九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形同步练习

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精品试卷北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练试卷(含答案详细解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，建筑工地划出了三角形安全区ABC ，一人从A 点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C 点，另一人从B 点出发沿北偏西53°方向走100m 到达C 点，则点A 与点B 相距（）4tan 533≈︒⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．130m2、某山坡坡面的坡度i =100米，小刚上升了（）A ．B ．50米C ． D3、如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（）A ．12B ．255C ．53D ．234、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，以下正确的是（）A ．1cos 2A =B ．sin A =C ．tan A =D ．cos B =5、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（）A ．54 B ．35 C ．34 D ．456、如图，为测量小明家所住楼房AB 的楼高，小明从楼底A 出发先沿水平方向向左行走到达点C ，再沿坡度1:2.4i =的斜坡行走104米到达点D ，在D 处小明测得楼底点A 处的俯角为14︒，楼顶最高处B 的仰角为22︒，AB 所在的直线垂直于地面，点A 、B 、C 、D 在同一平面内，则AB 的高度约为（）米．（参考数据：sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）A ．104B ．106C ．108D ．1107、如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos ∠ACB 的值为（）A ．12BCD 8、在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，点A 、B 、C 均在格点上，则cos B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．249、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则sin DCB ∠的值为（）A ．23 B C D 10、如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 翻折得到FDE ，延长EF 交BC 于G ，FH ⊥BC ，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①BF ∥ED ；②DFG ≌DCG ；③FHB ∽EAD ；④tan∠GEB ＝43；其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）102sin 45π︒-=______．2、计算：sin30°－tan45°＝____________．3、矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若3AD =，13BF BC =．（1）矩形ABCD 的面积为________；（2）sin BNF ∠的值为_________．4、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且2CE DE =，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF AE ⊥，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作⊥OQ OP 分别交AE 、AD 于点N 、H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①45AFO ∠=︒；②2N P O D H H =⋅；③Q OAD ∠=∠；④OG DG =．其中正确的结论有________（填入正确的序号）．5、如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP ＝6A ，B 两点的距离为 _____千米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：020*******( 3.14)60(2)()2π︒---⋅ 2、（1）计算：2sin60tan60︒+︒（2）解方程：()2190x --=3、在平行四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接CE ，F 为CE 上一点，且∠DFE=∠A ．（1）求证：△DCF ∽△CEB ；（2）若BC=4，CE=CDF=12，求线段BE 的长．4、计算：112cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭． 5、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，与BD 交O 一点，直线EF 过点O 分别交直线AB ，CD ，BC 于E ，F ，H ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若OC 2＝HC •BC ，OC ：BH ＝sin∠BAC ；（3）在△AOF 中，若AF ＝8，AO ＝OF ＝ABCD 的面积．-参考答案-一、单选题1、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，则∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，在Rt△ACF和Rt△BCE中，根据正切三角函数的定义得到AF FC＝CEEB＝43，结合勾股定理可求得AF＝40，CF＝DE＝30，FD＝CE＝80，BE＝60，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求得AB．【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，∴∠CEB＝90°，∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，AC＝50，BC＝100，四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF，DF＝CE，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝AFFC＝tan53°，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝CEBE＝tan53°，∵tan53°≈43，∴AFFC＝CEEB＝43，∴AF＝43CF，CE＝43BE，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，∴CF2+（43CF）2＝502，解得CF＝DE＝30，AF＝43×30＝40，在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，∴BE2+（43BE）2＝1002，解得BE＝60，CE＝DF＝43×60＝80，∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x 米．根据勾股定理可得：)222100x +=．解得50x =．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B ．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．3、B【分析】利用CD AB ∥，得到∠BAC =∠DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，再利用勾股定理求解,CD 可得tan ∠ACD =AD CD =. 【详解】解：如图， ∵CD AB ∥，∴∠BAC =∠DCA ．∵同圆的半径相等， ∴AC =AB =3，而2,AD = 225,CDAC AD在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =AD CD∴tan ∠BAC =tan ∠ACD ．故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．4、C【分析】根据勾股定理求出AB ，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，根据勾股定理AB 2==，∴cos A =AC AB =A 不正确； sin A ＝12BC AB =，选项B 不正确；tan A ＝BC AC =C 正确； cos B ＝12BC AB =，选项D 不正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键．5、D【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD AB CF BC=，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===．故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．6、A【分析】根据题意作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，由坡度的定义求出DF 的长，得AE 的长，再解直角三角形求出DE 、BE 的长，即可解决问题．【详解】解：如图，作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，∵斜坡CD 的坡度为i =1：2.4，CD =104米，∴DF =AE =40（米），CF =96（米），∵14EDA ︒∠=, ∴40tan tan140.25AE EDA DE DE︒∠===≈， ∴160DE =（米），∵22EDB ︒∠=, ∴tan tan 220.4160BE BE EDB DE ︒∠===≈， ∴64BE =（米），∴4064104AB AE BD =+=+=（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键．7、D【分析】根据图形得出AD 的长，进而利用三角函数解答即可．【详解】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∴DC =1，AD =3，∴AC∴cos ∠ACB =DC AC == 故选：D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．8、B【分析】如图所示，过点A 作AD 垂直BC 的延长线于点D 得出△ABD 为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦值即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ，∵AD =BD =4，∠ADB =90°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠B =45°∴cos B =故选B ．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．9、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB ，再根据三角函数的意义，可求出答案．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，∴DCB B ∠=∠,又∵CD ＝3，∴AB ＝6，AC =∴sin DCB ∠＝sin B ＝AC AB == 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．10、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°∵△ADE沿DE翻折得到△FDE∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°，∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°，∴∠EBF=∠EFB，∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB，∴∠DEF=∠EFB，∴BF∥ED，故结论①正确；∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG，∴Rt△DFG≌Rt△DCG，∴结论②正确；∵FH⊥BC，∠ABC=90°∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°∵∠EBF=∠BFH=∠AED，∴△FHB∽△EAD，∴结论③正确；∵Rt△DFG≌Rt△DCG，∴FG=CG，设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，∴BG=4，∴t an∠GEB=43 BGBE，故结论④正确．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．二、填空题1、【分析】先算化简二次根式，三角函数值和0次幂，再利合并同类二次根式即可得出答案．【详解】解：原式＝21⨯-，2＝1，＝1．故答案为：．【点睛】本题考查的是实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数幂，比较简单，需要熟练掌握实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数幂是解题关键．2、-12【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答．【详解】，tan45°=1，解：∵sin30°=12原式＝12-1＝-12．故答案为：-12．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，有理数减法，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值．3、【分析】（1）矩形ABCD 中，由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，用勾股定理求得CD ABCD 的面积；（2）由折叠可得AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F 、、、四点共圆，故BNF BEF ∠=∠，设AE EF x ==，在Rt BEF △中，由勾股定理得： x =sin BNF ∠的值. 【详解】（1）矩形ABCD 中，3AD =，13BF BC =，∴3BC AD ==，113BF AD ==，2CF BC BF =-=，90C ∠=︒，由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，CD =∴矩形ABCD 的面积=3AD CD ⋅=故答案为：（2）将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，∴AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F ∴、、、四点共圆，BNF BEF ∴∠=∠，设AE EF x ==，则BE AB AE x =-=，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=，即222)1x x +=，解得x =∴sin BNF ∠=sin BF BEF EF ∠==【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.4、①②④【分析】①由“ASA ”可证△ANO ≌△DFO ，可得ON =OF ，由等腰三角形的性质可求∠AFO =45°；④由外角的性质可求∠NAO =∠AQO ．②由“AAS ”可证△OKG ≌△DFG ，可得GO =DG ；③通过证明△AHN ∽△OHA ，可得，进而可得结论DP 2=NH •OH ．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AO =DO =CO =BO ，AC ⊥BD ，∵∠AOD =∠NOF =90°，∴∠AON =∠DOF ，∵∠OAD +∠ADO =90°=∠OAF +∠DAF +∠ADO ，∵DF ⊥AE ，∴∠DAF +∠ADF =90°=∠DAF +∠ADO +∠ODF ，∴∠OAF =∠ODF ，∴△ANO ≌△DFO （ASA ），∴ON =OF ，∴∠AFO =45°，故①正确；如图，过点O 作OK ⊥AE 于K ，∵CE =2DE ，∴AD =3DE ，∴tan ∠DAE =1=3DE DF AD AF ， ∴AF =3DF ，∵△ANO ≌△DFO ，∴AN =DF ，∴NF =2DF ，∵ON =OF ，∠NOF =90°，∴OK =KN =KF =12FN ，∴DF =OK ，又∵∠OGK =∠DGF ，∠OKG =∠DFG =90°，∴△OKG ≌△DFG （AAS ），∴GO =DG ，故④正确；∵∠DAO =∠ODC =45°，OA =OD ，∠AOH =∠DOP ，∴△AOH ≌ODOP （ASA ），∴AH =DP ，∠ANH =∠FNO =45°=∠HAO ，∠AHN =∠AHO ，∴△AHN ∽△OHA ，∴=AH HN HO AH ， ∴AH 2=HO •HN ，∴DP 2=NH •OH ，故②正确；∵∠NAO +∠AON =∠ANQ =45°，∠AQO +∠AON =∠BAO =45°，∴∠NAO =∠AQO ，即Q OAG∠=∠故③错误．综上，正确的是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．5、6【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案．【详解】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝∴PC＝12PA＝在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝PC PB，∴PB6千米．∴AB＝6千米．故答案为：6．【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．注意在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度.当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、解答题1、7【分析】根据01(0a a =≠），立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．【详解】解：020*******-3.14tan 60(2)()2π︒--（）=()2020112222⎡⎤+-+-⨯⨯-⎢⎥⎣⎦（）（）=1-2+6-（-2）=7【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．2、（1）（2）14x =，22x =-【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）运用直接开平方法即可得出答案．【详解】解：（1）2sin60tan60︒+︒2==（2）()2190x --= ()219x -=()13x -=±∴14x =，22x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值，灵活运用解方程的方法是解答本题的关键．3、（1）证明见解析（2）【分析】（1）由平行四边形的性质有AB//CD ，AD//BC ，可得∠DFE=∠A ，∠DFC=∠B ，故△DCF ∽△CEB ．（2）过点E 作EH ⊥CB 交CB 延长线于点H ，由题意可设EH=x ，CH=2x ，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AD//BC∴∠DCE=∠BEC ，∠A+∠B=180°∵∠DFE+∠DFC=180°又∵∠DFE=∠A∴∠DFC=∠B∴△DCF ∽△CEB（2）∵△DCF ∽△CEB∴∠CDF=∠ECB∴tan∠CDF= tan∠ECB=12过点E 作EH ⊥CB 交CB 延长线于点H在Rt △CEH 中1tan 2EH ECB CH =∠= ∴设EH=x ，CH=2x∴=∵=∴x=3，则有EH=3，CH=6∵BC=4∴BH=6-4=2在Rt △EBH 中有则【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键．4、2【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：原式22=- 2=．【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．5、（1）证明见解析；（2（3）80．【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,OB OD AB CD =，再根据平行线的性质可得,OBE ODF OEB OFD ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形ABCD 是菱形，再根据菱形的性质可得,AC BD AB BC ⊥=，然后设(0),(0)BH x x CH y y =>=>，从而可得,OC AB BC x y ===+，代入2OC HC BC =⋅解一元二次方程可得9y x =，由此可得10,AB x OB ==，最后在Rt AOB 中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形AECF 是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形AECF 是矩形，根据矩形的性质可得90AFC ∠=︒，然后利用勾股定理可得16CF =，设(0)AD CD a a ==>，从而可得16DF a =-，在Rt ADF 中，利用勾股定理可得10a =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,,AB CD OB OD AB CD ∴==，,OBE ODF OEB OFD ∴∠=∠∠=∠，在BOE △和DOF △中，OBE ODF OEB OFD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BOE DOF AAS ∴≅；（2）AB CD ∥，BAC ACD ∴∠=∠， AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，ACD DAC ∴∠=∠，AD CD ∴=，∴平行四边形ABCD 是菱形，,AC BD AB BC ∴⊥=，:OC BH =∴设(0),(0)BH x x CH y y =>=>可得,OC AB BC x y ===+，由2OC HC BC =⋅得：2)()y x y =+，解得9y x =或100y x =-<（不符题意，舍去），10,AB x OB ∴==，在Rt AOB 中，sin OB BAC AB ∠== （3）由（1）已证：BOE DOF ≅△△，,BE DF OE OF ∴==，AB CD =，AB BE CD DF ∴+=+，即AE CF =，又AB CD ∥，即AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AO OF ==AO OF OE OC ∴====AC EF ∴==∴平行四边形AECF 是矩形，90AFC ∴∠=︒，16CF ∴=，设(0)AD CD a a ==>，则16DF a =-，在Rt ADF 中，222AF DF AD +=，即2228(16)a a +-=，解得10a =，即10CD =，则平行四边形ABCD 的面积为10880CD AF ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)同步单元训练卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步单元训练卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．2cos60°＝( )A ．1 B.3 C.2 D.122．下列各式不成立的是( )A ．sin 50°＜sin 89°B ．cos 1°＜cos 88°C ．tan 22°＜tan 45°D ．cos 23°＞sin 23°3．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示sin α的值，错误的是( )A.CD BCB.AC ABC.AD ACD.CD AC4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A.sin B ＝AD AB B ．sin B ＝AC BCC.sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CD AC5．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为( )A ．355B ．175C ．35D ．456. 如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(点A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.hsin α B.h cos α C.h tan α D ．h·cos α7．如图，某轮船在点O 处测得一个小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔A 在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行( )A ．10(3＋1)海里B ．10(3－1)海里C ．20(3＋1)海里D ．20(3－1)海里8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5 m ，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3 m 站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1) ( )A ．3.2 mB ．3.9 mC ．4.7 mD ．5.4 m9．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1，S 2，则( )A ．S 1＝12S 2B ．S 1＝72S 2C ．S 1＝85S 2 D ．S 1＝S 210．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长32 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为33 m ，则鱼竿转过的角度是( )A.60°B.45°C.15°D.90°二．填空题（共8小题，3*8=24）11．sin60°的相反数是_________.12. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，BC＝6，则tan B的值是_________．13．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC的长为__________.14．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为____________m.15．如图，在距离铁轨200 m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10 s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是 m/s.16．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tan β的值是__________．17．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中________触礁的危险．(填“有”或“没有”)18．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 计算：14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan 45°cos 60°－sin 40°cos 50°20．(8分) a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足等式b 2＝c 2－a 2，5a －3c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．21．(8分) △ABC 是一块钢板余料，其中∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝20 dm ，现要从中剪裁出边长为6 dm 的等边△DEF ，如图所示，其中点D 在BC 上，点E 和点F 在AB 上，求AE ，BF 的长．(结果保留根号)22．(10分) )如图，某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A 处，看湖面上空一热气球P 的仰角为37°，看P 在湖中的倒影P′的俯角为53°(P′为P 关于湖面的对称点)．请你计算出这个热气球P 距湖面的高度PC 约为多少米？(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34；sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)23．(10分) 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝8，cos ∠BAC ＝513，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，连接AE 并延长，交边BC 于点F.(1)求tan ∠EAD 的值；(2)求BF CF 的值．24．(10分) 某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2 m，台阶AC的坡度i＝1∶2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)25．(12分) 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N 的俯角β为45°，已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1米)(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)参考答案1-5ABDCD6-10BACDC 11. －32 12. 43 13. 63 14. 20 3 15. 20（3＋1） 16. 19315 17.没有 18.2319. 解：原式＝14×12＋1(12)2 －3×(32)2 ＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3.20．解：由b2＝c2－a2，得a2＋b2＝c2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°. ∵5a －3c ＝0，∴a c ＝35，即sin A ＝35. 设a ＝3k ，则c ＝5k ，∴b ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k. ∴sin B ＝b c ＝45，∴sin A ＋sin B ＝35＋45＝75.21. 解：作DG ⊥AB 于G.∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝DF ＝EF ＝6，EG ＝FG ＝3，DG ＝EG·tan60°＝33，在Rt △DGB 中，∵∠B ＝∠GDB ＝45°，∴DG ＝BG ＝33，∴BE ＝3＋33，∴AE ＝AB －EB ＝20－(3＋33)＝17－33，BF ＝BG －FG ＝33－322．过点A 作AD ⊥PP′，垂足为点D ，图略，则有CD ＝AB ＝7米．设PC 为x 米，则P′C ＝x 米，PD＝(x －7)米，P′D ＝(x ＋7)米，在Rt △PDA 中，AD ＝PDtan 37°≈43(x －7)，在Rt △P′DA 中，AD ＝P ′D tan 53°≈34(x ＋7)，∴43(x －7)＝34(x ＋7)，解得x ＝25，则热气球P 距湖面的高度PC 约为25米23. 解：(1)∵BD ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°，在Rt △ADB 中，AB ＝13，cos ∠BAC ＝513，∴AD ＝5，由勾股定理得：BD ＝12，∵E 是BD 的中点，∴ED ＝6，∴tan ∠EAD ＝ED AD ＝65　(2)过D 作DG ∥AF 交BC 于G ，∵AC ＝8，AD ＝5，∴CD ＝3，∵DG ∥AF ，∴CD AD ＝CG FG ＝35，设CG ＝3x ，FG ＝5x ，∵EF ∥DG ，BE ＝ED ，∴BF ＝FG ＝5x ，∴BF CF ＝5x 8x ＝5824. 解：过点A 作AF ⊥DE ，设DF ＝x ，在Rt △ADF 中，∵∠DAF ＝30°，∴AF ＝3x ，AC 的坡度i ＝1∶2，∴AB CB ＝12，∴BC ＝4(m).∵AB ⊥BC ，DE ⊥CE ，AF ⊥DE ，∴四边形ABEF 为矩形，∴EF ＝AB ，BE ＝AF ＝3x ，∴DE ＝DF ＋EF ＝x ＋2，在Rt △DCE 中，tan ∠DCE ＝DE CE，∴CE ＝33(x ＋2)，∵BE ＝BC ＋CE ＝4＋33(x ＋2)，∴33(x ＋2)＋4＝3x ，∴x ＝1＋23(m)，∴DE ＝3＋23(m)25. 解：(1)MN＝20米．(2)过点D作DG⊥AB于点G，则DG＝24(米)，∵AD的坡度为1∶0.25，DH的坡度为1∶1.75，∴AG＝6(米)，GH＝42(米)，∴AH＝GH－GA＝36(米)，∴S△ADH＝12AH·DG＝432(平方米)，∴需要填筑土石方为432×100＝43 200(立方米)．设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米，则10x＋(43 200x－20－10)·2x＝43 200，解得x＝864，∴施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．。

2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析

2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。

【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型

专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)．在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米．在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米，所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4，解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE，则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形同步练习 (新版)北师大版

课时作业(五)[第一章 4 解直角三角形]一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝52°，b ＝12，则a 的值约等于() A ．15.36 B ．16.35 C ．17.36 D ．18.352．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2，则∠B 的度数为链接听课例1归纳总结()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如图K －5－1，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sin B 的值为()图K －5－1A.513 B.1213 C.35 D.454.如图K －5－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，下列判断正确的是( )链接听课例1归纳总结图K －5－2A ．∠A ＝30°B ．AC ＝12C ．AB ＝2D ．AC ＝2 二、填空题5．2017·广州如图K －5－3，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________．图K －5－36．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝13，AC ＝2，那么BC ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，若△ABC 的面积为5033，则∠A 的度数为________．8．2018·奉贤区一模如图K－5－4，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH ＝BC，那么sin∠BAC的值是________．图K－5－49．菱形ABCD的对角线AC＝6 3，BD＝6，则菱形ABCD的四个角的度数分别是______________．10．如图K－5－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若CD＝2，AB＝6，则S△ABD ＝________．图K－5－511．如图K－5－6，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．图K－5－6三、解答题12．在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝2，求这个三角形的其他元素．13．已知Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图K－5－7所示，求A，C两点的坐标．图K－5－714．2017·湘潭某游乐场部分平面示意图如图K－5－8所示，点C，E，A在同一直线上，点D，E，B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数).链接听课例3归纳总结图K－5－15．如图K－5－9①所示，将直尺摆放在三角尺上，使直尺与三角尺的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD＝42°.(1)求∠CEF的度数；(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角尺的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长(结果精确到0.01；参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)图K－5－9操作探究题两个城镇A，B与两条公路ME，MF的位置如图K－5－10所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．(1)点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)；(2)设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN＝2(3＋1)km，测得∠CMN＝30°，∠CNM＝45°，求点C到公路ME的距离．图K－5－10详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] A 因为tan B ＝b a＝26＝33，所以∠B ＝30°. 3．[答案] A4．[解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，tan A ＝BCAC ，∴AC ＝BCtan A ＝112＝2， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5. ∵tan A ＝12，tan30°＝33，∴∠A ≠30°.故选D.5．[答案] 17[解析] ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝158，BC ＝15，∴15AC ＝158，解得AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17. 故答案为17.6．[答案] 4 2[解析] 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴cos A ＝AC AB ＝13.∵AC ＝2，∴AB ＝6，∴BC ＝AB 2－AC 2＝36－4＝4 2. 7．[答案] 60°[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，△ABC 的面积为503 3，∴12AC ·BC ＝503 3，∴AC ＝103 3. ∵tan A ＝BC AC ＝1010 33＝3，∴∠A ＝60°.故答案为60°.8．[答案] 45[解析] 如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AH ＝BC ＝2x ， ∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ， ∴BH ＝CH ＝12BC ＝x ，根据勾股定理，得AC ＝AH 2＋CH 2＝（2x ）2＋x 2＝5x ，S △ABC ＝12BC ·AH ＝12AC ·BD ，即12·2x ·2x ＝12·5x ·BD ，解得BD ＝4 55x ， ∴sin ∠BAC ＝BD AB ＝4 55x 5x ＝45.9．[答案] 60°，120°，60°，120° 10．[答案] 9 32－3[解析] 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°.∵AB ＝6，∴BC ＝12AB ＝3，AC ＝3BC ＝3 3.又∵CD ＝2，∴AD ＝AC －CD ＝3 3－2，∴S △ABD ＝12AD ·BC ＝12×(3 3－2)×3＝9 32－3.故答案为9 32－3.11．[答案] 412．解：在Rt △ABC 中，b ＝c 2－a 2＝22－（3）2＝1.因为sin A ＝a c＝32，所以∠A ＝60°，所以∠B ＝30°. 13．解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵BC ＝AOcos30°＝2 332＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．在Rt △ABD 中，sin30°＝AD AB ，cos30°＝BD AB，而AB ＝2 3，∴AD ＝AB sin30°＝2 3×12＝3， BD ＝AB cos30°＝2 3×32＝3， ∴点A 的坐标为(3，3)．14．解：(1)∵在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°， ∴BE ＝12AE ＝12×80＝40(米)．故旋转木马E 处到出口B 处的距离为40米．(2)∵在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝90°－30°＝60°，∴∠CED ＝∠AEB ＝60°，∴在Rt △CDE 中，DE ＝CD sin ∠CED ≈341.72＝40(米)，则BD ＝DE ＋BE ≈40＋40＝80(米)．故海洋球D 处到出口B 处的距离约为80米．15．[解析] (1)先根据“直角三角形的两锐角互余”求出∠CDG 的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠CEF 的度数．(2)根据直尺上的读数求出HB 的长度，再根据∠CBH ＝∠CGD ＝42°，利用42°的余弦值求解．解：(1)∵∠CGD ＝42°，∠C ＝90°， ∴∠CDG ＝90°－42°＝48°.∵DG ∥EF ，∴∠CEF ＝∠CDG ＝48°.(2)∵点H ，B 在直尺上的读数分别为4，13.4， ∴HB ＝13.4－4＝9.4，∴BC ＝HB cos42°≈9.4×0.74≈6.96. 答：BC 的长约为6.96. [素养提升]解：(1)如图①所示：点C 即为所求．(2)过点C 作CD ⊥MN 于点D .如图②所示：∵在Rt △CMD 中，∠CMN ＝30°，tan ∠CMN ＝CD MD，∴MD ＝CD tan30°＝CD33＝3CD .∵在Rt△CND 中，∠CNM ＝45°，tan ∠CNM ＝CD DN ，∴DN ＝CDtan45°＝CD .∵MN ＝2(3＋1)km ，∴MN ＝MD ＋DN ＝3CD ＋CD ＝2(3＋1)，解得CD ＝2(km)．答：点C 到公路ME 的距离为2 km.。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形测试含解析新版北师大版

1.4 解直角三角形一、单项选择题（共15 题）1.在△ ABC中，AB=12，AC=13，cos∠ B=，则BC边长为（）或17或172.如图，在直角△ BAD中，延长斜边BD到点 C，使 DC= BD，连接 AC，若 tanB= ，则 tan ∠CAD的值（）A. B. C. D.3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）【答案】 A【解析】如图，在△ABC中， AB=AC， AD⊥ CB于 D，5.在△ ABC中，AB=5，BC=6，∠ B为锐角且sinB=3，则∠ C的正弦值等于（）5【答案】 C【解析】试题解析：过点 A 作 AD⊥ BC，依据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、 CD，依据勾股定理得出 AC，再由三角函数的定义得出答案即可．试题解析：过点A作 AD⊥BC，6.在Rt△ABC中，∠ C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD均分∠ ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（）【答案】 B【解析】如图，作DE⊥ AB于 E，在 Rt△ ABC中，设 BC为3x，则 AC为4x，依据勾股定理， AB=5x，设 CD为 a，∵ BD均分∠ ABC，则 DE=CD=a，∴AD=4x-a ， AE=5x-3 x=2x，222在 Rt△ ADE中， AD=DE+AE，即（ 4x-a）2=a2+（ 2x）2，7.如图，在Rt △ABC中，∠ ACB=90°， CD⊥AB，垂足为D， AB=c，∠ A=α，则CD长为（）A. c?sin 2αB.c?cos 2αC.c?sin α?tan αD.c?sin α?cosα11.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△ DEF，尺寸如图．假如两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（）A. S△ABC＞S DEF B. S＜ S C. S= S△ DEFD.不可以确立△△ ABC△ DEF△ ABC【答案】 C【解析】如图，过点A、 D分别作 AG⊥ BC， DH⊥ EF，垂足分别为G、 H，在 Rt△ ABG中， AG=ABsinB=5× sin 50°=5 sin 50°，在 Rt△ DHE中，∠ DEH=180°- 130°=50°，DH=DEsin∠DEH=5sin50°，∴AG=DH．∵BC=4， EF=4，∴S△ABC= S△DEF．应选 C．12.假如三角形满足一个角是另一个角的3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A. 1 ，2，3B. 1，1，C. 1，1，D. 1，2，【答案】 D考点：三角形的性质.13.在直角三角形ABC中，已知∠ C=90°，∠ A=40°， BC=3，则 AC=（）A. 3sin40 °B.3sin50 °C.3tan40 °D.3tan50 °【答案】 D【解析】试题解析：利用直角三角形两锐角互余求得∠ B 的度数，此后依据正切函数的定义即可求解．解：∠ B=90°﹣∠ A=90°﹣ 40°=50°，又∵ tanB=，∴AC=BC?tanB=3tan50 °．应选： D．考点：解直角三角形．14.等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（）15.如图，在等腰Rt △ABC中，∠ C=90°， AC=6， D是 AC上一点，若tan ∠DBC= ，则 AD的长为（）A.2B.4C.D.【答案】 A【解析】试题解析：依据题意可知，tan ∠ DBC=, 设 DC=2X,BC=3X,由于 BC=AC,因此 3X=6,X=2，因此AD=X=2，应选 A考点：特别角的三角函数二、填空题（共 5 题）16.已知在△ ABC 中， AB=AC=8，∠ BAC=30°，将△ ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC 的点 C处，此时点C 落在点 D处，延长线段AD，交原△ ABC 的边 BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 ____________【答案】【解析】试题解析：作CH⊥ AE 于 H，如图，∵AB=AC=8，∴∠ B=∠ ACB= （180° - ∠ BAC）=（180° - 30°）=75°，∵△ ABC绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，∴AD=AB=8，∠ CAD=∠ BAC=30°，∵∠ ACB=∠CAD+∠ E，∴∠ E=75°-30 ° =45°，在 Rt △ ACH中，∵∠ CAH=30°，∴CH= AC=4，AH= CH=4 ，∴DH=AD-AH=8-4 ，在Rt △CEH中，∵∠E=45°，∴ EH=CH=4，∴ DE=EH-DH=4（- 8-4）=4-4 ．考点： 1. 解直角三角形； 2. 等腰三角形的性质．17.如图，在菱形ABCD中， AE⊥BC， E 为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________【答案】【解析】设菱形ABCD的边长为 x，则 AB=BC=x，又 EC=2，因此 BE=x-2，由于 AE⊥BC于 E，因此在 Rt△ ABE中， cosB=，又cosB=于是＝，解得 x=10，即 AB=10．因此易求 BE=8， AE=6，当 EP⊥ AB时， PE获得最小值．故由三角形面积公式有：? =? ，求得PE 的最小值为 4.8 ．AB PE BE AE点睛：此题观察了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的要点18.如图，在菱形ABCD中， DE⊥AB，垂足是E， DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是___________【答案】 40【解析】此题第一由DE⊥AB，垂足是E，得 Rt △AED，依据直角三角形的性质，sinA=，能求出AD，再11因此△ AED为直角三角形，∴菱形 ABCD的周长为， 10×4=40．故答案为： 40．此题观察的知识点是解直角三角形和菱形的性质，解题的要点是先依据直角三角形的性质求出菱形 ABCD的边长 AD．19.如图，在等腰Rt △ABC中，∠ C=90°， AC=6， D是 AC上一点，若tan ∠DBA= ，则 AD的长为 ________【答案】 2【解析】作DE⊥ AB于 E，如图，∵∠ C=90°， AC=BC=6，∴△ ACB为等腰直角三角形，∴∠ A=45°，在Rt △中，设=，则= ，=，ADE AE x DE x AD在 Rt△ BED中， tan ∠ DBE=，∴BE=5x，点睛：此题观察认识直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也观察了等腰直角三角形的性质20.如图，两条宽度都为 1 的纸条，交错重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中暗影部分）的面积为________三、解答题（共 5 题）21.若等腰三角形两边为 4， 10，求底角的正弦值【答案】【解析】试题解析：依据三角形三边关系定理确立腰和底边的长．作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求得底边上的高的长，再利用三角函数的定义求解即可.试题解析：∵4+4=8＜10，22.如图，在△ ABC中，AC=2，∠ A=45°，tanB=，求BC的长【答案】【解析】试题解析：过点 C 作 CD⊥AB于 D，利用∠ A 的正弦值求出CD的长，再依据∠B 的正切值求出BD的长，利用勾股定理列式求出BC的长 .试题解析：如图，过点C作 CD⊥ AB于 D，∵AC=2，∠ A=45°，【解析】试题解析：作AD⊥ BC于 D，依据等腰三角形三线合一的性质可求得BD的长，再依据勾股定理可得AD的长，依据正弦函数等于对边比斜边，即可得答案.试题解析：如图，作 AD⊥ BC于 D，24.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．假如等腰三角形的腰长为 2，“内角正度值”为 45°，求该三角形的面积【答案】 1或 2【解析】试题解析：依据题意，分顶角为最小角和顶角为最大角两种状况求解即可.试题解析：当顶角为最大角时，设底角为x，则顶角为x+45°时，因此x+x+x+45°=180°，解得x=45°，因此此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积=×2×2=2；当顶角为最小角时，设顶角为 x 时，则底角为x+45°，因此 x+x+45°+x+45°=180°，解得 x=30°，因此此三角形为极点为 30°的等腰三角形，AB=AC=2，∠A=30°，作 CD⊥ AB于 D，在 Rt△ ADC中，∵∠ A=30°，综上所述，该三角形的面积等于1或2．点睛：此题观察认识直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也观察了等腰三角形的性质，解决此题时要注意分类议论思想的应用.25.在△ ABC中，∠ C=90°，sinA=，BC=12，求AC的长【答案】 5【解析】试题解析：在Rt△ ABC中，依据锐角三角函数的定义求得BC的长，再利用勾股定理求得AC的长即可 .试题解析：在△ ABC中，∠ C=90°，∵ sinA =，BC=12，∴AB=13，∴AC==5．。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)1.1、1.2 同步练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章 1.1、1.2 同步练习题一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，AB＝4，则sinA的值是( )A.154B.13C.1515D.142．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cosA＝( )A.12B.52C.255D.553．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝( )A.32B.23C.62D.634．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝25，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为( )A.23B.104C.53D.55二、填空题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD.若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为______．7．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝______．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A 落在A′处．若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为______．9．将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD，则tan∠ADB＝______．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，已知点D在边BA的延长线上，AB＝2AD，则tan∠DCA＝______．三、解答题11．如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝35.求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．12．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC与l3所夹的锐角为α，求tanα的值．13．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG∥CF交DE于点G.(1)求证：△DCF≌△ADG；(2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值．14．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB，CD的端点均为格点．(1)AB的长度为25，CD的长度为______；(2)若AB与CD所夹锐角为α，求tanα的值．参考答案北师大版九年级数学下册 1.1-1.2 同步练习题一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，AB＝4，则sinA的值是(D)A.154B.13C.1515D.142．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cosA＝(D)A.12B.52C.255D.553．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D.若BD ∶CD ＝3∶2，则tanB ＝(D)A.32B.23C.62D.634．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝25，E 是BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连接CF ，则cos ∠ECF 的值为(C)A.23 B.104C.53D.55二、填空题5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD.若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为23．7．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则tan ∠OCA ＝2．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A ′处．若EA ′的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值为1010．9．将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ，则tan ∠ADB ＝3－12．10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，已知点D 在边BA 的延长线上，AB ＝2AD ，则tan ∠DCA ＝14．三、解答题11．如图所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B 的坐标；(2)cos ∠BAO 的值．解：(1)过点B 作BH ⊥OA 于点H ，在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH ＝3.∴OH BO 2－BH 2＝4.∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6.在Rt △AHB 中，∵BH ＝3，∴AB AH 2＋BH 2＝ 5.∴cos ∠BAO ＝AH AB ＝55.12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC 与l 3所夹的锐角为α，求tan α的值．解：过点A 作l 1的垂线，垂足为D ，过点C 作l 1，l 3的垂线，垂足为E ，F ，设l 1，l 2之间的距离为a ，则l 2与l 3之间的距离也为a.∵∠ABC ＝90°，∴∠DBA ＋∠EBC ＝90°.∵∠DBA ＋∠DAB ＝90°，∴∠EBC ＝∠DAB.又∵∠ADB ＝∠BEC ，AB ＝BC ，∴△ADB ≌△BEC(AAS)．∴AD ＝BE ＝2a ，DB ＝EC ＝a.∴AF ＝DE ＝3a.∴tan α＝CF AF ＝a3a ＝13.13．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G.(1)求证：△DCF ≌△ADG ；(2)若点E 是AB 的中点，设∠DCF ＝α，求sin α的值．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°.∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°.∴∠AGD＝∠CFD.∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°，∴∠ADG＝∠DCF.在△DCF和△ADG中，{∠DFC＝∠AGD，∠DCF＝∠ADG，DC＝AD，∴△DCF≌△ADG(AAS)．(2)设正方形ABCD的边长为2a.∵点E是AB的中点，∴AE＝12×2a＝a.在Rt△ADE中，DE AD2＋AE2＝（2a）2＋a2＝5a，∴sin∠ADG＝AEDE＝a5a＝55.∵∠ADG＝∠DCF＝α，∴sinα＝5 5 .14．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB，CD的端点均为格点．(1)AB的长度为25，CD的长度为13；(2)若AB与CD所夹锐角为α，求tanα的值．解：取格点E，连接CE，使CE∥AB，取格点F，连接EF，交CD于点G，取格点H，使CH＝2，∵∠CHD＝∠EDF＝90°，HD＝DF＝3，CH＝DE＝3，∴△CHD≌△EDF(SAS)．∴∠EDG＝∠EFD.又∵∠GED＝∠DEF，∴△DEG∽△FED.∴EGED＝DGFD＝DEFE，即EG2＝DG3＝213.∴EG＝1313，DG＝1313.∴CG＝CD－DG＝13 13.∴tan∠ECG＝EGCG＝47.∵AB∥CE，∴α＝∠ECG.∴tanα＝4 7 .。

北师版九年级数学下册作业课件第一章直角三角形的边角关系本章考点整合训练一

解：根据题意可知EF＝AB＝15 m，延长EF交DC于点H，则CH＝BF＝AE＝
1.5 m．设FH＝x m，则EH＝EF＋FH＝(15＋x) m，在Rt△DFH中，DH＝FH·tan
∠DFH＝tan
45°x＝x(m).又∵在Rt△DHE中，tan
∠DEH＝
DH EH
，∴ x＋x15
＝tan
34°≈0.67，∴x≈30.5，∴DC＝DH＋CH＝x＋1.5≈30.5＋1.5＝32(m)，∴拂云阁DC的
解：原式＝3×
3 3
－11
＋
2
＝2 3 －1
8
×
2 2
＋
（1－ 3）2 ＝
3 －2＋2＋
3 －1
考点三解直角三角形
9．(2022·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与
AC的夹角为α，则高BC是( A )
A.12sin α m
B．12cos α m
C．si1n2α m
解：(1)∵在Rt△ DEA中，AD＝
DE sin A
＝
2 2
＝3，∴AB＝BD＋AD＝12，∴在
3
Rt△ ABC中，BC＝AB·sin A＝12×23 ＝8
(2)∵AC＝ AB2－BC2 ＝ 122－82 ＝4 5 ，AE＝ AD2－DE2 ＝ 32－22 ＝
5 ，∴CE＝AC－AE＝4 5 － 5 ＝3 5 ，∴CD＝ CE2＋DE2 ＝（3 5）2＋22
解：过点E分别作EF⊥CD交CD的延长线于点F，EG⊥AC于点G，过点A′作
A′H⊥EG交EG的延长线于点H，则四边形EFCG和四边形A′BGH为矩形，EF∶DF
＝i＝1∶0.75，∴DF＝34 EF，∴DE＝ DF2＋EF2 ＝（34EF）2＋EF2 ＝54 EF＝

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1.4解直角三角形;;
一、夯实基础;;
1．在) (tan ,13
12
cos ,12,90等于则中，A A AC C ABC Rt =
==∠∆ A ．
135 B ．1213 C ．512 D ．125;;
2．在ABC Rt ∆中，c b a C 、、,90
=∠分别是C B A ∠∠∠、、的对边，下列关系式中错误的是（）
A ．
B b cos = B ．B a b tan =
C ．A c a sin =
D ．B b a cot =
3．如图，在ABC Rt ∆中，CD 为斜边AB 上的高，已知AD ＝8，BD ＝4，那么) (tan =A
A ．
22 B ．32 C ．42 D ．8
2 4．如图，在四边形ABCD 中，,3,2,90,60===∠=∠=∠CD BC D B A
则AB ＝（）
A ．4
B ．5
C ．32
D ．
33
8
5．下列结论中，不正确的是（） A ．0241cos 7348sin '<'
B ．1cos sin ,902
2
=+=∠A A C ABC Rt 则中，
∆ C ．B B B C ABC Rt cos sin cot ,90==∠则中， ∆ D ．B
b
AB C ABC Rt sin ,90==∠则中， ∆ 二、能力提升
6．在C B A c b a C ABC ∠∠∠=∠、、分别是中，,,,,90 ∆的对边，则有（）
A ．A a b tan ⋅=
B ．A c b sin ⋅=
C ．B c a cos ⋅=
D ．A a c sin ⋅=
7．在ABC Rt ∆中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（）
A ．都没有变化
B ．都扩大2倍
C ．都缩小2倍
D ．不能确定
2．在ABC ∆中，︒=∠90C ，试根据下表中给出的两个数值，填出其他元素的值：
三、课外拓展
3．在ABC ∆中，_________,3
2
sin ,4,90==
==∠AB A BC C 则 . 4．如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线交点，BD AE ⊥于点E ，若
.________cm DE cm,3,2:1:===则AE OD OE
5．在ABC Rt ∆中，,2
3
,2,90=
==∠BC AB C 那么BC 这上的高AE ＝_________. 6．如图，已知ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么PQB ∠tan 的值为_________.
四、中考链接
1．（2016•兰州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
2. （2016·浙江省绍兴市·4分）如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案
1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A
2．.45,45,6)4(;30,60,10)3(;45,23,3)2(;30,32,2)1(︒︒︒︒︒︒
3．6 4．3 5．
3
3 6．32-. 中考链接：
1.解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA==
，BC=6，
∴AB=
=
=10，
故选D
2.解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．。