理科数学2010-2019高考真题分类训练18专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用—附解析答案

（Ⅱ）令
bn
=
(1)n1
4n an an 1
,
求数列{bn}
的前
n
项和 Tn
．
20．（2014浙江）已知数列an和 bn满足 a1a2 an 2 bn n N ．若an为等比数列，
且 a1 2,b3 6 b2.
（Ⅰ）求 an 与 bn ；
（Ⅱ）设 cn
1 an
1 bn
nN
．记数列cn的前 n 项和为 Sn ．
a1a2 a2a3
anan1 2
26．（2013 湖北）已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和， S4 ，S2 ，S3 成等差数列，
且 a2 a3 a4 18 .
（Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 n ，使得 Sn 2013 ？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；
对每个 n N, Sn bn , Sn1 bn , Sn2 bn 成等比数列.
（1）求数列 {an },{bn } 的通项公式；
（2）记 cn
an , n N, 2bn
证明： c1 c2 +
cn 2 n, n N.
3.（2019 江苏 20）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
递增子列末项的最小值为 2s-1，且长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有 2s1 个（s=1,2,…），
求数列an 的通项公式.
2010-2018 年
一、选择题 1．（2017 新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家
学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为 下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，„，
其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20 ， 21 ，再接下来的三项是 20 ， 21 ， 22 ，依此类
推．求满足如下条件的最小整数 N ： N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那
么该款软件的激活码是
A．440
B．330
C．220
D．110
2．（2016 年全国Ⅲ）定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项
an bn cn ( n N )成立．
24．（2013 安徽）设数列an 满足 a1 2 ， a2 a4 8 ，且对任意 n N * ，函数
f
(x)
(an
an1
an2 )x
an1
cos
x
- an2
sin
x
，满足
f
'( 2
)
0
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）若 bn
（2 an
1 2an
(a12 a22
a2 n1
Байду номын сангаас
)
(a22
a32
an2 ) (a1a2 a2a3
A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件
an1an )2 ，则
B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件
C．p 是 q 的充分必要条件
D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
4．（2014 新课标 2）等差数列an 的公差为 2，若 a2 ，a4 ，a8 成等比数列，则an 的前 n
项和 Sn =
A． nn 1
B． nn 1
C． n n 1
2
D． n n 1
2
5．（2014 浙江）设函数
f1(x) x2 ，
f2 (x) 2(x x2 ),
f3
(
x)
1 3
|
sin
2x
|
，
ai
i， 99
i 0,1, 2,,99，记 Ik | fk (a1) fk (a0 ) | | fk (a2 ) fk (a1) |
（Ⅱ）若 a1
1，函数
f
(x)
的图象在点 (a2 , b2 )
处的切线在
x
轴上的截距为 2
1 ln 2
，
求数列{an } bn
的前 n 项和Tn ．
23．(2014 江苏)设数列{an } 的前 n 项和为 Sn ．若对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得
Sn am ，则称{an } 是“H 数列”．
13．（2017 天津）已知{an} 为等差数列，前 n 项和为 Sn (n N) ，{bn} 是首项为 2 的等比 数列，且公比大于 0， b2 b3 12 , b3 a4 2a1 ， S11 11b4 ．
（Ⅰ）求{an} 和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nb2n1} 的前 n 项和 (n N) ． 14．（2017 浙江）已知数列{xn} 满足： x1 1， xn xn1 ln(1 xn1) (n N* ) ．
（Ⅰ）若 0, 2 ，求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）若
1 k0
(k0
N , k0
≥
2)
，
1，证明： 2
1 3k0 1
ak0 1
2
1 2k0 1
．
19．(2014 山东）已知等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn ，且 S1 ， S2 ， S4 成等比数
列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是________．
11．（2011
浙江）若数列
n(n
4)(
2 3
)n
中的最大项是第
k
项，则
k
=_______________．
三、解答题
12．(2018 江苏)设{an}是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列，{bn}是首项为 b1 ，公比为 q 的
专题六 数列
第十八讲 数列的综合应用
2019 年
1.（2019 浙江 10）设 a，b∈R，数列{an}中 an=a，an+1=an2+b， n N ,则
A．当
b=
1 2
时，a10＞10
C．当 b=-2 时，a10＞10
B．当
b=
1 4
时，a10＞10
D．当 b=-4 时，a10＞10
2.（2019 浙江 20）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a3 4 ， a4 S3 ，数列{bn}满足：
（Ⅰ）写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4 的递增子列；
（Ⅱ）已知数列an 的长度为 P 的递增子列的末项的最小值为 amo ，长度为 q 的递增子 列的末项的最小值为 ano ，若 p<q，求证： amo ano ；
（Ⅲ）设无穷数列an 的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若an 的长度为 s 的
(Ⅱ)设双曲线 x2
y2 an2
1的离心率为 en ，且 e2
5 3
，证明： e1
e2
en
4n 3n 3n1
．
16．（2015 湖北）设等差数列{an} 的公差为 d，前 n 项和为 Sn ，等比数列{bn} 的公比为 q．已
知 b1 a1 ， b2 2 ， q d ， S10 100 ．
（ⅰ）求 Sn ；
（ⅱ）求正整数 k ，使得对任意 n N ，均有 Sk Sn ．
21．（2014 湖南）已知数列{ an }满足 a1 1,| an1 an | pn , n N*.
（Ⅰ）若{ an }是递增数列，且 a1, 2a2, 3a3 成等差数列，求 p 的值；
（Ⅱ）若
p
1 2
（Ⅰ）求数列{an} ，{bn} 的通项公式；
（Ⅱ）当
d
1时，记 cn
an bn
，求数列{cn} 的前
n
项和 Tn
．
17．（2015 陕西）设 fn x 是等比数列1，x ， x2 ， ，xn 的各项和，其中 x 0 ，n ，
n≥2．
（Ⅰ）证明：函数 Fn x
fn
x
2
在
(
1 2
,1)
内有且仅有一个零点（记为
），求数列bn 的前 n
项和
Sn
．
25．（2013
广东）设各项均为正数的数列an 的前 n
项和为 Sn
，满足 4Sn
a2 n1
4n 1，
n N* ，且 a2 , a5, a14 构成等比数列．
（Ⅰ）证明： a2 4a1 5 ；
（Ⅱ）求数列an 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数 n ，有 1 1 1 1 ．
素 从 小 到 大 依 次 排 列 构 成 一 个 数 列 {an} ． 记 Sn 为 数 列 {an} 的 前 n 项 和 ， 则 使 得
Sn 12an1 成立的 n 的最小值为
．
7．（2015 陕西）中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项
为．
8．（2014 新课标 2）数列
证明：当 n N* 时
（Ⅰ） 0 xn1 xn ；
（Ⅱ）
2xn1
xn
≤
xn xn1 2
；
（Ⅲ）
1 2n1
≤
xn
≤
1 2n2
．
15．（2016 年四川高考）已知数列{ an }的首项为 1， Sn 为数列{ an }的前 n 项和，
Sn1 qSn 1 ，其中 q>0， n N* .
（I）若 2a2, a3, a2 2 成等差数列，求 an 的通项公式；
（Ⅰ）若数列{an } 的前 n 项和 Sn 2n ( n N )，证明: {an } 是“H 数列”；