运筹学课件第八章图与网络分析

2）最小支撑树：如果T=(V,E’) 是G的一个支撑树， 称E’中所有边的权之和为支撑树T的权，记为 w(T)，即
w(T)=Σ wij (vi,vj)∈T
如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最 小者，则称T*是G的最小支撑树(简称最小树)
w(T*)=min w(T)
T
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方法一(避圈法) 开始选一条最小权的边，以后每一步中， 总从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取 的边不构成圈。
方法二(破圈法) 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。 在余下的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为 止，这时的图便是最小树。
例 用破圈法求下图的最小树
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2
V9
6 V4
4 V1
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V5
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3
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V2
运筹学V3
二、最短路算法
1、情况一： wij≥0(E.W.Eijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法） 标号：对于点,若已求出到Vi的最短值，标号（αi,βi)
αi ：表示到的最短路值 βi:表示最短路中最后经过的点 标号法步骤： 1）给V1标号(0, Vs) 2）把所有顶点分成两部分,X：已标号的点；X’未标号的点 考虑X,与Vj已∈标X号’若点不相存邻在的，弧此是问存题在无这解样，的否弧则（转V3i），Vj ）, Vi ∈ 3）算选:m取i未n{标αi 号+ w中ij所}=有αj入线的起点与未标号的点Vj进行计 并对其进行标号(αj, Vi)，重复2）
7、路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D 中的一条链，并且对t=1,2,…,k-1，均有 ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。
8、回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称 之为回路。
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六、图的矩阵表示
1、网络（赋权图）G=（V，E），其边（vi,vj）有权wij, 构 造矩阵A=（aij）n×n,其中： wij（vi,vj）∈E 0 其他
如没有奇次点：任取一点，它既是起点又是终点。 两个奇次点：分别选为起点和终点。
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五、有向图
1、无向图：G（V，E）点集+边集
2、弧：点与点之间有方向的边，叫做弧。 弧集：A={a1,a1,…,am}
3、有向图：由点及弧所构成的图，记为D=(V,A)，V,A 分别是D的点集合和弧集合。
2、圈：链(vi1,vi2,…,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一 个圈。
3、简单链：若链(vi1,vi2,…,vik)中，点 vi1,vi2,…,vik都是不同的，则称之为简单链。
4、连通图：图G中，若任何两个点之间，至少有一 条链。
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三、树
1、定义：一个无圈的连通图称为树。
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。
5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所 有弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
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6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中 的一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图 G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点 弧交错序列是D的一条链。
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二、连通图
1、链：给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列 (vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足 eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k-1)，则称为一条联结vi1和 vik的链，称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
称矩阵A为网络G的权矩阵。
2、对于图G=（V，E）， ∣V ∣=n,构造一个矩阵A=（aij）
n×n,其中： wij（vi,vj）∈E 0 其他
称矩阵A为网络G的权。
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第二节 最短路问题
一、引例：
如下图中V1：油田，V9：原油加工厂 求使从V1到V9总铺路设管道最短方案。
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第八章 图与网络分析
图的基本知识 最短路径问题 网络最大流问题 网络最小费用流问题
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§1.图的基本知识
一、图
1、图：由一些点及一些点的连线所组成的图形。
若V={V1,V2,…, Vn}是空间n个点的集合 E= { e1,e2,…, em}是空间m个点的集合
满足1)V非空
2)E中每一条线ei是以V中两个点Vs,Vt为端点 3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.
4 12 32
5
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2
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3
四、一笔划问题
1、次：图中的点V，以V为端点的边的个数，称为V的 次，记为d(V)。
2、定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两 倍，即设q边数，则Σd(vi)=2q ，其中viV
3、奇点：次为奇数的点。否则称为偶点。 4、任一图中，奇点的个数为偶数。 5、一笔划： 可以一笔划：没有或仅有两个奇次点的图形
则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。
2、子图：已知图G1（V1，E1）若V1 V， E1 E 则称图G1（V1，E1）是图G=(V， E)的子图
3、若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。
4、多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重
边。
多重图：含有多重边的图。
5、简单图：无环、无多重边的图。
2、树的性质：
1）图G是树的充分必要条件是任意两个顶点 之间恰有一条链。
2）在树中去掉任意一条边则构成一个不连通 图，不再是树；在树中不相邻的两点之间 添加一条边，恰好形成了一个圈，也就不 再是树。
3）树中顶点的个数为P，则其边数必为P-1。
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3、支撑树：设图T=(V,E’) 是图G（V，E）的 支撑子图，如果图T=(V, E’) 是一个树，则 称T是G的一个支撑树。
4、寻找支撑树的方法
1）破圈法：在图中任取一个圈，从圈中去掉 任一边，对余下的图重复上述操作，即可 得到一个支撑树。
2）避圈法：每一步选取与已选的边构不成圈 的边，直到不能继续为止。
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5、最小支撑树
1）赋权图：给图G=(V,E) ，对G中的每一条边 [vi,vj]，相应地有一个数wij，则称这样的图G为赋 权图，wij称为边[vi,vj]上的权。