT
(3.2.27)
(3.2.28) ET TEM z HT (3.2.29) 在广义传输线理论中（参看3.6.1小节），我们将采用下述符号： ET-和HT表示向+ z ˆ 方向传播的波，ET+和HT+表示向- z ˆ 方向传播的波。这里，下角表 与指数因子 e jkz z 的符号相一致。
ET TM z HT
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3.2.4导波的坡印亭矢量
一般情况下，将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量后，其复数坡印亭 矢量可分解为三项，即为 1 S E H* 2 1 * (ET E z ) (HT H* z) 2 1 1 1 * * （3.2.30） (ET HT ) (ET H* ) ( E H z z T) 2 2 2 式中，*号表示取共轭。对于TEM波，复数坡印亭矢量中仅含上式中的第一 项；对于TE波或TM波则仅含上式中的两项，为第一、二项或第一、三项。 Ez或Hz都可写成实的横向分布函数与指数因子e-jkz相乘的形式，如果媒质 和导波机构是无耗的，可以证明上式中的第二项和第三项都是纯虚数。因 此式（3.2.30）中的第一项代表了沿z方向传播的功率，记作Sz，且
图3.3 矩形波导与直角坐标系
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(1) TE波 2 2 Ez＝0，满足波动方程 H z k H z 0 (3.3.1) 在直角坐标系中上式的具体形式为 2 H z 2 H z 2 H z 2 k Hz 0 2 2 2 (3.3.2) x y z 设波导的传播方向为+z，传播因子为 e jkz z ，对z的二次偏导数可用kz2 代替，令 k 2 kz2 kc2 (3.3.3) 于是，式（3.3.2）变为 2 H z 2 H z (3.3.4) 2 k H 0 c z x 2 y 2 式（3.3.3）称作色散方程，kc称作临界波数。应用分离变量法求解式 （3.3.4），令 H z ( x, y, z) X ( x)Y ( y)e jkz z (3.3.5)