2019年高考数学优题训练系列9 含答案
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学(九)解析版
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学（九）解析版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·安徽联考]设集合1124xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭N ，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ）A ．{}1B ．∅C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】D【解析】由题意得，{}2A x x =∈≥N ，故{}2,3,4A B =，故选D ．2．[2019·凯里一中]已知复数z 在复平面内对应的点为()11,，（i 为虚数单位），则zz=（ ） AB C ．2 D ．1【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为()11,，∴1i z =+，∴1i z =-，∴z z z z ==，故选D ． 3．[2019·郴州模拟]新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确； 对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确； 对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确．故选C ．4．[2019·重庆质检]已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m α⊥，n β∥，且αβ∥，则m n ⊥C ．若m α⊂，n α⊂，且m β∥，n β∥，则αβ∥D ．若直线m ，n 与平面α所成角相等，则m n ∥【答案】B【解析】选项A 中可能n α⊂，A 错误；选项C 中没有说m ，n 是相交直线，C 错误； 选项D 中若m ，n 相交，且都与平面α平行，则直线m ，n 与平面α所成角相等， 但m ，n 不平行，D 错误．故选B ．5．[2019·马鞍山质检]已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -+=的最大值为（ ）A ．132B ．14C ．12D ．2【答案】C【解析】设2m x y =-+，()2m z m =，显然()z m 是指数函数， ∵21>，∴()z m 是增函数．本题求()z m 的最大值就是求出m 的最大值．可行解域如下图所示：显然直线2y x m =+平行移动到点A 时，m 有最大值，解方程组1y xy =⎧⎨=⎩， 解得A 点坐标为()1,1，代入直线2y x m =+中，得1m =-，∴z 的最大值为1122-=，故选C ． 6．[2019·益阳模拟]在ABC △中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =，2AE EB =，3DF FA =，则EF =（ ）A ．1136AB AC -+B ．71126AB AC -+ C ．11612AB AC -+D ．51123AB AC -+ 【答案】B【解析】如图，∵2BD DC =，∴23BD BC =，∵2AE EB =，∴23AE AB =， ∵3DF FA =，∴14AF AD =， ∴()1212514343124EF AF AE AD AB AB BD AB AB BD =-=-=+-=-+ ()51251711243126126AB BC AB AC AB AB AC =-+⨯=-+-=-+．故选B ． 7．[2019·南太原模拟]将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min π6x x -=，则ϕ的值是（ ）A ．π4B ．π6C ．π3D ．π2【答案】C【解析】由题()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦， 则()()()122sin 22sin 224f x g x x x ϕ-=--=， 不妨设2sin 22x =，()2sin 222x ϕ-=-， 则1π22π2x k =+，2π222π2x k ϕ-=-，1k ，2k ∈Z ， 则()121212ππππππ442x x k k k k ϕϕ⎛⎫-=+--+=-+- ⎪⎝⎭， 又π02ϕ<<，则12minπππ226x x ϕϕ-=-=-=，解得π3ϕ=； 同理当2sin22x =-，()2sin 222x ϕ-=亦成立．故选C ．8．[2019·马鞍山一中]奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-， 则()()20182019f f +=（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】由题意，奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数， 则()()()111f x f x f x -+=+=--，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=， 即()f x 是周期为4的周期函数，()()()()201850442200f f f f =⨯+==-=，()()()20195045111f f f =⨯-=-=-，则()()20182019011f f +=-=-，故选B ．9．[2019·新疆诊断]已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为（ ） A ．2 B 1 C 1 D ．3【答案】C【解析】∵以PQ 为直径的圆过右焦点F ，∴得到该圆以原点O 为圆心，OF 为半径，故得到OP OQ OF c ===， ∵过原点直线的倾斜角为π3，即60QOF ∠=︒，∴QOF △为等边三角形，∴QF c =， 根据对称性，该圆也过双曲线的左焦点，设左焦点为1F ，∴1120QOF ∠=︒，在1QOF △中，由余弦定理得，1QF =， 根据双曲线的定义得，12QF QF a -=2c a -=，解得1e ，故选C ．10．[2019·沧州模拟]中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆．七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，⋯．设内一衡直径为1a ，衡间距为2d，则次二衡直径为21a a d =+，次三衡直径为12a d +，⋯，执行如下程序框图，则输出的i T 中最大的一个数为（ ）A ．1TB ．2TC ．3TD ．4T【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值， 由等差数列通项公式有()11i a a i d =+-，且易知0i a >恒成立，则()()()(){}21181117174i ia i d a i d a a a i d a i d -+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当()()1117a i d a i d +-=+-，即4i =时等号成立． 综上可得，输出的i T 中最大的一个数为4T ．故选D ．11．[2019·江淮十校]已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心．已知15BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC △的面积为（ ） A ．B ．CD ．【答案】A【解析】设AC 中点为D ，则()()()22111222BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=-， ∴22111522a c -=，即c =c a <知角C 为锐角，故2222301301cos 2121212a b c b C b ab b b +-+⎛⎫===+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当30b b =，即b cos C 最小， 又cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故C 最大．此时，恰有222a b c =+，即ABC △为直角三角形，12ABC S bc ==△A ．12．[2019·沧州模拟]某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．9πC ．41π4D【答案】C【解析】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，1AB =，点M ，N ，1N 分别为其所在棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥1B AMD -，很明显AMD △是以AD 为斜边的直角三角形，且当1NN ⊥平面ABCD ， 故外接球的球心O 在直线1NN 上，以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0,A ，()11,0,2B ， 设()0,1,O h ，由1OA OB =有：()222221112h h +=++-，解得54h =， 设外接球半径为R ，则222541111616R h =+=+=， 外接球的表面积2414ππ4S R ==．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·四川质检]在平面直角坐标系xOy 中，已知02πα<<，点ππ1tan ,1tan 1212P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则α的值是___________． 【答案】π3【解析】πππ1tantan tan πππ12412tan tan tan πππ41231tan 1tan tan 12412α++⎛⎫===+= ⎪⎝⎭--， ∵02πα<<，且点P 在第一象限，∴α为锐角，∴α的值是π3，故答案为π3． 14．[2019·九江二模]谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle ）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．【答案】2764【解析】由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的14， ∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的34， 设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为2764，故答案为2764． 15．[2019·马鞍山一模]已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，直线l 是抛物线C 的准线，点A 在抛物线C 上，过A 作AB l ⊥，垂足为B ，若直线BF的斜率BF k =则AFB △的面积为______． 【答案】【解析】∵抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，∴322p a ==，∴3p =． 设3,2B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3322BF mk ==--m =故(0,A x 在26y x =上，可得092x =，∴062pAB x =+=，则AFB △的面积为162S =⨯⨯．故答案为16．[2019·南开一模]设函数()256,044,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若函数()()g x x a f x =+-有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_____．【答案】11,63⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()256,044,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若函数()()g x x a f x =+-有三个零点，即方程()a f x x =-有三个根，()266,034,0x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨+<⎩，即图像y a =和()y f x x =-有三个交点，在同一坐标系中画出函数的图像：三个交点分别为1x ，2x ，3x 满足123x x x <<根据方程34x a +=的零点的范围， 当266x x -+取得最小值3-时，解得173x =-，即17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，根据二次函数的对称性得到236x x +=，12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故答案为11,63⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·广东毕业]已知{}n a 是等差数列，且1lg 0a =，4lg 1a =． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和． 【答案】（1）32n a n =-．（2）2k =，()231141223nn S n n =-+-． 【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且1lg 0a =，4lg 1a =，则111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，∴()13132n a n n =+-=-．（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则216k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到32k a k =-，代入上式解得2k =；1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，11a =，24a =，∴等比数列{}n b 的公比为4q =．由等比数列的通项公式得到14n n b -=．则1324n n n a b n -+=-+， 故()()()()1131411144324241n n n n n S n ---=++++⋯+-+=+-()231141223n n n =-+-． 18．（12分）[2019·海口调研]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点．（1）证明：EF ∥平面11BCC B ；（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：如图，连接1AC ，1BC ．在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点． 又∵F 为AB 的中点，∴1EF BC ∥．又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，∴EF ∥平面11BCC B ．（2）解：以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -， 则()0,0,6A ，()10,4,0B ，()2,0,3E ，()0,2,6F ， ∴()10,2,6B F =-，()2,0,3AE =-，()0,2,0AF =．设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则23020AE x z AF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，令3x =，得()3,0,2=n ．记1B F 与平面AEF 所成角为θ，则111sin cos B F B F B F θ⋅===,n n n． 19．（12分）[2019·咸阳二模]交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：某一机构为了研究某一品牌7座以下投保情况，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率； （2）记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和期望． 【答案】（1）0.8；（2）见解析．【解析】（1）保费不超过950元的车型为1A ，2A ，3A ，4A ， 所求概率为401010200.8100+++=．（2）0.9a ξ=，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ，其中950a =，()0.90.4P a ξ==，()0.80.1P a ξ==，()0.70.1P a ξ==， ()0.2P a ξ==，()1.10.15P a ξ==，()1.30.05P a ξ==．0.90.40.80.10.70.10.2 1.10.15 1.30.05E a a a a a a ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.940.94950893a ==⨯=．20．（12分）[2019·西城一模]已知椭圆22:14x y W m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点()1,0P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D （不与点A ，B 重合）． （1）求椭圆W 的方程及离心率； （2）求四边形ACBD 面积的最大值；（3）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程．（结论不要求证明）【答案】（1）2214x y +=，离心率3e =（2）3（3）4x =．【解析】（1）由题意，得244a m ==，解得1m =． ∴椭圆W 方程为2214x y +=．故2a =，1b =，223c a b =-=．∴椭圆W 的离心率3c e a ==（2）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭， 又∵24AB a ==，AB CD ⊥，∴四边形ACBD的面积12S AB CD =⨯=． 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,C x y ，()22,D x y ，联立方程()22114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222418440k x k x k +-+-=． 由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+，四边形ACBD 的面积121122ABC ABD S S S AB y AB y =+=⨯+⨯△△ ()1212122AB y y k x x =⨯-=-== 设241k t +=，则四边形ACBD 的面积S =()10,1t∈，∴S =综上，四边形ACBD 面积的最大值为（3）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =． 21．（12分）[2019·清远联考]已知函数()()1e x f x x =-． （1）求函数()f x 的单调区间和零点；（2）若()e f x ax ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间：(),0-∞；单调递增区间：()0,+∞，零点为1x =；（2）[]0,e 【解析】（1）()()e 1e e x x x f x x x =+-='，令()0f x '=，解得0x =， ∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增； 单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞； 令()0f x =，解得1x =，∴函数()f x 的零点是1x =． （2）画出()f x 的大致图像，如图所示，设()e g x ax =-，则()g x 的图像恒过点()0,e -，设函数()()1e x f x x =-的图像在点()00,P x y 处的切线过点()0,e -， ∴()000e x f x x '=，()()0001e x f x x =-，()f x 的图像在()00,P x y 处的切线方程为()()000001e e x x y x x x x --=-，将()0,e -代入切线方程，得()0200e 1e e x x x x ---=-，整理得()02001e e x x x -+=，设()()21e e x h x x x =-+-，()()2e x h x x x ⇒=+'， 令()0h x '=，得0x =或1x =-，∴()h x 在(),1-∞-，()0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减， 又()31e 0eh -=-<，()01e 0h =-<，()10h =， ∴01x =是方程()02001e e x x x -+=的唯一解，∴过点()0,e -且与()f x 的图像相切的直线方程为e e y x =-， 令()()1e e e x m x x x =--+，则()e e x m x x '=-，当1x >时，()0m x '>；当01x <<时，()0m x '<，∴()()1m x m ≥， 又()10m =，即()0m x ≥在()0,+∞上恒成立， 即函数()f x 的图像恒在其切线e e y x =-的上方， 数形结合可知，a 的取值范围[]0,e ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·云师附中]已知曲线E 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围． 【答案】（1）22143x y +=；（2）10⎡-+⎣．【解析】（1）曲线E 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为22143x y +=．（2）设点A 的坐标为()2cos αα，()B α，()2cos ,2D α， ∴32cos 32cos AB αα=-=-，22AD αα==，()()210l AB AD αθ=+=-+，∴矩形的周长的取值范围为10⎡-+⎣． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·聊城一模]已知函数()21f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）设不等式()24f x x ≤+的解集为M ，若[]0,3M ⊆，求a 的取值范围． 【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2．【解析】（1）1a =时，()121f x x x =-++，若()4f x ≤，1x ≥时，1224x x -++≤，解得1x ≤，故1x =，11x -<<时，解得1x ≤，故11x -<<，1x ≤-时，1224x x -++≤，解得53x ≥-，故513x -≤≤-，综上，不等式的解集是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）若[]0,3Mx a x x-++≤+|在[]0,3恒成立，⊆，则问题转化为2124即24222-≤+--=，故22x a x x-≤-≤，x a故22--≤-≤-在[]0,3恒成立，x a x即22≤≤，x a xa-≤≤+在[]0,3恒成立，故12即a的范围是[]1,2．。
2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”小题对点练9解析几何(2)Word版含解析
小题对点练(九) 解析几何(2)(建议用时：40分钟) (对应学生用书第121页)一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( )A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2C [由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.]2．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32xA [双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a ＝2， 故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点，B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )A.3－12 B.5－12 C.22 D.32B [由题设圆的半径r ＝a ＋c 2，则b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，解得e＝－1＋52，故选B.]4．一束光线从圆C的圆心C(－1,1)出发，经x轴反射到圆C1：(x－2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程刚好是圆C的直径，则圆C的方程为() A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5C．(x＋1)2＋(y－1)2＝16D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25A[圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r1＝1.点C(－1,1)关于x轴的对称点C′的坐标为(－1，－1)．因为C′在反射线上，所以最短路程为|C′C1|－r1，即[2－(－1)]2＋[3－(－1)]2－1＝4.故圆C的半径为r＝12×4＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故选A.]5．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A. 2 B．2C.22＋1 D.2－1C[因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为22＝2＞1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)到直线x－y－1＝0的距离的最大值为2＋1，到直线x－y－1＝0的距离的最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离为12，所以a－b＝2＋1－12＝22＋1.]6．若实数k满足0<k<5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的() A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等D [因为0<k <5，所以两曲线都表示双曲线，在x 216－y 25－k ＝1中a 2＝16，b 2＝5－k ；在x 216－k －y 25＝1中a 2＝16－k ，b 2＝5.由c 2＝a 2＋b 2知两双曲线的焦距相等，故选D.]7．(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1B [由题意可得ca ＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c,0)，P (0,4)， 则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c ，化简即得y ＝4c x ＋4.结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝ba x 平行， 则4c ＝ba ，即4a ＝bc . 故⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1. 故选B.]8．(2018·衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过点F 2且与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若△ABF 1的周长为7a ，则该双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤1，72B.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，7C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，7 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，112 A [直线l 经过双曲线的右焦点，∴△AF 1B 的周长为4a ＋2|AB |，∵|AB |≥2b 2a ， ∴4a ＋2|AB |≥4a ＋4b 2a ，即4a ＋4b 2a ≤7a ， 即4b 2≤3a 2,4(c 2－a 2)≤3a 2，解得e ≤72. ∴双曲线离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，72.故选A.]9．已知F 1，F 2分别为双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－4B ．x ＝－3C ．x ＝－2D ．x ＝－1C [由题得双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，所以c 2＝a 2＋3a 2＝4a 2，∴c ＝2a . 所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合． 由题得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12|PF 1|－|PF 2|＝2a，∴|PF 2|＝6－a .联立双曲线的方程和抛物线的方程得3x 2－8ax －3a 2＝0，∴x ＝－a3(舍)或x ＝3a .由抛物线的定义得6－a ＝3a －(－2a )，所以a ＝1，所以抛物线的准线方程为x ＝－2，故选C.]10．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为( )A ．±22B ．±1C ．±63D ．±62C [由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k ()x －1，点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，线段AB 的中点为M ()x 0，y 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.又因为弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，所以x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 22＋1＝5，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝8， 解得k 2＝23，所以k ＝±63，故选C.]11．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.33B.233C.433 D. 3。
2019版高考数学原创单元卷第九单元平面解析几何(含答案)
第九单元测试卷本单元测试内容：平面解析几何测试时间：120分钟，分值：150分 姓名__________ 得分_____________第Ⅰ卷 选择题（共70分）一、选择题（本题14小题，每小题5分，共计70分，每小题列出四个选项中只有一项最符合题目要求。
） 1．点)在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°2．已知命题p ：“1m =-”，命题q ：“直线0x y -=与直线20x m y +=互相垂直”，则命题p 是命题q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 3．已知直线 与 轴， 轴分别交于 两点，若动点 在线段 上，则 的最大值为A.B. 2C. 3D.4．若圆222410x y x y +--+=关于直线l 对称，则l 被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5．直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A. 1B. 2C. 6．已知直线(0)x y m m +=>与圆221x y += 相交于,P Q 两点，且120POQ ∠=（其中O 为原点），那么m 的值是 27．已知直线l ：20x +=与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB 在x 轴正方向上投影的绝对值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．直线0x y +=与圆22(2)4x y -+=相交所得线段的长度为A B ．2 D ．9．若双曲线222:1y C x b-=（0b >）的离心率为2，则b =10．已知抛物线方程为²4y x =则焦点到准线的距离为A. B. C. 1 D. 211．已知双曲线1C ： 2212x y -=与双曲线2C ： 2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是 A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等12．双曲线2213x y -=的焦点坐标是 A. (,(0, B.),()C. ()0,2,()0,2-D. ()2,0,()2,0- 13．对抛物线 ，下列判断正确的是A. 焦点坐标是B. 焦点坐标是C. 准线方程是D. 准线方程是14．已知直线2bx =与椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若椭圆C 的两个焦点与,A B 两点可以构成一个矩形，则椭圆C 的离心率为 A 13 B. 2第Ⅱ卷 非选择题（共80分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把填写在题中的横线上。
2019年高考数学试题(及答案)
解析：A
【解析】
【分析】
设 ，利用双曲线的定义求出 和 的值，再利用勾股定理求 ，由 得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
设 ，
由双曲线的定义得： ，解得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
解析：2
【解析】
【分析】
根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.
【详解】
由余弦定理 得 ，即 ，解得 或 （舍去）.故填2.
【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.
17．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边
2019年高考数学试题(及答案)
一、选择题
1．定义运算 ，则函数 的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
2．若 ，则 （ ）
A． B． C．1D．
3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( )
A．10组B．9组C．8组D．7组
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
当 时， 最多一个零点；当 时， ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
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2019 年高考数学试题精编(有答案)一、选择题：本大题共7 小题，每小题 5 分，共35 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数i+i2 在复平面内表示的点在A. 第一象限高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设xR,则xe的一个必要不充分条件是A. xB.x1C. xD.x33. 若f(x)=2cos -sin x ，则f() 等于A. -sinB. -cosC. -2sin -cosD. -3cos4. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z1, z2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z1, z2是虚数.A. ①②③B. ②①③C.②③①D.③②①5. 若a=(1 ，，2) ，b=(2 ，-1,1) ，a 与b 的夹角为60，则的值为A. 17 或-1B.-17 或1C.-1D.16. 设F1, F2是椭圆+=1(a5)的两个焦点，且|F1F2|=8，弦AB 过点卩1,则厶ABF2的周长为A. 10B. 20C. 2D.47. 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-2)f(x)0 ,则必有A. f(-3)+f(3)2f(2)B. f(-3)+f(7)2f(2)C. f(-3)+f(3)2f(2)D. f(-3)+f(7)2f(2)二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共30 分. 请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8. 复数10 的值是.9. 用反证法证明命题：若x，y0，且x+y2，贝V，中至少有一个小于2 时，假设的内容应为.10. 已知等差数列{an} 中，有=成立. 类似地，在等比数列{bn}中，有成立.11. 曲线y=sin x 在[0 ，] 上与x 轴所围成的平面图形的面积为.12. 已知函数f(x)=x(x-c)2 在x=2处有极大值，则c的值为.13. 正整数按下列方法分组：{1} ，{2,3,4} ，{5,6,7,8,9} ，{10,11,12,13,14,15,16} ，，记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组：{03,13} ，{13,23} ，{23,33} ，{33,43}，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An+Bn= .三、解答题：本大题共3 小题，共35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14. ( 本小题满分11 分)已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b 的图象关于原点成中心对称，试判断f(x) 在区间[-4 ，5] 上的单调性，并求出f(x) 在区间[-4 ，5] 上的最值.15. ( 本小题满分12 分)已知数列{an} 满足Sn+an=2n+1.(1) 写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论.16. ( 本小题满分12 分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=AB=BC=2PA平面ABCD E，F分别是BC, PC的中点.(1) 证明：AE⑵若H为PD上一点，且AHPD EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E-AF-C 的余弦值.必考试卷口一、选择题：本大题共1 个小题，每小题5 分，满分5 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 定义在R上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图，若两个正数a，b 满足f(2a+b)1 ，且f(4)=1 ，则的取值范围是A.B. (5 ，+)C. (- ，3)D.二、填空题：本大题共1 个小题，每小题5 分，共 5 分. 请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2. 设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k) ，且f(0)=6 ，则k= .三、解答题：本大题共3 小题，共40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3. ( 本小题满分13 分)某电视生产企业有A、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为a、mln(b+1) 万元(m0且为常数). 已知该企业投放总价值为10 万元的A、 B 两种型号的电视机，且A、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1) 请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域;(2) 求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大?4. (本小题满分13 分)已知椭圆C: +=1(aO)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T: (x+2)2+y2=r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 求的最小值，并求此时圆T 的方程;(3) 设点P是椭圆C上异于M, N的任意一点，且直线MR NP 分别与x轴交于点R S，O为坐标原点，求证：为定值.5. (本小题满分14 分)已知函数f(x)=ex ，xR.(1) 若直线y=kx+1 与f(x) 的反函数的图象相切，求实数k 的值；⑵设x0，讨论曲线y=与直线y=m(m0)公共点的个数；(3) 设函数h 满足x2h(x)+2xh(x)= ，h(2)= ，试比较h(e) 与的大小.湖南师大附中2019 届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷I又•••函数f(x)在［-4,5］上连续.f(x) 在(-3,3) 上是单调递减函数，在(-4 ，-3) 和(3,5) 上是单调递增函数.(9 分)f(x) 的最大值是54，f(x) 的最小值是-54.(11 分)15. 解：(1)a1= ，a2=，a3=，. 猜测an=2-(5 分)(2) ①由(1) 已得当n=1 时，命题成立;(7 分)②假设n=k 时，命题成立，即ak=2- ，(8 分)当n=k+1 时，a1+a2++ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1 ，且a1+a2++ak=2k+1-ak2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3 ，2ak+1=2+2- ，ak+1=2- ，即当n=k+1 时，命题成立.(11 分)根据①②得nN+时，an=2-都成立.(12分)16. (1)证明：由AC=AB=BC可得△ ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC.又BC// AD 因此AEAD.因为PA平面ABCD AE平面ABCD所以PAAE.而PA平面PAD AD平面PAD且PAAD=A所以AE平面PAD.又PD平面PAD所以AEPD.(5 分)(2) 解：因为AHPD，由(1)知AE平面PAD则EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt △ EAH 中，AE=此时tanEHA===，在Rt△ AOE中，EO=AEsin 30= , AO=AEcos 30=又F 是PC的中点，在Rt△ ASO中，SO=AOsin 45=,又SE===，在Rt△ ESO中，cosESO===即所求二面角的余弦值为.(12 分)解法二：由(1)知AE, AD, AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC, PC的中点，所以A(0,0,0) , B(, -1,0) , C(, 1,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2) ,E(, 0,0) ,F,所以=(, 0,0) ,所以cos 〈m,〉===.因为二面角E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为.(12分)一、选择题1. D【解析】由图像可知f(x) 在(- , 0) 递减, 在(0 , +)递增, 所以f(2a+b)1即2a+b4,原题等价于，求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得.二、填空题2. -1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x (x+k)(x+2k) 故f(0)=-6k3 ，又f(0)=6 ，故k=-1.三、解答题3. 解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10-x) 万元，农民得到的总补贴f(x)=(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-+1 ，(19).(5 分)( 没有指明x 范围的扣 1 分)(2)f(x)=-== ，令y=0，得x=10m-1(8 分)1 若10m-11 即02 若110m-19 即3若10m-19即ml,贝U f(x)在［1,9］是增函数，当x=9时，f(x)有最大值.因此，当0当当m1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4. 解：(1) 依题意，得a=2，e==，c=，b==1; 故椭圆C 的方程为+y2=1.(3 分)⑵方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1) ，N(x1，-y1) ，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，所以y=1-.(*)(4 分)由已知T(-2,0) ，则=(x1+2 ，y1) ，=(x1+2 ，-y1) ，=(x1+2 ，y1)(x1+2 ，-y1)=(x1+2)2-y=(x1+2)2-=x+4x1+3方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos , sin ),N(2cos ，-sin ) ，不妨设sin 0 ，由已知T(-2,0) ，则=(2cos +2 ，sin )(2cos +2 ，-sin )=(2cos+2)2-sin2=5cos2+8cos +3=52-.(6 分)故当cos =- 时，取得最小值为- ，此时M，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=.故圆T 的方程为：(x+2)2+y2=.(8 分)⑶方法一：设P(x0，yO)，则直线MP的方程为：y-y0=(x-x0) ，令y=0，得xR=，同理：xS=，(10 分)故xRxS=(**)(11 分)又点M与点P在椭圆上，故x=4(1-y) ，x=4(1-y) ，(12分)代入(**) 式，得：xRxS===4. 所以===4 为定值.(13 分) 方法二：设M(2cos ，sin ) ，N(2cos ，-sin ) ，不妨设sin0, P(2cos , sin )，其中sin sin . 则直线MP的方程为：y-sin=(x-2cos ) ，令y=0,得xR=, 同理：xS=，(12 分)故xRxS===4.所以===4 为定值.(13 分)5. 解：(1)f 的反函数g(x)=ln x. 设直线y=kx+1 与g(x)=ln x 相切于点P(x0 ，y0) ，则x0=e2，k=e-2. 所以k=e-2.(3 分) ⑵当x0, mO时，曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)的公共点个数即方程f(x)=mx2 根的个数. 由f(x)=mx2m= ，令v(x)=v(x)= ，则v(x) 在(0,2) 上单调递减，这时v(x)(v(2) ，+v(x) 在(2 ，+) 上单调递增，这时v(x)(v(2) ，+).v(2)=.v(2) 是y=v(x) 的极小值，也是最小值.(5 分) 所以对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数，讨论如下：当m时，有0个公共点；当m=寸，有1个公共点；当m时有2个公共点；(8分)(3) 令F(x)=x2h(x) ，则F(x)=x2h(x)+2xh=所以h=，故h===令G(x)=ex-2F(x) ，则G(x)=ex-2F(x)=ex-2= 显然，当0当x2 时，G(x)0 ，G(x) 单调递增；所以，在(0 ，+) 范围内，G(x) 在x=2 处取得最小值G(2)=0. 即x0 时，ex-2F(x)0.故在(0 ，+) 内，h(x)0 ，所以h(x) 在(0 ，+) 单调递增，又因为h(2)== ，h(2)所以h(e).(14 分) 高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!第11页。
2019年高考文科数学一轮单元卷：第九单元解三角形B卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第九单元 解三角形注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，下列等式总能成立的是（ ）． A ．cos cos a C c A = B ．sin sin b C c A = C ．sin sin a C c A =D ．sin sin ab C bc B =2．在ABC △中，“21sin =A ”是“30A =︒”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，若60A =︒，3=BC ，2=AC ，则角B 的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．135︒D ．45︒或135︒4．在ABC △中，3BC =u u u r ，4CA =u u u r ，且63BC CA ⋅=-u u u r u u u r，则ABC △的面积是（ ） A ．6B ．33C ．3D 625．在ABC △中，π3A =，3BC =，则ABC △的周长为（ ） A ．π4333B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．π4336B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．π6sin 33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．π6sin 36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．在ABC △中，、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，S 为三角形的面积，已知22()S a b c =--，则cos A =（ ） A ．817B ．1517C ．1315D ．13177．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为（ ） A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时8．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．π(0,]6B ．π[,π)6C ．π(0,]3D ．π[,π)39．在ABC △中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则ABC △是（ ）． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形10．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人（ ） A ．不能做出这样的三角形 B ．能做出一个锐角三角形 C ．能做出一个直角三角形D ．能做出一个钝角三角形11．已知锐角A 是ABC △的一个内角，a ，b ，c 是三边，若221sin cos 2A A -=，则有（ ） A ．2b c a +>B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥12．在ABC △中，(3cos )(3cos )4cos cos B B C C B C --=，且4=+AC AB ，则BC 的取值范围为（ ） A ．()4,2 B ．(]4,2 C ．[)4,2 D ．[]4,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知x 中，若120C =︒，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．14．设12+a ，a ，12-a 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ．15．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且满足25cos 2A =，3AB AC ⋅=u u u r u u u r ，6b c +=，则a = ．16．在ABC △中，已知A B C >>且2A C =，A ，B ，C 所对的边为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等差数列且4b =，则a c -= ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3cos 5B =，21AB BC ⋅=-u u ur u u u r ．（1）求ABC △的面积； （2）若7a =，求角C ．18．(12分)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距)13(5+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西30︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西30︒且与B 点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为710海里/小时，该求援船到达D 点需要多长时间？19．(12分)在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+- （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin =+C B ，试判断ABC △的形状．20．(12分)在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，向量31,4⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭m ，(cos ,sin )A A =-n ，3+=m n ． （1）判定ABC △的形状；（2）若2b =，2a c =，求ABC △的外接圆与内切圆的面积比．21．(12分)在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且ac a b C 53cos +=． （1）求A sin ，（2）若28=a ，10=b ，求BA u u u r 在BC u u u r上的投影．22．(12分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45︒且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中26sin θ=，090θ︒<<︒）且与点A 相距其中1013海里的位置C ．（1）求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明由．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第九单元 解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】由正弦定理CcA a sin sin =可得sin sin a C c A =，故选C ． 2．【答案】B 【解析】由1sin 2A =，且A 为ABC △为三角形的内角，∴30A =︒或150A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得sin 2sin AC A B BC ⋅=，∵AC BC <，∴B A <，即60B <︒， ∴45B =︒，故选B ． 4．【答案】C【解析】设ACB θ∠=，∵cos(π)34cos 63BC CA BC CA θθ⋅=⋅-=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r 3cos θ，∵0πθ<<，∴1sin 2θ=，∴111sin 343222ABC S BC CA θ=⋅=⨯⨯⨯=u u u r u u u r △，故选C ．5．【答案】D【解析】用特例法取90B ︒＝验证即可；或由正弦定理3ππ2πsin sin sin sin 333a b cB B ++=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，可求得32π313sin sin 323sin sin 32a b c B B B B B ⎡⎤⎫⎛⎫++=++-=++⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎦⎭ 33π33sin 6sin 326B B B ⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，故选D ． 6．【答案】B【解析】22222()2S a b c a b c bc =--=--+，又1sin 2S bc A =，∴2221sin 22bc A a b c bc =--+，由余弦定理知，2222cos b c a bc A +-=，∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，即sin 4(1cos )A A =-，∴217cos 32cos 150A A -+=， 解得15cos 17A =或cos 1A =（舍去），故选B ．7．【答案】B【解析】设t 小时后，B 城市处于危险区内，则有余弦定理得：222(20)4022040cos4530t t +-⨯⨯︒≤．化简得：072842≤+-t t ，∴2221=+t t ，4721=⋅t t ，从而2121212()41t t t t t t -+-， 故选B ． 8．【答案】C【解析】∵222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，∴由正弦定理得，222a b c bc ≤+-，即222b c a bc +-≥，∴222122b c a bc +-≥，即1cos 2A ≥，∵A 是三角形的内角，∴π03A <≤，故选C ．9．【答案】D【解析】由余弦定理得22222222222()()()()222ab a c b ac a b c b c b c a ac ab bc+-+--+--=， ∴22222222222()()()()b a c b c a b c b c b c a c b bc+-+--+--=，整理得222a c b =+或c b =，故选D ． 10．【答案】D【解析】假设能做出ABC △，设ABC △的面积为S ，则三条高113，111，15对应的边分别为26a S =，22b S =，10c S =，由余弦定理得，222222(22)(10)(26)23cos 022*******b c a S S S A bc S S +-+-===-<⨯⨯，∴A ∠为钝角，故选D ．11．【答案】C【解析】∵221sin cos 2A A -=，∴1cos22A =-，又A 为锐角，∴π3A =，∴1cos 2A =， 由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴222222222244442336()3()()a b c bc b c bc b c bc b c b c b c =+-=++++-=++-≥+，即2a b c ≥+，故选C ． 12．【答案】C 【解析】()3sin cos 3sin cos 4cos cos B BC C B C --=3sin sin 3(sin cos cos sin )cos cos 4cos cos B C B C B C B C B C ⇔++=3)3cos()sin 3B C B C A A ⇔+=-+⇔=，∴3tan =A ，60A =︒，∴22222cos ()3163BC AB AC AB AC A AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=-⋅， ∵202AB AC AB AC +⎛⎫<⋅≤ ⎪⎝⎭，∴40≤⋅<AC AB ，∴1642<≤BC ，42<≤BC ，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】1【解析】∵120C =︒，∴222222cos c a b ab C a b ab =+-=++， ∴222222sin sin sin sin 1sin C B A B c b ab A a ----==．14．【答案】(2,8)【解析】∵210a ->，∴12a >，∴最大边为21a +，∴21a +对的角为钝角， ∴222(21)(21)02(21)a a a a a -+-+<-，解得80<<a ．又∵2121a a a -+>+，∴2a >， ∴28a <<． 15．【答案】25【解析】∵25cos 2A =，∴22253cos 2cos 12125A A =-=⨯-=⎝⎭，∵3AB AC ⋅=u u u r u u u r ， ∴cos 3bc A =，则5bc =，又6b c +=，∴15b c =⎧⎨=⎩或51b c =⎧⎨=⎩，故2222cos a b c bc A =+-325125205=+-⨯⨯=，∴2025a =16．【答案】85【解析】由sin sin a c A C =且2A C =得，2sin cos sin a c C C C =，∴cos 2a C c=，又222cos 2a b c C ab +-=，∴22222a a b c c ab +-=，又28a c b +==，解得4a c ==，或245a =，165c =，∵A B C >>，∴a c >， 故24168555a c -=-=． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）14；（2）45︒．【解析】（1）∵21AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，21BA BC ⋅=u u u r u u u r，cos 21BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴35ac =，∵3cos 5B =，∴4sin 5B =，∴114sin 3514225ABC S ac B ==⨯⨯=V ． （2）∵35ac =，7a =，∴5c =，由余弦定理得，2222cos 32b a c ac B =+-=， ∴42b =，由正弦定理：sin sin c bC B =，∴542sin sin 5242c C B b ==⨯=， ∵c b <且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒． 18．【答案】1小时．【解析】由题意知45DAB ∠=︒，60DBA ∠=︒，∴75ADB ∠=︒． 在ADB △中，有sin 45sin75BD AB =︒︒，∴sin 4510sin75AB BD ︒==︒， 又120CBD ∠=︒，∴222cos120100400200107CD BD BC BD BC =+-⋅⋅++o 因为求援船的航行速度为710海里/小时，所以求援船到达D 点需要1小时． 19．【答案】）（1）60︒；（2）正三角形．【解析】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-，由正弦定理得c b c b c b a )2()2(22-+-=，即222a c b bc -+=，∴212cos 222=-+=bc a c b A ，∴60A =︒． （2）∵180A B C ++=︒，∴180120B C A +=︒-=︒． 由3sin sin =+C B ，得sin sin(120)3B B +︒-=∴3sin 120cos cos 120sin sin =-+B B B οο，∴3cos 23sin 23=+B B ，∴1cos 21sin 23=+B B ，即sin(30)1B +︒=，∵120B C +=︒，∴0120B ︒<<︒， ∴3030150B ︒<+︒<︒，∴3090B +︒=︒，∴60B =︒，∴60A B C ===︒， 所以ABC △为正三角形．20．【答案】（1）直角三角形；（2）322+【解析】（1）∵31cos ,sin 4A A ⎫+=-⎪⎪⎝⎭m n 且3+=m n ，∴22313cos sin 44A A ⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2233113cos sin sin 161624A A A A ++-+=311sin 22A A -=-， 即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形．（2）由（1）知222b c a +=，又2b =，2a c =，∴2c =，22a =；∴ABC △外圆的半径122R a ==222b c ar +-==， ∴面积比为223)22(2222+=-=r R ． 21．【答案】（1）45；（22． 【解析】（1）∵3cos 5b c C a a =+，∴3cos 5a Cbc =+，由正弦定理得3sin cos sin sin 5A C B C =+，∴3sin cos sin()sin 5A C A C C =++，即3sin cos sin cos cos sin sin 5A C A C A C C =++，∴3cos sin sin 05A C C +=，∵(0,π)C ∈，sin 0C >，∴3cos 5A =-，∴2234sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．（2）由正弦定理得Bb A a sin sin =，∴410sin 25sin 82b A B a ⨯== ∵53cos -=A ，∴A 为钝角，∴B 为锐角，∴π4B =．∵ac a b C 53cos +=，由余弦定理得222325a b c b cab a a +-=+，把28=a ，10=b 代入，解得2=c ．所以BA u u u r 在BC u u u r 上的投影为cos cos 2BA B c B ==u u u r22．【答案】（1）155(海里/小时)；（2）会，见解析．【解析】（1）如图，240=AB ，1310=AC ，其中BAC θ∠=，2626sin =θ， 由于090θ︒<<︒，所以226526cos 126θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，由余弦定理得222cos105BC AB AC AB AC θ=+-⋅=， 所以船的行驶速度为10515523=(海里/小时)． （2）如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ，在ABC △中，由余弦定理得，222222310cos 2102402105AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅⨯⨯，从而2910sin 1cos 110ABC ABC ∠=-∠=-=在ABQ △中，由正弦定理得：10402sin 10sin 452210AB ABC AQ ABC ∠=︒-∠⨯（）， 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15QE AE AQ =-=． 过点E 作BC EP ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt QPE △中， 5sin sin(45)15357PE QE PQE QE ABC =⋅∠=⋅︒-∠==， 所以若该船不改变航行方向继续行驶，船会进入警戒水域．。
2019年高考数学试卷及答案
2019年高考数学试卷及答案一、选择题1．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－17．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．19 8．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，32BC =，则AC =（ ） A ．3 B ．3 C ．23 D ．439．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．010．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2511．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对 12．在[0,2]π内，不等式3sin 2x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____． 16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .17．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．18．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．19．已知0x >，0y >，0z >，且36x z ++=，则323x y z ++的最小值为_________．20．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．三、解答题21．已知()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.22．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为6，求直线AP 的方程. 23．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．24．设函数22()ln (0)f x a x x ax a =-+>（Ⅰ）求()f x 单调区间（Ⅱ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[1,e]x ∈恒成立注：e 为自然对数的底数25．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项．【详解】 由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项 根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项所以选A【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题． 2．D解析：D【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确；回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．3．A解析：A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.5．C解析：C【解析】【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项．故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．考点：三视图．6．D解析：D【解析】【详解】试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知()()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算7．D解析：D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D解析：C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果.【详解】解：在ABC ∆中， 可得sin sin BC AC A B =,即3260sin 45AC ，即32322， 解得23AC =，故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.9．C解析：C【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知： 2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得： ()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．10．A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．11．B解析：B【解析】【分析】本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．，【详解】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B．【点睛】本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．12．C解析：C【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论．【详解】解：在[0，2π]内，若sin x 32-＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53π）， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得解析：(5,7)【解析】【分析】【详解】由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b << 14．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加 解析：1和3.【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.15．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B .详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===,因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2= 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为【解析】【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r，再根据勾股定理得h ，即得此圆锥高的值．【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高222224232h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为42． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．17．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π【解析】 【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
【配套K12】2019年高考数学小题精练+B卷及解析：专题(09)解三角形及解析 含答案
2019年高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（09）解三角形及解析 专题（09）解三角形1．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝，则sin A ＋cos A ＝（ ）A ．B ． －C ．D ． －【答案】A2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcos C+ccos B=2acos A ，则A=（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．3π或23π【答案】B【解析】∵bcos C+ccos B=2acos A ，∴由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos A ， 可得：sin （B+C ）=sin A=2sin A cos A ， ∵A ∈（0，π），sin A≠0， ∴cos A=12， ∴可得A=3π． 故选：B ．3．在ABC ∆中,角A B C 、、 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C【解析】()22212c a b =+，由余弦定理得，222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”， cos C ∴的最小值为12，选C ．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C【解析】试题分析：因为2222a b c +=，所以由余弦定理可知，．故选C ．考点：余弦定理． 5．在△ABC 中， 其面积，则BC 长为（ ）A ．B ． 75C ． 51D ． 49【答案】D6．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（ ）A ． 直角三角形B ． 锐角三角形C ． 等腰三角形D ． 等边三角形 【答案】C 【解析】 ，，则，则，三角形为等腰三角形，选C ． 7．在△ABC 中，，则等于（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 3 【答案】B【解析】根据正弦定理， ，，，则，则，，选B ．8．在△ABC 中，若则A=( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】,,,,则，选B ． 9．在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A10．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛30π， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛60π，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，【答案】A考点：余弦定理；基本不等式求最值．11．如图，ABC ∆中，D 是边BC 上的点，且,2,2AC CD AC AB AD ===，则sin B等于（ ）A B C D 【答案】C考点：正余弦定理的综合应用．【思路点晴】本题主要考查的是解三角形以及正余弦定理的应用,属于中档题目．题目先根据AD AC 32=设出x AD 2=,从而AB CD AC ,,均可用x 来表示,达到变量的统一,因此只需列出等式求出x 的值即可．先由余弦定理求出ADC ∠cos ,接下来由ADB ∠和ADC ∠互补,得出其正弦值相等,再从ADB ∆中使用正弦定理,从而求出sin B ．12．在ABC ∆中，已知10103cos ,21tan ==B A ，若ABC ∆最长边为10，则最短边长为（ ） A ．2 B ．3 C ．5D ．22【答案】A 【解析】试题分析：由021tan >=A ，得51sin ,52cos ==A A ，由010103cos >=B ，得101sin =B ，于是021sin sin cos cos )cos(cos <-=+-=+-=B A B A B A C ，即C ∠为最大角，故有10=c ，最短边为b ，于是由正弦定理CcB b sin sin =，求得2=b ． 考点：解三角形． 【思路点晴】由于021tan >=A ，010103cos >=B ，所以角A 和角B 都是锐角．利用同角三角函数关系，分别求出51sin ,52cos ==A A ，101sin =B ，利用三角形的内角和定理，结合两角和的余弦公式，可求得cos 0C <，所以C 为最大角，且10=c ，由于sin sin A B >所以B 为最小的角，b 边为最小的边，再利用正弦定理可以求出b 的值．专题09 解三角形1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcos C+ccos B=2acos A ，则A=（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．3π或23π【答案】B2．在ABC ∆中,角A B C 、、 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A ．． C ． 12 D ． 12- 【答案】C【解析】()22212c a b =+，由余弦定理得, 222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”， cos C ∴的最小值为12，选C ．3．在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，已知85b c =， 2C B =，则cos C =（ ） A ．725 B ． 725- C ． 725± D ． 2425【答案】A【解析】试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得55sin sin cos 8422C C C = sin2C =，故，由二倍角公式得．考点：正弦定理及二倍角公式．【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化．4．在ABC∆中, 60,A a=︒=sinAa b csinB sinC++++=（）A．B．．D．【答案】C点睛：由正弦定理及已知可得sinA，sinB，sinC，则sin sin sina b cA B C++==++5．在ABC∆中，cos cosa Ab B=，则ABC∆的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】在ABC∆中，cos cosa Ab B=,∴由正弦定理2sin sina bRA B==，得2sin,2sin,sin cos sin cosa R Ab R B A A B B==∴=，112222sin A sin B∴=，22,22sin A sin B A B ∴=∴=或22A B π=-， A B ∴=或2A B π+=， ABC ∴∆为等腰或直角三角形，故选C ．6．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果． 7．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A ． 15,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ． (10，＋∞) C． (0,10) D ． 400,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由正弦定理得sin 104040sin sin 0,3sin 334a C c C C A ⎛⎤===∈ ⎥⎝⎦ ,选D ． 8．已知ABC ∆ 是锐角三角形，若2A B = ，则ab的取值范围是（ ） A ．B ．)2 C ．( D ． ()1,2【答案】A【解析】由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a Ab B=，又因为2A B = ，所以 2cos a B b = ，又因为锐角三角形，所以ππ20,,π30,22B C B ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ,2cos 64B B <<∈故选A ．9．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分为,,a b c ， 1,sin 62b C A π===．若D 是BC 的中点，则AD = ( )A ．74 B ． C ． 14 D ． 12【答案】B点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．10．ABC ∆中，若)sin sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】考点：解三角形．11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A B ．34CD ．13【答案】A【解析】考点：1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数之间的关系． 12．在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，则B ∠=________．【答案】23π【解析】试题分析：由正弦定理得cos cos 2B bC a c=-+CA Bsin sin 2sin +-=，化简得A B C B sin cos 2)sin(-=+，即21cos -=B ，所以在ABC ∆中，B ∠=23π． 考点：正弦定理、三角恒等变换．。
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2015年高考数学优题训练系列（9）
（一）（理）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．复数11
z i =-的模是 （ ）
A. 12
B. 22 2．已知集合{}2,x A y y x R ==∈，22log 2x B x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭
，则A B =（ ） Ａ．[0,2) Ｂ．[1,2) Ｃ．(,2)-∞
Ｄ．(0,2) 3．设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
4．若函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+≠的图像关于直线6x π
=对称，则()6
f π
的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．2- D ．2或2-
5．已知0,0a b >>，如果不等式212m a b a b
+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ） A ．10 B ．7 C ．8 D ．9
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．(5π B. (20π+
C. (10π
D. (5π+
7．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，122PF PF =,则12cos F
PF ∠=（ ）
A.
14 B. 35 C. 34 D. 45
8．已知函数2log y x =的定义域为1[,]n m （,m n 为正整数），值域为[0,2]，则满足条件的整数对(,)m n 共有( )
A. 1个
B. 7个
C. 8个
D.16个
9．已知{}n a 是等比数列，2512,4
a a ==
，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．16(14)n -- B ．16(12)n -- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3
n -- 10．设函数()f x x ax bx c 3211=++2+32
的两个极值点分别为12,x x ，若1(2,1)x ∈--，2(1,0)x ∈-，则2a b +的取值范围为（ ） A ．(2,7) B ．(1,7) C ．(1,5) D ．(2,5)
（二）（文）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题只有一个选项符合题目要求）
1.设命题 0lg ,0:00<>∃x x p ，则p ⌝为（ ）
A. 0lg ,0>>∀x x
B. 0lg ,0≥>∀x x
C. 0lg ,000>>∃x x
D. 0lg ,000≥>∃x x
2.已知a 是实数，且5
2121i i a +++也是实数，则a 等于（ ） A. 2 B.23 C.1 D. 2
1 3.如右图是某几何体的三视图（正视图与侧视图一样,
上面是半径为1的半圆，下面是边长为2的正方
形），则该几何体的体积是（ ）
A ．π328+ B. π3
48+ C. π+24 D. π220+
4. “2015<a ”是“函数2)()(a x x f -=在区间
［2015，＋∞）上为增函数”的（ ）
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数)0()sin(2)(πϕϕ<<+=x x f 是偶函数，则)32cos(2πϕ+
等于（ ） A. 3- B. 1- C. 3 D. 1 6． 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且r q S n n +=（10,≠>∈*
q q N n 且），则实数r 的值为（ ）
A ．2 B.1 C.0 D.1-
7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被该正方体的外接球所截得的线段长为（ ） A. 32 B. 3 C. 22 D. 2
（正、侧视图）
（俯视图）
8.已知关于x 的不等式0722≥--+
a
x x 在),(∞+a 上恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 21 D. 2
3 9.已知直线l ：a x y +-=与圆C:222=+y x 相交于相异两点M 、N ，点O 是坐标原点，且满足
>+,则实数a 的取值范围是（ ） A.)2,2()2,2 --（ B. )2,
2-（ C. )2,1()12 --，（ D. )1,1-（
10.已知函数ax x e y x ---=2ln 有3个不同的零点（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）
A. )1
[∞+， B. )1∞+，（ C. ]1,0（ D. )1,0（ 参考答案
（一）
BDCDDACBCA
（二）
BCAABDCDAD。