【全国百强校】江苏省南通中学高考小题专题复习数学练习：直线与圆的综合运用
江苏省高考数学二轮复习 第12讲 直线与圆的方程及应用
专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．1. 与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．【例1】已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l 垂直的直线的方程．【例2】 如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N.(1) 若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2) 若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3) 是否存在这样的⊙N，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求此时⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．【例3】 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探索AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2，2)，设椭圆E的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455.(1) 求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2) 若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上的任意一点N ，有MNNQ为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．1. (·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________．2.(·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．3.(·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．4.(·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则实数k 的取值范围是________．5.(·福建理) 已知直线l ：y ＝x ＋m ，m∈R .(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．6.(·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2) 求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．(·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.① 求⊙M 的方程； ② 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝yx －4.(2分)由题意知y x ＋4·y x －4＝－14，即x 216＋y24＝1(x≠±4)．所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y24＝1(x≠±4)．(4分)(说明：没有范围扣1分)(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.(6分)设M(a,2a ＋3)(a ＞0)，则⊙M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r 2. 所以⊙M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.(10分)② 假设存在定直线l 与动圆M 均相切． 当定直线的斜率不存在时，不合题意． 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪k×r 2－r －3＋b 1＋k2＝r 对任意r ＞0恒成立．(12分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1r ＋－＝r 1＋k 2， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12＝1＋k 2，－－＝0，－2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．(16分)第12讲 直线与圆的方程及应用1. 已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．【答案】 52. 圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0(k∈R 为常数)的位置关系是________． 【答案】 相交3. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是________．【答案】 [1－22，3] 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或1－22，因为是下半圆故可得b≠1＋22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b≤3.4. 已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1) 如果|AB|＝423，求直线MQ 的方程；(2) 求动弦|AB|的最小值． 解： (1)设Q(q,0)，因为M(0,2)，所以|MQ|＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA|＝r ＝1，从而在Rt△AMQ 中，|AQ|＝|MQ|2－|MA|2＝q 2＋4－1＝q 2＋3. 又由题意和对称性可得，Rt△AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB|＝223.由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3，解得q ＝±5，所以Q(±5，0)，将M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x±55＝0.(2) 由(1)知，利用等面积法得12|AB|·q 2＋4＝q 2＋312|AB|＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4，从而当q ＝0时，动弦|AB|取到最小值 3.5. (·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A(29,0)．(1) 求圆弧C 2的方程； (2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)． 则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)， 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)． 又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x≥5)．(2) 假设存在这样的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝－，解得x ＝－70(舍)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，－2＋y 2＝，解得x ＝0(舍)，综上知，这样的点P 不存在．(3) 因为EF ＞r 2，EF ＞r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为 1 6154.基础训练1. π32. x －2y ＝0或x ＋y －3＝03. 3或－3 34. (－13,13) 解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c|13＜1，c 的取值范围是(－13,13)． 例题选讲例1 解：由题意可设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.例2 点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题．解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M 方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2， ∴ 直线CD 方程为x ＋y －a ＝0. ∵ ⊙M 与直线CD 相切，∴ 圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得：a ＝±2(舍去负值)．∴ 直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2) 直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2. ∴ 圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2.∵ 直线AB 截⊙N 所得弦长为4，∴ 22＋(2)2＝a22.∴ a＝±23(舍去负值)．∴ ⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3) 存在．由(2)知，圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB⊥CD 始终成立，∴ 当且仅当圆N 半径a2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为 2.此时，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.变式训练 已知m∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1) 求直线l 斜率的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离. 已知直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，则垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可．解： (1) 直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，∵ |m|≤12(m 2＋1)，∴ |k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立．∴ 斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2) 不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k2.由|k|≤12，得d≥45＞1，即d ＞r2.从而若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．例3 (1) 证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，则k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.显然圆心(0,3)在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．② 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，因为PQ ＝23，所以CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－3＋k|k 2＋1＝1，得k ＝43.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0.从而所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM⊥MN, ∴ AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →. ① 当l 与x 轴垂直时有N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－53，∴ AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53， 又AC →＝(1,3), ∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.② 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝＋，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k . 所以AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.综上，可知AM →·AN →的值与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →·AN →＝－5. 变式训练 已知直线m 的方程为x ＋y －1＝0，⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2－2y －3＝0，⊙C 关于直线m 的对称的⊙D 与直线l 相交于A 、B 两点，若在⊙D 上存在点P 使得OP →＝OA →＋OB →＝λa ，又知a ＝(－1,2)．(1) 求⊙D 的方程； (2) 求点P 的坐标； (3)求直线l 的方程．解： (1) ⊙C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，设D(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b ＋12－1＝0，b －1a －1＝1，∴ a＝0，b ＝0，∴ ⊙D 方程为x 2＋y 2＝5.(2) 由题意可知P(－λ，2λ)，∵ P 在圆D 上， ∴ λ2＋4λ2＝5，∴ λ＝±1. ∴ P(－1,2)或P(1，－2)．(3) ∵ OP →＝OA →＋OB →，P 、A 、B 均在圆上，∴ OP⊥AB，∠AOB＝1 ∴ 圆心D 到直线AB 的距离是52. 当P 的坐标为(－1,2)时，k l ＝12，设直线l 的方程是x －2y ＋c ＝0，d ＝|c|5＝52，∴ c＝±52，由图形位置可知c ＝52，此时直线l 的方程是2x －4y ＋5＝0.同理可知，当P 坐标为(1，－2)时，直线l 的方程是2x －4y －5＝0.例4 (1) 解：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c2⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，故椭圆E 的方程为x 28＋y24＝1，∵ A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB 方程为x ＋2y －4＝0，则O 到AB 距离为45，∴ 圆O 的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝⎛⎭⎪⎫12×252＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2) 证明：l 的方程为x ＝4，∴ M 点坐标为M(4，t)． 在圆O 上任取一点N(x 0，y 0)，定点Q(x ，y)． ∵ NM 与NQ 的比值为常数且Q 不同于M ，∴ NQ 2＝λNM 2，λ>0且λ≠1，λ为常数，即(x 0－x)2＋(y 0－y)2＝λ[(x 0－4)2＋(y 0－t)2]，∴ x 02＋y 02－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 02＋y 02－8x 0－2y 0t ＋16＋t 2)，将x 02＋y 02＝4代入上式，则－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λy 0t ＋(2)λ， 由于N 是圆O 上任意一点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4λ，①y ＝4λ，②x 2＋y 2＋4＝＋t2λ，③将①②代入③得(16＋t 2)λ2－(2)λ＋4＝0∴ (λ－1)[(16＋t 2)λ－4]＝0，∵ λ≠1，∴ λ＝416＋t2， 即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O 上的任意一点N ， 均有MN NQ 为定值，又16＋t 2＝4λ代入③得x 2＋y 2＝4λ，于是有x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故点Q 在圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的定圆上．高考回顾1. 1 解析：本题考查直线与圆的位置关系，属容易题．2. 10 2 解析：由题意AC 为径，设圆心为F ，则FE⊥BD，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，故F(1,3)，由此易得：AC ＝210，又k EF ＝2，所以BD 的方程为y ＝－12x ＋1，F 到BD 的距离为|－12＋1－3|52＝5，由此得BD ＝25，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD＝12×25×210＝10 2. 3. 1或1774. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M ，圆心(2,3)到此直线距离为d ，所以由4－d 2≥(3)2，又d ＝|2k －3＋3|1＋k2≤1，∴ k 2≤13，∴ －33≤k≤33.5. 点拨：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．解：(解法1)(1) 依题意，点P 的坐标为(0，m)， 因为MP⊥l，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝－2＋－2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2) 因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0，Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．① 当m ＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切． ② 当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切．(解法2)(1) 设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2) 同解法1. 6. 点拨： (1)动点M 通过点P 与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．解： (1) 设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x p ，x p )，∵ 点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|，∴ x p ＝x ，且y p ＝54y ，∵ P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1，即C 的方程是x 225＋y216＝1.(2) 过点(3,0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1得：x225＋－225＝1，化简得x 2－3x－8＝0，∴ x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴ |AB|＝1－x 22＋1－y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋16251－x 22＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.。
2020年高考数学一轮复习专题10.3直线与圆的综合运用练习(含解析)
第三讲 直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r 相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.考向一 直线与圆的位置关系【例1】（1）4．圆 与直线 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离（2）在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是________．（3）若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】（1）B （2）相切 （3）[0,10]【解析】（1）由题意知圆心 到直线 的距离 且 ，所以直线与圆相交但不过圆心．（2） 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝0. 故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切．（3）圆的方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1， 所以圆心为(－1,2)，半径r ＝1，圆心到直线3x ＋4y －m ＝0的距离d ＝|－3＋8－m |9＋16＝|5－m |5，∵直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，∴0≤|5－m |5≤1，解得0≤m ≤10，∴实数m 的取值范围是[0,10]．【举一反三】1．若直线与圆 -相切，则a=______．【答案】【解析】由题意，直线与圆相切，所以d，解得．故答案为：．2．若曲线与直线始终有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵y表示 在x轴上方的部分（包括x轴上的点），作出函数y与y＝x+b图象，由图可知：当直线与圆相切时， ，即得 ,结合图像可知 ，又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线与直线始终有公共点，则﹣1.故选：A．3．已知圆过点，圆心为．（1）求圆 的标准方程；（2）如果过点 且斜率为 的直线 与圆 没有公共点，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）∞【解析】（1）由已知可得圆的半径为 ． ∴圆 的标准方程 ；（2）由题意可知，直线方程为 ，即 ．由 ，解得．∴实数 的取值范围是∞ ．考向二 直线与圆的弦长【例2】（1）直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． （2）已知直线 与圆 交于 两点（ 为坐标原点），且 ，则 。
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
【全国百强校】江苏省南通中学高三高考小题专题复习数学练习：综合运用
南通中学数学高考小题专题复习练习综合运用考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束。
将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中 元素的个数为 ________．2、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤， 若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ________．4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101s gn x 000<=>x x x ，则不等式：x x x s g n )12(2->+的解集是________．6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 ________．7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-________．8、已知集合2{|320}A x ax x x R =-+=∈至多有一个元素，则a 的取值范围________． 若至少有一个元素，则a 的取值范围________．9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为10、 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． 若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,则q 的值为________．12、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是AS ，由S的3个元素构成的所有集合中，的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}不含“孤立元”的集合共有个.南通中学数学高考小题专题复习练习题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．综合运用1、 12 ； 2．12； 3、 92； 4、54 ；5、3x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 6、 2 ； 7、 16提示：等价于(4)(5)0x x --≤；8、 9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<； 当A 中有两个元素时，980a ∆=-> 9、提示：2[]5[]6x x -+≤0 ∴ 2[]3x ≤≤ ∴ 24x ≤<∴不等式2[]5[]6x x -+≤0 的解集为{}24x x ≤< 10、 a>2 提示：a>-1时，解集为P =（-1，a ）因为Q P ⊆，a>2; a<-1时，解集为P =（a ，-1）因为Q P ⊆，舍; a=-1时，解集为P = φ因为Q P ⊆，舍∴a>2 11、q=-12 12．依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.13、解：若p 真，则()220140a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得12a >． 若q 真，则()240a --≥，解得2a ≤-或者2a ≥． 因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题， 所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：2a ≤-或122a <<.。
高三江苏专数学一轮复习课时作业直线与圆的综合问题
课时作业(四十五) [第45讲 直线与圆的综合问题][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x －4y －11＝0的距离为1的点的个数为________． 2．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB 、CD ，则直线AB 与CD 的斜率之和为________．3．圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点P 到直线x ＋y －7＝0的距离的最小值等于________． 4．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________． 能力提升5．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k ＝________.6．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．7．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．8．[2011·扬州模拟] 若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．9．[2011·苏锡常镇二调] 如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．10．[2012·连云港模拟] 直线x a ＋y b ＝1经过点M (cos α，sin α)，则1a 2＋1b2的最小值为________．11．如图K45－1，A ，B 是直线l 上的两点，且AB ＝2.两个半径相等的动圆分别与l 相切于A ，B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成的图形面积S 的取值范围是________．12．[2011·无锡模拟] 设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．13．(8分)已知圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0与直线y ＝mx 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求OP →·OQ →的值．14．(8分)[2011·泰州中学模拟] 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程； (2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A 为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．15．(12分)[2011·泰州兴化模拟] 如图K45－3，在四边形ABCO 中，OA →＝2CB →，其中O 为坐标原点，A (4,0)，C (0,2)．若M 是线段OA 上的一个动点(不含端点)，设点M 的坐标为(a,0)，记△ABM 的外接圆为⊙P .(1)求⊙P 的方程；(2)过点C 作⊙P 的切线CT (T16．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．课时作业(四十五)【基础热身】1．2 [解析] 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为O 1(3,3)，半径为3，设圆心O 1到直线3x－4y －11＝0的距离为d ，则d ＝|3×3－4×3－11|32＋42＝145，2<145<3，所以在圆心O 1的同侧，与直线3x －4y －11＝0平行且距离为1的直线有一条，且与圆相交，故满足条件的点共有2个．2．0 [解析] 过圆中一点的最长弦为连接圆心和该点的直径，最短弦为过该点且与直径垂直的弦，故直线AB 与CD 的斜率之和为0.3．42－2 [解析] 圆心为(－1,0)，圆心到直线x ＋y －7＝0的距离为|－1＋0－7|2＝4 2.所以圆上动点P 到直线x ＋y －7＝0的最小距离为42－2.4．－1<b ≤1，b ＝－2 [解析] 利用数形结合的方法，曲线x ＝1－y 2表示在y 轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线，注意到b ＝－1时有两个交点及b ＝－2时直线与圆相切，所以实数b 的取值范围是－1<b ≤1，b ＝－ 2.【能力提升】5．3 [解析] 如图所示．设围成四边形为OABC ，因＝90°，故∠ABC ＝90°.∴两条直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0互相垂直，⎝⎛⎭⎫－13·k ＝－1，即k ＝3.6．4 [解析] 弦心距最大为(2－1)2＋(3－1)2＝5，|AB |的最小值为29－5＝4.7．x 2＋(y ＋1)2＝18 [解析] 由题易求得圆心的坐标为(0，－1)，所以r 2＝32＋(－4－11)252＝18，所以圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.8．π [解析] 方法一：依题意由直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴2ab ＝1⇒ab ＝12，从而以OA 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，从而S ＝πOA 2≥π.当且仅当a ＝b ＝22时，取到面积的最小值π.方法二：由题意可知2ab ＝1，a 2＋b 2≥1，r min ＝|0＋0－1|a 2＋b 2＝1，此时圆的面积为π.9．－65<a <0 [解析] 动点到原点距离为1，故动点轨迹方程为x 2＋y 2＝1，由题意得两个圆总相交即1<(2a －0)2＋(a ＋3－0)2<3，所以1<5a 2＋6a ＋9<9，解得⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R ，－65<a <0⇒－65<a <0.10．1 [解析] 方法 一：点M 显然在圆x 2＋y 2＝1上，由题意知直线x a ＋yb＝1与圆x 2＋y 2＝1有交点，则11a 2＋1b2≤1，1a 2＋1b 2≥1.方法二：设向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝⎝⎛⎭⎫1a ，1b ，由题意知cos αa ＋sin αb＝1. 由m·n ≤||m ||n 可得1＝cos αa ＋sin αb ≤1a 2＋1b 2，故1a 2＋1b2≥1. 11.⎝⎛⎦⎤0，2－π2 [解析] 如图，当⊙O 1与⊙O 2外切于点C 时，S 最大，此时，两圆半径为1，S 等于矩形ABO 2O 1的面积减去两扇形面积，∴S max ＝2×1－2×⎝⎛⎭⎫14×π×12＝2－π2，随着圆半径的变化，C 可以向直线l 靠近，当C 到直线l 的距离d →0时，S →0，∴S ∈⎝⎛⎦⎤0，2－π2. 12．2 [解析] 设切点为D ，∠OAB ＝α⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则连接OD 知OD ⊥AB ，从而得到AD＝1tan α＝cos αsin α，BD ＝1tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin αcos α， 所以线段AB ＝cos αsin α＋sin αcos α＝1sin αcos α＝2sin2α⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则线段AB 长度的最小值为2. 13．[解答] 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则|OP →|＝x 21＋y 21＝1＋m 2|x 1|，|OQ →|＝x 22＋y 22＝1＋m 2|x 2|.∵P ，Q 为直线与圆的交点，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，得(1＋m 2)x 2＋(8－6m )x ＋21＝0， ∴x 1x 2＝211＋m 2，∵原点在圆外，∴OP →·OQ →＝|OP →|·|OQ →|cos θ＝|OP →|·|OQ →|＝(1＋m 2)·|x 1x 2|＝(1＋m 2)·211＋m 2＝21.14．[解答] (1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0，∵直线与圆C 相切，∴|－b |22＋12＝3，得b ＝±35，∴所求直线方程为y ＝－2x ±3 5.(2)解法一：假设存在这样的点B (t,0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3,0)时，PB P A ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，PB P A ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)，或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数． 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，∴PB 2P A 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2(x ＋5)2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925，从而PB P A ＝35为常数．解法二：假设存在这样的点B (t,0)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得，x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35. 15．[解答] (1)解法一(用圆的标准方程)：由已知B (2,2)，所以AB 中点坐标为(3,1)，k AB ＝－1， 所以AB 中垂线方程为y －1＝x －3⇒y ＝x －2.而AM 的中垂线方程为x ＝a ＋42，由此得⊙P 的圆心坐标为P ⎝⎛⎭⎫a ＋42，a 2，半径r ＝⎝⎛⎭⎫a 2－22＋⎝⎛⎭⎫a 22.所以△ABM 的外接圆⊙P 的方程为⎝⎛⎭⎫x －a ＋422＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝⎝⎛⎭⎫a 2－22＋⎝⎛⎭⎫a 22，即x 2＋y 2－(a ＋4)x －ay ＋4a ＝0.解法二(用圆的一般方程)：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为点A ，B ，M 在所求圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋F ＋16＝0，2D ＋2E ＋F ＋8＝0，a 2＋aD ＋F ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－a －4，E ＝－a ，F ＝4a .故所求圆的方程是x 2＋y 2－(a ＋4)x －ay ＋4a ＝0.(2)切线长CT ＝CP 2－r 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋42－02＋⎝⎛⎭⎫a 2－22－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 2－22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝2a ＋4.因为M 在线段OA 上(不含端点)，所以0＜a ＜4. 故CT 的取值范围是(2,23)．16．[解答] (1)由题意知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.由题可知圆心C 1到直线l 的距离d ＝4－⎝⎛⎭⎫2322＝1，结合点到直线的距离公式，得|－3k －1－4k |k 2＋1＝1， 化简得24k 2＋7k ＝0，k ＝0，或k ＝－724.求得直线l 的方程为：y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)由题知直线l 1的斜率存在，且不为0，设点P 的坐标为(m ，n )，直线l 1、l 2的方程分别为y －n ＝k (x －m )，y －n ＝－1k (x －m )，即直线l 1：kx －y ＋n －km ＝0，直线l 2：－1kx －y ＋n＋m k＝0. 因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，知圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等．故有|－3k －1＋n －km |k 2＋1＝－4k －5＋n ＋m k 1k 2＋1，化简得(2－m －n )k ＝m －n －3，或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5.因为关于k 的方程有无穷多解，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m －n ＝0，m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0，m ＋n －5＝0.解之得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－12或⎝⎛⎭⎫－32，132. [点评] 本题中无穷多解的问题即定值问题，可以通过建立d 1＝d 2方程后转化为方程恒有解来处理．一般地对于方程ax ＋b ＝0，若a ＝b ＝0，则方程恒有解．。
【全国百强校】江苏省南通中学高考小题专题复习数学练习：圆的方程
南通中学数学高考小题专题复习练习圆的方程一、填空题（共12题，每题5分）1、圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 ．2、 以两点A (－3,－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是 ．3、 圆心在直线y ＝2x ＋3上，且过点A （1，2），B （－2，3）的圆的方程 ．4．若方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F = ．5、)0,3(M 是圆0102822=+--+y x y x 内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是 ．6、若两直线y ＝x ＋2a 和y ＝2x ＋a ＋1的交点为P ，P 在圆x 2＋y 2＝4的内部，则a 的取值范围是 ．7、已知三角形三边所在直线的方程为y ＝0，x ＝2，x ＋y －4－ 2 ＝0，则这个三角形内切圆的方程为 ．8、圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ．9、圆x 2+y 2+4x +26y +b 2=0与某坐标轴相切，那么b 可能取得的所有值为 ．10、圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有 个．11、已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PA PB +的最小值是 .12、若实数x ,y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为 ．南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级 姓名 分数一、填空题（共12题，每题5分）1、 2、 3、 4、5、 6、 7、 8、9、 10、 11、 12、二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程）13、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C ．（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．圆的方程1、设圆心坐标为(0,)b ，则由题意知1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=； 2、22(1)(2)25x y -+-=；3、5)1()1(22=-++y x ；4、4；5、x -y -3=0；6、－ 15＜a ＜1； 7、(x －3)2＋(y －1)2=1，画出草图，很快发现三角形是等腰直角三角形，算出三边长，利用2a b c r+-=（c 为斜边长）可得半径，然后数形结合不难得出圆心坐标； 8、∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d ； 9、±2或±13；10、转化为考察已知直线的两条距离为2的平行线与圆有几个公共点，3个；11、设),(y x P ，则222222(2)(2)PA PB x y x y +=+++-+2222()828x y OP =++=+.设圆心为)4,3(C ，则325min=-=-=r OC OP ，∴22PA PB +的最小值为268322=+⨯； 12、本题实质是圆的方程的应用，设x －2y ＝t ，与圆的方程联立，消去y 后令△≥0可求出t 的取值范围，取最大值10；13、（1）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ），令f (x )=0，得x 2+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b <1且b ≠0；（2）设所求圆的一般方程为x 2+ y 2+D x +E y +F=0，令y =0，得x 2+D x +F=0，这与x 2+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b ，令x =0，得y 2+ E y +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1，所以圆C 的方程为x 2+ y 2+2x -(b +1）y +b =0；（3）圆C 必过定点（0，1），（-2，1），证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0，所以圆C 必过定点（0，1）；同理可证圆C 必过定点（-2，1）．。
苏教版 高三数学 一轮复习---9.5 直线与圆的综合应用
§9.5 直线与圆的综合应用2020高考会这样考 1.考查直线与圆、圆与圆的位置关系的判定；2.考查直线和圆的关系的应用问题．复习备考要这样做 1.能用代数法，几何法判定直线与圆的位置关系；2.初步培养解析几何中的“设而不求”、“数形结合”思想．1．解析几何的基本方法是坐标法，通过数形结合实现代数与几何的融合．2．直线与圆相结合常涉及代数中解方程、不等式、求函数最值等．在解直线与圆的问题时，要善于灵活运用图形性质、方程观点综合考察．3．注意运用代数式的几何意义，如出现f (x )－mx －n 的形式可以想到斜率；出现(m －x 0)2＋(n －y 0)2的形式想到可转化为距离；而mx ＋ny ，(x －x 0)2＋(y －y 0)2的结构，可通过整体代换：mx ＋ny ＝t ，(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2可转化为直线、圆的相关问题． [难点正本 疑点清源]1．直线与圆的最值问题解题思路(1)代数法：利用平面几何中的有关公式构造函数，根据函数最值的求法进行求解．在转化过程中常用到向量的数量积、二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法． (2)几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、最小取值点． 2．特征三角形掌握圆心距和两圆半径的关系以及圆的平面几何性质，其对于解决圆的问题起到很重要的作用．涉及与圆的弦有关的问题时，为简化运算，常利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行解题．1．直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A 、B 两点，则AB ＝________. 答案 23解析 如图，取AB 的中点C ，连结OC ，则OC ⊥AB ， 连结OA ，OC ＝|0－2×0＋5|12＋(－2)2＝55＝5，AC 2＝OA 2－OC 2＝8－5＝3，AC ＝3，∴AB ＝2AC ＝2 3.2．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x －y 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 设x －y ＝t ，y ＝x －t ，直线y ＝x －t 与圆x 2＋y 2＝1有公共点时，直线的纵截距－t ∈[－2，2]， 即t ∈[－2，2]．3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________． 答案 (4,6)解析 由圆心(3，－5)到直线的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，可得4<r <6.4．平移直线x －y ＋1＝0，使其与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则平移的最短距离为_______． 答案2－1解析 如图，圆心(2,1)到直线l 0：x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，故直线l 0与l 1的距离为2－1，∴平移的最短距离为2－1.5．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则a 的取值范围是 ______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－524∪⎝⎛⎭⎫524，＋∞ 解析 设过点A 的⊙C 的切线是 y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0. 由|k ＋2k |k 2＋1＝1，得k ＝±24.当x ＝3时，y ＝5k ＝±524.题型一 圆的弦长问题例1 直线l ：x －ky ＋22＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△ABC 的面积为S .求S 的最大值，并求此时直线l 的方程．思维启迪：△ABC 的面积最大是本题的突破点，可先表示S ，然后求最值． 解 方法一 ∵直线l 与圆C 交于两点， ∴221＋k2<2.解得k <－1或k >1. ∵AB ＝24－81＋k 2 ＝4k 2－1k 2＋1， ∴S (k )＝12·4k 2－1k 2＋1·221＋k 2＝42·k 2－1k 2＋1＝42k 2－1＋2k 2－1≤4222＝2， 当且仅当k 2－1＝2k 2－1，即k ＝±3时，S 取得最大值2，此时直线l 的方程为x －3y ＋22＝0或x ＋3y ＋22 ＝0.方法二 设O 到直线AB 的距离为m ，则AB ＝24－m 2，∴S ＝12AB ·m ＝ 4－m 2·m ＝ (4－m 2)·m 2≤4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝2时等号成立． ∴S 的最大值为2. 此时由221＋k 2＝2，得k ＝± 3.直线l 的方程为x ±3y ＋22＝0.探究提高 为了表示△ABC 的面积，应先选择适当的变量，而变量的选择取决于影响确定图形的因素，本题可以直接选用题设中的变量，也可以改用弦心距为自变量，很明显，由于设出的变量即为高，而底(弦长)又极易用高表示，故后者的运算量相对较小．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若AB ＝423，求MQ 、Q 点的坐标以及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．(1)解 设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝232，又AM ＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ， 得MP ＝12－89＝13，又∵MQ ＝MA2MP ，∴MQ ＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明 设点Q (q,0)，由几何性质，可知A 、B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 题型二 与圆有关的最值问题例2 求过圆x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．思维启迪：以两圆公共弦为直径的圆面积最小．解 由x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0与x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相减，得两圆公共弦所在直线方程为2x ＋y ＋4＝0，即y ＝－2x －4，代入x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝－115，y ＝25.所以两圆交点坐标为A (－3,2)，B ⎝⎛⎭⎫－115，25，由题意以AB 为直径的圆为所求， 其方程为(x ＋3)⎝⎛⎭⎫x ＋115＋(y －2)⎝⎛⎭⎫y －25＝0. 即x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.探究提高 此题方法较多，比如由两圆心所在直线方程x －2y ＋5＝0与两圆公共弦所在直线方程2x ＋y ＋4＝0联立，可得所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－135，65，又由圆的几何意义，可得半径R ＝255，故其方程为⎝⎛⎭⎫x ＋1352＋⎝⎛⎭⎫y －652＝45. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y ＋2x ＋1的最大值和最小值； (2)求x －2y 的最大值和最小值；(3)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值． 解 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y ＋2x ＋1的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率，设y ＋2x ＋1＝k ，即y ＋2＝k (x ＋1)． 当此直线与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k ＋k －2|k 2＋1＝3，解得k ＝6＋306或k ＝6－306.∴y ＋2x ＋1的最大值为6＋306，最小值为6－306.(2)x －2y 可看作是直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值．此时：|2－b |5＝3，∴b ＝2＋15或b ＝2－15.∴x －2y 的最大值为2＋15，最小值为2－15. (3)∵圆心(2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为 d ＝|6＋12|5＝185，∴P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为 185＋3，最小值为185－ 3. 题型三 与圆有关的对称问题例3 设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．思维启迪：第(1)题，关键抓住直线x ＋my ＋4＝0为弦PQ 的垂直平分线，从而得x ＋my＋4＝0过曲线的圆心，进而求解；第(2)题，由(1)知PQ 的斜率，由OP →·OQ →＝0构建关于截距的方程从而得解．解 (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， 表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称， ∴圆心(－1,3)在直线x ＋my ＋4＝0上，代入得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直， ∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b . 将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程， 得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0， Δ＝4(4－b )2－4×2×(b 2－6b ＋1)>0，得2－32<b <2＋3 2. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(4－b )，x 1x 2＝b 2－6b ＋12，∴y 1y 2＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－6b ＋12＋4b . ∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即b 2－6b ＋1＋4b ＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线方程为y ＝－x ＋1.探究提高 圆上两点连线的中垂线一定过圆心，可将对称问题转化；对于直线和圆相交涉及到端点坐标的问题，一般用代数法求解．已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2 (r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由． 解 (1)设圆心C (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2， 将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，由线性规划知，当x ＝－1，y ＝－1时，x ＋y －2取得最小值－4，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.(3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝ k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2.得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以，直线AB 和OP 一定平行．用方程的思想解决圆过定点的问题典例：(14分)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A (3，0)，且与圆O 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′. 求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定点坐标． 审题视角 (1)设出直线l 1的方程y ＝k (x －3)，由d ＝r 求出k ；(2)设出M 点的坐标为(s ，t )，求出P ′、Q ′的坐标(用(s ，t )表示)，即可写出以P ′Q ′为直径的圆C 的方程． 规范解答(1)解 ∵直线l 1过点A (3,0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，(斜率不存在时，明显不符合要求)，即kx －y －3k ＝0，[2分]则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y ＝±24(x －3)．[6分] (2)证明 对于圆方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，得x ＝±1， 故可令P (－1,0)，Q (1,0)． 又直线l 2过点A 且与x 轴垂直， ∴直线l 2的方程为x ＝3，设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y ＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ts ＋1(x ＋1)，得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4t s ＋1.同理可得，Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2t s －1，[9分]∴以P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x －3)(x －3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －4t s ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t s －1＝0，又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2t y ＝0，[12分]若圆C 经过定点，只需令y ＝0， 从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22， ∴圆C 总经过定点，坐标为(3±22，0)．[14分]温馨提醒 (1)本题第(1)问考生解答比较完整．第(2)问得分率不高．原因为二：一是写不出圆C 的方程；二是整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2t y ＝0后，不知如何解决定点问题．(2)解决与圆有关的问题时，以下几点易造成失分：①利用点斜式求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情况． ②两圆相切时忽视内切还是外切．③判断直线与圆及圆与圆的位置关系时，重视代数法忽略几何法．方法与技巧 1．圆的弦长求法(1)几何法：利用特征三角形； (2)代数法：设而不求，利用弦长公式． 2．与圆有关的最值一般结合图形利用几何法解决． 失误与防范1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．注意利用圆的性质解题，可以简化计算．例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离，利用两点的距离减去或加上圆半径就很简便． 3．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，应注意斜率不存在的情况．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．过点(2,3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为__________________． 答案 x ＝2或4x ＋3y －17＝0解析 由于(2－3)2＋32＝10>1，故点(2,3)在圆外，当斜率不存在时，直线方程x ＝2满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋3＝0.∵直线与圆相切，∴|3k －2k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－43.∴直线方程为4x ＋3y －17＝0.∴所求直线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0.2．直线ax －2y －2a ＋4＝0被圆x 2＋y 2－2x －8＝0所截得的弦长范围是__________． 答案 [4,6]解析 直线ax －2y －2a ＋4＝0整理得a (x －2)＋2(2－y )＝0，故其过定点(2,2)，此点在圆(x －1)2＋y 2＝9内，又此点到圆心的距离为(2－1)2＋(2－0)2＝5，所以直线被圆截得的最短弦长为29－5＝4，最长弦为圆的直径6.所以直线被圆截得的弦长范围是[4,6]．3．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____________． 答案 x ＋y －3＝0解析 设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心坐标为(a,0)，由题意知：⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，∴a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，而直线x ＋y ＋m ＝0过圆心(3,0)，∴3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求直线的方程为x ＋y －3＝0.4．若直线y ＝x ＋k 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则k 的取值范围是____________． 答案 k ＝－2或k ∈(－1,1]5．过点P (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案 22解析 如右图，k PC ＝2－01－2＝－2，∴k ＝－1k PC ＝22.6．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝________. 答案 －1解析 由于已知∠AOB ＝120°，则考虑点A ，B 坐标之间的关系，所以想到运用向量进行沟通：OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝2×2×cos 120°＝－1.7．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案 254解析 ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.二、解答题(共27分)8．(13分)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；(2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M 、N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程．解 (1)过A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3. (2)设MN 与AC 交于点D ， ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又∵MC ＝2，∴CD ＝ 4－45＝45， ∴cos ∠MCA ＝CD MC ＝25， 又cos ∠MCA ＝MCAC ，∴AC ＝5，AM ＝1.∴AC ＝1＋a 2＝5，∴a ＝2或a ＝－2.∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，又MN 是以A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.∴MN 所在直线方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0. (x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0， 综上可知，MN 所在直线的方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.9．(14分)已知圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0 (0<a ≤4)的圆心为C ，直线l ：y ＝x ＋m . (1)若m ＝4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；(2)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围．解 (1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0，∴(x ＋a )2＋(y －a )2＝4a ，∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a ，设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，圆心C 到直线l 的距离为d ，m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋4|2＝2|a －2|， t 2＝(2a )2－2(a －2)2＝－2a 2＋12a －8＝－2(a －3)2＋10，又0<a ≤4，∴当a ＝3时，直线l 被圆C 所截得弦长的值最大，其最大值为210.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋m |2＝22|2a －m |， ∵直线l 是圆C 的切线，∴d ＝r ，即|m －2a |2＝2a ，∴m ＝2a ±22a ， ∵直线l 在圆C 的下方，∴m ＝2a －22a ＝(2a －1)2－1，∵a ∈(0,4]，∴m ∈[－1,8－42]．B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－24，24 解析 直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由题意得，|3k |1＋k 2<1，解得－24<k <24. 2．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P (x ，y )引圆 ⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 答案 62解析 2x ＋4y ≥(22x ·4y )＝22x ＋2y ＝42，当且仅当2x ＝4y ＝22，即x ＝2y ＝32，所以P ⎝⎛⎭⎫32，34，所以切线段的长l ＝⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫34＋142－12＝62. 3．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝6，则圆C 的方程为______________．答案 x 2＋(y ＋1)2＝18 解析 设圆心C 的坐标为(x 0，y 0)，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0＋2＝－1y 0＋12＝x 0－22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0y 0＝－1. 令圆C 的半径为r ，圆心C (0，－1)到3x ＋4y －11＝0的距离d ＝3，∴r 2＝32＋32＝18，∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.4．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是________． 答案 相离解析 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝cos(α－β)＝12， 圆心到直线的距离为d ＝|cos(α－β)＋12|＝1>22， 故直线与圆相离．5．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 之间的距离是________．答案 125解析 ∵kl 1＝－a 3，∴设切线l ：y －4＝－a 3(x ＋2)， 即ax ＋3y －12＋2a ＝0.则圆心到l 的距离|2a ＋3－12＋2a |a 2＋9＝5， 即a 2＋8a ＋16＝0，∴a ＝－4.从而得两直线间的距离d ＝|2a ＋12－2a |a 2＋32＝125. 6．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________. 答案 22＋2 22－2解析 因为集合M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，所以集合M 表示以O (0,0)为圆心，半径为r 1＝2a 的上半圆上的点．同理，集合N 表示以O ′(1，3)为圆心，半径为r 2＝a 的圆上的点．这两个圆的半径随着a 的变化而变化，但|OO ′|＝2.如图所示，当两圆外切时，由2a＋a＝2，得a＝22－2；当两圆内切时，由2a－a＝2，得a＝22＋2.所以a的最大值为22＋2，最小值为22－2.二、解答题(共28分)7．(14分)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)引两圆的切线P A，PB，切点分别为A，B，满足P A＝PB.(1)求实数a，b满足的等量关系；(2)求切线长P A的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．解(1)连结PO，PC，∵P A＝PB，OA＝BC＝1，∴PO＝PC，从而a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2.化简得实数a，b满足的等量关系为a＋2b－5＝0.(2)由a＋2b－5＝0，得a＝5－2b.P A＝PO2－OA2＝a2＋b2－1＝(5－2b)2＋b2－1＝5b2－20b＋24＝5(b－2)2＋4.∴当b＝2时，(P A)min＝2.(3)∵圆O与圆C的半径均为1，若存在半径为R的圆P，与圆O相内切且与圆C相外切，则有PO＝R－1且PC＝R＋1.于是PC－PO＝2，即PC＝PO＋2，从而(a－2)2＋(b－4)2＝a2＋b2＋2，两边平方，整理得a2＋b2＝4－(a＋2b)．将a＋2b＝5代入上式，得a2＋b2＝－1<0.故满足条件的实数a，b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.8．(14分)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．(1)若AM⊥直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠P AQ的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围． 解 (1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1.∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3， 即A (3,3)．如图，连结MP ，∵∠P AM ＝12∠P AQ ， sin ∠P AM ＝PM AM＝2(3－1)2＋(3－1)2＝22， ∴∠P AM ＝45°，∴∠P AQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要使∠DAE ≥60°.∵AM 平分∠DAE ，∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin ∠DAM <1， 即2(a －1)2＋(b －1)2≥12且2(a －1)2＋(b －1)2<1. 又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5，即a 的取值范围是[1,5]．。
高考数学复习：直线与圆综合应用与答案
D．[ 3，2 2)
6．已知点 A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆 C：x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点 M，N，使得△MAB
和△NAB 的面积均为 5，则 r 的取值范围是( )
A．(1， 5)
B．(1，5)
C．(2，5)
D．(2， 5)
二、多项选择题
7．已知直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4 相交于 A，B 两点，且△ABC
A．9 5
B．18 5
C．29 10
D．29 5
3．圆 x2＋y2＋4x－12y＋1＝0 关于直线 ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则2＋6的最小值是 ab
()
A．2 3
B．20 3
C．32 3
D．16 3
4．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝3－ 4x－x2有公共点，则 b 的取值范围是( )
例 2-7.已知 t∈R，圆 C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0． (1) 若圆 C 的圆心在直线 x－y＋2＝0 上，求圆 C 的方程； (2) 圆 C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．
3
考点三、与实际结合考察 例 3-1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯 锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不 知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有 圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦 AB 1尺，弓形高 CD 1寸，则阴影 部分面积约为（注： 3.14 ， sin 22.5 5 ，1 尺=10 寸）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南通中学数学高考小题专题复习练习
直线与圆的综合运用
一、填空题（共12题，每题5分）
1、已知圆C 的圆心与抛物线x y 42
=的焦点关于直线x y =对称，直线0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为 ． 2、设变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z =2x +3y 的最小值为 ．
3、已知圆C 1：074422=+--+y x y x 和圆C 2：22
4x y x +-10130y -+=，则两圆的公切线有 条．
4、过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ ．
5、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的
最小值为 ．
6、若点N （a ,b ）满足方程关系式a 2＋b 2－4a －14b ＋45=0，则2
3+-=a b u 的最大值为 ．
7、已知圆C 方程为：224x y +=，直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B
两点，若||AB =l 的方程为 ．
8、若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a >0）的公共弦的长
为，则
=a ．
9、若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在
点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．
10、过点A （11，2）作圆22
241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有 条．
11、已知圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：0ax by +=
的距离为，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ．
12、已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：
①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；
②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；
④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切．
其中真命题的代号是______________．（写出所有真命题的代号）
南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸 班级 姓名 分数 一、填空题（共12题，每题5分） 1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、
9、 10、 11、 12、
二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程）
13、已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.
直线与圆的综合运用
122()2AB d =+求半径，2、画出不等式2x y x y x +⎧⎪-⎨⎪-⎩3
32z x y +-=在可行域上平移，知在点值，解方程组⎩⎨⎧+2x x 3、1； 4、22；5、32
，提示：转化为点6、32+
；7、3450x y -+=或1=x ； 8、由知22260x y ay ++-=的半径为26a +，由图可知222)3()1(6=---+a a 解之得1=a ；
9、由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<<m ，又21AO A O ⊥，所以有525)52()5(222±=⇒=+=m m ，∴45
2052=⋅⋅=AB ； 10、32提示：先算出最短弦和最长弦（各1条）的整数值，其余整数值弦的成双；
11、[5,1212ππ]提示： 配方知圆心（2，2），半径32，数形结合得[5,1212ππ]；
12、②④提示：圆心坐标为（－cos θ，sin θ），
d ＝
222|k cos sin |1k |sin ||sin |11k 1k
θθθϕθϕ≤－－＋（＋）＝＝（＋）＋＋， 而③有斜率不存在的反例，故选②④；
13、(1)设直线l 的方程为：
(4)y k x =-，即40kx y k --=，由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离22234()12d =-=，结合点到直线距离公式，得：2|314|1,1
k k k ---=+ 化简得：272470,0,,24k k k or k +===-
，得直线l 的方程为：0y =或7(4)24y x =--，即0y =或724280x y +-=.21
(2) 设点P 为(,)m n ，直线1l 、2l 分别为：.21世纪教育网
1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：110,0kx y n km x y n m k k
-+-=--++=，
因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得
圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等. 故有：2241|5|111n m k k k k --++=++，
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或
关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=⎧⎧⎨
⎨--=⎩⎩m-n+8=0或m+n-5=0 解之得：点P 坐标为313(,)22
-或51(,)22-.。